Charge and Charge Density (Distribution of Charges) Questions in Gujarati

(C) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ વિદ્યુતભાર $q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $\sigma = \frac{q}{A}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\sigma$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ના સમપ્રમાણમાં અને પૃષ્ઠફળ $A$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) વિદ્યુતભારીત વાહકની સપાટી સમસ્થિતિમાન સપાટી હોય છે કારણ કે તેના પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત હોતો નથી. તેથી,બિંદુ $Q$ પરનું સ્થિતિમાન બિંદુ $P$ જેટલું જ હોય છે,એટલે કે $V_Q = V_P = V$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\sigma \propto 1/r)$. બિંદુ $Q$ પર વક્રતા ત્રિજ્યા $P$ કરતા મોટી હોવાથી,$Q$ પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $P$ કરતા ઓછી હશે $(\sigma_Q < \sigma_P = \sigma)$.
વાહકની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \sigma / \epsilon_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\sigma_Q < \sigma_P$,તેથી $Q$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $P$ કરતા ઓછું હશે $(E_Q < E_P = E)$.
આમ,બિંદુ $Q$ પર,મૂલ્યો છે: વિદ્યુતભાર ઘનતા $< \sigma$,સ્થિતિમાન $= V$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $< E$.

(A) સમાંતર વાહક પ્લેટોની સિસ્ટમ માટે,સૌથી બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર એ બધી પ્લેટો પરના કુલ વિદ્યુતભારના સરવાળાના અડધા જેટલો હોય છે.
ધારો કે સિસ્ટમ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_A + Q_B + Q_C = Q + 0 + (-2Q) = -Q$ છે.
સૌથી બહારની સપાટીઓ (પ્લેટ $A$ ની ડાબી સપાટી અને પ્લેટ $C$ ની જમણી સપાટી $S$) પરનો વિદ્યુતભાર $q_{outer} = Q_{total} / 2 = -Q / 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,પ્લેટ $C$ ની બહારની સપાટી $S$ પર દેખાતો વિદ્યુતભાર $-Q / 2$ છે.

(D) સમાંતર વાહક પ્લેટોની સિસ્ટમ માટે,સૌથી બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર એ બધી પ્લેટો પરના કુલ વિદ્યુતભારના સરવાળાના અડધા જેટલો હોય છે.
ધારો કે પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q + 0 + (-2Q) = -Q$ છે.
સૌથી બહારની સપાટીઓ (પ્રથમ પ્લેટની સૌથી ડાબી સપાટી અને ત્રીજી પ્લેટની સૌથી જમણી સપાટી) પરનો વિદ્યુતભાર $q_{outer} = Q_{total} / 2 = -Q/2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,સૌથી જમણી પ્લેટની બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-Q/2$ છે.

(B) રીંગના ઉપરના અર્ધભાગ પર ધન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે. આ ધન વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ચાપથી દૂર,એટલે કે નીચે-જમણી દિશામાં હશે.
રીંગના નીચેના અર્ધભાગ પર ઋણ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\lambda$ છે. આ ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ચાપ તરફ,એટલે કે તે પણ નીચે-જમણી દિશામાં હશે.
સંમિતિ દ્વારા,બંને ભાગોના વિદ્યુતક્ષેત્રના આડા ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે ઊભા ઘટકો નીચેની દિશામાં ઉમેરાય છે. જો કે,કેન્દ્ર $O$ ની ડાબી બાજુએ મૂકવામાં આવેલી ચાપની ભૂમિતિને જોતા,ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ જમણી તરફ,ખાસ કરીને $OB$ ની દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.

(B) કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ ગોળાના કદ પર કદ વિદ્યુતભાર ઘનતાના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$\rho(r) = \frac{A}{r^2} e^{-2r/a}$ મુકતા:
$Q = \int_0^R \left( \frac{A}{r^2} e^{-2r/a} \right) (4\pi r^2) dr = 4\pi A \int_0^R e^{-2r/a} dr$
સંકલન કરતા:
$Q = 4\pi A \left[ \frac{e^{-2r/a}}{-2/a} \right]_0^R = 4\pi A \left( -\frac{a}{2} \right) (e^{-2R/a} - e^0)$
$Q = -2\pi aA (e^{-2R/a} - 1) = 2\pi aA (1 - e^{-2R/a})$
$R$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$1 - e^{-2R/a} = \frac{Q}{2\pi aA}$
$e^{-2R/a} = 1 - \frac{Q}{2\pi aA}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-\frac{2R}{a} = \log \left( 1 - \frac{Q}{2\pi aA} \right)$
$R = -\frac{a}{2} \log \left( 1 - \frac{Q}{2\pi aA} \right) = \frac{a}{2} \log \left( \frac{1}{1 - \frac{Q}{2\pi aA}} \right)$

