Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Gujarati

(B) પોલા ધાતુના ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર માત્ર તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $(r < R)$ માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = 0$ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ થાય છે.
ગોળાની બહારના કોઈપણ બિંદુ $(r > R)$ માટે,ગોળો કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
જેમ $r > R$ માટે $r$ વધે છે,તેમ $E$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,$r < R$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $r > R$ માટે જેમ $r$ વધે તેમ તે ઘટે છે.

(C) અનંત રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે રેખીય વિદ્યુતભારો $1$ અને $2$ છે,જે $2R$ અંતરે અલગ થયેલા છે. મધ્યબિંદુ $P$ બંને રેખાઓથી $R$ અંતરે છે.
ધન રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}_1$ તેનાથી દૂર (ઋણ રેખીય વિદ્યુતભાર તરફ) નિર્દેશિત થાય છે,તેથી $E_1 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$.
ઋણ રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}_2$ તેના તરફ ($\overrightarrow{E}_1$ ની દિશામાં જ) નિર્દેશિત થાય છે,તેથી $E_2 = \frac{|-\lambda|}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0 R}\; N/C$ થાય છે.

(D) ગોસનો નિયમ સંકલન સ્વરૂપમાં $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $|\overrightarrow{E}| |A| = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_{0}}$ સ્વરૂપમાં સરળ બનાવવા માટે,આપણે એ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{E}|$ સપાટી પર અચળ રહે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ એ સપાટી પરના દરેક બિંદુએ ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\overrightarrow{A}$ ને સમાંતર હોય.
જો $|\overrightarrow{E}|$ અચળ હોય અને સપાટી એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે $\overrightarrow{E}$ હંમેશા સપાટીને લંબ હોય,તો તે સપાટી સમસ્થિતિમાન સપાટી બને છે.
તેથી,સંકલનમાંથી $|\overrightarrow{E}|$ ને બહાર કાઢવા માટે બંને શરતો જરૂરી છે.

(D) બાકી રહેલા ભાગને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેમાં ગોળાને $+\rho$ ઘનતા ધરાવતા સંપૂર્ણ ગોળા અને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા નાના ગોળાના સંયોજન તરીકે ગણવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ પર (જે કાપેલા ગોળાના કેન્દ્ર પર છે અને મોટા ગોળાના કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરે છે):
$|\overrightarrow{E}_{A}| = |\overrightarrow{E}_{large} + \overrightarrow{E}_{small}| = |\frac{\rho (R/2)}{3\epsilon_0} + 0| = \frac{\rho R}{6\epsilon_0}$.
બિંદુ $B$ પર (જે મોટા ગોળાના તળિયે છે,તેના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે અને કાપેલા ગોળાના કેન્દ્રથી $3R/2$ અંતરે છે):
$|\overrightarrow{E}_{B}| = |\frac{\rho R}{3\epsilon_0} - \frac{\rho (R/2)^3}{3\epsilon_0 (3R/2)^2}| = \frac{\rho R}{3\epsilon_0} - \frac{\rho R^3/8}{3\epsilon_0 (9R^2/4)} = \frac{\rho R}{3\epsilon_0} (1 - \frac{1}{18}) = \frac{\rho R}{3\epsilon_0} (\frac{17}{18}) = \frac{17\rho R}{54\epsilon_0}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{|\overrightarrow{E}_{A}|}{|\overrightarrow{E}_{B}|} = \frac{\rho R / 6\epsilon_0}{17\rho R / 54\epsilon_0} = \frac{1}{6} \times \frac{54}{17} = \frac{9}{17} = \frac{18}{34}$.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર $x$ ઘટક ધરાવતું હોવાથી,$x$ દિશાને લંબ સપાટીઓ માટે,$E$ અને $\Delta S$ વચ્ચેનો ખૂણો $\pm \pi/2$ છે. તેથી,બે છાયાંકિત સપાટીઓ સિવાય સમઘનની દરેક સપાટી માટે ફ્લક્સ $\phi = E \cdot \Delta S$ શૂન્ય થાય છે.
ડાબી સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{L} = \alpha x^{1/2} = \alpha a^{1/2}$ ($x=a$ આગળ) છે.
જમણી સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{R} = \alpha x^{1/2} = \alpha (2a)^{1/2}$ ($x=2a$ આગળ) છે.
તેને અનુરૂપ ફ્લક્સ:
$\phi_{L} = E_{L} \cdot \Delta S = E_{L} \Delta S \cos(180^{\circ}) = -E_{L} a^{2} = -\alpha a^{1/2} a^{2} = -\alpha a^{5/2}$.
$\phi_{R} = E_{R} \cdot \Delta S = E_{R} \Delta S \cos(0^{\circ}) = E_{R} a^{2} = \alpha (2a)^{1/2} a^{2} = \alpha \sqrt{2} a^{5/2}$.
સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \phi_{R} + \phi_{L} = \alpha a^{5/2} (\sqrt{2} - 1)$.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = 800 \times (0.1)^{5/2} \times (1.414 - 1) = 800 \times 0.003162 \times 0.414 \approx 1.05 \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-1}$.
$(b)$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સમઘનની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \phi \varepsilon_{0}$ થાય.
$q = 1.05 \times 8.854 \times 10^{-12} \; C \approx 9.27 \times 10^{-12} \; C$.

