Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $\phi_A, \phi_B,$ અને $\phi_C$ એ અનુક્રમે સપાટી $A, B,$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\varepsilon_0}$ થાય.
નળાકારની સંમિતિને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ સમાન હોય છે,તેથી $\phi_A = \phi_C$.
આ કિંમત ગૌસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2\phi_A + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે,તેથી $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત વાહક ગોલીય કવચ માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર ગૌસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $r > R$ હોય,ત્યારે કવચ બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$.
જ્યારે $r < R$ હોય,ત્યારે વિદ્યુતભારિત વાહક કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે વાહકની અંદર દોરવામાં આવેલા ગૌસિયન પૃષ્ઠની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી.
અહીં અંતર $\frac{R}{2}$ એ $R$ કરતા ઓછું હોવાથી,આ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ થશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે $q$ જેટલો બિંદુવત વિદ્યુતભાર સમઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવા માટે $8$ સમાન સમઘનની જરૂર પડે છે.
તેથી,એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ કુલ ફ્લક્સના $\frac{1}{8}$ ભાગનું હોય છે.
આમ,આપેલા સમઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{8} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ થાય.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{en}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = Ar$ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ છે,તેથી $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = Aa$ થશે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi a^2$ છે.
ગોળાની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને તે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં હોવાથી,ફ્લક્સ $\phi = E \times S = (Aa) \times (4\pi a^2) = 4\pi A a^3$ થશે.
ગોસના નિયમ સાથે સરખાવતા: $4\pi A a^3 = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
તેથી,સમાયેલ વિદ્યુતભાર $q = 4\pi \varepsilon_0 A a^3$ થશે.

(C) અનંત અવાહક શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,$d$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \times d$ છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા,$V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \times d$ મળે.
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$d = \frac{V \times 2\varepsilon_0}{\sigma}$ મળે.
આપેલ છે: $V = 50 \, V$,$\sigma = 0.10 \, \mu C/m^2 = 0.10 \times 10^{-6} \, C/m^2$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{50 \times 2 \times 8.85 \times 10^{-12}}{0.10 \times 10^{-6}}$.
$d = \frac{100 \times 8.85 \times 10^{-12}}{10^{-7}} = 8.85 \times 10^{-3} \, m$.
$d = 8.85 \, mm$.

(B) અનંત અવાહક વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $d$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot d$ મળે છે.
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$d = \frac{2\varepsilon_0 V}{\sigma}$ મળે.
અહીં $\sigma = 10^{-7} \ C/m^2$,$V = 5 \ V$,અને $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ આપેલ છે.
$d = \frac{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 5}{10^{-7}} = 88.54 \times 10^{-5} \ m = 0.8854 \times 10^{-3} \ m = 0.88 \ mm$.

(B) $1$. સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકોના ગુણધર્મ મુજબ,વાહકના પદાર્થની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$2$. ગૌસના નિયમ મુજબ,જો આપણે વાહક પદાર્થની અંદર એક ગૌસિયન સપાટી વિચારીએ,તો ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$3$. કેન્દ્ર પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$ મૂકવામાં આવે છે. વાહક પદાર્થની અંદર કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય કરવા માટે,કવચની આંતરિક સપાટી પર (ત્રિજ્યા $a$ પર) $-Q$ જેટલો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થવો જોઈએ.
$4$. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-q$ આપેલ છે. ધારો કે બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{outer}$ છે.
$5$. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર એ આંતરિક અને બાહ્ય સપાટી પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો હોવાથી,આપણને મળે છે: $-Q + q_{outer} = -q$.
$6$. $q_{outer}$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $q_{outer} = -q + Q$.
$7$. તેથી,વિદ્યુતભારનું વિતરણ આંતરિક સપાટી પર $-Q$ અને બાહ્ય સપાટી પર $-q + Q$ છે.

(A) શેલ પ્રમેય મુજબ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,જે કવચમાં વિદ્યુતભાર $q$ મૂકવામાં આવ્યો છે (ધારો કે કવચ $A$),તેના કારણે $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ શૂન્ય છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ માત્ર બીજા કવચ (કવચ $B$) ને કારણે છે. કવચ $B$ ના કેન્દ્ર અને વિદ્યુતભાર $q$ વચ્ચેનું અંતર $10d + d/2 = 19d/2$ છે.
કવચ $B$ બહારના બિંદુઓ માટે તેના કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ તરીકે વર્તે છે,તેથી કુલંબના નિયમ મુજબ બળ:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{(19d/2)^2} = \frac{Qq}{4\pi \varepsilon_0 (361d^2/4)} = \frac{Qq}{361\pi \varepsilon_0 d^2}$.
બંને વિદ્યુતભારો ધન હોવાથી,બળ અપાકર્ષી છે,જેનો અર્થ છે કે તે કવચ $B$ થી દૂર એટલે કે ડાબી તરફ લાગે છે.