(C) અંદરના નક્કર ગોળા પરનો કુલ ધન વિદ્યુતભાર $Q_{in}$ એ ગોળાના કદ પર કદ વિદ્યુતભાર ઘનતાનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$Q_{in} = \int_{0}^{R_1} \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R_1} \frac{\rho_0}{r} \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi \rho_0 \int_{0}^{R_1} r dr = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{R_1} = 2\pi \rho_0 R_1^2$.
બહારના પોલા ગોળા પરનો કુલ ઋણ વિદ્યુતભાર $Q_{out}$ એ સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા અને તેના સપાટીના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$Q_{out} = -\sigma \cdot 4\pi R_2^2 = -4\pi \sigma R_2^2$.
આપેલ છે કે તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે, તેથી $Q_{in} + Q_{out} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $Q_{in} = |Q_{out}|$.
$2\pi \rho_0 R_1^2 = 4\pi \sigma R_2^2$.
ગુણોત્તર $\frac{R_2^2}{R_1^2}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{2\pi \rho_0}{4\pi \sigma} = \frac{\rho_0}{2\sigma}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને મળે છે:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{\rho_0}{2\sigma}}$.

(A) ચોરસ પ્લેટની બાજુની લંબાઈ $a$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત છે. $x$ અને $y$ માટેની સીમાઓ $-a/2$ થી $a/2$ સુધીની છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પ્લેટના ક્ષેત્રફળ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ના પૃષ્ઠ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Q = \int \sigma dA = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} (xy) dx dy$
આને બે સ્વતંત્ર સંકલનોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$Q = \left( \int_{-a/2}^{a/2} x dx \right) \left( \int_{-a/2}^{a/2} y dy \right)$
અહીં $x$ એ એકી વિધેય (odd function) છે અને સીમાઓ ઉગમબિંદુની આસપાસ સંમિત છે,તેથી $\int_{-a/2}^{a/2} x dx = 0$.
તે જ રીતે,$\int_{-a/2}^{a/2} y dy = 0$.
તેથી,$Q = 0 \times 0 = 0$.
પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(D) ધારો કે કવચો પરના વિદ્યુતભારો $Q_A = Q$,$Q_B = 2Q$ અને $Q_C = -Q$ છે.
$1$. કવચ $A$ ની અંદરની સપાટી પર $0$ વિદ્યુતભાર છે,તેથી $A$ ની બહારની સપાટી પર $Q$ વિદ્યુતભાર હશે.
$2$. કવચ $B$ ની અંદરની સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ જેથી કવચ $A$ ના વિદ્યુતભારની અસર નાબૂદ થાય. કવચ $B$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $2Q$ હોવાથી,$B$ ની બહારની સપાટી પર $2Q - (-Q) = 3Q$ વિદ્યુતભાર હશે.
$3$. કવચ $C$ ની અંદરની સપાટી પર $-3Q$ વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ જેથી કવચ $B$ ની બહારની સપાટી પરના વિદ્યુતભારની અસર નાબૂદ થાય. કવચ $C$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-Q$ હોવાથી,ધારો કે $C$ ની બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out}$ છે.
$4$. આમ,$-3Q + q_{out} = -Q$,જે આપણને $q_{out} = 2Q$ આપે છે.
$5$. કવચ $C$ ની અંદરની સપાટી પરના વિદ્યુતભાર અને બહારની સપાટી પરના વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{-3Q}{2Q} = -\frac{3}{2}$ થાય છે.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અને પદાર્થના કુલ પૃષ્ઠફળ $A$ નો ગુણોત્તર છે.
$a = 5 \, cm = 0.05 \, m$ બાજુવાળા સમઘન માટે,કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 6a^2$ થાય.
$A = 6 \times (0.05 \, m)^2 = 6 \times 25 \times 10^{-4} \, m^2 = 0.015 \, m^2$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 6 \, \mu C = 6 \times 10^{-6} \, C$ છે.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{6 \times 10^{-6}}{6 \times 25 \times 10^{-4}} \, C/m^2$.
$\sigma = \frac{10^{-6}}{25 \times 10^{-4}} \, C/m^2 = 4 \times 10^{-4} \, C/m^2$.
$\mu C/m^2$ માં ફેરવતા: $\sigma = 4 \times 10^{-4} \times 10^6 \, \mu C/m^2 = 4 \times 10^2 \, \mu C/m^2$.