(N/A) ઉકેલ:
આ પરમાણુ મોડેલ માટે વિદ્યુતભારનું વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. $R$ ત્રિજ્યાના સમાન ગોલીય વિદ્યુતભાર વિતરણમાં કુલ ઋણ વિદ્યુતભાર $-Ze$ હોવો જોઈએ,કારણ કે પરમાણુ (ન્યુક્લિયસનો વિદ્યુતભાર $Ze$ + ઋણ વિદ્યુતભાર) તટસ્થ છે. આના પરથી આપણને ઋણ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ મળે છે,કારણ કે:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho = -Ze$
$\rho = -\frac{3Ze}{4 \pi R^{3}}$
ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. વિદ્યુતભાર વિતરણની ગોલીય સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ નું મૂલ્ય માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે. તેની દિશા ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ તરફના ત્રિજ્યા સદિશની દિશામાં હોય છે. ગૌસિયન સપાટી એ ન્યુક્લિયસ પર કેન્દ્રિત ગોલીય સપાટી છે. આપણે બે પરિસ્થિતિઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $r < R$ અને $r > R$.
$(i)$ $r < R$: ગોલીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E(r) \times 4 \pi r^{2}$ છે. ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ એ ધન ન્યુક્લિયર વિદ્યુતભાર અને $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદરનો ઋણ વિદ્યુતભાર છે,એટલે કે $q = Ze + \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$. વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $q = Ze - Ze \frac{r^{3}}{R^{3}}$ મળે છે. ગૌસના નિયમ મુજબ $E(r) \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$,તેથી $E(r) = \frac{Ze}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{r^{2}} - \frac{r}{R^{3}} \right)$. વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં હોય છે.
$(ii)$ $r > R$: આ કિસ્સામાં,ગૌસિયન ગોલીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે કારણ કે પરમાણુ તટસ્થ છે. તેથી,ગૌસના નિયમ મુજબ,$E(r) \times 4 \pi r^{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r > R$ માટે $E(r) = 0$.

(D) અનંત રેખીય વીજભાર દ્વારા $d$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 d}$
$\lambda$ માટે સૂત્ર:
$\lambda = 2 \pi \varepsilon_0 d E = \frac{d E}{2 k}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$.
આપેલ કિંમતો:
$d = 0.02 \; m$
$E = 9 \times 10^4 \; N/C$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{0.02 \times 9 \times 10^4}{2 \times 9 \times 10^9} = 10^{-7} \; C/m = 0.1 \; \mu C/m$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $10 \; \mu C/m$ છે.

(N/A) આ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $A$ અને $B$ બે સમાંતર પ્લેટો છે જે એકબીજાની નજીક છે. પ્લેટ $A$ નો બહારનો વિસ્તાર $I$ તરીકે,પ્લેટ $B$ નો બહારનો વિસ્તાર $III$ તરીકે અને પ્લેટો $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિસ્તાર $II$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
પ્લેટ $A$ ની વિદ્યુતભાર ઘનતા,$\sigma = 17.0 \times 10^{-22} \; C/m^2$
પ્લેટ $B$ ની વિદ્યુતભાર ઘનતા,$\sigma = -17.0 \times 10^{-22} \; C/m^2$
વિસ્તાર $I$ અને $III$ માં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય છે કારણ કે આ વિસ્તારોમાં ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.
વિસ્તાર $II$ (પ્લેટોની વચ્ચે) માં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
જ્યાં $\varepsilon_0$ (મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી) $= 8.854 \times 10^{-12} \; C^2 N^{-1} m^{-2}$ છે.
$E = \frac{17.0 \times 10^{-22}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.92 \times 10^{-10} \; N/C$
આમ,બહારના વિસ્તારોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ છે અને પ્લેટોની વચ્ચે $1.92 \times 10^{-10} \; N/C$ છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારીત વાહકની સપાટીની બરાબર બહાર એક બિંદુ $P$ અને સપાટીની બરાબર અંદર એક બિંદુ $Q$ છે.
વાહકની બરાબર બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ છે,જે $E = (\sigma / \varepsilon_{0}) \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ક્ષેત્ર $E$ એ છિદ્ર પરના વિદ્યુતભારના નાના ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ અને બાકીના વાહકને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2$ નો સરવાળો છે.
બિંદુ $P$ (બહાર) પર,$E_1$ અને $E_2$ સમાન દિશામાં છે,તેથી $E_1 + E_2 = E = \sigma / \varepsilon_{0}$.
બિંદુ $Q$ (અંદર) પર,$E_1$ અંદરની તરફ ($\hat{n}$ ની વિરુદ્ધ) નિર્દેશિત છે અને $E_2$ બહારની તરફ નિર્દેશિત છે,તેથી $-E_1 + E_2 = 0$ (કારણ કે વાહકની અંદરનું ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે).
બીજા સમીકરણ પરથી,$E_1 = E_2$.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,$2E_2 = \sigma / \varepsilon_{0}$,જે $E_2 = \sigma / (2 \varepsilon_{0}) \hat{n}$ આપે છે.
આમ,છિદ્રમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બાકીના વાહકને કારણે છે,જે $(\sigma / 2 \varepsilon_{0}) \hat{n}$ છે.

$(A)$ વિદ્યુતભારિત સપાટીના નાના ક્ષેત્રફળને આવરી લેતું એક નાનું ગોસિયન પિલબોક્સ (નળાકાર) ધ્યાનમાં લો જેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે। ગોસના નિયમ મુજબ, પિલબોક્સમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે। બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અવગણ્ય છે। બે સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $(E_{2n} - E_{1n})A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$ છે, જ્યાં $E_{2n}$ અને $E_{1n}$ એ લંબ ઘટકો છે। આમ, $(E_2 - E_1) \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$। વાહક માટે, અંદરનું ક્ષેત્ર $E_1 = 0$ છે, તેથી $E_2 \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, જે સૂચવે છે કે $E = \frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}$। $(b)$ સપાટી પર રહેલ લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $w$ ધરાવતો એક નાનો લંબચોરસ ગાળો ધ્યાનમાં લો। બંધ ગાળામાં વિદ્યુતભારને ફેરવવા માટે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે $(\oint E \cdot dl = 0)$। જેમ પહોળાઈ $w \to 0$ થાય છે, તેમ બાજુઓમાંથી મળતું યોગદાન શૂન્ય થઈ જાય છે, અને $(E_{1t} - E_{2t})l = 0$ બાકી રહે છે, જ્યાં $E_{1t}$ અને $E_{2t}$ એ સ્પર્શકીય ઘટકો છે। આમ, $E_{1t} = E_{2t}$, જે સાબિત કરે છે કે સ્પર્શકીય ઘટક સતત છે।

(A) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતી એક ગાઉસિયન સપાટી વિદ્યુતભારીત નળાકાર સાથે સહ-અક્ષીય છે,જ્યાં $r$ એ બંને નળાકારો વચ્ચેનું અંતર છે.
ગાઉસના નિયમ મુજબ,ગાઉસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA = E(2 \pi r L)$ છે.
આ ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = \lambda L$ છે.
ગાઉસનો નિયમ લાગુ પાડતા,$\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$,તેથી $E(2 \pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_{0}}$ મળે છે.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$ મળે છે.
આમ,બંને નળાકારો વચ્ચેના અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} r}$ છે.