(D) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$+\sigma$ ઘનતા ધરાવતી પ્લેટ માટે,ક્ષેત્ર પ્લેટથી દૂરની દિશામાં હોય છે. $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી પ્લેટ માટે,ક્ષેત્ર પ્લેટ તરફની દિશામાં હોય છે.
પ્લેટોની બહારના વિસ્તારમાં,બંને પ્લેટોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$ થાય છે.
પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં,બંને પ્લેટોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ (જમણી તરફ) હોય છે. તેથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
આમ,$A$ અને $C$ માં આપેલા વિધાનો સાચા છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત થતું હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ ઉગમબિંદુ તરફ નિર્દેશિત છે. તેથી,$\vec{E} = -100\,r\hat{r}$.
ગોસના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર સપાટી માટે,ફ્લક્સ $\Phi = E \cdot (4\pi r^2) = (-100r)(4\pi r^2) = -400\pi r^3$ છે.
ફ્લક્સ ઋણ હોવાથી,બંધિત વિદ્યુતભાર $q$ ઋણ હોવો જોઈએ,જે સાબિત કરે છે કે ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત કોઈપણ ગોળાકાર કદમાં રહેલો વિદ્યુતભાર ઋણ છે.
$r = 3\,cm = 0.03\,m$ માટે,વિદ્યુતભાર $q = \epsilon_0 \Phi = (8.854 \times 10^{-12}) \times (-400\pi \times (0.03)^3) \approx -3 \times 10^{-13}\,C$.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) જ્યારે બે મોટી સમાંતર વાહક પ્લેટોને એકબીજાની નજીક રાખવામાં આવે છે,ત્યારે બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર પ્લેટો પરના કુલ વિદ્યુતભારના સરવાળાના અડધા જેટલો હોય છે. ધારો કે ચાર સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભાર ડાબેથી જમણે $q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$ છે.
$q_1 = q_4 = \frac{Q + 0}{2} = \frac{Q}{2}$
પ્લેટ $X$ પર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ હોવાથી,$q_1 + q_2 = Q \implies q_2 = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
પ્લેટ $Y$ પર કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોવાથી,$q_3 + q_4 = 0 \implies q_3 = -q_4 = -\frac{Q}{2}$.
એક વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{q}{2A\varepsilon_0}$ છે.
બિંદુ $A$ આગળ (બંને પ્લેટોની ડાબી બાજુએ): ચારેય સપાટીઓથી ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો ડાબી તરફ હોય છે. $E_A = \frac{q_1 + q_2 + q_3 + q_4}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q/2 + Q/2 - Q/2 + Q/2}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ (ડાબી તરફ).
બિંદુ $B$ આગળ (પ્લેટોની વચ્ચે): $q_1, q_2$ થી ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો જમણી તરફ અને $q_3, q_4$ થી ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો ડાબી તરફ હોય છે. $E_B = \frac{q_1 + q_2 - q_3 - q_4}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q/2 + Q/2 - (-Q/2) - Q/2}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ (જમણી તરફ).
બિંદુ $C$ આગળ (બંને પ્લેટોની જમણી બાજુએ): ચારેય સપાટીઓથી ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો જમણી તરફ હોય છે. $E_C = \frac{q_1 + q_2 + q_3 + q_4}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ (જમણી તરફ).
આમ,$A, B$ અને $C$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{Q}{2A\varepsilon_0}$ છે. તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરાયેલો હોતો નથી.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge R)$: કવચ તેના કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k\frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ છે.
આમ,$E(r)$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $0 \le r < R$ માટે $E = 0$ અને $r \ge R$ માટે $1/r^2$ મુજબ ઘટતો હોવો જોઈએ. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
$r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટી માટે,$E(4\pi r_1^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
આવરી લેવાયેલ વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ એ $r_1$ ત્રિજ્યાના ગોળાના કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho(r)$ નું સંકલન છે:
$q_{enc} = \int_0^{r_1} \rho(r) (4\pi r^2) dr = \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) (4\pi r^2) dr = \frac{4Q}{R^4} \int_0^{r_1} r^3 dr = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
આ કિંમતને ગૌસના નિયમમાં મૂકતા:
$E(4\pi r_1^2) = \frac{Q r_1^4}{\varepsilon_0 R^4} \implies E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(C) ધારો કે $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતી એક ગોલીય કવચ છે. આ કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \rho(x) \cdot 4 \pi x^2 dx = \rho_0 \left( \frac{5}{4} - \frac{x}{R} \right) \cdot 4 \pi x^2 dx$ છે.
$r (r < R)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ નીચે મુજબ છે:
$q = \int_0^r dq = 4 \pi \rho_0 \int_0^r \left( \frac{5}{4} x^2 - \frac{x^3}{R} \right) dx$
$q = 4 \pi \rho_0 \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{1}{R} \cdot \frac{r^4}{4} \right] = 4 \pi \rho_0 \left( \frac{5 r^3}{12} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$:
$E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \left[ \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right) \right]$
$E = \frac{\rho_0 r}{4 \varepsilon_0} \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{d\phi}{dr}$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = ar^2 + b$,તેથી $E = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$.
ગૌસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ દ્વારા મળે છે.
ગોળીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી સંમિત ક્ષેત્ર $E(r)$ માટે,ડાયવર્જન્સ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $E = -2ar$ મૂકતા:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$.
તેથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = -6a\varepsilon_0$ છે.