(D) ધારો કે $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = Q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સમાન હોવાથી,$\sigma = \frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r^2}{R^2}$.
આ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને,આપણને $q_1 = \frac{Qr^2}{R^2 + r^2}$ અને $q_2 = \frac{QR^2}{R^2 + r^2}$ મળે છે.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qr}{R^2 + r^2} + \frac{QR}{R^2 + r^2} \right) = \frac{Q(R + r)}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + r^2)}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(R) = 10 \, cm$,સ્થિતિમાન $(V) = 300 \, V$.
$CGS$ એકમમાં,$1 \, statvolt = 300 \, V$. તેથી,સ્થિતિમાન $V = 1 \, statvolt$ થાય.
વીજભારિત ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{Q}{10}$,જે આપણને $Q = 10 \, statcoulomb$ આપે છે.
સપાટી પરની વીજભાર ઘનતા $(\sigma) = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma = \frac{10}{4 \pi (10)^2} = \frac{10}{400 \pi} = \frac{1}{40 \pi} \approx 8 \times 10^{-3} \, CGS \, esu/cm^2$.

(D) પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પ્લેટના ક્ષેત્રફળ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ના પૃષ્ઠ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Q = \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} \sigma_0 xy \, dx \, dy$
$Q = \sigma_0 \left( \int_{-a}^{a} x \, dx \right) \left( \int_{-a}^{a} y \, dy \right)$
સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પર એકી વિધેયનું સંકલન શૂન્ય હોવાથી:
$\int_{-a}^{a} x \, dx = 0$ અને $\int_{-a}^{a} y \, dy = 0$
તેથી,$Q = \sigma_0 \times 0 \times 0 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંમિતિ દ્વારા,પ્રથમ ચરણમાં વિદ્યુતભાર ધન છે,બીજામાં ઋણ છે,ત્રીજામાં ધન છે અને ચોથામાં ઋણ છે. $\sigma = \sigma_0 xy$ વિધેયની અક્ષોની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,કુલ વિદ્યુતભારનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

(D) રીંગના $d\theta$ કોણીય પહોળાઈ ધરાવતા નાના ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda \cdot dl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dl = a \, d\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = {\lambda _0} \cos \theta$,તેથી $dq = (\lambda _0 \cos \theta) (a \, d\theta)$ થશે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ $\theta = 0$ થી $\theta = \pi$ સુધી વિસ્તરેલી છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ નીચે મુજબ મળે:
$Q = \int_{0}^{\pi} \lambda _0 a \cos \theta \, d\theta$
$Q = \lambda _0 a \int_{0}^{\pi} \cos \theta \, d\theta$
$Q = \lambda _0 a [\sin \theta]_{0}^{\pi}$
$Q = \lambda _0 a (\sin \pi - \sin 0)$
$Q = \lambda _0 a (0 - 0) = 0$.
આમ,રીંગ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(B) સ્થિતવિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત વાહક માટે,સમગ્ર વાહક એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
જોકે,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\sigma \propto 1/R)$.
સૌથી અણીદાર બિંદુએ,વક્રતા ત્રિજ્યા ન્યૂનતમ હોય છે,જેના કારણે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા મહત્તમ બને છે.
સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \sigma / \epsilon_0$ દ્વારા આપવામાં આવતું હોવાથી,સૌથી અણીદાર બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ મહત્તમ હોય છે.