(N/A) આપણે અત્યંત નાની લંબાઈ અને અત્યંત નાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $dS$ ધરાવતા પિલબોક્સ (pillbox) સ્વરૂપનું ગાઉસિયન પૃષ્ઠ વિચારીએ.
આ પિલબોક્સનો એક ભાગ સુવાહકની અંદર છે અને બાકીનો ભાગ સપાટીની બહાર છે.
આ પિલબોક્સ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma dS$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ સુવાહકની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
સુવાહકની સપાટી પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સપાટીને લંબ હોય છે. તેથી,તે ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec{S}$ ને સમાંતર છે,એટલે કે $\vec{E} \parallel d\vec{S}$.
સુવાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0$ હોય છે. તેથી,સપાટીની અંદર રહેલા પિલબોક્સના આડછેદમાંથી બહાર આવતું ફ્લક્સ $0$ છે.
સપાટીની બહાર રહેલા પિલબોક્સના આડછેદમાંથી બહાર આવતું ફ્લક્સ $\phi = \vec{E} \cdot d\vec{S} = E dS \cos 0^{\circ} = E dS$ છે.
ગાઉસના પ્રમેય મુજબ,કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E dS = \frac{\sigma dS}{\varepsilon_{0}}$ મળે છે.
તેથી,$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,$\vec{E} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \hat{n}$,જ્યાં $\hat{n}$ એ સપાટીને લંબ એકમ સદિશ છે.
જો $\sigma$ ધન હોય,તો $\vec{E}$ સપાટીથી બહારની તરફ લંબ દિશામાં હોય છે. જો $\sigma$ ઋણ હોય,તો $\vec{E}$ સપાટીની અંદરની તરફ લંબ દિશામાં હોય છે.

(N/A) ગોસના નિયમના ઉપયોગો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ અનંત લંબાઈના સુરેખ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત તારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવવા માટે.
$(2)$ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અનંત સમતલ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવવા માટે.
$(3)$ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત પાતળી ગોળીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવવા માટે.
$(4)$ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવવા માટે.

(N/A) ધારો કે એક અનંત લંબાઈનો પાતળો સીધો તાર છે જેની સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે.
સંમિતિને કારણે,તારથી $r$ જેટલા ત્રિજ્યાવર્તી અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશા ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ (જો $\lambda > 0$ હોય) અથવા અંદરની તરફ (જો $\lambda < 0$ હોય) હશે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે,આપણે તારને અક્ષ તરીકે લઈને $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી નળાકાર ગાઉસિયન સપાટી પસંદ કરીએ છીએ.
ગાઉસના નિયમ મુજબ ગાઉસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ નીચે મુજબ છે:
$\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
નળાકારના બે સપાટ વર્તુળાકાર છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec{A}$ ને લંબ છે (અર્થાત્ $\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$).
વક્ર સપાટી માટે,$\vec{E}$ દરેક બિંદુએ સપાટીને લંબ છે,તેથી $\vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA$.
આમ,$\phi_E = E \times (2 \pi r l)$.
ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = \lambda l$ છે.
ગાઉસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E(2 \pi r l) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$
$E$ માટે ઉકેલતા:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$

(N/A) $(i)$ ધારો કે અનંત સમતલ શીટની સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
સમતલને લંબ $x$-અક્ષ લો. સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$ અને $z$ યામ પર આધાર રાખશે નહીં અને દરેક બિંદુએ તેની દિશા $x$-દિશાને સમાંતર હશે.
આપણે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતું લંબચોરસ સમાંતરફલક ગૌસિયન સપાટી તરીકે લઈ શકીએ.
માત્ર બે સપાટીઓ $1$ અને $2$ ફ્લક્સમાં ફાળો આપશે; વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અન્ય સપાટીઓને સમાંતર છે અને તે કુલ ફ્લક્સમાં ફાળો આપતી નથી.
સપાટી $1$ ને લંબ એકમ સદિશ $-x$-દિશામાં છે,જ્યારે સપાટી $2$ ને લંબ એકમ સદિશ $+x$-દિશામાં છે.
તેથી,બંને સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\vec{E} \cdot \overrightarrow{\Delta S}$ સમાન છે અને તેનો સરવાળો થાય છે.
તેથી ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $2EA$ છે.
બંધ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\sigma A$ છે.
તેથી,ગૌસના નિયમ મુજબ,
$2 EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \hat{n} \quad \dots(1)$
જ્યાં $\hat{n}$ એ સમતલને લંબ અને તેમાંથી દૂર જતો એકમ સદિશ છે.
જો $\sigma$ ધન હોય તો $E$ પ્લેટથી દૂર જાય છે અને જો $\sigma$ ઋણ હોય તો પ્લેટ તરફ હોય છે.
$(ii)$ ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાની પાતળી ગોળીય કવચની સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
કવચની બહાર ત્રિજ્યા સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતું બિંદુ $P$ ધ્યાનમાં લો.
$P$ પર $\vec{E}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે $P$ માંથી પસાર થતી અને $O$ કેન્દ્ર ધરાવતી $r$ ત્રિજ્યાની ગોળીય ગૌસિયન સપાટી લઈએ છીએ.
ગૌસિયન સપાટીના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ સમાન છે અને તે દરેક બિંદુએ ત્રિજ્યા સદિશની દિશામાં છે.
આમ,દરેક બિંદુએ $\vec{E}$ અને $\overrightarrow{\Delta S}$ સમાંતર છે અને દરેક ખંડમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E \Delta S$ છે.
બધા $\Delta S$ પર સરવાળો કરતા,ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E \times 4 \pi r^{2}$ મળે છે.
ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q = \sigma \times 4 \pi R^{2}$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,
$E \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = \frac{k q}{r^{2}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r} = \frac{k q}{r^{2}} \hat{r}$
$(iii)$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$R$ ત્રિજ્યાની ગોળીય કવચ પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
બિંદુ $P$ કવચની અંદર છે. ગૌસિયન સપાટી $O$ કેન્દ્રિત અને $r$ ત્રિજ્યાની ગોળીય સપાટી છે જે $P$ માંથી પસાર થાય છે.
ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ,અગાઉ ગણતરી કર્યા મુજબ $E \times 4 \pi r^{2}$ છે. આ કિસ્સામાં,ગૌસિયન સપાટી કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરતી નથી $(q = 0)$.
ગૌસનો નિયમ આપણને આપે છે,
$E \times 4 \pi r^{2} = 0$
$\therefore E = 0 \quad (r < R)$
આમ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પાતળી કવચને કારણે કવચની અંદરના તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ જેટલો કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પાતળા ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$: ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારિત ગોળીય કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે તેની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી $(q_{enclosed} = 0)$. તેથી,$E = 0$.
$2$. કવચની બહાર $(r \geq R)$: કવચ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
$3$. આલેખમાં $y$-અક્ષ પર $E$ અને $x$-અક્ષ પર અંતર $r$ દર્શાવેલ છે. $r < R$ માટે,આલેખ $x$-અક્ષ પર રહે છે $(E=0)$. $r = R$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્રમાં તીવ્ર વધારો જોવા મળે છે. $r > R$ માટે,ક્ષેત્ર વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $Q$ જેટલો કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચનો વિચાર કરો.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા કવચની બહારના બિંદુ માટે $(r > R)$,આપણે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળીય ગૌસિયન પૃષ્ઠની પસંદગી કરીએ છીએ.
ગોળીય સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ત્રિજ્યાવર્તી છે અને ગૌસિયન પૃષ્ઠના તમામ બિંદુઓ પર તેનું મૂલ્ય સમાન છે.
ગૌસિયન પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = E \oint da = E(4\pi r^2)$ છે.
ગૌસિયન પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $E(4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.
તેથી,કવચની બહારના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે કવચની બહારના બિંદુઓ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર એવું જ છે જાણે કે સમગ્ર વિદ્યુતભાર $Q$ કવચના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય.

