Electric Field Questions in Gujarati

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(E)$,સ્થિતિમાન $(V)$ અને અંતર $(x)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = -\frac{dV}{dx}$.
અહીં,$dV$ એ સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર છે જે $Volt$ $(V)$ માં માપવામાં આવે છે અને $dx$ એ અંતરમાં થતો ફેરફાર છે જે $metre$ $(m)$ માં માપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાનો એકમ $Volt/metre$ $(V/m)$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને એકમ ધન વિદ્યુતભાર દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ $N C^{-1}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે $(V = W/q)$,તેથી તેનો એકમ $J C^{-1}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$E = -dV/dr$,જે $V m^{-1}$ એકમ આપે છે.
$V m^{-1}$ માં $V = J C^{-1}$ મૂકતા,આપણને $J C^{-1} m^{-1}$ મળે છે.
તેથી,$N C^{-1}$,$V m^{-1}$,અને $J C^{-1} m^{-1}$ એ બધા વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે માન્ય એકમો છે.
$J C^{-1}$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો એકમ છે,વિદ્યુતક્ષેત્રનો નહીં.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ જાય છે.
ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે અને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અંદરની તરફ જાય છે.
તેથી,ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભારની આસપાસની વિદ્યુત બળરેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી અને અંદરની તરફ હોય છે.

(B) ધારો કે $r$ એ દરેક શિરોબિંદુથી સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો અદિશ સરવાળો છે:
$V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r}(2q - q - q) = 0$.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. કારણ કે વિદ્યુતભારોનું મૂલ્ય સમાન નથી અને તેઓ એવી રીતે ગોઠવાયેલા નથી કે જેથી તેમના સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરે,તેથી કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય નથી.
આમ,ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી પરંતુ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણ $ABC$ સમબાજુ હોવાથી અને દરેક ખૂણા પર સમાન વિદ્યુતભારો $(+q)$ હોવાથી,દરેક ખૂણાથી મધ્યકેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર સમાન $(r)$ છે.
તેથી,દરેક વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_A = E_B = E_C = E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ થશે.
આ ત્રણેય વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો વિદ્યુતભારોથી દૂરની દિશામાં (ખૂણાઓથી બહારની તરફ) અને એકબીજા સાથે $120^\circ$ ના ખૂણે ગોઠવાયેલા છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$.
સદિશોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને તેઓ $120^\circ$ ના ખૂણે સપ્રમાણ રીતે વહેંચાયેલા હોવાથી,તેમનું પરિણામી મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે.
આમ,$O$ બિંદુએ વિદ્યુત તીવ્રતા શૂન્ય છે.

(B) $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર $E$ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = eE$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ વિદ્યુત બળ ઇલેક્ટ્રોનના વજન જેટલું હોવું જોઈએ,જે $F_g = mg$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ બંને બળોને સરખાવતા: $eE = mg$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $E = \frac{mg}{e}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ભારિત ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = 9 \times 10^9 \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$E = 3 \times 10^6 \ V/m$ અને વ્યાસ $d = 5 \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2.5 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$3 \times 10^6 = 9 \times 10^9 \times \frac{q}{(2.5)^2}$
$q = \frac{3 \times 10^6 \times 6.25}{9 \times 10^9}$
$q = \frac{18.75 \times 10^6}{9 \times 10^9} = 2.0833 \times 10^{-3} \ C$.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર પર ઇન્સ્યુલેશન તૂટી જતું હોવાથી,મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q$ આશરે $2 \times 10^{-3} \ C$ હોવો જોઈએ.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q_1 = 25\,\mu C$ અને $Q_2 = 36\,\mu C$ છે,જે $x = 11\,cm$ ના અંતરે આવેલા છે.
ધારો કે બિંદુ $N$ એ $Q_1$ થી $x_1$ અંતરે આવેલું છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે.
બિંદુ $N$ પર,$Q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $(E_1)$ એ $Q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય $(E_2)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$|E_1| = |E_2|$
$\frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{(x - x_1)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{Q_1}}{x_1} = \frac{\sqrt{Q_2}}{x - x_1}$
$x_1 = \frac{x \sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_1} + \sqrt{Q_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_1 = \frac{11 \times \sqrt{25}}{\sqrt{25} + \sqrt{36}} = \frac{11 \times 5}{5 + 6} = \frac{55}{11} = 5\,cm$.
આમ,$25\,\mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $5\,cm$ ના અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે.

