Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા વાહક ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે તમામ વિદ્યુતભારો સપાટી પર રહેલા હોય છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$,ગોળો તેના કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
$3$. તેથી,$r < R$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $r \geq R$ માટે તે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે. આ વર્તણૂક દર્શાવતો આલેખ $A$ છે,જ્યાં $r=R$ સુધી $E=0$ છે અને ત્યારબાદ તે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(C) આપેલ છે,અનંત લંબાઈના તારની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા,$\lambda = \frac{1}{4} \times 10^{-2} \text{ C/m} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C/m}$.
તારથી અંતર,$r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
અનંત લંબાઈના સીધા તારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (2.5 \times 10^{-3})}{0.2}$
$E = \frac{45 \times 10^6}{0.2} = 2.25 \times 10^8 \text{ N/C}$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) એક સમાન લાંબા સીધા વિદ્યુતભારીત તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $(E)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
આપેલ છે:
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = 0.2 \ \mu Cm^{-1} = 0.2 \times 10^{-6} \ Cm^{-1}$
અંતર $r = 3 \ m$
કુલંબ અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (0.2 \times 10^{-6})}{3}$
$E = \frac{18 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-6}}{3}$
$E = 6 \times 0.2 \times 10^3$
$E = 1.2 \times 10^3 \ Vm^{-1}$

(A) અનંત રેખીય વીજભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$ છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $E = \frac{2k\lambda}{r}$,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$ અને $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$.
રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 0.02}{2 \times 9 \times 10^9}$.
$\lambda = \frac{1800}{18 \times 10^9} = 100 \times 10^{-9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$.

(B) મોટી વિદ્યુતભારિત પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ છે.
આપેલ છે,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટને અથડાયા વગર પાછો ફરે તે માટે,પ્લેટની સપાટી પર તેની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ હોવી જોઈએ.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0$ લેતા,$K_i = U_f = e \cdot V$,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ છે.
તેથી,$K_i = e \cdot \left( \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} \right) \cdot d$.
કિંમતો મૂકતા: $100 \times 1.6 \times 10^{-19} = (1.6 \times 10^{-19}) \cdot \left( \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} \right) \cdot d$.
$100 = \frac{10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} \cdot d$.
$100 = \frac{10^6}{8.85} \cdot d$.
$d = \frac{885}{10^6} \approx 0.44 \times 10^{-3} \ m = 0.44 \ mm$.

(A) અનંત રેખીય વીજભાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
આપેલ કિંમતો:
$E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} = 2 \times 9 \times 10^9 = 18 \times 10^9$.
રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = E \cdot 2 \pi \varepsilon_0 \cdot r = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0})} = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (9 \times 10^9)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-2}}{2 \times 9 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$
$\lambda = 0.1 \times 10^{-6} \ Cm^{-1} = 0.1 \ \mu C \ m^{-1}$.

(A) અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ એકમ સદિશ છે જે શીટથી દૂરની દિશામાં છે.
બિંદુ $P$ પર ($z=a$ અને $z=2a$ ની વચ્ચે):
$1$. $z=2a$ પર $+\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટને કારણે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (નીચેની દિશામાં).
$2$. $z=a$ પર $-2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટને કારણે: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ (શીટ તરફ,એટલે કે નીચેની દિશામાં).
$3$. $z=-a$ પર $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટને કારણે: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (શીટ તરફ,એટલે કે નીચેની દિશામાં).
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$.
$-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = (-q) \vec{E}_{net} = (-q) \left(-\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}\right) = +\frac{2q\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ થાય.