(N/A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ મૂકેલો છે.
$O$ ને કેન્દ્ર તરીકે લઈને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક ગોલીય ગોસિયન સપાટી $S$ વિચારો,જે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘેરે છે.
સપાટી પરના બિંદુ $P$ પાસે એક સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળ ખંડ $d\vec{S}$ વિચારો. ગોલીય સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં છે અને તે ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec{S}$ ને સમાંતર છે. તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ છે:
$\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
ગોલીય સપાટી પર $\vec{E}$ સમાન હોવાથી અને $\vec{E} \parallel d\vec{S}$ હોવાથી:
$\oint E \, dS \cos 0^{\circ} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$E \oint dS = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
ગોળાનું કુલ પૃષ્ઠફળ $\oint dS = 4\pi r^{2}$ હોવાથી:
$E(4\pi r^{2}) = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
જો બિંદુ $P$ પર એક પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_{0}$ મૂકવામાં આવે,તો તેના પર લાગતું બળ $F = q_{0}E$ થાય. $E$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$F = q_{0} \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q q_{0}}{r^{2}}$
આ સમીકરણ કુલંબનો નિયમ દર્શાવે છે.

વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ વિસ્તરે છે. સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પોલા નળાકાર માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ નળાકારની સપાટીને લંબ હોય છે. ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં (અક્ષને લંબ),ક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની તરફ નિર્દેશ કરે છે. નળાકારના છેડાઓ પાસે,ક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની તરફ વળે છે,જે કિનારીઓ પર ક્ષેત્રની અસમાનતા દર્શાવે છે. આ બાબત આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) સમઘનને $8$ ખૂણા હોય છે. જો $q$ વિદ્યુતભારને એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે,તો તે ખૂણાની આસપાસના $8$ સમાન સમઘન દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,ગૌસના નિયમ મુજબ એક સમઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ:
$\phi = \frac{1}{8} \times \frac{q}{\epsilon_{0}} = \frac{q}{8 \epsilon_{0}}$
$(b)$ જો $q$ વિદ્યુતભારને $B$ પર મૂકવામાં આવે,જે સમઘનની ધારનું મધ્યબિંદુ છે,તો તે $4$ સમાન સમઘન દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,એક સમઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ:
$\phi = \frac{1}{4} \times \frac{q}{\epsilon_{0}} = \frac{q}{4 \epsilon_{0}}$

(N/A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગાઉસિયન ગોળાનો વિચાર કરો. ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r \leq R$ માટે,અંદરનો વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_0^r (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^r r^3 dr = \pi k r^4$ છે.
ગાઉસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(4\pi r^2) = \frac{\pi k r^4}{\epsilon_0} \implies E = \frac{kr^2}{4\epsilon_0}$.
$r > R$ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \pi k R^4 = 2e$ છે. તેથી,$E(4\pi r^2) = \frac{2e}{\epsilon_0} \implies E = \frac{2e}{4\pi \epsilon_0 r^2}$.
$(b)$ પ્રોટોન પર લાગતું બળ શૂન્ય થવા માટે,ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર બીજા પ્રોટોનને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા નાબૂદ થવું જોઈએ. ધારો કે પ્રોટોન કેન્દ્રથી વિરુદ્ધ દિશામાં $d$ અંતરે છે. $d$ અંતરે ગોળાનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_s = \frac{q(d)}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{\pi k d^4}{4\pi \epsilon_0 d^2} = \frac{k d^2}{4\epsilon_0}$ છે.
$Q = \pi k R^4 = 2e$ હોવાથી,$k = \frac{2e}{\pi R^4}$ મળે. તેથી $E_s = \frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4}$.
$2d$ અંતરે બીજા પ્રોટોનનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_p = \frac{e}{4\pi \epsilon_0 (2d)^2} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2}$ છે.
$E_s = E_p$ ને સરખાવતા: $\frac{2e d^2}{4\pi \epsilon_0 R^4} = \frac{e}{16\pi \epsilon_0 d^2} \implies d^4 = \frac{R^4}{8} \implies d = \frac{R}{8^{1/4}} = \frac{R}{\sqrt[4]{8}}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને કુલ $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની બહારના બિંદુઓ $(r > R)$ માટે,કવચ એવું વર્તે છે કે જાણે તેનો તમામ વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ છે. $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r^{2}}$ થાય છે.
$2$. કવચની અંદરના બિંદુઓ $(r < R)$ માટે,કવચને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે. તેથી,અંદર મૂકવામાં આવેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE = 0$ થાય છે.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિધાન $A$ સાચું છે.

