Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) જ્યારે $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના નળાકારને $q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે, ત્યારે અંદરના અને બહારના નળાકાર વચ્ચેના વિસ્તારમાં $(r_1 < r < r_2)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ગોસના નિયમ મુજબ, નળાકારો વચ્ચેના વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
નળાકારો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \int_{r_1}^{r_2} E \, dr = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V \neq 0$ હોવાથી, જ્યારે અંદરનો નળાકાર વિદ્યુતભારીત હોય ત્યારે બંને નળાકારો વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,$q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
ચોક્કસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ગણવા માટે,આપણે સંમિતિની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આપેલ લંબઘન પર $2 L \times 2 L \times L$ પરિમાણ ધરાવતો બીજો સમાન લંબઘન એવી રીતે મૂકો કે જેથી વિદ્યુતભાર $q$ બંને લંબઘનની સામાન્ય સપાટી પર રહે.
હવે,વિદ્યુતભાર $q$ એ $2 L \times 2 L \times 2 L$ પરિમાણ ધરાવતા મોટા લંબઘન (જે વાસ્તવમાં $2 L$ બાજુવાળો સમઘન છે) દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ મોટી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,આ મોટા સમઘનની $6$ સપાટીઓમાંથી દરેકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
તેથી,મોટા સમઘનની એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{1}{6} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
સપાટી '$S$' અને તેની વિરુદ્ધની સપાટી આ મોટા સમઘનની સપાટીઓનો ભાગ હોવાથી,વિરુદ્ધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{q}{6 \varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 2x^2 \hat{i} - 4y \hat{j} + 6 \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
લંબઘન માટે,$x, y$ અને $z$ દિશામાં ફ્લક્સની ગણતરી કરતા:
$x$-દિશામાં: $x=0$ પાસે $\phi=0$,$x=1$ પાસે $\phi = 2(1)^2 \times (2 \times 3) = 12$.
$y$-દિશામાં: $y=0$ પાસે $\phi=0$,$y=2$ પાસે $\phi = -4(2) \times (1 \times 3) = -24$.
$z$-દિશામાં: $z=0$ પાસે $\phi=0$,$z=3$ પાસે $\phi = 6 \times (1 \times 2) = 12$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = 12 - 24 + 12 = 0$. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ $n=12$ સાચો જવાબ છે.

(D) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત પાતળી શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ અને તેનાથી દૂર જતો એકમ સદિશ છે.
ધારો કે જમણી બાજુની દિશા એ ધન દિશા $\hat{n}$ છે.
વિસ્તાર $I$ માં (બંને શીટ્સની ડાબી બાજુએ),બંને શીટ્સ ડાબી તરફ $(-\hat{n})$ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે:
$\vec{E}_{ I } = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.
વિસ્તાર $II$ માં (બે શીટ્સની વચ્ચે),ડાબી શીટ જમણી તરફ $(+\hat{n})$ અને જમણી શીટ ડાબી તરફ $(-\hat{n})$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે:
$\vec{E}_{ II } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = 0$.
વિસ્તાર $III$ માં (બંને શીટ્સની જમણી બાજુએ),બંને શીટ્સ જમણી તરફ $(+\hat{n})$ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે:
$\vec{E}_{ III } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 x \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ફક્ત $x$-અક્ષને લંબ સપાટીઓમાંથી જ પસાર થાય છે.
$x = 0$ આગળ,ફ્લક્સ $\phi_1 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 \cdot 0) \cdot (a^2 \hat{i}) = 0$.
$x = a$ આગળ,ફ્લક્સ $\phi_2 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 a \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i}) = E_0 a^3$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \phi_2 - \phi_1 = E_0 a^3$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\phi_{\text{net}} = \frac{q_{\text{en}}}{\varepsilon_0}$,તેથી $q_{\text{en}} = \varepsilon_0 E_0 a^3$.
અહીં $E_0 = 4 \times 10^4 \text{ N C}^{-1} \text{m}^{-1}$,$a = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,અને $\varepsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{m}^{-2}$ આપેલ છે.
$q_{\text{en}} = (9 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})^3$.
$q_{\text{en}} = 36 \times 10^{-8} \times 8 \times 10^{-6} = 288 \times 10^{-14} \text{ C}$.
$Q \times 10^{-14} \text{ C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $Q = 288$ મળે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક નક્કર ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r \leq R)$: ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto r$,જે સુરેખ સંબંધ છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$: ગોળો કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto 1/r^2$,જે વ્યસ્ત-વર્ગનો સંબંધ છે.
તેથી,આલેખ ઉગમબિંદુ ($r=0$ પર $E=0$) થી શરૂ થાય છે,$r=R$ સુધી સુરેખ રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના વક્ર મુજબ ઘટે છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) સ્થિત-વિદ્યુત બળ ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_e = F_c$
$eE = \frac{mV^2}{r}$
અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{r}$ છે.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e \left( \frac{2k\lambda}{r} \right) = \frac{mV^2}{r}$
$V^2 = \frac{e \cdot 2k\lambda}{m}$
$V = \sqrt{\frac{e \cdot 2k\lambda}{m}}$
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$,$\lambda = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m^{-1}$,$m = 9 \times 10^{-31} \, kg$.
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8}}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 36 \times 10^1}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{6.4 \times 10^{13} \times 10^{-18} \times 10^{31}}$
$V = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$.
આમ,વેગ $8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$ છે.

