Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવતા ગોળીય કવચ માટે,તમામ વિદ્યુતભાર તેની બહારની સપાટી પર રહેલો હોય છે.
તેથી,કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,અંદર રહેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = 0$ થાય છે.
પરિણામે,ગોળીય કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારિત વાહક માટે,સપાટીની બરાબર બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીને લંબ હોય છે.
વાહક પર $\sigma A$ વિદ્યુતભારને આવરી લેતી નાની નળાકાર ગોસિયન સપાટી પર ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી અને ક્ષેત્ર સપાટીને લંબ હોવાથી,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે અને અંદરની સપાટ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ પણ શૂન્ય છે.
આમ,$E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$,જેનું સાદું રૂપ $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે અને તે સપાટીને લંબ દિશામાં હોય છે.

(A) પોલા વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,પોલા વાહક કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ગોળાની અંદર દોરેલી કોઈપણ ગૌસિયન સપાટીની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી.
તેથી,ગોળાના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $0\,N/C$ થશે.

(C) $R$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળા માટે જેમાં કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ તેના કદમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલો છે,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ છે.
$r < R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગાઉસિયન સપાટી માટે ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંદરનો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = Q \cdot \frac{r^3}{R^3}$ થાય છે.
$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા મળે છે.
$E(4\pi r^2) = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{Q r}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$ મળે છે.
અહીં $Q$,$\varepsilon_0$,અને $R$ અચળાંક હોવાથી,$E \propto r$ સાબિત થાય છે.

(A) ભારિત વાહક માટે,સપાટીની બહારના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ગૌસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહકની સપાટી પરના નાના ક્ષેત્રફળ $A$ ને આવરી લેતી એક નાની ગૌસિયન પિલબોક્સ સપાટીનો વિચાર કરો.
વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ હોય છે.
સપાટીની બહારના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીને લંબ હોય છે.
ગૌસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
ક્ષેત્ર સપાટીને લંબ હોવાથી,$E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે (પ્રશ્નમાં $q$ તરીકે આપેલ છે).
આમ,$E = \frac{q}{\varepsilon_0}$ જે સપાટીને લંબ દિશામાં હોય છે.

(C) $\sigma$ જેટલી પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવતી એક અનંત પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ અને સમાન વીજભાર ધરાવતી બે સમાંતર પ્લેટો માટે,તેમની વચ્ચેના બિંદુએ દરેક પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ધારો કે પ્રથમ પ્લેટ ડાબી બાજુ અને બીજી પ્લેટ જમણી બાજુ છે. ડાબી પ્લેટનું ક્ષેત્ર જમણી તરફ $(E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0})$ અને જમણી પ્લેટનું ક્ષેત્ર ડાબી તરફ $(E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0})$ હોય છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$ થાય છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,પોલા વીજભારિત ગોળાકાર વાહક માટે,વીજભાર ફક્ત તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે.
પોલા ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,ગાઉસિયન સપાટીની અંદરનો કુલ વીજભાર શૂન્ય હોય છે $(q_{enclosed} = 0)$.
તેથી,અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enclosed}}{r^2} = 0$ થાય છે.

(C) વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ વાહક સપાટીની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ગોળાનું કેન્દ્ર વાહકની અંદર હોવાથી,કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નું મૂલ્ય $0 \ N/C$ થાય છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોસીયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા અવાહક ગોળા માટે,$r$ ત્રિજ્યા $(r < R)$ ધરાવતા ગોળાની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર ગોસીયન સપાટી માટે ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E \times (4 \pi r^2) = \frac{\rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)}{\varepsilon_0}$.
સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા:
$E = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{4 \pi r^2 \varepsilon_0}$.
$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$.

(B) અનંત રેખીય વીજભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $E = 7.182 \times 10^8 \, N/C$ અને $r = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,તેથી $\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} = 18 \times 10^9$.
રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ માટે સૂત્ર: $\lambda = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (1 / 4\pi\varepsilon_0)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{7.182 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-2}}{18 \times 10^9}$.
$\lambda = \frac{14.364 \times 10^6}{18 \times 10^9} = 0.798 \times 10^{-3} = 7.98 \times 10^{-4} \, C/m$.