(C) એક પાતળી અનંત વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને શીટ્સ સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ અને સમાન ચિહ્ન ધરાવતી હોવાથી,તેમની વચ્ચેના બિંદુએ પ્રથમ શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (શીટથી દૂરની દિશામાં) છે.
તે જ બિંદુએ બીજી શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (બીજી શીટથી દૂરની દિશામાં,જે $E_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે) છે.
શીટ્સની વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$.
તેથી,બે સમાંતર શીટ્સની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(A) $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના નક્કર ધાતુના ગોળાને $a$ આંતરિક ત્રિજ્યા અને $b$ બાહ્ય ત્રિજ્યા ધરાવતી વાહક ગોળીય કવચની અંદર મૂકવામાં આવે ત્યારે:
$1$. $r < R$ માટે: વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે.
$2$. $R \leq r < a$ માટે: વિદ્યુતક્ષેત્ર કેન્દ્રીય ગોળાને કારણે હોય છે,તેથી $E = \frac{k q}{r^2}$.
$3$. $a \leq r < b$ માટે: આ વિસ્તાર વાહક કવચના દ્રવ્યની અંદર છે. આંતરિક સપાટી $a$ પર પ્રેરિત થતો $-q$ વિદ્યુતભાર કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર $q$ ના ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે,તેથી $E = 0$.
$4$. $r \geq b$ માટે: કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q + 0 = q$ છે (ધારી લઈએ કે કવચ તટસ્થ છે),તેથી $E = \frac{k q}{r^2}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $r < R$ માટે શૂન્ય છે,$R \leq r < a$ માટે $1/r^2$ મુજબ બદલાય છે,$a \leq r < b$ માટે શૂન્ય છે અને $r \geq b$ માટે $1/r^2$ મુજબ બદલાય છે.

(A) વિદ્યુતભારીત તકતીની અક્ષ પર $Z$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,તકતી પર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈની એક નાની રીંગ (વલય) ધ્યાનમાં લો.
આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi r dr$ છે.
આ રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma dA = \sigma (2\pi r dr)$ છે.
અક્ષ પરના $Z$ બિંદુએ આ રીંગને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE$ એ રીંગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{(dq) Z}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{(\sigma 2\pi r dr) Z}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \frac{r dr}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શોધવા માટે,$r = 0$ થી $r = R$ સુધી $dE$ નું સંકલન કરો:
$E = \int_{0}^{R} \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \frac{r dr}{(Z^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
ધારો કે $u = Z^{2} + r^{2}$,તો $du = 2r dr$,તેથી $r dr = \frac{du}{2}$.
$E = \frac{\sigma Z}{4 \varepsilon_{0}} \int_{Z^{2}}^{Z^{2}+R^{2}} u^{-3/2} du = \frac{\sigma Z}{4 \varepsilon_{0}} \left[ \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right]_{Z^{2}}^{Z^{2}+R^{2}} = \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \left[ -\frac{1}{\sqrt{u}} \right]_{Z^{2}}^{Z^{2}+R^{2}}$.
$E = \frac{\sigma Z}{2 \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{Z} - \frac{1}{\sqrt{Z^{2} + R^{2}}} \right) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{Z}{\sqrt{Z^{2} + R^{2}}} \right)$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 150 y^2 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત $y$-દિશામાં હોવાથી,સમઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ ફક્ત ઉપરની અને નીચેની સપાટીને કારણે હશે.
નીચેની સપાટી માટે,$y = 0$:
$\Rightarrow E = 150(0)^2 = 0 \, N/C$
$\Rightarrow \phi_{\text{bottom}} = E \cdot A \cdot \cos(180^{\circ}) = 0$
ઉપરની સપાટી માટે,$y = 0.5 \, m$:
$\Rightarrow E = 150(0.5)^2 = 150 \times 0.25 = 37.5 \, N/C$
ઉપરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$ છે.
ઉપરની સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{top}} = E \cdot A = 37.5 \times 0.25 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi = \phi_{\text{top}} + \phi_{\text{bottom}} = 9.375 + 0 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$.
ગોસના નિયમ મુજબ,$\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$.
$Q_{\text{in}} = \phi \cdot \epsilon_0 = 9.375 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 83.0 \times 10^{-12} \, C = 8.3 \times 10^{-11} \, C$.

(D) અનંત રેખીય વીજભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r_1 = 10 \, mm = 10^{-2} \, m$ અને $r_2 = 12 \, mm = 12 \times 10^{-3} \, m$ છે.
ધન વીજભાર પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1 = q \left( \frac{2k\lambda}{r_1} \right)$ (રેખીય વીજભારથી દૂરની દિશામાં).
ઋણ વીજભાર પર લાગતું બળ $F_2 = qE_2 = q \left( \frac{2k\lambda}{r_2} \right)$ (રેખીય વીજભાર તરફની દિશામાં).
કુલ બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 2k\lambda q \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 = 2 \times (9 \times 10^9) \times (3.0 \times 10^{-6}) \times q \times \left( \frac{1}{10 \times 10^{-3}} - \frac{1}{12 \times 10^{-3}} \right)$.
$4 = 54 \times 10^3 \times q \times (100 - 83.33) = 54 \times 10^3 \times q \times (16.67)$.
$4 = 900180 \times q \Rightarrow q \approx 4.44 \times 10^{-6} \, C = 4.44 \, \mu C$.