(C) વિદ્યુતભાર $q$ સંતુલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ને વિદ્યુતભાર $Q_2 = +e$ થી $x_2$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
તો વિદ્યુતભાર $Q_1 = +4e$ થી તેનું અંતર $x_1 = x - x_2$ થશે.
સંતુલન માટે, $Q_1$ ને કારણે લાગતા બળનું મૂલ્ય અને $Q_2$ ને કારણે લાગતા બળનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$|F_1| = |F_2|$
$\frac{k \cdot q \cdot e}{x_2^2} = \frac{k \cdot q \cdot 4e}{(x - x_2)^2}$
$\frac{1}{x_2^2} = \frac{4}{(x - x_2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x_2} = \frac{2}{x - x_2}$
$x - x_2 = 2x_2$
$x = 3x_2$
$x_2 = x/3$
આમ, વિદ્યુતભાર $q$ ને $+e$ વિદ્યુતભારથી $x/3$ અંતરે મૂકવો જોઈએ.

(D) ધારો કે વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $x$ અંતરે આવેલા છે. $A$ (જ્યાં $Q$ છે) પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $B$ પરના $-3Q$ વિદ્યુતભારને કારણે છે.
$E = \frac{k| -3Q |}{x^2} = \frac{3kQ}{x^2}$.
હવે,$B$ (જ્યાં $-3Q$ છે) પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $A$ પરના $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે છે.
$E' = \frac{k|Q|}{x^2} = \frac{kQ}{x^2}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $E' = \frac{E}{3}$ મળે છે.
બંને ક્ષેત્રો $AB$ રેખાની દિશામાં હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $E/3$ થશે.

(C) ગોળાકાર વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q = ne$ એ કુલ વિદ્યુતભાર છે.
$Q = ne$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{ne}{r^2}$ મળે છે.
$n$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$n = \frac{E r^2}{e} \cdot (4\pi\varepsilon_0) = \frac{E r^2}{k e}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
આપેલ છે: $E = 0.036\,N/C$,$r = 0.1\,m$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{0.036 \times (0.1)^2}{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$n = \frac{0.036 \times 0.01}{14.4 \times 10^{-10}} = \frac{0.00036}{14.4 \times 10^{-10}} = \frac{3.6 \times 10^{-4}}{14.4 \times 10^{-10}} = 0.25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^5$.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = q\vec{E} \cdot \vec{d} = qEd \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,$q = 0.2\,C$,$d = 2\,m$,$\theta = 60^\circ$,અને $W = 4.0\,J$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4.0 = 0.2 \times E \times 2 \times \cos(60^\circ)$
$4.0 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4.0 = 0.2 \times E$
$E = \frac{4.0}{0.2} = 20\,N/C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડ્યુટેરોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ છે.
અંતર $r = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,\text{m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{(10^{-10})^2}$
$E = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-10}}{10^{-20}}$
$E = 14.4 \times 10^{10}\,\text{N/C} = 1.44 \times 10^{11}\,\text{N/C}$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના સમીકરણને વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V}{E} = \frac{kQ/r}{kQ/r^2} = r$.
અહીં $V = 3000\,V$ અને $E = 500\,V/m$ આપેલ છે,તેથી:
$r = \frac{3000}{500} = 6\,m$.
આમ,અંતર $6\,m$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times {10^{ - 19}} \ C$
અંતર $r = {10^{ - 10}} \ m$
કુલંબનો અચળાંક $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times {10^9} \ N \cdot m^2/C^2$
કિંમતો મૂકતા:
$E = (9 \times {10^9}) \times \frac{1.6 \times {10^{ - 19}}}{({10^{ - 10}})^2}$
$E = 9 \times 1.6 \times {10^9} \times {10^{ - 19}} \times {10^{20}}$
$E = 14.4 \times {10^{10}} \ N/C$
$E = 1.44 \times {10^{11}} \ N/C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$.
આપેલ છે: $E = 2\,N/C$,$r = 30\,cm = 0.3\,m$,અને $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
$q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $q = E \cdot r^2 \cdot (4\pi \varepsilon_0) = \frac{E \cdot r^2}{1/(4\pi \varepsilon_0)}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{2 \times (0.3)^2}{9 \times 10^9} = \frac{2 \times 0.09}{9 \times 10^9} = \frac{0.18}{9 \times 10^9} = 0.02 \times 10^{-9}\,C = 2 \times 10^{-11}\,C$.