(B) ધારો કે $T$ એ રેશમના દોરામાં તણાવ છે,$q$ એ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે,$m$ એ ગોળાનું દળ છે,અને $E$ એ મોટી વિદ્યુતભારીત પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરાની દિશામાં તણાવ $T$.
$2$. નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
$3$. પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં લાગતું વિદ્યુત બળ $qE$.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = qE$ (ક્ષૈતિજ ઘટક)
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ ઘટક)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{qE}{mg}$
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
મોટી વિદ્યુતભારીત વાહક પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{q}{mg} \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)$
અહીં $q, m, g,$ અને $\varepsilon_0$ અચળ હોવાથી:
$\tan \theta \propto \sigma$ અથવા $\sigma \propto \tan \theta$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારિત શીટ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ અને બહારની તરફ જતો એકમ સદિશ છે.
બિંદુ $P$ એ $Z = a$ અને $Z = 3a$ પરની શીટ્સની વચ્ચે આવેલું છે.
$1$. $Z = 3a$ પરની $\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે,$P$ પરનું ક્ષેત્ર નીચેની તરફ (ઋણ $Z$-દિશામાં) હશે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ પરની $-2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે,$P$ પરનું ક્ષેત્ર શીટ તરફ (નીચેની તરફ,ઋણ $Z$-દિશામાં) હશે: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ પરની $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે,$P$ પરનું ક્ષેત્ર શીટ તરફ (નીચેની તરફ,ઋણ $Z$-દિશામાં) હશે: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$.

(C) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત લંબાઈની પાતળી શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$+\sigma$ અને $-\sigma$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી બે સમાંતર પ્લેટો માટે,ધન વિદ્યુતભારિત પ્લેટનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે અને ઋણ વિદ્યુતભારિત પ્લેટનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે.
પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ) હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{|-\sigma|}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \text{ V/m}$.

(C) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ડાયલેક્ટ્રિક ગોળાની બહાર $r$ $(r > R)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{out} = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 20\, cm = 0.2\, m$ અને $E_{out} = 100\, V/m$ આપેલ છે, તેથી $100 = \frac{kQ}{(0.2)^2}$, જેનો અર્થ છે કે $kQ = 100 \times 0.04 = 4$.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ડાયલેક્ટ્રિક ગોળાની અંદર $x$ $(x < R)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{in} = \frac{kQx}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 10\, cm = 0.1\, m$ અને $x = 3\, cm = 0.03\, m$ આપેલ છે, કિંમતો મૂકતા:
$E_{in} = \frac{4 \times 0.03}{(0.1)^3} = \frac{0.12}{0.001} = 120\, V/m$.

(C) જુદા જુદા વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$1$. બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે: $E \propto 1/r^2$.
$2$. ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે: $E \propto 1/r^3$.
$3$. અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર માટે: $E \propto 1/r$.
$4$. અનંત સમતલ વિદ્યુતભારિત શીટ માટે: $E = \sigma / (2\varepsilon_0)$,જે અંતર $r$ થી સ્વતંત્ર છે. આને $E \propto r^0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,$\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$E \propto 1/r$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$+\sigma$ અને $-\sigma$ પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવતી બે સમાંતર શીટ્સ માટે,તેમની વચ્ચેના કોઈપણ બિંદુએ બંને શીટ્સના વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો એક જ દિશામાં (ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ) હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{total} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને શીટ્સથી અંતર પર આધારિત નથી.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\oint E \cdot ds = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈ અને એકમ લંબાઈ દીઠ $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા અનંત નળાકાર માટે,અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = ql$ થાય.
ગોસિયન સપાટી $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈનો નળાકાર છે,તેથી તેનું પૃષ્ઠફળ $2\pi rl$ થાય.
આમ,$E(2\pi rl) = \frac{ql}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0 r}$ મળે છે.
તેથી,વિદ્યુત તીવ્રતા $E$ એ $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{r}$.