(A) ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ ઘનતા $\vec{D}$ ના ડાયવર્જન્સ (divergence) દ્વારા મળે છે:
$\rho = \nabla \cdot \vec{D}$
આપેલ છે કે $\vec{D} = e^{-x} \sin y \hat{i} - e^{-x} \cos y \hat{j} + 2z \hat{k}$.
ડાયવર્જન્સની ગણતરી કરતા:
$\rho = \frac{\partial}{\partial x}(e^{-x} \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(-e^{-x} \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z)$
$\rho = -e^{-x} \sin y + e^{-x} \sin y + 2$
$\rho = 2 \, C/m^{3}$.
કદ સૂક્ષ્મ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર સ્થિત હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ $2 \, C/m^{3}$ જેટલી અચળ રહે છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \rho \times \Delta V$ દ્વારા મળે છે.
$Q = 2 \, C/m^{3} \times (2 \times 10^{-9} \, m^{3}) = 4 \times 10^{-9} \, C$.
$1 \, nC = 10^{-9} \, C$ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $4 \, nC$ થાય.

(A) નળાકારની બહાર અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$.
$r$ ત્રિજ્યા અને $\ell$ લંબાઈની ગૌસિયન સપાટીને ધ્યાનમાં લેતા,અંદરનો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho \cdot \pi R^{2} \ell$ છે.
તેથી,$E(2 \pi r \ell) = \frac{\rho \pi R^{2} \ell}{\varepsilon_{0}}$,જે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r}$ આપે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qE = \frac{mv^{2}}{r}$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા: $q \left( \frac{\rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0} r} \right) = \frac{mv^{2}}{r}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $mv^{2} = \frac{q \rho R^{2}}{2 \varepsilon_{0}}$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{q \rho R^{2}}{4 \varepsilon_{0}}$ થાય.

(C) અનંત લંબાઈ ધરાવતી પાતળી,અવાહક સમતલ શીટ કે જેની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે,તેના કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (uniform) છે,જેનો અર્થ છે કે તે શીટથી અંતર પર આધાર રાખતું નથી.
અહીં $P_{1}$ અને $P_{2}$ બંને આ મોટી શીટની નજીકના બિંદુઓ હોવાથી,તેમના અંતર $l$ અને $2l$ હોવા છતાં બંને બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન રહેશે.
તેથી,$E_{1} = E_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભારિત કણ $q$ પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{qQ}{A \epsilon_0} = 10 \; N$ છે.
જ્યારે એક પ્લેટ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલી પ્લેટ એક સિંગલ ચાર્જ્ડ શીટ તરીકે વર્તે છે. એક સિંગલ ચાર્જ્ડ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E^{\prime} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = \frac{Q}{2 A \epsilon_0}$ છે.
તેથી,કણ પર લાગતું નવું બળ $F^{\prime} = qE^{\prime} = \frac{qQ}{2 A \epsilon_0} = \frac{1}{2} \left( \frac{qQ}{A \epsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \times 10 \; N = 5 \; N$ થશે.

(C) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા એ તે સપાટી પરના વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ જેટલી હોય છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે,સપાટી પર $(r = R)$ વિદ્યુત ક્ષેત્ર ગૌસના નિયમ મુજબ $E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $q = \rho \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^{3}$,આ કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi R^{3}}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} = \frac{\rho R}{3 \epsilon_{0}}$.
અહીં $\rho = 2 \, \mu C \, m^{-3} = 2 \times 10^{-6} \, C \, m^{-3}$,$R = 6 \, m$,અને $\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \, C^{2} N^{-1} m^{-2}$ છે.
$E = \frac{2 \times 10^{-6} \times 6}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{12 \times 10^{-6}}{26.55 \times 10^{-12}} \approx 0.4519 \times 10^{12} \, N C^{-1}$.
વિકલ્પો મુજબ નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $45 \times 10^{10} \, N C^{-1}$ મળે છે.

(B) નળાકાર કદની અંદર $x$ ત્રિજ્યા અને $h$ લંબાઈ ધરાવતી નળાકાર ગૌસિયન સપાટી માટે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અને વક્ર સપાટી પર સમાન હોવાથી,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E(2\pi x h)$ છે. સપાટ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
અંદર રહેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = \rho \times V = \rho \times (\pi x^2 h)$ છે.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E(2\pi x h) = \frac{\rho \pi x^2 h}{\varepsilon_{0}}$
$E = \frac{\rho x}{2\varepsilon_{0}}$
આપેલ છે કે $x = \frac{2\varepsilon_{0}}{\rho}$,આ કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{\rho}{2\varepsilon_{0}} \times \left( \frac{2\varepsilon_{0}}{\rho} \right) = 1 \; V m^{-1}$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા $(r < R)$ ધરાવતી ગોલીય ગોસિયન સપાટી માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન છે અને ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં છે,તેથી $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = E(4\pi r^2)$.
અંદર રહેલો વિદ્યુતભાર $Q_{\text{in}}$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાના કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho(r)$ નું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$Q_{\text{in}} = \int_{0}^{r} \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_{0}^{r} \rho_{0} \left(\frac{3}{4} - \frac{r'}{R}\right) 4\pi r'^2 dr'$
$Q_{\text{in}} = 4\pi \rho_{0} \int_{0}^{r} \left(\frac{3}{4}r'^2 - \frac{r'^3}{R}\right) dr' = 4\pi \rho_{0} \left[ \frac{3}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right] = 4\pi \rho_{0} \left( \frac{r^3}{4} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_{0} r^3 \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$.
ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E(4\pi r^2) = \frac{\pi \rho_{0} r^3}{\varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$
$E = \frac{\rho_{0} r}{4\varepsilon_{0}} \left( 1 - \frac{r}{R} \right)$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા મળે છે: $E = -\frac{dV}{dr}$.
$V(r) = \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = -\frac{d}{dr} \left( \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \right) = -\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{r(-\alpha e^{-\alpha r}) - e^{-\alpha r}}{r^2} \right) = \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2} (1 + \alpha r)$.
$r = 1/\alpha$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E(1/\alpha) = \frac{q e^{-1}}{4 \pi \varepsilon_{0} (1/\alpha)^2} (1 + \alpha(1/\alpha)) = \frac{q}{e} \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} (1/\alpha^2)} \cdot 2 = \frac{2q \alpha^2}{4 \pi \varepsilon_{0} e}$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}}$ છે.
$r = 1/\alpha$ પર $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$\phi = \left( \frac{2q \alpha^2}{4 \pi \varepsilon_{0} e} \right) \cdot 4 \pi (1/\alpha)^2 = \frac{2q}{e \varepsilon_{0}}$.
આને $\frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $q_{\text{enclosed}} = 2q/e$ મળે છે.