(A) અનંત સમતલ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભારિત હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = -eE = -\frac{e \sigma}{2 \epsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u = 1 \,m/s$,સમય $t = 1 \,s$,અને સ્થાનાંતર $S = -1 \,m$ (શીટ તરફ).
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2} at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-1 = (1)(1) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m} \right) (1)^2$.
$-1 = 1 - \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$2 = \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$\sigma = 8 \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$.
$\alpha \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 8$ મળે છે।

(B) અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2 k \lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = qE = \frac{2 k \lambda q}{r}$ છે.
આને કેન્દ્રગામી બળ $m \omega^2 r$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{2 k \lambda q}{r} = m \omega^2 r$.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega^2 = \frac{2 k \lambda q}{m r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2 k \lambda q}{m}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega$ ની કિંમત મૂકતા આપણને $T = 2 \pi r \sqrt{\frac{m}{2 k \lambda q}}$ મળે છે.

(B) અનંત લંબાઈના વીજભારિત તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ છે.
$e$ વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = eE = \frac{2 k \lambda e}{r}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર પરિભ્રમણ કરે તે માટે,આ સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_c = \frac{m v^2}{r} = \frac{2 k \lambda e}{r}$
આના પરથી,આપણે વેગનો વર્ગ $v^2$ શોધી શકીએ છીએ:
$v^2 = \frac{2 k \lambda e}{m}$
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $KE$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{2 k \lambda e}{m} \right) = k \lambda e$
અહીં $k$,$\lambda$ અને $e$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $KE$ એ ત્રિજ્યા $r$ પર આધારિત નથી. તેથી,$KE$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા હશે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ આલેખ સાચો છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાતળા ગોલીય કવચ માટે,આપણે કવચ પર $dq = \sigma dA$ જેટલો વિદ્યુતભાર ધરાવતી $dA$ ક્ષેત્રફળવાળી નાની ગોસિયન સપાટી વિચારીએ છીએ.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ હોય છે અને સપાટી પર સમાન હોવાથી,ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E \cdot dA = \frac{\sigma \cdot dA}{\epsilon_0}$ થાય છે.
બંને બાજુથી $dA$ ને દૂર કરતા,સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારીત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ એકમ સદિશ છે જે શીટથી દૂરની દિશામાં છે.
ધારો કે શીટ્સ $x = -a$,$x = a$,અને $x = 3a$ પર અનુક્રમે $-\sigma$,$-2\sigma$,અને $\sigma$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સાથે છે.
બિંદુ $P$ એ $x = a$ અને $x = 3a$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
$1$. $x = -a$ પરની શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\sigma$): ક્ષેત્ર શીટ તરફ (ઋણ $x$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_1 = \frac{|-\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
$2$. $x = a$ પરની શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (વિદ્યુતભાર ઘનતા $-2\sigma$): ક્ષેત્ર શીટ તરફ (ઋણ $x$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_2 = \frac{|-2\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{2\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$.
$3$. $x = 3a$ પરની શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$): ક્ષેત્ર શીટથી દૂર (ઋણ $x$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} - \frac{\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}) \hat{i} = -\frac{2\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}_P| = \frac{2\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
આને $\frac{x \sigma}{\epsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\rho$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો છે જેમાં એક ગોળાકાર પોલાણ (cavity) છે. પોલાણની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. આપણે આ તંત્રને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા મોટા નક્કર ગોળા અને પોલાણને ભરતા $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા નાના ગોળા તરીકે ગણી શકીએ છીએ.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર તેના કેન્દ્રથી $\vec{r}$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\vec{b}$ એ મોટા ગોળાના કેન્દ્ર $(O)$ થી બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{a}$ એ પોલાણના કેન્દ્ર $(Q)$ થી બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ છે. $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ મોટા ગોળા અને પોલાણના ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$\vec{E}_{net} = \vec{E}_{large} + \vec{E}_{cavity} = \frac{\rho \vec{b}}{3 \epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{a}}{3 \epsilon_0} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} (\vec{b} - \vec{a})$.
ભૂમિતિ પરથી,$\vec{b} - \vec{a} = \vec{r}$,જ્યાં $\vec{r}$ એ મોટા ગોળાના કેન્દ્રથી પોલાણના કેન્દ્ર સુધીનો અચળ સદિશ છે. આમ,$\vec{E}_{net} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$.
$\rho$,$\vec{r}$,અને $\epsilon_0$ અચળ હોવાથી,પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્યતર અને સમાન (uniform) છે.