(C) ધારો કે ગોળાની સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = \frac{3Q}{4\pi R^3}$ છે અને $E$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,જ્યાં $x < R$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગૌસિયન સપાટી માટે ગૌસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E \cdot 4\pi x^2 = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0} = \frac{\rho V'}{\varepsilon_0} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3}\pi x^3$
અહીં,$V' = \frac{4}{3}\pi x^3$ એ $x$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કદ છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} x$
અહીં $\rho$,$3$,અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,$E \propto x$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કેન્દ્રથી $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોસીયન સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$a < R < b$ માટે,ગોસીયન સપાટી ફક્ત $+3Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા નક્કર ધાતુના ગોળાને આવરી લે છે.
વાહક ગોળાકાર કવચને કારણે તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (એટલે કે $R < b$) વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{3Q}{R^2}$

(B) અનંત લંબાઈના તાર,જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_1$ છે,તેના દ્વારા $R$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2K\lambda_1}{R}$ છે.
બીજા તાર પર $l$ લંબાઈનો ખંડ ધ્યાનમાં લો,જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_2$ છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $Q = \lambda_2 l$ છે.
આ ખંડ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ દ્વારા લાગતું બળ $F_2 = Q E_1 = (\lambda_2 l) \frac{2K\lambda_1}{R}$ છે.
તેથી,પ્રતિ એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $\frac{F_2}{l} = \frac{2K\lambda_1\lambda_2}{R}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પ્રથમ તાર પર પ્રતિ એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ પણ મૂલ્યમાં સમાન જ હશે.

(D) અવાહક નક્કર ગોળા માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
ગોળાની અંદર $(r < R)$: $E = \frac{kQr}{R^3}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto r$. તેથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $E$ વધે છે.
ગોળાની બહાર $(r > R)$: $E = \frac{kQ}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$. તેથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ $E$ ઘટે છે.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = A r_0$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ છે અને $r_0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પર સમાન છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r_0^2$ છે.
ગોળામાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E \times S = (A r_0) \times (4\pi r_0^2) = 4\pi A r_0^3$ થાય.
ગોસના નિયમ સાથે સરખાવતા: $\frac{Q}{\varepsilon_0} = 4\pi A r_0^3$.
તેથી,સમાયેલ વિદ્યુતભાર $Q = 4\pi \varepsilon_0 A r_0^3$ મળે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાકાર વાહકને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. $r < R$ (વાહકની અંદર) માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ છે.
$2$. $r \ge R$ (વાહકની બહાર) માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
આમ,આલેખ $r < R$ માટે શૂન્ય ક્ષેત્ર અને $r \ge R$ માટે હાઇપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{inside} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto r$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \ge R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{outside} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$,જે વ્યસ્ત-વર્ગનો સંબંધ છે.
$3$. આ બંનેને જોડતા,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના વક્રને અનુસરીને ઘટે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) સામાન્ય કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
$1$. $x < r_A$ માટે: વાહક કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,$E = 0$.
$2$. $r_A < x < r_B$ માટે: માત્ર કવચ $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A$ ક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે. તેથી,$E = \frac{k Q_A}{x^2}$. આ એક ધન મૂલ્ય છે જે $x$ વધવાની સાથે ઘટે છે.
$3$. $x > r_B$ માટે: બંને વિદ્યુતભારો $Q_A$ અને $-Q_B$ ક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $(Q_A - Q_B)$ છે. કારણ કે $|Q_B| > |Q_A|$,કુલ વિદ્યુતભાર ઋણ છે. તેથી,$E = \frac{k(Q_A - Q_B)}{x^2}$. આ એક ઋણ મૂલ્ય છે જે $x \to \infty$ થતાં શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $x < r_A$ માટે $E=0$,$r_A < x < r_B$ માટે ધન $1/x^2$ વક્ર અને $x > r_B$ માટે ઋણ $1/x^2$ વક્ર દર્શાવે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોળીય સંમિત વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા મળે છે.
ગોળા માટે,$E(4\pi r^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr'$.
તેથી,$E = \frac{1}{\varepsilon_0 r^2} \int_0^r \rho_0 \left( \frac{5}{4} - \frac{r'}{R} \right) r'^2 dr'$.
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 r^2} \int_0^r \left( \frac{5}{4}r'^2 - \frac{r'^3}{R} \right) dr'$.
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 r^2} \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]$.
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 r^2} \left[ \frac{5r^3}{12} - \frac{r^4}{4R} \right]$.
$E = \frac{\rho_0 r}{\varepsilon_0} \left( \frac{5}{12} - \frac{r}{4R} \right) = \frac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0} \left( \frac{5}{4} - \frac{3r}{4R} \right)$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ઘન ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। અહીં $E \propto r$, તેથી જેમ $r$ વધે છે તેમ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખીય રીતે વધે છે।
$2$. ગોળાની બહાર $(r \ge R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। અહીં $E \propto \frac{1}{r^2}$, તેથી જેમ $r$ વધે છે તેમ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટે છે।
$3$. $r = R$ આગળ સાતત્ય: $r = R$ પાસે, $E_{in} = \frac{kQ}{R^2}$ અને $E_{out} = \frac{kQ}{R^2}$ થાય છે। $E_{in} = E_{out}$ હોવાથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટી પર સતત છે।
આમ, વિધાનો $(1)$, $(3)$ અને $(4)$ સાચા છે। આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $(1, 3)$ એ સૌથી યોગ્ય પસંદગી છે।