(D) આપેલ ગોઠવણીને ધ્યાનમાં લો.
પ્રથમ અનંત લંબાઈના વાહક દ્વારા $R$ લંબ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{1} = \frac{2k\lambda_{1}}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા વાહક પરના નાના ખંડ $dl$ ને ધ્યાનમાં લો જે પ્રથમ વાહકથી સૌથી નજીકના બિંદુથી $l$ અંતરે છે. પ્રથમ વાહકથી આ ખંડનું અંતર $R = \sqrt{r^{2} + l^{2}}$ છે.
વિદ્યુતભાર ખંડ $dq = \lambda_{2} dl$ પર લાગતું બળ $dF = E_{1} dq = \frac{2k\lambda_{1}}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} \lambda_{2} dl$ છે.
સંમિતિને કારણે,બીજા વાહકને લંબ બળના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામી બળ $F$ એ બીજા વાહકની દિશામાંના ઘટકોનું સંકલન છે: $F = \int_{-\infty}^{\infty} dF \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{r}{R} = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2k\lambda_{1}\lambda_{2}}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} dl = 2k\lambda_{1}\lambda_{2}r \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl}{r^{2} + l^{2}}$.
$l = r \tan \theta$ અને $dl = r \sec^{2} \theta d\theta$ આદેશ લેતા,સંકલન $2k\lambda_{1}\lambda_{2}r \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{r \sec^{2} \theta d\theta}{r^{2} \sec^{2} \theta} = 2k\lambda_{1}\lambda_{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = 2k\lambda_{1}\lambda_{2} [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\pi k\lambda_{1}\lambda_{2}$ બને છે.
પરિણામ $r$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,બળ $r^{0}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0}$. આનું સાદું રૂપ આપતા $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto r$. આમ,આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$: ગોળો તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$. આમ,આલેખ એક અતિવલય (hyperbola) છે.
સપાટી પર $(r = R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,જેનું મૂલ્ય $E_{max} = \frac{kq}{R^2}$ છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વક્ર $II$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે તારની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે। લાંબા વિદ્યુતભારીત તારથી $r_1$ અને $r_2$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 - V_2 = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બિંદુ $A$ ($l$ અંતરે) અને બિંદુ $B$ ($2l$ અંતરે) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$qV_A + \frac{1}{2}mu^2 = qV_B + \frac{1}{2}m(\sqrt{2}u)^2$
$q(V_A - V_B) = \frac{1}{2}m(2u^2 - u^2) = \frac{1}{2}mu^2$
$q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{2l}{l}\right) = \frac{1}{2}mu^2$
$q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(2) = \frac{1}{2}mu^2 \quad \dots(i)$
હવે, બિંદુ $A$ ($l$ અંતરે) અને બિંદુ $C$ ($4l$ અંતરે) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણ લાગુ પાડતા:
$qV_A + \frac{1}{2}mu^2 = qV_C + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = q(V_A - V_C) + \frac{1}{2}mu^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{4l}{l}\right) + \frac{1}{2}mu^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(4) + \frac{1}{2}mu^2$
કારણ કે $\ln(4) = 2\ln(2)$, તેથી:
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \left(q \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln(2)\right) + \frac{1}{2}mu^2$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમત મુકતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \left(\frac{1}{2}mu^2\right) + \frac{1}{2}mu^2 = \frac{3}{2}mu^2$
$v^2 = 3u^2 \Rightarrow v = \sqrt{3}u$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન ગોલીય કદ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમ દ્વારા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$:
$E = \frac{k Q r}{R^3}$
અહીં,$E \propto r$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$:
$E = \frac{k Q}{r^2}$
અહીં,$E \propto \frac{1}{r^2}$,જે $r$ વધવાની સાથે ઘટતો વક્ર દર્શાવે છે.
સપાટી પર $(r = R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$E_{max} = \frac{k Q}{R^2}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ $r < R$ માટે રેખીય વધારો અને $r \geq R$ માટે $1/r^2$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \oint E \cdot dA = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 250 r$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ છે,તેથી $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા માટે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ થાય.
ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot A = (250 r) \cdot (4 \pi r^2) = 1000 \pi r^3$ મળે.
$r = 0.2 \, m$ કિંમત મૂકતા:
$\Phi_E = 1000 \pi (0.2)^3 = 1000 \pi (0.008) = 8 \pi \, V \cdot m$.
હવે,$\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ નો ઉપયોગ કરતા,$Q = \Phi_E \cdot \varepsilon_0$ મળે.
$Q = 8 \pi \cdot (8.854 \times 10^{-12}) \approx 25.13 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 2.22 \times 10^{-10} \, C$.

(C) ગોળાકાર કવચને કારણે કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ છે (કવચની બહારના બિંદુઓ માટે) અને કવચની અંદરના બિંદુઓ માટે $E = 0$ છે.
બિંદુ $P$ માટે (કેન્દ્રથી $r$ અંતરે,જે $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા અંદરના કવચની બહાર છે અને $3q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા બહારના કવચની અંદર છે):
$E_P = \frac{kq}{r^2} + 0 = \frac{kq}{r^2} \quad \dots (i)$
બિંદુ $Q$ માટે (કેન્દ્રથી $2r$ અંતરે,જે બંને કવચની બહાર છે):
$E_Q = \frac{kq}{(2r)^2} + \frac{k(3q)}{(2r)^2} = \frac{kq}{4r^2} + \frac{3kq}{4r^2} = \frac{4kq}{4r^2} = \frac{kq}{r^2} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર:
$E_P : E_Q = \frac{kq}{r^2} : \frac{kq}{r^2} = 1 : 1$.