(A) અનંત લંબાઈની અવાહક શીટ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શીટ્સ $Z = 3a$ $(\sigma)$,$Z = a$ $(-2\sigma)$,અને $Z = -a$ $(-\sigma)$ પર છે. બિંદુ $P$ એ $Z = a$ અને $Z = 3a$ ની વચ્ચે છે.
$1$. $Z = 3a$ પરની શીટ $(\sigma)$: બિંદુ $P$ તેની નીચે છે,તેથી ક્ષેત્ર $-\hat{k}$ દિશામાં છે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ પરની શીટ $(-2\sigma)$: બિંદુ $P$ તેની ઉપર છે,તેથી ક્ષેત્ર શીટ તરફ ($+\hat{k}$ દિશામાં) છે: $\vec{E}_2 = \frac{2\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ પરની શીટ $(-\sigma)$: બિંદુ $P$ તેની ઉપર છે,તેથી ક્ષેત્ર શીટ તરફ ($+\hat{k}$ દિશામાં) છે: $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{k}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}) \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{k}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $A$ ગણી શકાય છે.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
આપેલ છે: $\lambda = \frac{1}{3} \text{ C m}^{-1}$,$r = 18 \text{ cm} = 0.18 \text{ m}$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (1/3) \times 9 \times 10^9}{0.18} = \frac{6 \times 10^9}{0.18} = \frac{600 \times 10^9}{18} = \frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}$.
$q = 3 \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F$:
$F = qE = (3 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (\frac{1}{3} \times 10^{11} \text{ N/C}) = 10^5 \text{ N}$.

(C) ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $1/\epsilon_0$ ગણું હોય છે.
જ્યારે કુલંબનો નિયમ બિંદુવત વિદ્યુતભારોના વિદ્યુતક્ષેત્રને શોધવા માટે વપરાય છે,ત્યારે સતત વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે તે ગાણિતિક રીતે જટિલ બની જાય છે.
ગોસનો નિયમ ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે ખૂબ જ શક્તિશાળી છે જ્યાં વિદ્યુતભાર વિતરણ ઉચ્ચ કક્ષાની સંમિતિ (જેમ કે ગોલીય,નળાકાર અથવા સમતલીય સંમિતિ) ધરાવતું હોય.
યોગ્ય ગોસિયન સપાટી પસંદ કરીને,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q_{enc} / \epsilon_0$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્ર સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે.

(B) અનંત રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{line} = \frac{2k\lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે તેનાથી $(d-r)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{point} = \frac{kq}{(d-r)^2}$ છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંનેના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $E_{line} = E_{point}$.
કિંમતો મૂકતા $\lambda = 1 \ C \ m^{-1}$,$q = 1 \ C$,અને $d = 3 \ m$:
$\frac{2k(1)}{r} = \frac{k(1)}{(3-r)^2}$
$\frac{2}{r} = \frac{1}{(3-r)^2}$
$2(3-r)^2 = r$
$2(9 - 6r + r^2) = r$
$18 - 12r + 2r^2 = r$
$2r^2 - 13r + 18 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4} = \frac{13 \pm 5}{4}$
$r_1 = \frac{18}{4} = 4.5 \ m$ અને $r_2 = \frac{8}{4} = 2 \ m$.
બિંદુ ઉગમબિંદુ અને વિદ્યુતભારની વચ્ચે હોવું જોઈએ $(0 < r < 3)$,તેથી માન્ય અંતર $r = 2 \ m$ છે.

(D) અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $x$ ત્રિજ્યાવર્તી અંતરે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 x}$.
આપેલ છે: $\lambda = 2.5 \times 10^{-7} \ Cm^{-1}$,$E = 7.5 \times 10^4 \ NC^{-1}$,અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
$x$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $x = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 E} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 E}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{2 \times (2.5 \times 10^{-7}) \times (9 \times 10^9)}{7.5 \times 10^4}$.
$x = \frac{5 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9}{7.5 \times 10^4} = \frac{45 \times 10^2}{7.5 \times 10^4} = \frac{45}{7.5} \times 10^{-2} \ m$.
$x = 6 \times 10^{-2} \ m = 6 \ cm$.