(C) શેલ પ્રમેય (shell theorem) મુજબ,સમાન વિદ્યુતભારિત ગોળીય કવચની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે કવચના વિવિધ ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રો અંદરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,અંદરના બિંદુ $P$ આગળ સમાન ઘનકોણ બનાવતા કોઈપણ બે નાના ખંડો $dq_1$ અને $dq_2$ માટે,તેમના દ્વારા $P$ આગળ ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,આ ખંડોને લીધે બિંદુ $P$ આગળ ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.

(B) સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળા માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$,જે દર્શાવે છે કે $E \propto r$.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$: $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$,જે દર્શાવે છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
આપેલ આલેખ દર્શાવે છે કે $E$ એ સપાટી સુધી $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે. આ વર્તણૂક સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત નક્કર ગોળા માટે લાક્ષણિક છે.

(B) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(x) = 4x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ છે.
તેથી,$E(x) = -\frac{d}{dx}(4x^2) = -8x$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $1 \ m$ બાજુવાળા ઘન માટે,સપાટીઓ $x = 0.5 \ m$ અને $x = -0.5 \ m$ પર છે.
$x = 0.5 \ m$ પર,$E = -8(0.5) = -4 \ V/m$. ક્ષેત્રફળ સદિશ બહારની તરફ હોવાથી,$\phi_1 = E \cdot A = (-4)(1^2) = -4 \ V \cdot m$.
$x = -0.5 \ m$ પર,$E = -8(-0.5) = 4 \ V/m$. ક્ષેત્રફળ સદિશ બહારની તરફ હોવાથી,$\phi_2 = E \cdot A = (4)(1^2) = 4 \ V \cdot m$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_1 + \phi_2 = -4 + 4 = 0$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$,તેથી $0 = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$,જેનો અર્થ છે કે $q_{enclosed} = 0$.

(A) કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r_1$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાવિષ્ટ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ એ કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho(r)$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$q_{enclosed} = \int_0^{r_1} \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$\rho(r) = \frac{Q}{\pi R^4} r$ મૂકતા:
$q_{enclosed} = \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) 4\pi r^2 dr = \frac{4Q}{R^4} \int_0^{r_1} r^3 dr$
$q_{enclosed} = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
હવે,$r_1$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર સપાટી માટે ગૌસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E(4\pi r_1^2) = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{Q r_1^4}{\epsilon_0 R^4}$.
$E$ માટે ઉકેલતા:
$E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \epsilon_0 r_1^2 R^4} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \epsilon_0 R^4}$.