(D) ચોરસ પ્લેટની બાજુની લંબાઈ $a$ છે અને તે $xy$-સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત છે. $x$ અને $y$ માટેની મર્યાદાઓ $-\frac{a}{2}$ થી $+\frac{a}{2}$ સુધીની છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પ્લેટના ક્ષેત્રફળ પર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ના પૃષ્ઠ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Q = \iint \sigma \, dA = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} (xy) \, dx \, dy$
આને બે સ્વતંત્ર સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$Q = \left( \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x \, dx \right) \left( \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} y \, dy \right)$
કારણ કે સંકલ્ય $x$ એ એકી વિધેય છે અને મર્યાદાઓ ઉગમબિંદુની આસપાસ સંમિત છે,તેથી $\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x \, dx = 0$.
તે જ રીતે,$\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} y \, dy = 0$.
તેથી,$Q = 0 \times 0 = 0$.
પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(N/A) સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતો એક લાંબો પાતળો તાર $XY$ ધ્યાનમાં લો.
તારના મધ્યબિંદુ $O$ થી $l$ જેટલા લંબ અંતરે આવેલું બિંદુ $A$ ધ્યાનમાં લો.
તાર $XY$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ છે.
તાર પર $O$ થી $x$ અંતરે એક નાનો ખંડ $dx$ ધ્યાનમાં લો (એટલે કે $OZ = x$).
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx$ છે.
આ ખંડને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{(AZ)^{2}}$
અહીં $AZ = \sqrt{l^{2} + x^{2}}$ હોવાથી:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{l^{2} + x^{2}}$
વિદ્યુતક્ષેત્રને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. $dE \cos \theta$ એ લંબ ઘટક છે અને $dE \sin \theta$ એ સમાંતર ઘટક છે. જ્યારે આખા તારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે,ત્યારે સમાંતર ઘટકો $dE \sin \theta$ સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. માત્ર લંબ ઘટક $dE \cos \theta$ જ બિંદુ $A$ પરના કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે.
તેથી,અસરકારક વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE_{1}$:
$dE_{1} = dE \cos \theta = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx \cos \theta}{l^{2} + x^{2}} \dots (1)$
$\Delta AZO$ માં,$\tan \theta = \frac{x}{l} \Rightarrow x = l \tan \theta$. વિકલન કરતા,$dx = l \sec^{2} \theta d\theta \dots (2)$
વળી,$l^{2} + x^{2} = l^{2} + l^{2} \tan^{2} \theta = l^{2} \sec^{2} \theta \dots (3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$dE_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda (l \sec^{2} \theta d\theta) \cos \theta}{l^{2} \sec^{2} \theta} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta$
અનંત લંબાઈના તાર માટે,$\theta$ ની સીમા $-\frac{\pi}{2}$ થી $\frac{\pi}{2}$ છે. સંકલન કરતા:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [1 - (-1)] = \frac{2\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} l}$

(N/A) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા સતત રેખીય વિદ્યુતભાર વિતરણને કારણે કોઈ બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\lambda dl}{r}$
જ્યાં:
$1. \epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
$2. \lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર) છે.
$3. dl$ એ વિતરણનો અત્યંત સૂક્ષ્મ લંબાઈનો ખંડ છે.
$4. r$ એ વિદ્યુતભાર ખંડ $dl$ થી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર છે જ્યાં સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવાની છે.

રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\lambda):$ એકમ લંબાઈ દીઠ રહેલા વિદ્યુતભારને રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\lambda)$ કહે છે. $\lambda = \frac{Q}{l}$,જ્યાં $Q$ એ કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
એકમ: $C/m$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^0 L^{-1} T^1 A^1]$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\sigma):$ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ રહેલા વિદ્યુતભારને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\sigma)$ કહે છે. $\sigma = \frac{Q}{A}$,જ્યાં $Q$ એ કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
એકમ: $C/m^2$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^0 L^{-2} T^1 A^1]$.
કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\rho):$ એકમ કદ દીઠ રહેલા વિદ્યુતભારને કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\rho)$ કહે છે. $\rho = \frac{Q}{V}$,જ્યાં $Q$ એ કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ કદ છે.
એકમ: $C/m^3$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^0 L^{-3} T^1 A^1]$.