(D) $1$. વાહક ગોળાકાર કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે કવચ પરના વિદ્યુતભારો આંતરિક ક્ષેત્રને નાબૂદ કરવા માટે પોતાની જાતે પુનઃવિતરિત થાય છે. તેથી, કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ પર લાગતું બળ $F_1 = q_1 \times E_{in} = q_1 \times 0 = 0$ છે。
$2$. કવચની બહાર $x$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_2$ માટે, ગોસના નિયમ મુજબ કવચ તેના કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ તરીકે વર્તે છે. આ ઉપરાંત, કેન્દ્ર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ પણ $q_2$ પર બળ લગાડે છે。
$3$. $q_2$ ના સ્થાન પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $Q$ અને $q_1$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે, જે $E_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{x^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ છે。
$4$. $q_2$ પર લાગતું બળ $F_2 = q_2 \times E_{total} = \frac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ થાય છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ઘન ગોળાને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \begin{cases} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q r}{R^3} ; & \text{માટે } r < R \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} ; & \text{માટે } r \geq R \end{cases}$
$r < R$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(E \propto r)$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$r \geq R$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(E \propto 1/r^2)$,જે અતિવલય વક્ર દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(C) ધારો કે પોલાણ બનાવતા પહેલા ઘન ગોળાનો વિદ્યુતભાર $Q_0$ છે. સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળાની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} = \frac{Q_0 \vec{r}}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,પોલાણના કેન્દ્ર $(O')$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ મૂળ ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર અને દૂર કરેલા ગોળાકાર ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો તફાવત છે.
$E = E_{Q_0} - E_{\text{cavity}} = \frac{Q_0}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \left( \frac{R}{2} \right) - 0 = \frac{Q_0}{8 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{Q_0}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{1}{2} \right)$.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતભાર એ કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{Q}{Q_0} = \frac{V_{\text{sphere}} - V_{\text{cavity}}}{V_{\text{sphere}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi (R/4)^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$.
આમ,$Q_0 = Q \left( \frac{64}{63} \right)$.
$Q_0$ ની કિંમત $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{Q (64/63)}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{32}{63} \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right) \approx 0.5079 \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right)$.
આને $E = K \left( \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K \approx 0.51$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,ગોળાની કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho_v = 1 \times 10^{-6} \ C/m^3$ છે.
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ છે.
કેન્દ્રથી અંતર $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ છે.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદરના બિંદુ માટે,ગૌસના નિયમ મુજબ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{\rho_v r}{3 \epsilon_0}$
કારણ કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,તેથી $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{\rho_v r}{3} \times (36 \pi \times 10^9)$
$E = \rho_v r \times 12 \pi \times 10^9$
$\rho_v$ અને $r$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = (1 \times 10^{-6}) \times (10^{-3}) \times 12 \pi \times 10^9$
$E = 10^{-9} \times 12 \pi \times 10^9$
$E = 12 \pi \ N/C$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $12 \pi \ N/C$ છે.

(A) ગોળાકાર વિદ્યુતભાર વિતરણની અંદર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E(r) = \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$,જ્યાં $q_{enc}$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર છે.
ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr'$ છે.
$\rho(r') = \rho_0 \left[1 - \left(\frac{r'}{R}\right)^3\right]$ મૂકતા:
$q(r) = 4\pi\rho_0 \int_0^r \left(r'^2 - \frac{r'^5}{R^3}\right) dr' = 4\pi\rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^6}{6R^3} \right]$.
આમ,$E(r) = \frac{4\pi\rho_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^6}{6R^3} \right) = \frac{\rho_0}{\epsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^4}{6R^3} \right)$.
મહત્તમ ક્ષેત્ર માટે,$\frac{dE}{dr} = 0$:
$\frac{d}{dr} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^4}{6R^3} \right) = \frac{1}{3} - \frac{4r^3}{6R^3} = 0$.
$\frac{1}{3} = \frac{2r^3}{3R^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{2} \Rightarrow r = \frac{R}{2^{1/3}}$.