(B) $Q$ જેટલો કુલ વિદ્યુતભાર અને $R$ જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto r$,એટલે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેન્દ્ર $(r=0)$ થી સપાટી $(r=R)$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$.
$3$. ગોળાની બહાર $(r > R)$: ગોળો કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$. આ દર્શાવે છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$,એટલે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે.
આ વર્તણૂકની સરખામણી આપેલા વિકલ્પો સાથે કરતા,જે આલેખ $r < R$ માટે રેખીય વધારો અને $r > R$ માટે $1/r^2$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે તે સાચો છે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળાની અંદર $r < R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(r) = \frac{\rho}{6 \epsilon_0} (3R^2 - r^2)$ છે.
કેન્દ્ર પર $(r = 0)$,$V_{centre} = \frac{3 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0}$.
સપાટી પર $(r = R)$,$V_{surface} = \frac{\rho}{6 \epsilon_0} (3R^2 - R^2) = \frac{2 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0}$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = q(V_{surface} - V_{centre}) = q \left( \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0} \right) = -\frac{q \rho R^2}{6 \epsilon_0}$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફારનું મૂલ્ય $\frac{q \rho R^2}{6 \epsilon_0}$ હોવાથી,વિધાન-$1$ સાચું છે. વિધાન-$2$ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર આપે છે,જેનો ઉપયોગ સ્થિતિમાનનો તફાવત મેળવવા માટે થાય છે,તેથી તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) $a < r < b$ હોય તેવી $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
અહીં,$q_{enclosed} = Q + \int_{a}^{r} \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 dr'$.
આપેલ છે કે $\rho(r') = \frac{A}{r'}$,તેથી $q_{enclosed} = Q + \int_{a}^{r} \frac{A}{r'} \cdot 4\pi r'^2 dr' = Q + 4\pi A \int_{a}^{r} r' dr' = Q + 4\pi A \left[ \frac{r'^2}{2} \right]_{a}^{r} = Q + 2\pi A (r^2 - a^2)$.
ગૌસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q + 2\pi A (r^2 - a^2)}{\epsilon_0}$.
$E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} [Q - 2\pi A a^2 + 2\pi A r^2] = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} [\frac{Q - 2\pi A a^2}{r^2} + 2\pi A]$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અચળ ( $r$ થી સ્વતંત્ર) રહે તે માટે,$\frac{1}{r^2}$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$Q - 2\pi A a^2 = 0$.
$A = \frac{Q}{2\pi a^2}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $R$ ત્રિજ્યાના ગોળા માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ છે અને સપાટી પર તેનું મૂલ્ય $E = \alpha R$ છે.
ગોળાનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ છે.
ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_E = E \times A = (\alpha R) \times (4\pi R^2) = 4\pi \alpha R^3$ થાય.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Q_{enclosed} = \varepsilon_0 \Phi_E$.
તેથી,$Q = \varepsilon_0 (4\pi \alpha R^3) = 4\pi \varepsilon_0 \alpha R^3$ મળે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{in}}{\varepsilon_0}$ છે.
$y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા નળાકાર માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 y \hat{j}$ એ વક્ર સપાટીને સમાંતર છે અને વર્તુળાકાર છેડાઓ સાથે લંબ છે.
વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે $\vec{E} \cdot d\vec{s} = 0$ થાય છે.
નીચેની સપાટી $(y = 0)$ પર, $\vec{E} = 0$ હોવાથી ફ્લક્સ $0$ છે.
ઉપરની સપાટી $(y = l)$ પર, $\vec{E} = E_0 l \hat{j}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec{s} = dA \hat{j}$ છે.
તેથી ઉપરની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \int E_0 l dA = E_0 l (\pi r^2)$ થાય.
આમ, કુલ ફ્લક્સ $\phi = E_0 l \pi r^2$ મળે.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $Q_{in} = \varepsilon_0 \phi = \varepsilon_0 E_0 \pi r^2 l$ થાય.