(N/A) $(1)$ રેખીય વિદ્યુતભાર વિતરણ: ધારો કે એક રેખાને $dl$ લંબાઈના નાના ખંડોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $\vec{r}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા નાના ખંડનો સ્થાન સદિશ છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl$ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ ધરાવતું બિંદુ $P$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે ખંડ $dl$ થી $P$ સુધીનું અંતર $r^{\prime}$ છે અને $\hat{r}^{\prime}$ એ ખંડથી $P$ તરફનો એકમ સદિશ છે. ખંડને કારણે $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{dE} = \frac{k \lambda dl}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P$ પાસે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{E} = \int_{l} \frac{k \lambda dl}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
$(2)$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર વિતરણ: ધારો કે સપાટી $S$ ને નાના ખંડો $\Delta S$ માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે,તેથી ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma dS$ છે.
સપાટીના ખંડને કારણે બિંદુ $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{dE} = \frac{k \sigma dS}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P$ પાસે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{E} = \int_{S} \frac{k \sigma dS}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
$(3)$ કદ વિદ્યુતભાર વિતરણ: ધારો કે કદ $V$ ની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ છે. નાના કદના ખંડ $dV$ માં વિદ્યુતભાર $dq = \rho dV$ છે.
કદના ખંડને કારણે બિંદુ $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{dE} = \frac{k \rho dV}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P$ પાસે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{E} = \int_{V} \frac{k \rho dV}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$

(N/A) વીજભારનું વિતરણ એટલે કોઈ વિસ્તારમાં વીજભાર કેવી રીતે પથરાયેલો છે તે. તેને ત્રણ પ્રકારમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. રેખીય વીજભાર વિતરણ: જ્યારે વીજભાર કોઈ રેખા પર (જેમ કે પાતળો તાર કે રીંગ) સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય,ત્યારે તેને રેખીય વીજભાર વિતરણ કહેવાય છે. રેખીય વીજભાર ઘનતા $\lambda$ ને $\lambda = \frac{dq}{dl}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $dq$ એ $dl$ લંબાઈના ખંડ પરનો વીજભાર છે. તેનો $SI$ એકમ $C/m$ છે.
$2$. પૃષ્ઠ વીજભાર વિતરણ: જ્યારે વીજભાર કોઈ સપાટી પર (જેમ કે પાતળી શીટ કે કવચ) સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય,ત્યારે તેને પૃષ્ઠ વીજભાર વિતરણ કહેવાય છે. પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{dq}{dA}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $dq$ એ $dA$ ક્ષેત્રફળના ખંડ પરનો વીજભાર છે. તેનો $SI$ એકમ $C/m^2$ છે.
$3$. કદ વીજભાર વિતરણ: જ્યારે વીજભાર કોઈ પદાર્થના સમગ્ર કદમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય,ત્યારે તેને કદ વીજભાર વિતરણ કહેવાય છે. કદ વીજભાર ઘનતા $\rho$ ને $\rho = \frac{dq}{dV}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $dq$ એ $dV$ કદના ખંડમાં રહેલો વીજભાર છે. તેનો $SI$ એકમ $C/m^3$ છે.

(N/A) $1$. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\lambda)$: વાહકની એકમ લંબાઈ દીઠ રહેલા વિદ્યુતભારને રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા કહે છે. $\lambda = \frac{dq}{dl}$. તેનો $SI$ એકમ $C/m$ છે.
$2$. પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\sigma)$: વાહકની એકમ પૃષ્ઠફળ દીઠ રહેલા વિદ્યુતભારને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા કહે છે. $\sigma = \frac{dq}{dA}$. તેનો $SI$ એકમ $C/m^2$ છે.
$3$. કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $(\rho)$: વાહકના એકમ કદ દીઠ રહેલા વિદ્યુતભારને કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા કહે છે. $\rho = \frac{dq}{dV}$. તેનો $SI$ એકમ $C/m^3$ છે.

(A) કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ને એકમ કદ દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\rho = \frac{dq}{dV}$.
નાના કદના ઘટક $\Delta V$ માટે,તેમાં સમાવિષ્ટ વિદ્યુતભાર $\Delta q$ એ કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા અને કદના ઘટકનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$\Delta q = \rho \Delta V$.