(A) $r=R$ માટે,ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $E(4\pi R^2) = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{Ze}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$E = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 R^2}$,જે $a$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$1$ નો જવાબ $(A)$ છે.
$a=0$ માટે,ચાર્જ ઘનતા $\rho(r)$ એ $R$ પાયો અને $d$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ બને છે. કુલ ચાર્જ $Ze = \int_0^R \rho(r) 4\pi r^2 dr$.
કારણ કે $\rho(r) = d(1 - r/R)$,$Ze = 4\pi d \int_0^R (r^2 - r^3/R) dr = 4\pi d [R^3/3 - R^4/4R] = 4\pi d [R^3/12] = \frac{\pi d R^3}{3}$.
તેથી,$d = \frac{3Ze}{\pi R^3}$. તેથી,$2$ નો જવાબ $(B)$ છે.
ન્યુક્લિયસની અંદર $E \propto r$ માટે,ચાર્જ ઘનતા $\rho$ સમગ્ર કદમાં અચળ હોવી જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $a=R$ હોય. તેથી,$3$ નો જવાબ $(C)$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,ગોલીય સંમિત વિદ્યુતભાર વિતરણના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે: $E(4\pi r^2) = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \kappa r'^a 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3}$ થાય.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3} = \frac{\kappa r^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$ મળે.
આપેલ છે કે $E(r = R/2) = \frac{1}{8} E(r = R)$,તેથી:
$\frac{\kappa (R/2)^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\kappa R^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$(1/2)^{a+1} = 1/8$ મળે.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$,તેથી $a+1 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચ માટે જેનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે:
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$:
કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે,એટલે કે $E_{in} = 0$.
સપાટી પર $(r = R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_s = \frac{KQ}{R^2}$ છે.
કવચની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{out} = \frac{KQ}{r^2}$ છે,જે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$:
કવચની અંદર $(r \le R)$,વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,એટલે કે $V_{in} = \frac{KQ}{R}$.
કવચની બહાર $(r > R)$,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_{out} = \frac{KQ}{r}$ છે,જે $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $D$ સાચી રીતે દર્શાવે છે કે $r < R$ માટે $E=0$ છે અને $r \le R$ માટે $V$ અચળ છે.

(A) બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ નક્કર નળાકાર (પોલાણ વગરના) ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા $R/2$ ત્રિજ્યાના ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. $r = 2R$ અંતરે નક્કર નળાકારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$,જ્યાં $\lambda = \rho \pi R^2$.
$E_1 = \frac{\rho \pi R^2}{2 \pi \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. ગોળાકાર પોલાણને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (જેને $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળા તરીકે ગણવામાં આવે છે):
ગોળાનો વિદ્યુતભાર $q = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = -\frac{\rho \pi R^3}{6}$.
કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{|q|}{(2R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \pi R^3 / 6}{4R^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 - E_2$:
$E = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{\rho R}{\varepsilon_0} \left( \frac{24 - 1}{96} \right) = \frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0}$.
આપેલ છે કે $E = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$,તેથી $\frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$.
આમ,$96 = 16k \Rightarrow k = 6$.