(B) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત તારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
બિંદુ $A$ એ $x$-અક્ષથી $r_A = a$ અંતરે છે.
બિંદુ $C$ એ $x$-અક્ષથી $r_C = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ અંતરે છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W_{CA} = q(V_A - V_C) = -q \int_{r_C}^{r_A} E dr$ દ્વારા મળે છે.
$W = -q \int_{a\sqrt{2}}^{a} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} dr = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} [\ln r]_{a\sqrt{2}}^{a}$.
$W = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} (\ln a - \ln(a\sqrt{2})) = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(\frac{a}{a\sqrt{2}})$.
$W = -\frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(\sqrt{2}) = \frac{q\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln(2^{1/2}) = \frac{q\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln 2$.

(A) $r < a$ માટે,વાહક કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,તેથી $E = 0$.
$a < r < b$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર અંદરના કવચને કારણે હોય છે. ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{kQ}{r^2}$.
$r > b$ માટે,કુલ બંધિત વિદ્યુતભાર $Q + (-2Q) = -Q$ છે. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k(-Q)}{r^2} = -\frac{kQ}{r^2}$ થાય છે.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $r < a$ માટે $E = 0$,$a < r < b$ માટે ધન $1/r^2$ ફેરફાર અને $r > b$ માટે ઋણ $1/r^2$ ફેરફાર દર્શાવે છે,તે પ્રથમ આલેખ છે.

(B) ગોળાની અંદરના બિંદુ $A$ $(x < R)$ માટે,ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $E_A \cdot 4\pi x^2 = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^x \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$.
$\rho = \rho_0 r^2$ મૂકતા: $E_A \cdot 4\pi x^2 = \frac{4\pi \rho_0}{\epsilon_0} \int_0^x r^4 dr = \frac{4\pi \rho_0 x^5}{5\epsilon_0}$.
તેથી,$E_A = \frac{\rho_0 x^3}{5\epsilon_0}$.
ગોળાની બહારના બિંદુ $B$ $(y > R)$ માટે,ગોળો કેન્દ્ર પરના બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે: $E_B = \frac{Q_{total}}{4\pi \epsilon_0 y^2}$.
$Q_{total} = \int_0^R \rho_0 r^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi \rho_0 \int_0^R r^4 dr = \frac{4\pi \rho_0 R^5}{5}$.
તેથી,$E_B = \frac{4\pi \rho_0 R^5}{5 \cdot 4\pi \epsilon_0 y^2} = \frac{\rho_0 R^5}{5\epsilon_0 y^2}$.
આપેલ છે કે $E_A = E_B$,તેથી $\frac{\rho_0 x^3}{5\epsilon_0} = \frac{\rho_0 R^5}{5\epsilon_0 y^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $x^3 y^2 = R^5$ મળે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ, નળાકારના વાહક પદાર્થની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ।
તાર પર એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર $\lambda$ હોવાથી, નળાકારની અંદરની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ $-\lambda$ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થશે।
અંદરની સપાટી પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{in} = \frac{-\lambda}{2\pi R}$ છે।
નળાકાર પર એકમ લંબાઈ દીઠ કુલ વિદ્યુતભાર $2\lambda$ હોવાથી, બહારની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર $2\lambda - (-\lambda) = 3\lambda$ થશે।
બહારની સપાટી પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{out} = \frac{3\lambda}{2\pi R}$ છે।
$r > R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોસિયન સપાટી માટે, એકમ લંબાઈ દીઠ કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\lambda + 3\lambda = 4\lambda$ છે।
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $E(2\pi r) = \frac{4\lambda}{\epsilon_0} \implies E = \frac{2\lambda}{\pi \epsilon_0 r}$।
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે।

(D) પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ પ્લેટથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
ડાબા અર્ધભાગ $(AC)$ પર લાગતું બળ $F = qE = (\lambda \cdot \frac{l}{2}) \cdot \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\lambda l \sigma}{4\epsilon_0}$ ડાબી તરફ લાગે છે.
જમણા અર્ધભાગ $(CB)$ પર લાગતું બળ $F = qE = (\lambda \cdot \frac{l}{2}) \cdot \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\lambda l \sigma}{4\epsilon_0}$ જમણી તરફ લાગે છે.
જ્યારે સળિયાને નાના ખૂણે $\theta$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે મિજાગરા $C$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau = 2 \cdot F \cdot (\frac{l}{4} \cos \theta) \approx 2 \cdot F \cdot \frac{l}{4} = \frac{Fl}{2} = \frac{\lambda l^2 \sigma}{8\epsilon_0}$ થાય છે.
કારણ કે $\tau = I\alpha$,જ્યાં $I = \frac{ml^2}{12}$ એ કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,તેથી $\frac{ml^2}{12} \alpha = \frac{\lambda l^2 \sigma}{8\epsilon_0} \theta$.
$\alpha = \frac{12 \lambda \sigma}{8 m \epsilon_0} \theta = \frac{3 \lambda \sigma}{2 m \epsilon_0} \theta$.
$\alpha = \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{3 \lambda \sigma}{2 m \epsilon_0}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2m\epsilon_0}{3\lambda\sigma}}$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
આ પ્રશ્નમાં,$3q$ અને $5q$ વિદ્યુતભારો અર્ધગોલકની સમતલ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યા છે. તેઓ સપાટી પર હોવાથી,આપણે આપેલ અર્ધગોલકની ઉપર બીજો સમાન અર્ધગોલક મૂકીને એક સંપૂર્ણ ગોળો કલ્પી શકીએ છીએ.
આ સંપૂર્ણ ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enclosed} = 3q + 5q = 8q$ છે.
સંમિતિને કારણે,મૂળ અર્ધગોલકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ સંપૂર્ણ ગોળામાંથી પસાર થતા કુલ ફ્લક્સ કરતા અડધું હશે.
તેથી,વક્ર સપાટી પરનું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{2} \times \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{2} \times \frac{8q}{\varepsilon_0} = \frac{4q}{\varepsilon_0}$ થાય.