(C) ધારો કે $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. મધ્યબિંદુ $O$ દરેક વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે છે.
$1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: બિંદુ $O$ પરનું સ્થિતિમાન બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
$V = V_+ + V_- = \frac{kq}{r} + \frac{k(-q)}{r} = 0$.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$: $+q$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $+q$ થી દૂર (જમણી તરફ) છે,અને $-q$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $-q$ ની તરફ (તે પણ જમણી તરફ) છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,તેમનો સરવાળો થાય છે:
$E = E_+ + E_- = \frac{kq}{r^2} + \frac{kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2} \neq 0$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય નથી,પરંતુ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(C) અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$. બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $C$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_A = k \frac{q}{a^2}$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $E_B = k \frac{q}{a^2}$ છે.
$ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,સદિશો $\vec{E}_A$ અને $\vec{E}_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ નું મૂલ્ય સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E_{net} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2E_A E_B \cos 60^\circ}$
$E_A = E_B = E$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E_{net} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2E^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{2E^2 + 2E^2(0.5)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a^2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E_{net} = \frac{\sqrt{3} q}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$

(A) કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $(E)$ એટલે તે બિંદુએ મૂકેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $(q_0)$ પર લાગતું બળ $(F)$.
ગાણિતિક રીતે,તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{F}{q_0}$.
બળ $(F)$ નો $SI$ એકમ $Newton$ $(N)$ છે અને વિદ્યુતભાર $(q_0)$ નો $SI$ એકમ $Coulomb$ $(C)$ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનો એકમ $Newton/Coulomb$ $(N/C)$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a = 5 \times 10^{-2} \, m$ છે. દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ વિદ્યુતભારોના કારણે કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ સરવાળા દ્વારા મેળવતા:
$E_{net} = \frac{kq}{r^2} \times \sqrt{2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times \sqrt{2}}{(5 \times 10^{-2} / \sqrt{2})^2} = 2.04 \times 10^7 \, N/C$ (ઉપરની તરફ).