(C) ત્રિજ્યા અને $q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત નક્કર ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. બહારના ભાગમાં $(r \geq a)$: $E = \frac{kq}{r^2}$
$2$. અંદરના ભાગમાં $(r < a)$: $E = \frac{kqr}{a^3}$
ગોળા $1$ માટે $(a = R/2, q = Q)$: બિંદુ $P$ એ $r = R$ અંતરે છે,જે બહારના ભાગમાં છે $(R > R/2)$.
$E_1 = \frac{kQ}{R^2}$
ગોળા $2$ માટે $(a = R, q = 2Q)$: બિંદુ $P$ એ $r = R$ અંતરે છે,જે સપાટી પર છે $(R = R)$.
$E_2 = \frac{k(2Q)}{R^2} = \frac{2kQ}{R^2}$
ગોળા $3$ માટે $(a = 2R, q = 4Q)$: બિંદુ $P$ એ $r = R$ અંતરે છે,જે અંદરના ભાગમાં છે $(R < 2R)$.
$E_3 = \frac{k(4Q)R}{(2R)^3} = \frac{4kQR}{8R^3} = \frac{kQ}{2R^2} = \frac{0.5kQ}{R^2}$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $E_2 = 2\frac{kQ}{R^2}$,$E_1 = 1\frac{kQ}{R^2}$,$E_3 = 0.5\frac{kQ}{R^2}$.
તેથી,$E_2 > E_1 > E_3$.

(D) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળામાં રહેલા ગોલીય પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. આપણે પોલાણવાળા ગોળાને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળા અને પોલાણને ભરતા $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા નાના ગોળાના સરવાળા તરીકે ગણીએ છીએ.
$R_1$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળાની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_1$ એ કેન્દ્ર $O$ થી સ્થાન સદિશ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યાના નાના ગોળા (પોલાણ) ની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_2$ એ કેન્દ્ર $P$ થી સ્થાન સદિશ છે.
પોલાણની અંદરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ છે.
કારણ કે $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{OP} = \vec{a}$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0}$ થાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (અચળ) છે અને તે ફક્ત મોટા ગોળાના કેન્દ્રને પોલાણના કેન્દ્ર સાથે જોડતા સદિશ $\vec{a}$ પર આધાર રાખે છે. તે પોલાણની અંદરના સ્થાન $\vec{r}$ થી સ્વતંત્ર છે અને ત્રિજ્યા $R_2$ થી પણ સ્વતંત્ર છે.

(B) વિસ્તાર $A$ $(0 \le r \le 1)$ માં વિદ્યુતભાર: $q_A = \int_0^1 (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^1 r^3 dr = 4\pi k [\frac{r^4}{4}]_0^1 = \pi k$.
વિસ્તાર $B$ $(1 \le r \le r_B)$ માં વિદ્યુતભાર: $q_B = \int_1^{r_B} (\frac{2k}{r}) 4\pi r^2 dr = 8\pi k \int_1^{r_B} r dr = 8\pi k [\frac{r^2}{2}]_1^{r_B} = 4\pi k (r_B^2 - 1)$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q(r_B) = q_A + q_B = \pi k + 4\pi k r_B^2 - 4\pi k = \pi k (4r_B^2 - 3)$.
$(A)$ $B$ ની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય જો $Q(r_B) = 0 \Rightarrow 4r_B^2 - 3 = 0 \Rightarrow r_B = \frac{\sqrt{3}}{2}$. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ $r = r_B$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{Q(r_B)}{4\pi \epsilon_0 r_B} = \frac{\pi k (4r_B^2 - 3)}{4\pi \epsilon_0 r_B} = \frac{k (4r_B^2 - 3)}{4 \epsilon_0 r_B}$. જો $r_B = \frac{3}{2}$ હોય,તો $V = \frac{k (4(9/4) - 3)}{4 \epsilon_0 (3/2)} = \frac{k (9-3)}{6 \epsilon_0} = \frac{6k}{6 \epsilon_0} = \frac{k}{\epsilon_0}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ જો $r_B = 2$ હોય,તો $Q = \pi k (4(2^2) - 3) = \pi k (16 - 3) = 13\pi k$. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q(r_B)}{4\pi \epsilon_0 r_B^2} = \frac{\pi k (4r_B^2 - 3)}{4\pi \epsilon_0 r_B^2} = \frac{k (4r_B^2 - 3)}{4 \epsilon_0 r_B^2}$. જો $r_B = \frac{5}{2}$ હોય,તો $E = \frac{k (4(25/4) - 3)}{4 \epsilon_0 (25/4)} = \frac{k (25-3)}{25 \epsilon_0} = \frac{22k}{25 \epsilon_0}$. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચની અંદર $(r < R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ હોય છે. તેથી,$(A)-(III)$.
$(B)$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ છે. તેથી,$(B)-(II)$.
$(C)$ ગોલીય કવચની બહાર $(r > R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર એવું હોય છે જાણે કે બધો જ વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય,$E = \frac{kQ}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi R^2)}{r^2} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$. તેથી,$(C)-(IV)$.
$(D)$ બે વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારિત અનંત શીટ્સની વચ્ચે,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$. તેથી,$(D)-(I)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(II), (C)-(IV), (D)-(I)$ છે.