(B) $1$. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકના ગુણધર્મો અનુસાર,વાહકના પદાર્થની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ।
$2$. કવચના વાહક પદાર્થની અંદર એક ગાઉસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો। ગાઉસના નિયમ મુજબ,આ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ।
$3$. ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર એ કેન્દ્ર પરના $+Q$ બિંદુવત વિદ્યુતભાર અને કવચની આંતરિક સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q_{in}$ નો સરવાળો છે। આમ,$+Q + q_{in} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $q_{in} = -Q$।
$4$. કવચ પર કુલ $-q$ વિદ્યુતભાર છે। ધારો કે બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out}$ છે। કુલ વિદ્યુતભાર એ આંતરિક અને બાહ્ય સપાટી પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો હોવાથી,$q_{in} + q_{out} = -q$।
$5$. $q_{in} = -Q$ મૂકતા,આપણને $-Q + q_{out} = -q$ મળે છે,જે $q_{out} = -q + Q$ આપે છે।
$6$. તેથી,આંતરિક સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-Q$ છે અને બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $(-q + Q)$ છે।

(A) વિદ્યુતભારીત વાહકની સપાટીની બરાબર બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \sigma / \epsilon_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આ ક્ષેત્ર એ નાના ભાગ (જ્યાં કાણું પાડવામાં આવે છે) ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર $(E_{patch})$ અને બાકીના કવચને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર $(E_{rest})$ ના સંપાતપણાનું પરિણામ છે.
સપાટીની બરાબર બહારના બિંદુએ,$E_{patch} + E_{rest} = E = \sigma / \epsilon_0$.
નાના ભાગને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $E_{patch} = \sigma / (2\epsilon_0)$ હોવાથી,આપણને $E_{rest} = E - E_{patch} = \sigma / (2\epsilon_0) = E/2$ મળે છે.
સપાટીની બરાબર અંદરના બિંદુએ,ક્ષેત્રો $E_{patch} - E_{rest} = \sigma / (2\epsilon_0) - \sigma / (2\epsilon_0) = 0$ થાય છે.
જ્યારે કાણું પાડવામાં આવે છે,ત્યારે કાણાની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બાકીના કવચને કારણે હોય છે $(E_{rest})$,જે $E/2$ છે.

(C) તાંબાની મોટી વાહક પ્લેટ માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ પ્લેટની બંને બાજુઓ પર વિતરિત થાય છે. દરેક બાજુ પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{2A}$ છે. સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{2A\epsilon_0} = 10 \ V/m$ છે.
પ્લાસ્ટિકની અવાહક પ્લેટ માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સપાટી પર જ્યાં મૂકવામાં આવે છે ત્યાં જ રહે છે. જો વિદ્યુતભાર સમગ્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ પર વિતરિત હોય,તો પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma' = \frac{Q}{A}$ થાય. અવાહક શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = \frac{\sigma'}{2\epsilon_0} = \frac{Q}{2A\epsilon_0}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $E' = E = 10 \ V/m$.

(B) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાનો એક ઘન ગોળો છે જેની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ સમાન છે. ગોળાની અંદર કોઈ બિંદુ $\vec{r}$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક નાની ગોળાકાર પોલાણ (cavity) બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે પોલાણમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર એ મૂળ મોટા ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને પોલાણને ભરતા વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\rho$ ધરાવતા નાના ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો સરવાળો (superposition) છે.
ધારો કે $\vec{r}_1$ એ મોટા ગોળાના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{r}_2$ એ પોલાણના કેન્દ્રથી સ્થાન સદિશ છે.
પોલાણમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3\epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{r}_2}{3\epsilon_0} = \frac{\rho}{3\epsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ છે.
કારણ કે $(\vec{r}_1 - \vec{r}_2) = \vec{d}$,જ્યાં $\vec{d}$ એ મોટા ગોળાના કેન્દ્રને પોલાણના કેન્દ્ર સાથે જોડતો અચળ સદિશ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{d}}{3\epsilon_0}$ એ સમગ્ર પોલાણમાં અચળ (સમાન) અને શૂન્યતર રહે છે.