(A) સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા અવાહક ગોળા માટે,$r < R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર ગૌસના નિયમ મુજબ $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ મળે છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$ છે.
કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_c = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને સપાટીથી કેન્દ્ર પર લઈ જવામાં આવે ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = q(V_c - V_s) = q(\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}) = q \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0}$ થાય છે.
આમ,વિધાન-$1$ પણ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે જ્યાં એક પ્લેટ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે અને બીજી પ્લેટ ગ્રાઉન્ડેડ છે,વિદ્યુતભારનું વિતરણ એવી રીતે થાય છે કે પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પર $+q$ અને બીજી પ્લેટની અંદરની સપાટી પર $-q$ વિદ્યુતભાર હોય છે. બહારની સપાટીઓ પર વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે.
$1$. બિંદુ $P$ પર (પ્લેટોની વચ્ચે): ધન વિદ્યુતભારિત પ્લેટને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભારિત પ્લેટને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે. બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે,તેથી ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોતું નથી.
$2$. બિંદુ $P_1$ પર (ગ્રાઉન્ડેડ પ્લેટની બહાર): ધન પ્લેટ અને ઋણ પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુત ક્ષેત્રો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે કારણ કે સિસ્ટમનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે,પરિણામે ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય મળે છે.
$3$. બિંદુ $P_2$ પર (ધન પ્લેટની બહાર): તેવી જ રીતે,ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુત ક્ષેત્રો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,પરિણામે ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય મળે છે.
તેથી,માત્ર બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.

(C) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત તાર અથવા પાઈપ માટે,જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ (અહીં એકમ લંબાઈ દીઠ $q$ આપેલ છે) હોય,તેના માટે આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પાઈપની અક્ષને સમાંતર $r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતી નળાકાર ગૌસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો.
ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot (2\pi r L)$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}$.
$E$ માટે સાદું રૂપ આપતા,આપણને $E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ મળે છે.
તેથી,$E \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) વિદ્યુતભારીત ગોળીય વાહક માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,વાહકની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $(r < R)$ માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = 0$ થાય છે.
તેથી,વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય $E = \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0 r^2} = 0$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતભારીત ગોળીય વાહકની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોળીય વિદ્યુતભાર વિતરણના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k q_{enclosed}}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિસ્તાર $a < R < b$ માટે,ગોસિયન સપાટી એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $R$ ત્રિજ્યાનો ગોળો છે.
આ ગોસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર ફક્ત નક્કર ધાતુના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે,જે $+3Q$ છે.
સુવાહક કવચ (વિદ્યુતભાર $-Q$) એ ગોસિયન સપાટીની બહાર છે,તેથી તે $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતું નથી.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{3Q}{R^2} = \frac{3Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ પ્લેટને લંબ એકમ સદિશ છે જે પ્લેટથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
બિંદુ $P$ એ $Z = a$ અને $Z = 3a$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
$1$. $Z = 3a$ પરની $\sigma$ ઘનતા ધરાવતી પ્લેટ માટે: બિંદુ $P$ તેની નીચે છે,તેથી ક્ષેત્ર નીચેની તરફ હશે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ પરની $-2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી પ્લેટ માટે: બિંદુ $P$ તેની ઉપર છે,તેથી ક્ષેત્ર પ્લેટ તરફ (નીચેની તરફ) હશે: $\vec{E}_2 = \frac{-2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ પરની $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી પ્લેટ માટે: બિંદુ $P$ તેની ઉપર છે,તેથી ક્ષેત્ર પ્લેટ તરફ (નીચેની તરફ) હશે: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
$P$ આગળ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ થાય.