(B) બે અનંત મોટા સમાંતર વાહક પ્લેટો માટે,વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી બહારની સપાટીઓ પર સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma_{out} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = \frac{\sigma + (-2\sigma)}{2} = -\frac{\sigma}{2}$ હોય.
અંદરની સપાટીઓ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{in1} = \sigma - (-\frac{\sigma}{2}) = \frac{3\sigma}{2}$ અને $\sigma_{in2} = -2\sigma - (-\frac{\sigma}{2}) = -\frac{3\sigma}{2}$ હશે.
પ્લેટોની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની સપાટીના વિદ્યુતભારોને કારણે છે: $E = \frac{\sigma_{in1}}{2\epsilon_0} + \frac{|\sigma_{in2}|}{2\epsilon_0} = \frac{3\sigma/2}{2\epsilon_0} + \frac{3\sigma/2}{2\epsilon_0} = \frac{3\sigma}{2\epsilon_0}$.
$+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE = q \left( \frac{3\sigma}{2\epsilon_0} \right) = \frac{3\sigma q}{2\epsilon_0}$ છે.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ બળ $T$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ છે.
અનંત લંબાઈની અવાહક પ્લેટ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં બળોના ઘટકો લેતા:
$T \sin(45^{\circ}) = F_e = qE = q \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right)$
$T \cos(45^{\circ}) = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg}$
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી:
$1 = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg} \implies \sigma = \frac{2\varepsilon_0 mg}{q}$
આપેલ કિંમતો: $m = 100 \ mg = 10^{-4} \ kg$,$q = 10 \ \mu C = 10^{-5} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \frac{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4} \times 10}{10^{-5}}$
$\sigma = 17.7 \times 10^{-10} \ C/m^2 = 1.77 \ nC/m^2$.

(C) $1$. અનંત વીજભારિત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે (ધન વીજભાર માટે). ધારો કે દરેક શીટનું ક્ષેત્ર $E_s = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ છે.
$2$. ગોળાની બહારના બિંદુ પર વીજભારિત ગોળાને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{sphere} = \frac{kQ}{r^2}$ છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે.
$3$. $C$ અને $D$ બિંદુઓ પર,બે શીટ્સને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે). આમ,$C$ અને $D$ પરનું કુલ ક્ષેત્ર માત્ર વીજભારિત ગોળાને કારણે છે. $C$ એ $D$ કરતા ગોળાથી વધુ દૂર હોવાથી,$E_C < E_D$,તેથી $\overrightarrow{E}_C \neq \overrightarrow{E}_D$.
$4$. $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર,બે શીટ્સને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (ડાબી તરફ) હોય છે. $A$ પર ગોળાનું ક્ષેત્ર ડાબી તરફ છે,જ્યારે $B$ પર તે જમણી તરફ છે. તેથી,$A$ પરનું કુલ ક્ષેત્ર એ શીટના ક્ષેત્રો અને ગોળાના ક્ષેત્રનો સરવાળો છે,જ્યારે $B$ પર તે તફાવત છે. આમ,$\overrightarrow{E}_A > \overrightarrow{E}_B$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત તાર કે જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ (જ્યાં $\lambda = q/L$) છે,તેનાથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$
અહીં $\lambda$,$\pi$,અને $\epsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$E \propto \frac{1}{r}$
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા તારના અક્ષથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) ગોળાના કેન્દ્રથી જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $20 \,V/m$ છે તે બિંદુનું અંતર $r = R + R = 2R$ થાય.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળાની બહારના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$20 = \frac{kQ}{(2R)^2} = \frac{kQ}{4R^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{kQ}{R^2} = 80 \,V/m$.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળાની અંદરના ભાગમાં કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{in} = \frac{kQx}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{R}{2}$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{in} = \frac{kQ(R/2)}{R^3} = \frac{kQ}{2R^2}$ થશે.
$\frac{kQ}{R^2} = 80$ મૂકતા,આપણને $E_{in} = \frac{80}{2} = 40 \,V/m$ મળે છે.