(C) ધારો કે તટસ્થ બિંદુ $20\,\mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $x$ (સેમીમાં) અંતરે આવેલું છે.
તટસ્થ બિંદુ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવું જોઈએ.
$E = \frac{kq}{r^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{k \cdot 20 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{k \cdot 80 \times 10^{-6}}{(10 - x)^2}$
$\frac{20}{x^2} = \frac{80}{(10 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{20}}{x} = \frac{\sqrt{80}}{10 - x}$
$\frac{1}{x} = \frac{2}{10 - x}$
$10 - x = 2x$
$3x = 10$
$x = \frac{10}{3} \approx 3.33\,cm$
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $x = 0.033\,m$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$.
આપેલ કિંમતો $E = 2 \, N/C$,$r = 60 \, cm = 0.6 \, m$,અને $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{(0.6)^2}$
$2 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{0.36}$
$Q = \frac{2 \times 0.36}{9 \times 10^9}$
$Q = \frac{0.72}{9 \times 10^9} = 0.08 \times 10^{-9} \, C = 8 \times 10^{-11} \, C$.
આમ,બિંદુવત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-11} \, C$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $E = 500\, N/C$,$r = 3\, m$,અને $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$500 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{3^2}$
$500 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{9}$
$500 = 10^9 \cdot Q$
$Q = \frac{500}{10^9} = 5 \times 10^{-7}\, C$.
આને માઇક્રોકુલંબ $(\mu C)$ માં ફેરવવા માટે $10^6$ વડે ગુણતા:
$Q = 5 \times 10^{-7} \times 10^6\, \mu C = 0.5\, \mu C$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{kQ}{r^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે:
$Q = 5\, \mu C = 5 \times 10^{-6}\, C$
$r = 80\, cm = 0.8\, m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{(0.8)^2}$
$E = \frac{45 \times 10^3}{0.64}$
$E = 70.3125 \times 10^3\, N/C$
$E \approx 7.03 \times 10^4\, N/C$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારો $q$ છે. કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે છે.
ધારો કે $\vec{E_A}$,$\vec{E_B}$ અને $\vec{E_C}$ એ અનુક્રમે $A$,$B$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે $M$ પર ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો છે.
$B$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E_B}$ એ $B$ થી દૂર $BM$ ની દિશામાં છે,અને $C$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $\vec{E_C}$ એ $C$ થી દૂર $MC$ ની દિશામાં છે.
જેમ કે $MB = MC$ અને વિદ્યુતભારો સમાન છે,તેથી $|\vec{E_B}| = |\vec{E_C}|$. આ બંને સદિશો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(\vec{E_B} + \vec{E_C} = 0)$.
તેથી $M$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E_{net}} = \vec{E_A} + \vec{E_B} + \vec{E_C} = \vec{E_A}$ થશે.
ક્ષેત્ર $\vec{E_A}$ એ $A$ પરના વિદ્યુતભારથી દૂર $M$ તરફની દિશામાં છે. આપેલી સદિશ આકૃતિ જોતા,આ દિશા સદિશ $2$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = +5\,\mu C$ અને $q_B = +10\,\mu C$ બિંદુઓ $A$ અને $B$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જે $d = 20\,cm = 0.2\,m$ ના અંતરે છે.
મધ્યબિંદુ $M$ બંને વિદ્યુતભારોથી $r = 10\,cm = 0.1\,m$ ના અંતરે છે.
$q_A$ ને કારણે $M$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A$ એ $A$ થી દૂર ( $B$ તરફ) ની દિશામાં છે:
$E_A = \frac{k|q_A|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 45 \times 10^5\,N/C = 4.5 \times 10^6\,N/C$.
$q_B$ ને કારણે $M$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B$ એ $B$ થી દૂર ($A$ તરફ) ની દિશામાં છે:
$E_B = \frac{k|q_B|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 90 \times 10^5\,N/C = 9.0 \times 10^6\,N/C$.
$E_A$ અને $E_B$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = |E_B - E_A| = 9.0 \times 10^6 - 4.5 \times 10^6 = 4.5 \times 10^6\,N/C$.
$E_B > E_A$ હોવાથી,પરિણામી ક્ષેત્ર $E_B$ ની દિશામાં એટલે કે $+5\,\mu C$ વિદ્યુતભાર તરફ હશે.

(C) ધારો કે બિંદુ $N$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે, જે વિદ્યુતભાર $A$ $(Q_1 = 10 \, \mu C)$ થી $x_1$ અંતરે અને વિદ્યુતભાર $B$ $(Q_2 = 20 \, \mu C)$ થી $x_2$ અંતરે છે.
કુલ અંતર $x = x_1 + x_2 = 80 \, cm$ આપેલ છે.
બિંદુ $N$ પર, $A$ અને $B$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ:
$|E_A| = |E_B| \implies \frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{x_2^2}$
$\frac{Q_1}{x_1^2} = \frac{Q_2}{(x - x_1)^2} \implies \frac{x - x_1}{x_1} = \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}$
$\frac{x}{x_1} - 1 = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2} \approx 1.414$
$\frac{80}{x_1} = 1.414 + 1 = 2.414$
$x_1 = \frac{80}{2.414} \approx 33.14 \, cm$.