(A) અનંત લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
આ સૂત્રને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = 2k \frac{\lambda}{r}$
જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = \frac{1}{3} \, C \cdot m^{-1}$
$r = 18 \, cm = 0.18 \, m = 18 \times 10^{-2} \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = 2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{1/3}{18 \times 10^{-2}}$
$E = 18 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 18 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{18 \times 10^9}{54 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{1}{3} \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$
$E \approx 0.33 \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$

(D) પોલા ગોળાકાર કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને ગોળાના પૃષ્ઠફળ $(4 \pi r^2)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે: $q = \sigma \times 4 \pi r^2$.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમઘનની બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમઘન એ સંમિત બંધ સપાટી હોવાથી અને વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્રમાં હોવાથી,ફ્લક્સ સમઘનની તમામ $6$ સપાટીઓમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સમઘનની એક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{q}{\varepsilon_0}$ થશે.
$q$ ની કિંમત મૂકતા: $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{\sigma \times 4 \pi r^2}{\varepsilon_0} = \frac{2 \pi r^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$.

(D) $d \leq 1 \text{ cm}$ અંતરે (નક્કર ગોળાની અંદર) વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કેન્દ્ર પર $d$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાને ગૌસિયન સપાટી તરીકે ધ્યાનમાં લો.
આ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho_1 \cdot V = \rho_1 \cdot (\frac{4}{3} \pi d^3)$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
$E(4 \pi d^2) = \frac{\rho_1 (\frac{4}{3} \pi d^3)}{\varepsilon_0}$.
$E = \frac{\rho_1 d}{3 \varepsilon_0}$.
અહીં $\rho_1 = -3 \text{ C/cm}^3$ આપેલ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_d| = |\frac{-3 d}{3 \varepsilon_0}| = \frac{d}{\varepsilon_0}$ થાય.
આમ,$d \leq 1 \text{ cm}$ માટે,$E_d = \frac{d}{\varepsilon_0}$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય $\oint E \cdot ds = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલાણની અંદર $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી (જ્યાં $r < R_1$) ગોસીય સપાટી માટે,ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર માત્ર કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવેલ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ છે.
તેથી,$E(4 \pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ મળે છે.
વાહક કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ પોલાણની અંદરના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતો નથી,કારણ કે ગોળીય સંમિત વિદ્યુતભારિત કવચને લીધે તેની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(A) મોટી ચાર્જ્ડ પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું હોવું જોઈએ.
$W = \Delta K$
$F \cdot d = K_{initial}$
$(qE)d = K_{initial}$
$q \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} \right) d = K_{initial}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\sigma = 8.85 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$
$\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \ C^{2} \ N^{-1} \ m^{-2}$
$K_{initial} = 8 \times 10^{-17} \ J$
ગણતરી મુજબ,જો આપણે $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ લઈએ (જેમ કે બે પ્લેટો વચ્ચે હોય),તો $d = 0.5 \ mm$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\Phi = a r^2 + b$ આપેલ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $\Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{d\Phi}{dr}$ છે.
તેથી,$E = -\frac{d}{dr}(a r^2 + b) = -2ar$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર $E(r)$ માટે ડાયવર્જન્સ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
$E = -2ar$ મૂકતા:
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2a r^3) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} (-6a r^2) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$-6a = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
તેથી,$\rho = -6a \varepsilon_0$.

(B) અનંત અવાહક શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેના સંબંધ $|dV| = |E| dr$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta V$ સ્થિતિમાન તફાવત ધરાવતા બે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વચ્ચેનું અંતર $r = \frac{\Delta V}{E}$ થાય.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$r = \frac{\Delta V \cdot 2 \varepsilon_0}{\sigma} = \frac{\Delta V}{2 \pi \sigma (1 / 4 \pi \varepsilon_0)}$ મળે.
અહીં $\Delta V = 90 \text{ V}$,$\sigma = 2 \times 10^{-7} \text{ C/m}^2$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ આપેલ છે.
તેથી,$r = \frac{90}{2 \pi \times 2 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9} = \frac{90}{3600 \pi} \text{ m} = \frac{1}{40 \pi} \text{ m} = \frac{1000}{40 \pi} \text{ mm} = \frac{25}{\pi} \text{ mm}$.