(A) ધારો કે અંદરના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q'$ છે. અંદરનું કવચ અર્થિંગ કરેલું હોવાથી,તેનો સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંદરના કવચની સપાટી પર તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $q'$ અને બહારના કવચ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે સ્થિતિમાન નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{kq'}{R} + \frac{kQ}{3R} = 0$
$q'$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$\frac{kq'}{R} = -\frac{kQ}{3R} \implies q' = -\frac{Q}{3}$
હવે,આપણે કેન્દ્રથી $r = 2R$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાની જરૂર છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બે કવચની વચ્ચેના બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર અંદરના કવચ પરના વિદ્યુતભારને કારણે હોય છે.
$E_p = \frac{k|q'|}{r^2} = \frac{k(Q/3)}{(2R)^2} = \frac{kQ/3}{4R^2} = \frac{kQ}{12R^2}$

(B) ધારો કે $\rho$ એ ઘન ગોળાની સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. પોલાણની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા ગણી શકાય છે,જેમાં પોલાણને $-\rho$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા ગોળા તરીકે ગણવામાં આવે છે જે $+\rho$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા મૂળ ઘન ગોળા પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
$\vec{E}_{P} = \vec{E}_{\text{sphere}} + \vec{E}_{\text{cavity}}$
સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર માટેના સૂત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \varepsilon_0}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{E}_{P} = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0} + \frac{(-\rho) \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{r}_1 = \vec{C}_1\vec{C}_2 + \vec{r}_2$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{C}_1\vec{C}_2$.
તેથી,$\vec{E}_{P} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{C}_1\vec{C}_2$.
અહીં $\rho$,$\varepsilon_0$,અને સદિશ $\vec{C}_1\vec{C}_2$ (બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું સ્થાનાંતર) અચળ હોવાથી,પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{P}$ શૂન્યતર અને સમાન (uniform) છે.

(B) ધારો કે ગોળા $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને તેનું દળ $m$ છે. મોટી વિદ્યુતભારીત વાહક પ્લેટ $P$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
ગોળા પર લાગતું વિદ્યુતબળ $F_e = qE = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરામાં તણાવબળ $T$.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. વિદ્યુતબળ $F_e = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}$ જે પ્લેટથી દૂર આડી દિશામાં લાગે છે.
તણાવબળ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
$T \cos \theta = mg$ $(i)$
$T \sin \theta = F_e = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{q\sigma / 2\varepsilon_0}{mg}$
$\tan \theta = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg}$
અહીં $q, \varepsilon_0, m,$ અને $g$ અચળ હોવાથી:
$\sigma \propto \tan \theta$.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a < R < b$ હોય તેવી $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટી માટે,આ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર ફક્ત અંદરના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે,જે $+3Q$ છે.
તેથી,$E(4 \pi R^2) = \frac{3Q}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{3Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$ મળે છે.

(C) વાહક ગોળાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $A = 4 \pi R^2$ એ ગોળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\sigma = 1.8 \times 10^{-6} \ C/m^2$,$R = 0.1 \ m$.
$q = (1.8 \times 10^{-6}) \times (4 \pi \times (0.1)^2) = 1.8 \times 10^{-6} \times 4 \pi \times 0.01 = 7.2 \pi \times 10^{-8} \ C$.
કેન્દ્રથી $d = 0.2 \ m$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{d^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{0.04} = \frac{1.8 \pi \times 10^{-8}}{\pi \varepsilon_0} = \frac{1.8 \times 10^{-8}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$E \approx \frac{2 \times 10^{-7}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$ મળે છે.