(B) નિયમિત ષટ્કોણના કેન્દ્ર પર શિરોબિંદુ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,તમામ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કિસ્સા $(1)$ માં,બધા વિદ્યુતભારો સમાન છે,તેથી વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓથી ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,પરિણામે $E_{net} = 0$ મળે છે.
કિસ્સા $(2)$ માં,બે વિદ્યુતભારો $q$ ને બદલે $-q$ છે. આ એક અસંતુલિત ક્ષેત્ર બનાવે છે. ખાસ કરીને,$-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત થાય છે,જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો વિદ્યુતભારથી દૂર નિર્દેશિત થાય છે. આના પરિણામે શૂન્યતર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_{net} \neq 0)$ મળે છે.
કિસ્સા $(3)$ માં,વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ પર સમાન વિદ્યુતભારો ($2q, q, 2q$ એક બાજુ અને $2q, q, 2q$ બીજી બાજુ) છે,તેથી ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,પરિણામે $E_{net} = 0$ મળે છે.
કિસ્સા $(4)$ માં,ગોઠવણી એવી રીતે સમપ્રમાણ છે કે કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે $(E_{net} = 0)$.
તેથી,માત્ર કિસ્સા $(2)$ માં કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.

(C) સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા ધાતુના વાહક માટે,સમગ્ર કદ એક સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતો વિસ્તાર છે અને વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની સપાટી પર દરેક બિંદુએ લંબ હોવી જોઈએ,તેથી સાચું વિધાન એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સમઘનની સપાટીને લંબ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \frac{Q}{r^2}$.
આપેલ છે: $E = 1\, N/C$ અને $r = 0.1\, m$.
$Q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $Q = \frac{E \times r^2}{9 \times 10^9}$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{1 \times (0.1)^2}{9 \times 10^9} = \frac{0.01}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-11} = 0.111 \times 10^{-11} = 1.11 \times 10^{-12}\, C$.
તેથી,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $1.11 \times 10^{-12}\, C$ છે.

(B) ધારો કે દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = kQ/r^2$ છે. ધારો કે $E = kq/r^2$.
કેન્દ્ર $O$ પર:
$A$ પરના $q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = E$ ($AO$ ની દિશામાં).
$B$ પરના $2q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = 2E$ ($BO$ ની દિશામાં).
$C$ પરના $3q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C = 3E$ ($OC$ ની દિશામાં).
$D$ પરના $4q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_D = 4E$ ($OD$ ની દિશામાં).
વિકર્ણ $AC$ પરનું પરિણામી ક્ષેત્ર: $E_{AC} = E_C - E_A = 3E - E = 2E$ ($OC$ ની દિશામાં).
વિકર્ણ $BD$ પરનું પરિણામી ક્ષેત્ર: $E_{BD} = E_D - E_B = 4E - 2E = 2E$ ($OD$ ની દિશામાં).
$90^{\circ}$ ના ખૂણે કાર્યરત બે સમાન ક્ષેત્રો $2E$ નું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$,$OC$ અને $OD$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હશે. આ દિશા $O$ થી $AB$ બાજુ તરફની છે,જે $CB$ ને સમાંતર છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ છે.
બધા વિદ્યુતભારો ધન છે અને ધન $X$-અક્ષ પર આવેલા હોવાથી,ઉગમબિંદુ પરના તમામ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો ઋણ $X$-દિશામાં હશે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E_{net} = \sum \frac{kq}{x_i^2} = kq \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right)$
$E_{net} = kq \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$E_{net} = (9 \times 10^9) \times q \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^9 q \, N/C$.

(A) ચોરસના ખૂણાઓ પર રહેલા ચાર ધન વિદ્યુતભારો $(Q)$ $Z$-અક્ષ પર કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે।
$Z$-અક્ષ પર $z$ જેટલા નાના અંતરે મૂકવામાં આવેલા ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ પર લાગતું પરિણામી સ્થિત-વિદ્યુત બળ ચોરસ ફ્રેમના કેન્દ્ર તરફ હોય છે।
નાના $z$ માટે આ બળનું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $z$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $F \propto -z$)।
આ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે। જેમ ઋણ વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર તરફ આકર્ષાય છે, તેમ તે પ્રવેગિત થાય છે। જ્યારે તે કેન્દ્ર (ફ્રેમના સમતલ) પર પહોંચે છે, ત્યારે પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ તેના પ્રાપ્ત વેગ (જડત્વ) ને કારણે, તે કેન્દ્રને ઓળંગીને બીજી બાજુ જાય છે।
ત્યારબાદ પુનઃસ્થાપક બળ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે, જે તેને ધીમું પાડે છે જ્યાં સુધી તે અટકે નહીં અને ફરી પાછું ખેંચાય નહીં।
આમ, ઋણ વિદ્યુતભાર ફ્રેમના કેન્દ્રની આસપાસ $Z$-અક્ષ પર સરળ આવર્ત ગતિ (દોલનો) કરે છે।