(A) વાહક પ્લેટની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{|\sigma|}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈલેક્ટ્રોન પ્લેટ તરફ ગતિ કરે છે અને સપાટી પર અટકી જાય છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i = 0 - K = -K$.
પ્રારંભિક અંતર $d$ અને પ્લેટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -E \cdot d = -\frac{|\sigma|}{\epsilon_0} d$ છે.
ઈલેક્ટ્રોન પર થયેલ કાર્ય $W = q \Delta V = (-e) \left( -\frac{|\sigma|}{\epsilon_0} d \right) = \frac{e |\sigma| d}{\epsilon_0}$.
કાર્યને ગતિઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવતા: $K = \frac{e |\sigma| d}{\epsilon_0}$.
અહીં $K = 100 \ \text{eV} = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ \text{J}$,$|\sigma| = 2 \times 10^{-6} \ \text{C/m}^2$,અને $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2)$.
$100 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6}) \times d}{8.85 \times 10^{-12}}$.
$100 = \frac{2 \times 10^{-6} \times d}{8.85 \times 10^{-12}} \Rightarrow 100 = \frac{2 \times 10^6 \times d}{8.85}$.
$d = \frac{100 \times 8.85}{2 \times 10^6} = 4.425 \times 10^{-4} \ \text{m}$.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી એક અનંત વિદ્યુતભારિત તકતીને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \sigma / (2\epsilon_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$+\sigma$ અને $-\sigma$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી બે સમાંતર તકતીઓ માટે,તેમની વચ્ચેના વિસ્તારમાં બંને તકતીઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (ધન તકતીથી ઋણ તકતી તરફ) હોય છે.
તેથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ બંને તકતીઓના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E_{net} = E_+ + E_- = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$.
આમ,તકતીઓની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\sigma/\epsilon_0$ છે.

(C) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત નળાકારની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{\rho r}{2\epsilon_0}$ છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \rho (\pi R^2)$ હોવાથી,$\rho = \frac{\lambda}{\pi R^2}$ મળે.
આ કિંમતને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $E = \frac{\lambda r}{2\epsilon_0 \pi R^2}$.
અહીં $r = R/2$ આપેલ છે,તેથી: $E = \frac{\lambda (R/2)}{2\epsilon_0 \pi R^2} = \frac{\lambda R}{4\epsilon_0 \pi R^2} = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 R}$.

(C) સમાન મૂલ્ય અને વિરુદ્ધ નિશાની ધરાવતી પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $+\sigma$ અને $-\sigma$ વાળી બે સમાંતર તકતીઓ વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\sigma = 26.4 \times 10^{-12} \ C/m^2$ અને $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2/N \cdot m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{26.4 \times 10^{-12}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 2.98 \approx 3 \ N/C$.
આમ, તકતીઓ વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $3 \ N/C$ છે.

(B) બોલ $B$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ,વિદ્યુત બળ $qE$ પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં,અને દોરીમાં તણાવ બળ $T$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,બળોના ઘટકો લેતા:
$T \sin \theta = qE$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
મોટી વિદ્યુતભારીત પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
સમીકરણમાં $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{q}{mg} \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right)$
અહીં $q, m, g, \varepsilon_0$ અચળ હોવાથી:
$\sigma \propto \tan \theta$

(C) આપેલ છે: ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$,અંતર $r_1 = 20 \ cm$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = 100 \ V/m$,અને અંતર $r_2 = 3 \ cm$.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક ગોળા માટે:
ગોળાની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{kQ}{r_1^2}$ છે.
ગોળાની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{kQr_2}{R^3}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$kQ = E_1 \cdot r_1^2 = 100 \times (20 \times 10^{-2})^2 = 100 \times 0.04 = 4 \ V \cdot m$.
બીજા સમીકરણમાં $kQ$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = \frac{(kQ) \cdot r_2}{R^3} = \frac{4 \times (3 \times 10^{-2})}{(10 \times 10^{-2})^3} = \frac{0.12}{0.001} = 120 \ V/m$.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,બોલ $B$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીમાં તણાવ બળ $T$.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ જે તકતીથી દૂર સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
તણાવ બળ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = F_e = qE$ $(1)$
$T \cos \theta = mg$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{qE}{mg}$
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
મોટી વિદ્યુતભારીત વાહક તકતીને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{q \sigma}{mg \epsilon_0}$
$\sigma = \frac{mg \epsilon_0}{q} \tan \theta$
અહીં $m, g, \epsilon_0,$ અને $q$ અચળ હોવાથી:
$\sigma \propto \tan \theta$