(D) ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ શોધવા માટે વિદ્યુતભાર ઘનતાનું ગોળાના કદ પર સંકલન કરતા:
$q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$q = \int_0^R \rho_0 \left( 1 - \frac{r}{R} \right) 4\pi r^2 dr$
$q = 4\pi \rho_0 \int_0^R \left( r^2 - \frac{r^3}{R} \right) dr$
$q = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]_0^R$
$q = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^4}{4R} \right) = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{12} \right) = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3}$
ગોળાની બહાર $r$ અંતરે $(r > R)$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3 \varepsilon_0}$
$E = \frac{\rho_0 R^3}{12 \varepsilon_0 r^2}$

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે અચળ સ્થિતિમાન તફાવત $\Delta V$ માટે ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $\Delta r = r_{i+1} - r_i$ અચળ છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{\Delta V}{\Delta r}$ અચળ છે.
ગોલીય વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે,ગૌસના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{q_{enclosed}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ છે.
જેથી $E$ અચળ હોવાથી,$q_{enclosed} \propto r^2$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q_{enclosed} = \int_0^r \rho(r) 4\pi r^2 dr$.
$q_{enclosed} \propto r^2$ હોવાથી,બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dq}{dr} \propto 2r$ મળે.
આમ,$\rho(r) 4\pi r^2 \propto r$,જે સૂચવે છે કે $\rho(r) \propto \frac{1}{r}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્કની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $h$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છિદ્રવાળી ડિસ્ક માટે,આપણે તેને $R_1 = 2a$ ત્રિજ્યાની મોટી ડિસ્કમાંથી $R_2 = a$ ત્રિજ્યાની નાની ડિસ્ક બાદ કરીને ગણી શકીએ.
મોટી ડિસ્કને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{(2a)^2 + h^2}} \right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{2a \sqrt{1 + (h/2a)^2}} \right)$ છે.
$h << a$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $E_1 \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{2a} \right)$.
નાની ડિસ્કને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \right) \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{a} \right)$ છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[ (1 - \frac{h}{2a}) - (1 - \frac{h}{a}) \right] = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( \frac{h}{a} - \frac{h}{2a} \right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( \frac{h}{2a} \right) = \frac{\sigma h}{4a\epsilon_0}$.
આને $Ch$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = \frac{\sigma}{4a\epsilon_0}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 150\, N/C$ (અંદરની તરફ હોવાથી,$E = -150\, N/C$)
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_E = 6.37 \times 10^6\, m$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\, C^2/(N \cdot m^2)$
ગૌસના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\epsilon_0} = E \cdot A$ છે,જ્યાં $A = 4\pi R_E^2$ એ પૃથ્વીનું પૃષ્ઠફળ છે.
તેથી,$q = \epsilon_0 \cdot E \cdot 4\pi R_E^2$
કિંમતો મૂકતા:
$q = (8.85 \times 10^{-12}) \times (-150) \times 4 \times 3.14159 \times (6.37 \times 10^6)^2$
$q \approx -6.80 \times 10^5\, C$
$kC$ માં રૂપાંતર કરતા $(1\, kC = 10^3\, C)$:
$q \approx -680\, kC$
વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની તરફ હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઋણ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોલીય સંમિત વિદ્યુતભાર વિતરણના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે: $E \cdot (4\pi r^2) = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
$r < R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ શોધવા માટે,આપણે કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતાનું સંકલન કરીશું:
$q = \int_0^r \rho(x) \cdot 4\pi x^2 dx$
$\rho(x) = \rho_0 \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ મૂકતા:
$q = 4\pi \rho_0 \int_0^r \left( x^2 - \frac{x^3}{R} \right) dx$
$q = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4R} \right]_0^r = 4\pi \rho_0 \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right)$
હવે,ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{4\pi \rho_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right)$
બંને બાજુ $4\pi r^2$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R} \right)$