(C) પ્રશ્ન મુજબ,બે મોટી સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યા સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા પદાર્થથી ભરેલી છે. તે એક સમાંગ માધ્યમ હોવાથી,આ પ્લેટો વચ્ચેના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાનની ગણતરી પોઈસન (Poisson's) ના સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
આપણે $x$-દિશામાં કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવાની હોવાથી,$y$ અને $z$ દિશામાં સ્થિતિમાનનું વિકલન શૂન્ય થશે.
તેથી,સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\frac{d^2 V}{d x^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d^2 V}{d x^2} dx = -\int \frac{\rho}{\varepsilon_0} dx$
$\frac{d V}{d x} = -\frac{\rho x}{\varepsilon_0} - A$
ફરીથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d V}{d x} dx = \int \left( -\frac{\rho x}{\varepsilon_0} - A \right) dx$
$V = -\frac{\rho x^2}{2 \varepsilon_0} - Ax - B$
$V = -\left( \frac{\rho x^2}{2 \varepsilon_0} + Ax + B \right)$

(A) વીજભારિત અનંત વાહક શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે,અવાહક શીટ માટે,$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ થાય. વિકલ્પો અને આપેલી સોલ્યુશન ઈમેજના સંદર્ભને જોતા,દડા પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ છે.
દડા $B$ પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લેતા: વિદ્યુત બળ $F$ આડું (ક્ષૈતિજ) લાગે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
સંતુલનમાં,દોરીમાં રહેલું તણાવ આ બળોને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{q\sigma / 2\varepsilon_{0}}{mg} = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_{0}mg}$.

(A) સમાન સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}$ (જ્યાં $z > 0$) દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુ $A$ અને $B$ ના $z$-યામ ધન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}$ લેવામાં આવે છે.
કાર્ય $W = -q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -q \vec{E} \cdot (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A})$.
અહીં $\vec{r}_{A} = a(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ અને $\vec{r}_{B} = a(\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_{B} - \vec{r}_{A} = a(-4\hat{j} + 3\hat{k})$.
કાર્ય $W = -q (\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{k}) \cdot a(-4\hat{j} + 3\hat{k}) = -\frac{q \sigma a}{2\varepsilon_{0}} (3) = -\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$.
નોંધ: કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{3q \sigma a}{2\varepsilon_{0}}$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના ગોળા માટે,સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન હોય છે,તેથી $E(4 \pi R^{2}) = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ એ ગોળાના કદ પર કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = k r$ નું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$q_{enclosed} = \int_{0}^{R} \rho (4 \pi r^{2}) dr = \int_{0}^{R} (k r) (4 \pi r^{2}) dr = 4 \pi k \int_{0}^{R} r^{3} dr = 4 \pi k \left[ \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{R} = \pi k R^{4}$.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા:
$E(4 \pi R^{2}) = \frac{\pi k R^{4}}{\varepsilon_{0}}$.
$E$ માટે ઉકેલતા:
$E = \frac{\pi k R^{4}}{4 \pi R^{2} \varepsilon_{0}} = \frac{k R^{2}}{4 \varepsilon_{0}}$.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન વિદ્યુતભારિત સમતલ $(+\sigma)$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{+}$ સમતલથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
ઋણ વિદ્યુતભારિત સમતલ $(-\sigma)$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{-}$ સમતલ તરફની દિશામાં હોય છે.
બંને સમતલોની વચ્ચે,બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં એટલે કે ધન સમતલથી ઋણ સમતલ તરફ હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_{+} + E_{-} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ થાય.
તેની દિશા ધન સમતલથી ઋણ સમતલ તરફ હોય છે.