(A) અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 8 \times 10^{-9} \, C/m$ અને $r = x = 3 \, m$ આપેલ છે.
$x = 3 \, m$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{8 \times 10^{-9}}{2 \pi \varepsilon_0 (3)}$ થશે.
વાહકની સપાટી પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ માટેની સીમા શરત મુજબ,$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,તેથી $\sigma = E \varepsilon_0$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$\sigma = \frac{\lambda}{2 \pi r} = \frac{8 \times 10^{-9}}{2 \pi (3)}$.
$\sigma = \frac{8 \times 10^{-9}}{6 \pi} \approx 0.424 \times 10^{-9} \, C/m^2 = 0.424 \, nC/m^2$.

(D) ગોળાકાર કવચની સપાટી પરના વિદ્યુતભાર વિતરણને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V$ એ સંકલન $V = \oint \frac{k dq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની સપાટી પરના તમામ બિંદુઓ માટે ત્રિજ્યા $R$ અચળ હોવાથી,આપણે $\frac{k}{R}$ ને સંકલનની બહાર લઈ શકીએ છીએ.
$V = \frac{k}{R} \oint dq$.
સંકલન $\oint dq$ એ ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ દર્શાવે છે.
તેથી,$V = \frac{kQ}{R}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.
નોંધો કે વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન માત્ર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અને ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે,અને તે સપાટી પરના વિદ્યુતભારના વિતરણથી સ્વતંત્ર છે.

(C) વાહક ગોળા માટે, તેને આપવામાં આવેલ વધારાનો વિદ્યુતભાર તેના વાહકતાના ગુણધર્મને કારણે સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે.
નક્કર અને પોલા બંને વાહક ગોળાઓની ત્રિજ્યા $R$ સમાન હોવાથી, તેમનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પણ સમાન $(A = 4\pi R^2)$ હોય છે.
બંને કિસ્સાઓમાં વિદ્યુતભારનું વિતરણ સપાટી પૂરતું મર્યાદિત હોવાથી, આસપાસના માધ્યમનું ડાયઇલેક્ટ્રિક બ્રેકડાઉન થાય તે પહેલાં બંને ગોળા સમાન મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે છે.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોવાથી,આપણને $\sigma \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 2 \,cm$ અને $r_2 = 4 \,cm$ છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{(4)^2}{(2)^2} = \frac{16}{4} = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) જ્યારે બે મોટી સમાંતર વાહક પ્લેટોમાંથી એકને $Q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર દરેક પ્લેટની બંને બાજુઓ પર એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી વાહક પદાર્થની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે.
ધારો કે ચાર સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો (ડાબેથી જમણે) $q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ માટે: $q_1 + q_2 = Q$ અને બીજી પ્લેટ માટે: $q_3 + q_4 = 0$.
પ્લેટો મોટી હોવાથી,$\sigma$ પૃષ્ઠ ઘનતા ધરાવતી સપાટીને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{q}{2 A \varepsilon_0}$ થાય છે.
પ્લેટોના વાહક પદાર્થની અંદર,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ શરત લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે કે અંદરની સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો $q_2 = \frac{Q}{2}$ અને $q_3 = -\frac{Q}{2}$ છે,જ્યારે બહારની સપાટીઓ પર $q_1 = \frac{Q}{2}$ અને $q_4 = \frac{Q}{2}$ છે.
પ્લેટોની વચ્ચેના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની સપાટીના વિદ્યુતભારો $q_2$ અને $q_3$ ને કારણે હોય છે.
$E_{\text{net}} = E_2 + E_3 = \frac{q_2}{2 A \varepsilon_0} + \frac{|q_3|}{2 A \varepsilon_0} = \frac{Q/2}{2 A \varepsilon_0} + \frac{Q/2}{2 A \varepsilon_0} = \frac{Q}{4 A \varepsilon_0} + \frac{Q}{4 A \varepsilon_0} = \frac{Q}{2 A \varepsilon_0}$.