(C) $A < R < B$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે, આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કેન્દ્ર પર $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટીની કલ્પના કરો.
આ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર ફક્ત અંદરના નક્કર ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે, જે $+3Q$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ, $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_{\text{enclosed}}}{R^2}$
$q_{\text{enclosed}} = 3Q$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q}{R^2} = \frac{3Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$

(A) ગોસના પ્રમેય મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E \cdot A = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ એ ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે:
$q_{enc} = \rho \times V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ગોસના નિયમમાં મૂકતા:
$E (4 \pi r^2) = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{\varepsilon_0}$.
બંને બાજુ $4 \pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ વિદ્યુતભાર $q$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\sigma = \frac{q}{A} = \frac{17.7 \times 10^{-4} \ C}{200 \ m^2} = 8.85 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
એક મોટી અવાહક શીટ માટે,તેની નજીકના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ એ અંતરથી સ્વતંત્ર છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{8.85 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-6}}{2 \times 10^{-12}} = 0.5 \times 10^6 = 5 \times 10^5 \ N/C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વિદ્યુતભારીત ગોળાના કેન્દ્રથી '$r$' અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ કુલંબના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \quad (1)$
'$r$' ત્રિજ્યા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા '$\rho$' ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $q$ નીચે મુજબ છે:
$q = \rho \times \text{કદ} = \rho \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$q$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત પાતળી અનંત સમતલ શીટ કે જેની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે,તેની બહારના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
અહીં,$\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં અંતર $d$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા સમતલ શીટથી અંતર $d$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચના કેન્દ્રથી $r$ $(r > R)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{4\pi R^{2}}$ હોવાથી,$q = \sigma(4\pi R^{2})$ થાય.
વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં $q$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{\sigma(4\pi R^{2})}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0}r^{2}}$.

(B) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત નળાકારની અક્ષથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
આ સૂત્રને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$E = \frac{2k\lambda}{r}$,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N m^{2} C^{-2}$.
આપેલ છે:
$\lambda = 4 \mu C m^{-1} = 4 \times 10^{-6} \ C m^{-1}$
$r = 3.6 \ cm = 3.6 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^{9}) \times (4 \times 10^{-6})}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{72 \times 10^{3}}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = 20 \times 10^{5} \ NC^{-1} = 2 \times 10^{6} \ NC^{-1}$

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા નક્કર ગોળાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારીત ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ છે.
સૂત્રમાં $Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{r^2}$ મળે છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ મળે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારિત વાહકની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા વાહકની સપાટીને લંબ દિશામાં હોય છે.
જો ક્ષેત્ર લંબ ન હોત,તો વિદ્યુતક્ષેત્રનો એક ઘટક સપાટીને સમાંતર હોત,જેના કારણે વાહક પરના મુક્ત વિદ્યુતભારો ગતિ કરવા લાગત,જે સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનની ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે અને તે સપાટીને લંબ છે.

(B) ધારો કે $\rho$ એ અચળ કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. $r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા ગાઉસિયન નળાકાર દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q = \rho V = \rho (\pi r^2 L)$ છે.
ગાઉસના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
નળાકાર ગાઉસિયન સપાટી માટે,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E(2 \pi r L)$ છે અને સપાટ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
તેથી,$E(2 \pi r L) = \frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0}$ મળે છે.
અહીં $\rho$,$2$,અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,$E \propto r$ થાય છે.

(D) આપેલ છે:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 9 \times 10^4 \text{ N/C}$
અંતર $r = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$
કુલંબ અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$
અનંત રેખીય વીજભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$
રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(9 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})}{2 \times (9 \times 10^9)}$
$\lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9}$
$\lambda = 10^{-7} \text{ C/m}$
$\mu\text{C/m}$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\lambda = 0.1 \times 10^{-6} \text{ C/m} = 0.1 \mu\text{C/m}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી પાતળી અનંત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પ્લેટો સમાન ધન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 17.7 \times 10^{-22} \ C/m^2$ ધરાવતી હોવાથી,બીજી પ્લેટના બહારના વિસ્તારમાં બંને પ્લેટો દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (પ્લેટોથી દૂર) હોય છે.
તેથી,બહારના વિસ્તારમાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ બંને પ્લેટોના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.
અહીં $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ લેતા:
$E = \frac{17.7 \times 10^{-22}}{8.85 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-10} \ N/C$.