(A) ડિસ્કના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ છે.
ડિસ્કની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)$ છે.
અહીં $x = R$ આપેલ છે,તેથી:
$E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{2}R}\right) = E \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ હોવાથી,$E' = E(1 - 0.707) = 0.293E$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો $E - E' = E - 0.293E = 0.707E$ થાય છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{0.707E}{E} \times 100\% = 70.7\%$ છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx}(4x^2) = -8x \text{ V/m}$.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ છે.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $L = 1 \text{ m}$ બાજુવાળા સમઘન માટે,બાજુઓ $x = 0.5 \text{ m}$ અને $x = -0.5 \text{ m}$ પર છે.
$x = 0.5 \text{ m}$ પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_1 = -8(0.5) = -4 \text{ V/m}$ (ઉગમબિંદુ તરફ) છે.
$x = -0.5 \text{ m}$ પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_2 = -8(-0.5) = 4 \text{ V/m}$ (ઉગમબિંદુથી દૂર) છે.
$x = 0.5 \text{ m}$ વાળી બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = E_1 \cdot A = -4 \times (1^2) = -4 \text{ V} \cdot \text{m}^2$ છે.
$x = -0.5 \text{ m}$ વાળી બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = E_2 \cdot A = 4 \times (1^2) = 4 \text{ V} \cdot \text{m}^2$ છે.
બાકીની ચાર બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર આ બાજુઓને સમાંતર છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \phi_1 + \phi_2 = -4 + 4 = 0$ છે.
તેથી,$\phi_{\text{net}} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ હોવાથી,$q_{\text{enclosed}} = 0$ મળે છે.

(C) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા રેખીય વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_0$ અને $r$ અંતર વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\int_{r_0}^{r} E \, dr = -\int_{r_0}^{r} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \, dr = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r}{r_0} \right) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r_0}{r} \right)$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = q(V_i - V_f) = q \Delta V$.
સ્થિતિમાનના તફાવતને મૂકતા: $\frac{1}{2}mv^2 = q \left( \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln \left( \frac{r}{r_0} \right) \right)$.
અહીં $m, q, \lambda, \pi, \varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,$v^2 \propto \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{\ln \left( \frac{r}{r_0} \right)}$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે ગોળાના કદ પર વિદ્યુતભાર ઘનતાનું સંકલન કરીને $Q$ અને $R$ ના પદમાં અચળાંક $k$ શોધીએ:
$2Q = \int_{0}^{R} \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_{0}^{R} r^3 dr = 4\pi k \frac{R^4}{4} = \pi k R^4$.
તેથી,$k = \frac{2Q}{\pi R^4}$.
હવે,ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રથી $a$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શોધીએ:
$E(4\pi a^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{0}^{a} (kr) 4\pi r^2 dr = \frac{4\pi k}{\varepsilon_0} \frac{a^4}{4} = \frac{\pi k a^4}{\varepsilon_0}$.
$E = \frac{k a^2}{4\varepsilon_0} = \frac{(2Q/\pi R^4) a^2}{4\varepsilon_0} = \frac{Q a^2}{2\pi \varepsilon_0 R^4}$.
વિદ્યુતભાર $A$ (અથવા $B$) પર કોઈ બળ ન લાગે તે માટે,ગોળા દ્વારા લાગતું બળ અને બીજા વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ સમાન હોવું જોઈએ:
$|qE| = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{|Q||-Q|}{(2a)^2} \implies Q \left( \frac{Q a^2}{2\pi \varepsilon_0 R^4} \right) = \frac{Q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{a^2}{2 R^4} = \frac{1}{16 a^2} \implies a^4 = \frac{R^4}{8} \implies a = \frac{R}{8^{1/4}} = 8^{-1/4}R$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા અવાહક ગોળા માટે,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોસીયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $(r < R)$ નીચે મુજબ મળે: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
અવાહક ગોળો હોવાથી અને વિદ્યુતભાર કદમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોવાથી,અંદરનો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = \rho \cdot V = \rho \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3)$ થાય.
ગોસીયન ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $4\pi r^2$ છે.
તેથી,$E \cdot (4\pi r^2) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટી માટે,આ સમીકરણ $E(4\pi r_1^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^{r_1} \rho(r) (4\pi r^2) dr$ બને છે.
$\rho(r) = \frac{Q}{\pi R^4} r$ મૂકતા,આપણને મળે છે $E(4\pi r_1^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) (4\pi r^2) dr$.
$E(4\pi r_1^2) = \frac{4\pi Q}{\pi R^4 \varepsilon_0} \int_0^{r_1} r^3 dr$.
$E(4\pi r_1^2) = \frac{4 Q}{R^4 \varepsilon_0} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4 \varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(D) કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $r_1$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર સમાયેલ વિદ્યુતભાર $q$ ની ગણતરી કરીએ.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા ગોળાકાર કવચમાં વિદ્યુતભારનો અંશ $dq = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\rho(r) = \frac{Q}{\pi R^4} r$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$dq = \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{4Q}{R^4} r^3 dr$.
$r_1$ ત્રિજ્યાની અંદર સમાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = \int_0^{r_1} \frac{4Q}{R^4} r^3 dr = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
$r_1$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર સપાટી માટે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E \cdot 4\pi r_1^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$q$ ની કિંમત મૂકતા:
$E \cdot 4\pi r_1^2 = \frac{Q r_1^4}{\varepsilon_0 R^4}$.
$E$ માટે ઉકેલતા:
$E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(C) જ્યારે ગોળા $A$ ને $Q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે તે અર્થિંગ કરેલા ગોળા $B$ ની અંદરની સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
ગોળા $B$ નું અર્થિંગ કરેલું હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે.
વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,પરંતુ બે ગોળાઓની વચ્ચેના વિસ્તારમાં (જ્યાં $r_A < r < r_B$),વિદ્યુતક્ષેત્ર ગોળા $A$ પરના $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે હોય છે.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ મળે છે,જે શૂન્ય નથી.
બહારના ગોળા $B$ ની બહાર,કુલ વિદ્યુતભાર $Q + (-Q) = 0$ છે,તેથી $B$ ની બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
આમ,$A$ અને $B$ ની વચ્ચેનું ક્ષેત્ર શૂન્ય નથી અને $B$ ની બહારનું ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{in} = \frac{kQr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $E_{in} \propto r$. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો રેખીય સંબંધ છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{out} = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $E_{out} \propto \frac{1}{r^2}$. આ વ્યસ્ત વર્ગનો સંબંધ છે.
$3$. સપાટી પર $(r = R)$, વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે, $E_{max} = \frac{kQ}{R^2}$.
આ બંનેને જોડતા, આલેખ ઉગમબિંદુથી $r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત વર્ગના વક્રને અનુસરે છે. આ આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળા માટે,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા $(r < R)$ ધરાવતી ગાઉસિયન સપાટી માટે ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
$E(4\pi r^2) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0}$
$\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ મૂકતા:
$E(4\pi r^2) = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_0} = \frac{Q r^3}{\epsilon_0 R^3}$
$E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}$
$K = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ હોવાથી,આપણને $E = \frac{KQr}{R^3}$ મળે છે.