(A) $r$ $(r < R)$ અંતરે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ કેન્દ્રમાં રહેલા ધન વિદ્યુતભાર અને સમાન રીતે વિતરિત ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. કેન્દ્રમાં રહેલા $+Ze$ ધન વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Ze}{r^2}$ છે.
$2$. ઋણ વિદ્યુતભાર $-Ze$ એ $R$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ ગોળાને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(Ze)r}{R^3}$ મળે છે.
$3$. બંને ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2 = \frac{Ze}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r^2} - \frac{r}{R^3} \right]$ થશે.

(D) અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારિત પ્લેટ કે જેની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ છે,તેના કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ડાબી બાજુની પ્લેટ $0$ સ્થાન પર છે અને જમણી બાજુની પ્લેટ $r$ સ્થાન પર છે. બંને પ્લેટો પર સમાન ધન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ છે.
ડાબી પ્લેટથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર,ડાબી પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_1)$ જમણી દિશામાં હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
જમણી પ્લેટને કારણે બિંદુ $P$ પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_2)$ ડાબી દિશામાં હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_{net})$ આ બંને ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$.
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = 100 \, V/m$,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = E \cdot A = \frac{q}{\varepsilon_0}$,જ્યાં $A$ એ પૃથ્વીનું પૃષ્ઠફળ છે $(A = 4\pi R^2)$.
તેથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q = E \cdot A \cdot \varepsilon_0$.
કિંમતો મૂકતા:
$q = 100 \times 4 \times 3.14 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times 8.854 \times 10^{-12}$
$q = 100 \times 4 \times 3.14 \times 40.96 \times 10^{12} \times 8.854 \times 10^{-12}$
$q \approx 4.55 \times 10^5 \, C$.
આમ,પૃથ્વીની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર આશરે $4.55 \times 10^5 \, C$ છે.

(D) અનંત વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર,જેની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ હોય,તે $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટ $A$ (વિદ્યુતભાર ઘનતા $+\sigma$) માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટથી દૂરની દિશામાં હોય છે. પ્લેટ $B$ (વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\sigma$) માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટ તરફની દિશામાં હોય છે.
વિસ્તાર $I$ માં (પ્લેટ $A$ ની ડાબી બાજુ): પ્લેટ $A$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (ડાબી તરફ) અને પ્લેટ $B$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_B - E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$ થાય છે.
વિસ્તાર $II$ માં (પ્લેટોની વચ્ચે): પ્લેટ $A$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) અને પ્લેટ $B$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_A + E_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \neq 0$ થાય છે.
વિસ્તાર $III$ માં (પ્લેટ $B$ ની જમણી બાજુ): પ્લેટ $A$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_A = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) અને પ્લેટ $B$ ને કારણે ક્ષેત્ર $E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ (ડાબી તરફ) છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_A - E_B = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = 0$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુત તીવ્રતા $I$ અને $III$ બંને વિસ્તારોમાં શૂન્ય છે.

(C) $R = 10 \,cm$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળા માટે:
ગોળાની બહારના બિંદુ $(r > R)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 20 \,cm = 0.2 \,m$ આપેલ છે,તેથી $E = \frac{kQ}{(0.2)^2} = \frac{kQ}{0.04}$.
આમ,$kQ = 0.04 E$.
ગોળાની અંદરના બિંદુ $(r < R)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = \frac{kQr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 5 \,cm = 0.05 \,m$ અને $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E' = \frac{(kQ)(0.05)}{(0.1)^3} = \frac{(0.04 E)(0.05)}{0.001} = \frac{0.002 E}{0.001} = 2 E$.

(A) ગોળાના સંતુલન માટે,તેના પર લાગતા બળો દોરામાં તણાવ $T$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ છે.
પ્લેટ એક મોટી વાહક પ્લેટ હોવાથી,તેની સપાટી પાસેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે.
તણાવનો આડો ઘટક સ્થિત વિદ્યુત બળને સંતુલિત કરે છે: $T \sin \theta = qE = q \left(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\right)$.
તણાવનો શિરોલંબ ઘટક ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $T \cos \theta = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{q \sigma / \varepsilon_0}{mg}$.
$\tan \theta = \frac{q \sigma}{\varepsilon_0 m g}$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\sigma = \frac{\varepsilon_0 m g \tan \theta}{q}$.

(B) રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા લાંબા પાતળા વીજભારિત સળિયા દ્વારા $d$ લંબ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 d}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$,તેથી $2k = \frac{2}{4 \pi \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0}$ લખી શકાય.
આ કિંમત વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E = \frac{2k \lambda}{d}$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે. બીજા સળિયાની $l$ લંબાઈ માટે,વીજભાર $q = \lambda l$ થાય.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{F}{l} = \frac{(\lambda l) E}{l} = \lambda E$ થાય.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{F}{l} = \lambda \left( \frac{2k \lambda}{d} \right) = \frac{2k \lambda^2}{d}$ મળે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\epsilon_0}$ ગણું હોય છે.
જોકે ગૌસનો નિયમ કોઈપણ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે સાચો છે,પરંતુ તે વિદ્યુતક્ષેત્રની 'સરળ' ગણતરી માટે ત્યારે જ ઉપયોગી છે જ્યારે વિદ્યુતભાર વિતરણમાં ઉચ્ચ કક્ષાની સંમિતિ (જેમ કે ગોલીય,નળાકાર અથવા સમતલીય સંમિતિ) હોય.
આવા કિસ્સાઓમાં,આપણે એવી ગૌસિયન સપાટી પસંદ કરી શકીએ છીએ જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અચળ હોય અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ તથા ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો કાં તો $0^{\circ}$ અથવા $90^{\circ}$ હોય,જે પૃષ્ઠ સંકલન $\oint E \cdot dA$ ને સરળ બનાવે છે.

(A) આપેલ છે:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 150 \,V/m$
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \,C^2/(N \cdot m^2)$
ગોળાકાર સપાટી માટે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$
વિદ્યુતભાર $q$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$q = E \cdot 4 \pi \varepsilon_0 R^2$
કિંમતો મૂકતા:
$q = 150 \times 4 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12} \times (6.4 \times 10^6)^2$
$q = 150 \times 4 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 40.96 \times 10^{12}$
$q \approx 6.8 \times 10^5 \,C$
આમ,પૃથ્વીની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર આશરે $6.8 \times 10^5 \,C$ છે.