(C) અનંત વિદ્યુતભારિત સમતલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની અસર હેઠળ સંતુલનમાં રહેલા સાદા લોલક માટે,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = q_0 E$ છે.
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$T \sin \theta = q_0 E$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{q_0 E}{mg}$
એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અનંત સમતલને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
આ કિંમતને $\tan \theta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{q_0}{mg} \left( \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \right)$
અહીં $q_0$,$m$,$g$ અને $\varepsilon_0$ અચળ હોવાથી:
$\tan \theta \propto \sigma$
અથવા,$\sigma \propto \tan \theta$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
ઘનના શિરોબિંદુ પર મૂકેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને આવરી લેવા માટે,આપણે $8$ સમાન ઘનનો ઉપયોગ કરીને એક મોટો સમપ્રમાણ ઘન બનાવવો પડે જેથી વિદ્યુતભાર $q$ આ મોટા ઘનના કેન્દ્રમાં રહે.
મોટા ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર ખૂણા પર હોવાથી,મૂળ ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ કુલ ફ્લક્સના $\frac{1}{8}$ ભાગનું એટલે કે $\frac{q}{8 \varepsilon_0}$ થાય.
મૂળ ઘનની $6$ સપાટીઓમાંથી,$3$ સપાટીઓ તે શિરોબિંદુ પર મળે છે જ્યાં વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ આ $3$ સપાટીઓને સમાંતર હોવાથી,તેમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $0$ થાય છે.
બાકીની $3$ સપાટીઓ ફ્લક્સને સમાન રીતે વહેંચે છે.
તેથી,આ $3$ સપાટીઓમાંથી કોઈપણ એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{1}{3} \times \frac{q}{8 \varepsilon_0} = \frac{q}{24 \varepsilon_0}$ થાય.

(B) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી એક પાતળી અનંત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી બે સમાંતર શીટ્સ માટે:
$1$. શીટ્સની વચ્ચે: બે શીટ્સને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$ થાય છે.
$2$. શીટ્સની બહાર: બંને શીટ્સને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોય છે. તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
આમ,શીટ્સની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $0$ છે અને શીટ્સની બહાર $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અનંત લંબાઈના સીધા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત તારથી $r$ લંબ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
આપેલ છે:
$E = 3 \times 10^8 \ N C^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N m^2 C^{-2}$
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-2})}{2 \times (9 \times 10^9)}$
$\lambda = \frac{6 \times 10^6}{18 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \ C/m$
$\lambda = 0.3333 \times 10^{-3} \ C/m = 333 \times 10^{-6} \ C/m$
$\lambda = 333 \ \mu C/m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,સમાન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત અવાહક સમતલ શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
જ્યાં $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને શીટને લંબ દિશામાં હોય છે.

(A) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ધન પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી બે સમાંતર શીટ્સ માટે,શીટ $1$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_1)$ તેનાથી દૂરની દિશામાં (શીટ્સની વચ્ચેના વિસ્તારમાં જમણી તરફ) હોય છે,અને શીટ $2$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_2)$ તેનાથી દૂરની દિશામાં (શીટ્સની વચ્ચેના વિસ્તારમાં ડાબી તરફ) હોય છે.
બે શીટ્સની વચ્ચેના વિસ્તારમાં,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બંને ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$E_{net} = E_1 - E_2$
બંને શીટ્સની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ સમાન હોવાથી,$E_1 = E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ થાય.
તેથી,$E_{net} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = 0$.
આમ,બે શીટ્સની વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(B) અનંત લંબાઈના,સીધા,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત તારથી $r$ જેટલા લંબ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$,ગૌસના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
અહીં,$\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે,$\varepsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\pi$ એ અચળાંક છે.
જેহেতু $\lambda$,$\pi$ અને $\varepsilon_{0}$ અચળ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર અને અંતર વચ્ચેનો સંબંધ:
$E \propto \frac{1}{r}$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.