(D) $\sigma$ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ એકમ સદિશ છે જે શીટથી દૂરની દિશામાં છે.
બિંદુ $(0, 2a, 0)$ પર,સ્થાન $Y=2a$ છે.
$1$. $Y=a$ પર $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે: બિંદુ શીટની જમણી બાજુએ છે. ક્ષેત્ર શીટ તરફ (ઋણ $Y$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_1 = -\frac{-\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j}$.
$2$. $Y=3a$ પર $2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે: બિંદુ શીટની ડાબી બાજુએ છે. ક્ષેત્ર શીટથી દૂર (ઋણ $Y$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{j}$.
$3$. $Y=4a$ પર $4\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે: બિંદુ શીટની ડાબી બાજુએ છે. ક્ષેત્ર શીટથી દૂર (ઋણ $Y$-દિશામાં) નિર્દેશિત થાય છે. $\vec{E}_3 = -\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{j}$.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \right) \hat{j} = \frac{\sigma - 2\sigma - 4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j} = -\frac{5\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{j}$.

(B) વિદ્યુતભારીત નક્કર નળાકારની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલા નળાકારની અક્ષ પર રહેલ '$x$' ત્રિજ્યા અને '$\ell$' લંબાઈ ધરાવતા નળાકારને ગૌસિયન સપાટી તરીકે ધ્યાનમાં લો.
આ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho \times V = \rho (\pi x^{2} \ell)$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enc}}{k \varepsilon_{0}}$ છે.
નળાકારની વક્ર સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અને સમાન હોવાથી,ફ્લક્સ $E(2 \pi x \ell)$ થાય છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $E(2 \pi x \ell) = \frac{\rho \pi x^{2} \ell}{k \varepsilon_{0}}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\rho x}{2 k \varepsilon_{0}}$ મળે છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = q / \varepsilon_{0}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ ઘનને $8$ સમાન ઘન ધરાવતી મોટી ગૌસિયન સપાટીનો ભાગ ગણી શકાય,જેથી વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રમાં આવી જાય.
આમ,આખા ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{cube} = q / (8 \varepsilon_{0})$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ ઘનની ત્રણ બાજુઓ પર સ્થિત છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ આ ત્રણ બાજુઓને સમાંતર હોવાથી,આ ત્રણ બાજુઓમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
બાકીનું ફ્લક્સ $\phi_{cube}$ ઘનની અન્ય ત્રણ બાજુઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે.
તેથી,બાકીની ત્રણ બાજુઓમાંથી કોઈપણ એકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{3} \times \phi_{cube} = \frac{1}{3} \times \frac{q}{8 \varepsilon_{0}} = \frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ થાય.

(A) વિદ્યુતભારો $X$-અક્ષ પર $0.5R$ ના અંતરે ગોઠવાયેલા છે. એક વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુ (ગોળાનું કેન્દ્ર) પર હોવાથી,વિદ્યુતભારોના સ્થાન $x = 0, \pm 0.5R, \pm 1.0R, \pm 1.5R, \dots$ થશે.
$1.5R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોલીય સપાટી માટે,અંદર રહેલા વિદ્યુતભારો $x = 0, x = +0.5R, x = -0.5R, x = +1.0R$ અને $x = -1.0R$ પર છે.
કુલ અંદર રહેલા વિદ્યુતભારોની સંખ્યા $1 + 2 + 2 = 5$ છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ થાય.
અંદરના કુલ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય મૂકતા,$\phi = \frac{5q}{\epsilon_0}$ મળે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તારની વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ,દરેક તારથી અંતર $r = R$ થાય છે.
ધન વિદ્યુતભારિત તાર $(+\lambda)$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે અને ઋણ વિદ્યુતભારિત તાર $(-\lambda)$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે.
મધ્યબિંદુ બંને તારની વચ્ચે હોવાથી,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એક જ દિશામાં (ધન તારથી ઋણ તાર તરફ) હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{total} = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi \epsilon_0 R}$ થાય.