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એવા માર્ગો છે જેની સાથે મુક્ત ધન વિદ્યુતભાર ગતિ કરે છે.
કણ $(1, 0)$ પર સ્થિત હોવાથી,જે ${x^2} + {y^2} = 1$ સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી તે ક્ષેત્ર રેખા પર સ્થિત છે.
આથી,કણ ક્ષેત્ર રેખાની સાથે ગતિ કરશે,જે એક વર્તુળ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) જ્યારે ધન વીજભારિત દડાની નજીક ધન પરીક્ષણ વીજભાર $q_0$ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણને કારણે દડા પરના વીજભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, દડા પરના વીજભાર $q_0$ થી દૂર ધકેલાય છે, જેના પરિણામે $q_0$ ની સામેની બાજુએ વીજભારની ઘનતા ઓછી થાય છે અને વિરુદ્ધ બાજુએ વીજભારની ઘનતા વધે છે.
દડા પરના વીજભારનું વિતરણ બદલાતું હોવાથી, દડા અને પરીક્ષણ વીજભાર $q_0$ વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$, જો વીજભારનું વિતરણ સમાન રહેત તો જે બળ હોત તેના કરતા ઘટી જાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની વ્યાખ્યા મુજબ, જ્યારે $q_0$ શૂન્યની નજીક જાય ત્યારે એકમ વીજભાર દીઠ બળ $(E = \lim_{q_0 \to 0} F/q_0)$, તેથી મર્યાદિત પરીક્ષણ વીજભાર સાથે માપવામાં આવેલ $F/q_0$ નું મૂલ્ય વાસ્તવિક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ કરતા ઓછું હશે.
તેથી, $E > F/q_0$.

(D) વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અનુક્રમે $E = \frac{kq}{r^2}$ અને $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેহেতু $E$ અને $V$ બંને માત્ર ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,જો વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોય $(|\overrightarrow{E}_1| = |\overrightarrow{E}_2|)$,તો કેન્દ્રથી બિંદુઓનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ $(r_1 = r_2)$.
જો $r_1 = r_2$ હોય,તો આ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન પણ સમાન હોવા જોઈએ $(V_1 = V_2)$.
તેથી,બે બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોય અને તે જ બિંદુઓ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન અલગ હોય તે શક્ય નથી.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ શક્ય નથી.

(C) ઉગમબિંદુ પર $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
વિદ્યુતભારોના ચિહ્નો એકાંતરે બદલાતા હોવાથી,$x = 0$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E = k \cdot q \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \right]$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -1/4$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
$E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 9 \times 10^4 \times 4 = 36 \times 10^4 \, N/C$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુથી ઋણ $X$-અક્ષ પર $d$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે. બિંદુ $P$ નું $+Q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(a + d)$ છે અને $-2Q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(2a + d)$ છે.
બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{kQ}{(a + d)^2} = \frac{k(2Q)}{(2a + d)^2}$
$\frac{1}{(a + d)^2} = \frac{2}{(2a + d)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{a + d} = \frac{\sqrt{2}}{2a + d}$
$2a + d = \sqrt{2}(a + d)$
$2a + d = \sqrt{2}a + \sqrt{2}d$
$d(\sqrt{2} - 1) = a(2 - \sqrt{2})$
$d = \frac{a(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{2} - 1} = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}a$
બિંદુ $P$ ઋણ $X$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો યામ $x = -\sqrt{2}a$ થશે.