(B) ધારો કે કવચો પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા અનુક્રમે $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ છે.
આપેલ છે કે $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાની વ્યાખ્યા $\sigma = \frac{Q}{A}$ છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રથમ કવચ માટે: $Q_1 = \sigma \cdot 4\pi R^2$.
બીજા કવચ માટે: $Q_2 = \sigma \cdot 4\pi (2R)^2 = \sigma \cdot 16\pi R^2$.
ત્રીજા કવચ માટે: $Q_3 = \sigma \cdot 4\pi (3R)^2 = \sigma \cdot 36\pi R^2$.
હવે,$Q_1 : Q_2 : Q_3$ નો ગુણોત્તર:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = (\sigma \cdot 4\pi R^2) : (\sigma \cdot 16\pi R^2) : (\sigma \cdot 36\pi R^2)$.
$4\pi R^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = 1 : 4 : 9$.

(C) આપેલ વિદ્યુત ફ્લક્સનું સમીકરણ: $\phi = \alpha \sigma + \beta \lambda$.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ: $[\phi] = [\alpha \sigma] = [\beta \lambda]$.
$[\phi] = [\alpha \sigma]$ પરથી,$[\alpha] = \frac{[\phi]}{[\sigma]}$ મળે છે.
$[\phi] = [\beta \lambda]$ પરથી,$[\beta] = \frac{[\phi]}{[\lambda]}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ ધ્યાનમાં લો: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[\phi]/[\sigma]}{[\phi]/[\lambda]} = \frac{[\lambda]}{[\sigma]}$.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ના પરિમાણ $[Q/L]$ છે અને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ના પરિમાણ $[Q/L^2]$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[Q/L]}{[Q/L^2]} = \frac{L^2}{L} = [L]$.
પરિમાણ $[L]$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$ લંબાઈ દર્શાવે છે,જે સ્થાનાંતરનો એકમ છે.

(C) ભારિત વાહક માટે,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ તે બિંદુ પરની વક્રતા ત્રિજ્યા $(ROC)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\sigma \propto \frac{1}{ROC}$.
આકૃતિ પરથી,સૌથી તીક્ષ્ણ બિંદુ (ઉપર) પર વક્રતા ત્રિજ્યા સૌથી ઓછી છે,અને જેમ આપણે સપાટ બાજુઓ તરફ જઈએ છીએ તેમ તે વધતી જાય છે.
બિંદુઓની સરખામણી:
$1$. $\sigma_1$ વાળા બિંદુ પર વક્રતા ત્રિજ્યા સૌથી ઓછી છે.
$2$. $\sigma_3$ વાળા બિંદુ પર વક્રતા ત્રિજ્યા $\sigma_1$ કરતા વધારે છે પણ બાજુઓ કરતા ઓછી છે.
$3$. $\sigma_2$ અને $\sigma_4$ વાળા બિંદુઓ સપાટ બાજુઓ પર છે,જ્યાં વક્રતા ત્રિજ્યા સૌથી મોટી અને સમાન છે.
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યાનો ક્રમ $(ROC)_1 < (ROC)_3 < (ROC)_2 = (ROC)_4$ છે.
કારણ કે $\sigma \propto \frac{1}{ROC}$,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ક્રમ $\sigma_1 > \sigma_3 > \sigma_2 = \sigma_4$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) ડિસ્ક પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{total}}$ એ ડિસ્કના ક્ષેત્રફળ પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી એક નાની રીંગ (તત્વ) ધ્યાનમાં લો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $ds = 2 \pi r dr$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર નીચે મુજબ મળે છે:
$q_{\text{total}} = \int_0^R \sigma ds$
$\sigma = \sigma_0 r^3$ અને $ds = 2 \pi r dr$ મૂકતા:
$q_{\text{total}} = \int_0^R (\sigma_0 r^3)(2 \pi r dr)$
$q_{\text{total}} = 2 \pi \sigma_0 \int_0^R r^4 dr$
સંકલન કરતા:
$q_{\text{total}} = 2 \pi \sigma_0 \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R$
$q_{\text{total}} = \frac{2 \pi \sigma_0 R^5}{5}$

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત વાહક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમ મુજબ $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સાથે $Q = \sigma \cdot (4 \pi R^{2})$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી આપણે આ કિંમત વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકીએ.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma (4 \pi R^{2})}{r^{2}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $E = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}}$ મળે છે.
$\sigma$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\sigma = E \varepsilon_{0} \left(\frac{r}{R}\right)^{2}$ મળે છે.