(D) અનંત લંબાઈના સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત તારથી $r$ લંબ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(3, 4, -6)$ માટે,$z$-અક્ષથી લંબ અંતર $r_A = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
બિંદુ $B(3, 4, 0)$ માટે,$z$-અક્ષથી લંબ અંતર $r_B = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
અહીં $r_A = r_B = 5$ હોવાથી,બિંદુ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રો સમાન છે.
તેથી,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $E_A : E_B = 1 : 1$ થાય છે.

(B) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા અનંત લંબાઈના સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત તાર માટે,અંતર $r$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તારની અક્ષ પર હોય તેવી $r$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈની નળાકાર ગૌસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો.
ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \times (2\pi rl)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
અહીં ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = \lambda l$ હોવાથી,$E \times (2\pi rl) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$ મળે છે.
$E$ માટે ઉકેલતા,$E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ મળે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{r}$.

(C) સમાન અને વિરુદ્ધ સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી બે મોટી સમાંતર પાતળી ધાતુની શીટ્સ વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
આપેલ છે:
$\sigma = 26.4 \times 10^{-12} \, C/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{26.4 \times 10^{-12}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$E = \frac{26.4}{8.85} \approx 2.983 \approx 3 \, N/C$
તેથી,શીટ્સની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $3 \, N/C$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 < r < r_2$ હોય તેવા $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે કવચ સાથે સમકેન્દ્રીય $r$ ત્રિજ્યાની ગોળીય ગોસિયન સપાટી વિચારીએ છીએ.
આ ગોસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો એકમાત્ર વિદ્યુતભાર અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે.
તેથી,$Q_{\text{enclosed}} = Q_1$.
ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(4\pi r^2) = \frac{Q_1}{\epsilon_0}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ મળે છે.

(A) બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે પોલાણવાળા નળાકારને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા સંપૂર્ણ નક્કર નળાકાર અને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાના સરવાળા તરીકે ગણીએ છીએ.
$1$. $R$ ત્રિજ્યાના અનંત નક્કર નળાકારને કારણે અક્ષથી $r = 2R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
ગોસના નિયમ મુજબ,$E_{cyl} = \frac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0 r} = \frac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. $a = R/2$ ત્રિજ્યાના ગોલીય પોલાણને કારણે તેના કેન્દ્રથી $r = 2R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E_{sph} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \cdot (4/3)\pi a^3}{r^2}$ છે.
$a = R/2$ અને $r = 2R$ મૂકતા:
$E_{sph} = \frac{\rho \cdot (4/3)\pi (R/2)^3}{4\pi \varepsilon_0 (2R)^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. $P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર:
ગોળાની વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\rho$ હોવાથી,ક્ષેત્ર નળાકારના ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
$E_{net} = E_{cyl} - E_{sph} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
આપેલ પદ $\frac{23\rho R}{16K\varepsilon_0}$ સાથે સરખાવતા:
$16K = 96 \implies K = 6$.