(C) ધારો કે બે સમાન વિદ્યુતભારો $q$ એ $x$-અક્ષ પર $0$ અને $d$ સ્થાન પર છે.
પ્રથમ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{kq}{x^2} - \frac{kq}{(d-x)^2}$
મધ્યબિંદુ $x = d/2$ પર, $E = \frac{kq}{(d/2)^2} - \frac{kq}{(d/2)^2} = 0$ થાય છે.
$x < d/2$ માટે, પ્રથમ પદ $\frac{kq}{x^2}$ એ બીજા પદ $\frac{kq}{(d-x)^2}$ કરતા મોટું છે, તેથી $E$ ધન છે.
$x > d/2$ માટે, બીજું પદ મોટું છે, તેથી $E$ ઋણ છે.
જેમ $x \to 0$, તેમ $E \to \infty$. જેમ $x \to d$, તેમ $E \to -\infty$.
જે વક્ર $x = d/2$ પર શૂન્ય તરફ ઘટતી ધન કિંમત દર્શાવે છે અને ત્યારબાદ ઋણ બનીને વધુ ઘટે છે, તે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ ગ્રાફ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(B) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 250 \, V$
અંતર $d = 2.5 \, cm = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{250}{2.5 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{250}{0.025} = 10000 \, V/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે ઋણ વિદ્યુતભારીત કણ $P$ પર છે,જ્યાં $OP = Z_0$ છે.
રીંગને કારણે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q Z_0}{(R^2 + Z_0^2)^{3/2}}$ છે,જ્યાં $Q$ એ રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર છે.
રીંગ ધન વિદ્યુતભારીત હોવાથી,$E$ હંમેશા $O$ થી દૂરની દિશામાં હોય છે.
પરિણામે,ઋણ વિદ્યુતભારીત કણ પર $O$ તરફ આકર્ષી બળ લાગે છે અને તે આવર્તી ગતિ કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ $ma = -\frac{q Q Z_0}{4 \pi \epsilon_0 (R^2 + Z_0^2)^{3/2}}$ છે.
જ્યારે $Z_0 \ll R$ હોય,ત્યારે સમીકરણ $ma \approx -\frac{Q q Z_0}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ બને છે. અહીં પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $Z_0$ ના સમપ્રમાણમાં અને $O$ તરફ હોવાથી,કણ અંદાજિત સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા $O$ થી દૂરની દિશામાં હોવાથી,જ્યારે કણ $P$ એ $O$ ને ઓળંગે છે,ત્યારે તેના પર વિરુદ્ધ દિશામાં આકર્ષી બળ લાગે છે,જેના કારણે તે $Z = -\infty$ તરફ જવાને બદલે દોલનો કરે છે.

(B) અનંત લંબાઈના તાર કે જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_1$ છે,તેનાથી $R$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda_1}{2\pi\epsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા બીજા તાર (જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda_2$ છે) પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \lambda_2 E$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \lambda_2 \left( \frac{\lambda_1}{2\pi\epsilon_0 R} \right) = \frac{\lambda_1\lambda_2}{2\pi\epsilon_0 R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,તેથી $2k = \frac{2}{4\pi\epsilon_0} = \frac{1}{2\pi\epsilon_0}$.
આમ,$f = \frac{2k\lambda_1\lambda_2}{R}$.

