$\mathrm{R}$ ત્રિજ્યાના ગોળાનો વિચાર કરો કે જેના પર વિધુતભાર ઘનતાનું વિતરણ $p\left( r \right){\rm{ }} = {\rm{ }}kr,{\rm{ }}r \le R{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ અને $r\, >\, R$.
$(a)$ $\mathrm{r}$ જેવાં અંતરે આવેલાં બધા બિંદુઓએ વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
$(b)$ ધારોકે, ગોળા પરનો કુલ વિધુતભાર $2\mathrm{e}$ છે જ્યાં $\mathrm{e}$ એ ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિધુતભાર છે. બે પ્રોટોન્સને કયાં જડિત કરી ( મૂકી ) શકાય કે જેથી તેમની દરેક પર લાગતું બળ શૂન્ય છે. એવું ધારી લો કે, પ્રોટોનને દાખલ કરવાથી ઋણ વિધુતભાર વિતરણમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$\mathrm{R}$ ત્રિજ્યાના ગોળાનો વિચાર કરો કે જેના પર વિધુતભાર ઘનતાનું વિતરણ $p\left( r \right){\rm{ }} = {\rm{ }}kr,{\rm{ }}r \le R{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ અને $r\, >\, R$.
$(a)$ $\mathrm{r}$ જેવાં અંતરે આવેલાં બધા બિંદુઓએ વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
$(b)$ ધારોકે, ગોળા પરનો કુલ વિધુતભાર $2\mathrm{e}$ છે જ્યાં $\mathrm{e}$ એ ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિધુતભાર છે. બે પ્રોટોન્સને કયાં જડિત કરી ( મૂકી ) શકાય કે જેથી તેમની દરેક પર લાગતું બળ શૂન્ય છે. એવું ધારી લો કે, પ્રોટોનને દાખલ કરવાથી ઋણ વિધુતભાર વિતરણમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$(a)$ ધારોકે, $R$ ત્રિજ્યાવાળો ગોળો $5$ છે અને બે ધારેલા ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r< R$ અને $r> R$ છે
હવે $r< R$ બિદુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા, $\iint \overrightarrow{ E } \cdot d \overrightarrow{ S }=\frac{1}{\epsilon_{0}} \int \rho d V \quad\left[\because \Sigma q=\int \rho d V \right]$
પણ $કદ V =\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$\therefore d V =\frac{4}{3} \pi \times 3 r^{2} d r$
$=4 \pi r^{2} d r$
અને $\rho(r)=k r \quad(r< R$ માટે $)$
$\therefore \int \overrightarrow{ E } \cdot d \overrightarrow{ S }=\frac{1}{\epsilon_{0}} 4 \pi k \int_{0}^{r} r^{3} d r \quad[\rho=k r]$
$\therefore E \int d s=\frac{4 \pi k}{\epsilon_{0}}\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{r}$
$\therefore E \left(4 \pi r^{2}\right)=\frac{4 \pi k}{\epsilon_{0}} \cdot \frac{r^{4}}{4}$
$\therefore E =\frac{1}{4 \epsilon_{0}} \cdot k r^{2}$
અહી વિદ્યુતભાર ધનતા ધન છે તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{ E }$ ત્રિજ્યાવર્તી બહાર તરફ છે.
Similar Questions
સમકેન્દ્રિય ગોળીય કવચ $A$ અને $B $ ની ત્રિજયાઓ $r_A$ અને $r_B(r_B>r_A)$ છે.તેના પર વિદ્યુતભાર $Q_A$ અને $-Q_B(|Q_B|>|Q_A|)$ છે.તો વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુધ્ધ અંતરનો નો આલેખ કેવો થાય?
સમકેન્દ્રિય ગોળીય કવચ $A$ અને $B $ ની ત્રિજયાઓ $r_A$ અને $r_B(r_B>r_A)$ છે.તેના પર વિદ્યુતભાર $Q_A$ અને $-Q_B(|Q_B|>|Q_A|)$ છે.તો વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુધ્ધ અંતરનો નો આલેખ કેવો થાય?
- [AIIMS 2005]
આકૃતિમાં બતાવેલ બે અનંત પાતળા સમતલની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. તો ત્રણ જુદા જુદા પ્રદેશ $E_{ I }, E_{ II }$ અને $E_{III}$ માં વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું મળે?
આકૃતિમાં બતાવેલ બે અનંત પાતળા સમતલની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. તો ત્રણ જુદા જુદા પ્રદેશ $E_{ I }, E_{ II }$ અને $E_{III}$ માં વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું મળે?
- [JEE MAIN 2023]
$R$ ત્રિજ્યાના અને અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભાર વિતરણ વાળા નળાકારને લીધે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધો અને તેની પાસે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે. જે તેના અક્ષથી અડધી ત્રિજ્યા આગળ મળે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના અને અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભાર વિતરણ વાળા નળાકારને લીધે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધો અને તેની પાસે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે. જે તેના અક્ષથી અડધી ત્રિજ્યા આગળ મળે છે.
એક ગોળા પર એકસમાન વિજભાર પથરાયેલ છે તેની વિજભાર ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
$\rho (r)\, = \,{\rho _0}\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)$, $r < R$ માટે
$\rho (r)\,=\,0$, $r\, \ge \,R$ માટે
જ્યાં $r$ એ વિજભાર વિતરણના કેન્દ્રથી અંતર અને $\rho _0$ અચળાંક છે. $(r < R)$ ના અંદરના બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું મળે?
એક ગોળા પર એકસમાન વિજભાર પથરાયેલ છે તેની વિજભાર ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
$\rho (r)\, = \,{\rho _0}\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)$, $r < R$ માટે
$\rho (r)\,=\,0$, $r\, \ge \,R$ માટે
જ્યાં $r$ એ વિજભાર વિતરણના કેન્દ્રથી અંતર અને $\rho _0$ અચળાંક છે. $(r < R)$ ના અંદરના બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું મળે?
- [JEE MAIN 2014]
બે $+\sigma$ પૃષ્ઠ વિજભાર ઘનતા ધરાવતા અનંત સમતલને એક બીજા સાથે $30^{\circ} $ ના ખૂણે મૂકવામાં આવે છે, તો તેમની વચ્ચેના ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું થાય?
બે $+\sigma$ પૃષ્ઠ વિજભાર ઘનતા ધરાવતા અનંત સમતલને એક બીજા સાથે $30^{\circ} $ ના ખૂણે મૂકવામાં આવે છે, તો તેમની વચ્ચેના ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું થાય?
- [JEE MAIN 2020]