(D) ભારિત વાહક પ્લેટની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{|\sigma|}{\in_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = e \frac{|\sigma|}{\in_0}$ છે.
ઈલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી (ઋણ પ્લેટ દ્વારા અપાકર્ષણ),તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_k$ એ અંતર $d$ કાપવા માટે વિદ્યુતબળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્યમાં વપરાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ:
$E_k = F \cdot d = (eE) \cdot d$
$E = \frac{|\sigma|}{\in_0}$ કિંમત મૂકતા:
$E_k = e \left( \frac{|\sigma|}{\in_0} \right) d$
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$d = \frac{E_k \in_0}{e|\sigma|}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) મોટી વિદ્યુતભારિત પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટ તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = F \cdot r = eE \cdot r$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટને અથડાય નહીં તે માટે,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા પ્લેટ સુધી પહોંચતા પહેલા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થવી જોઈએ. તેથી,$KE = eEr$.
$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $KE = e \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right) r$ મળે છે.
$r$ ને કર્તા બનાવતા: $r = \frac{2 \cdot KE \cdot \varepsilon_0}{e \cdot \sigma}$.
અહીં $KE = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$,$\sigma = 2 \times 10^{-6} \ C/m^2$,અને $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ છે.
$r = \frac{2 \times 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 8.854 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{400 \times 8.854 \times 10^{-12}}{2 \times 10^{-6}} = 200 \times 8.854 \times 10^{-6} \ m = 1770.8 \times 10^{-6} \ m \approx 1.77 \times 10^{-3} \ m = 1.77 \ mm$.

(D) વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચ માટે, બહારના વિસ્તારમાં $(r > R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{out} = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$ અંતરે $E_{out} = 100 \ V/m$ આપેલ છે, તેથી $100 = \frac{kQ}{(0.2)^2}$, જેનો અર્થ છે કે $kQ = 100 \times 0.04 = 4 \ V \cdot m$.
વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચની અંદરના વિસ્તારમાં $(r < R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે કવચની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી, એટલે કે $E_{in} = 0 \ V/m$.
અહીં $3 \ cm < 10 \ cm$ હોવાથી, આ બિંદુ કવચની અંદર આવેલું છે.
તેથી, $3 \ cm$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $0 \ V/m$ થશે.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘન માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 x \hat{i}$ છે.
ડાબી બાજુ (જ્યાં $x = x_0$) માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_L = \vec{E} \cdot \vec{A}_L = (E_0 x_0 \hat{i}) \cdot (-a^2 \hat{i}) = -E_0 x_0 a^2$ છે.
જમણી બાજુ (જ્યાં $x = x_0 + a$) માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_R = \vec{E} \cdot \vec{A}_R = (E_0 (x_0 + a) \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i}) = E_0 (x_0 + a) a^2$ છે.
અન્ય તમામ બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ક્ષેત્રફળ સદિશને લંબ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_L + \phi_R = -E_0 x_0 a^2 + E_0 x_0 a^2 + E_0 a^3 = E_0 a^3$ છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
તેથી,$q_{enclosed} = \varepsilon_0 \phi_{net} = \varepsilon_0 E_0 a^3$.

(D) ધારો કે $\phi_A, \phi_B,$ અને $\phi_C$ એ અનુક્રમે સપાટી $A, B,$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\varepsilon_0}$ થાય.
નળાકારની સંમિતિને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ સમાન હોય છે,તેથી $\phi_A = \phi_C$.
આ કિંમત ગૌસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2\phi_A + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે,તેથી $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.