(D) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ ની ઊર્જા ઘનતા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$
જ્યાં:
$u$ એ ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) છે,
$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,
$E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઊર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યના વર્ગ $(E^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ છે,જ્યાં દરેક ખૂણા પર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ મૂકેલા છે.
ધારો કે ચોરસનું કેન્દ્ર $O$ છે.
દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર સમાન છે,ધારો કે તે $r$ છે.
ખૂણા $A$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}_A$ છે,જે વિકર્ણ $AC$ પર $A$ થી દૂરની દિશામાં છે.
તે જ રીતે,સામેના ખૂણા $C$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}_C$ છે,જે વિકર્ણ $AC$ પર $C$ થી દૂરની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભારો સમાન હોવાથી અને અંતર સમાન હોવાથી,તેમના મૂલ્યો સમાન છે: $|\vec{E}_A| = |\vec{E}_C| = E$.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરતા હોવાથી,$\vec{E}_A + \vec{E}_C = 0$ થાય.
તે જ રીતે,ખૂણા $B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારો માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રો $\vec{E}_B$ અને $\vec{E}_D$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે,તેથી $\vec{E}_B + \vec{E}_D = 0$ થાય.
કેન્દ્ર આગળ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D = 0$ થશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વિદ્યુતક્ષેત્રની પ્રબળતા અથવા મૂલ્ય વિશે માહિતી આપે છે.
રેખાઓની વધુ ઘનતા પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્ર સૂચવે છે,જ્યારે ઓછી ઘનતા નિર્બળ ક્ષેત્ર સૂચવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $A$ અને $C$ આગળ ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા સમાન છે અને તે બિંદુ $B$ આગળની ઘનતા કરતા વધારે છે.
તેથી,$A$ અને $C$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રની પ્રબળતા સમાન છે અને બંને $B$ આગળની વિદ્યુતક્ષેત્રની પ્રબળતા કરતા વધારે છે.
આમ,$E_A = E_C > E_B$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ એ કોઈ બિંદુએ લાગતા એકમ ધન વિદ્યુતભાર દીઠ બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 500 \,\mu C = 500 \times 10^{-6} \,C$
બળ $F = 562.5 \,N$
સૂત્ર $E = \frac{F}{q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{562.5}{500 \times 10^{-6}}$
$E = \frac{562.5}{5 \times 10^{-4}}$
$E = 112.5 \times 10^4 \,N/C$
$E = 1.125 \times 10^6 \,N/C$
આમ, સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $1.125 \times 10^6 \,N/C$ છે.

(C) સંતુલન માટે,વિદ્યુત બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $QE = mg$ ... $(1)$
અહીં,$Q = e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$g = 10 \, m/s^2$,અને દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$.
આપેલ છે કે $r = 0.1 \, \mu m = 10^{-7} \, m$ અને પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^3$.
$m = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-7})^3 \times 1000 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 10^{-21} \times 10^3 = 4.187 \times 10^{-18} \, kg$.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{mg}{Q} = \frac{4.187 \times 10^{-18} \times 10}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{4.187 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2.617 \times 10^2 \approx 262 \, N/C$.

(C) $R$ ત્રિજ્યાની વિદ્યુતભારીત રીંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{kQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
આકૃતિ પરથી,રીંગના પરીઘથી બિંદુ સુધીનું અંતર $r$ એ ત્રિજ્યા $R$ અને અક્ષીય અંતર $x$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. તેથી,$r^2 = R^2 + x^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = (r^2 - R^2)^{1/2}$.
આ કિંમતને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{(r^2)^{3/2}}$
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{r^3}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $Q_1 = 10 \, \mu C$ અને $Q_2 = 20 \, \mu C$ વિદ્યુતભારો વચ્ચે $x = 80 \, cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ $N$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
બિંદુ $N$ પર,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $|E_1| = |E_2|$.
$\frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{(x - x_1)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{Q_1}}{x_1} = \frac{\sqrt{Q_2}}{x - x_1}$
$x - x_1 = x_1 \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}$
$x = x_1 (1 + \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}})$
$x_1 = \frac{x}{1 + \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}} = \frac{80}{1 + \sqrt{\frac{20}{10}}} = \frac{80}{1 + \sqrt{2}} = \frac{80}{1 + 1.414} = \frac{80}{2.414} \approx 33.14 \, cm$.
આમ,$33.14 \, cm$ એ $33 \, cm$ ની ખૂબ નજીક છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાં ચોક્કસ જવાબ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભાર $Q$ પર થતું કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{r}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\vec{F} = Q\vec{E}$,તેથી $W = \vec{F} \cdot \vec{r} = Q(\vec{E} \cdot \vec{r})$.
અહીં $\vec{E} = e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}$ અને $\vec{r} = a \hat{i} + b \hat{j}$ આપેલ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર:
$\vec{E} \cdot \vec{r} = (e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}) \cdot (a \hat{i} + b \hat{j} + 0 \hat{k}) = a e_1 + b e_2$.
તેથી,થતું કાર્ય $W = Q(ae_1 + be_2)$ છે.