(A) $1$. સ્થિત વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે વાહક કવચના કેન્દ્ર પર $-q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે તે માટે કવચની આંતરિક સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર $+q$ પ્રેરિત થાય છે.
$2$. હવે કવચની આંતરિક સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે. આંતરિક સપાટી પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{inner} = \frac{q}{4 \pi r_1^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ હોવાથી અને આંતરિક સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણ માટે બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{outer} = Q - q$ હોવો જોઈએ.
$4$. બાહ્ય સપાટી પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{outer} = \frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$. તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\frac{q}{4 \pi r_1^2}$ અને $\frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ છે.

(D) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સૂક્ષ્મ વિદ્યુતભાર $dq$ વિચારો. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L}$ છે.
તેથી,$dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$dq$ અને $q$ વચ્ચે લાગતું બળ $dF$:
$dF = \frac{k q dq}{x^2} = \frac{k q Q dx}{L x^2}$.
કુલ બળ $F$ મેળવવા માટે,$x = r$ થી $x = r + L$ સુધી સંકલન કરતા:
$F = \int_r^{r+L} \frac{k Q q}{L x^2} dx = \frac{k Q q}{L} \int_r^{r+L} x^{-2} dx$.
$F = \frac{k Q q}{L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_r^{r+L} = \frac{k Q q}{L} \left( -\frac{1}{r+L} - (-\frac{1}{r}) \right)$.
$F = \frac{k Q q}{L} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+L} \right) = \frac{k Q q}{L} \left( \frac{r+L-r}{r(r+L)} \right)$.
$F = \frac{k Q q}{L} \left( \frac{L}{r(r+L)} \right) = \frac{k Q q}{r(r+L)}$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ધારો કે આપણે $\theta$ ખૂણે $d \theta$ કોણીય પહોળાઈ ધરાવતો એક સૂક્ષ્મ ખંડ લઈએ છીએ.
આ ખંડની લંબાઈ $dl = a d \theta$ છે.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos^2 \theta) (a d \theta)$ છે.
વર્તુળ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ મેળવવા માટે,આપણે $0$ થી $2 \pi$ સુધી સમગ્ર પરિઘ પર $dq$ નું સંકલન કરવું પડશે:
$Q = \int_{0}^{2 \pi} \lambda_0 \cos^2 \theta a d \theta$
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \cos^2 \theta d \theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{2 \pi}$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [(2 \pi + 0) - (0 + 0)]$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} (2 \pi) = \pi a \lambda_0$
આમ,કુલ વિદ્યુતભાર $\pi a \lambda_0$ છે.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ એ સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ વિદ્યુતભાર $Q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{3}{\pi} \ \mu C/m^2$.
ગોળીય કવચનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
સૂત્ર $\sigma = \frac{Q}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $Q = \sigma \times A = \sigma \times 4 \pi r^2$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = \left( \frac{3}{\pi} \ \mu C/m^2 \right) \times 4 \pi \times (0.25 \ m)^2$
$Q = 3 \times 4 \times (0.0625) \ \mu C$
$Q = 12 \times 0.0625 \ \mu C = 0.75 \ \mu C$.
તેથી,જરૂરી વિદ્યુતભાર $0.75 \ \mu C$ છે.

(B) આપેલ છે: ગોળાનો વ્યાસ $d = 2.4 \, m$.
ગોળાની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.2 \, m$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 80.0 \, \mu C m^{-2} = 80 \times 10^{-6} \, C m^{-2}$.
ગોળાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા અને પૃષ્ઠફળ $A$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$Q = \sigma \times A = \sigma \times (4 \pi r^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times (1.2)^2$.
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times 1.44$.
$Q \approx 1.4476 \times 10^{-3} \, C$.
નજીકની કિંમત લેતા, $Q \approx 1.45 \times 10^{-3} \, C$.

(A) આપેલ છે: કણનું દળ $m = 2 \times 10^{-6} \ kg$,કણ પરનો વીજભાર $q = 5 \times 10^{-6} \ C$.
વીજભારિત વાહક સપાટીને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સપાટીની વીજભાર ઘનતા છે.
કણ હવામાં સ્થિર રહે તે માટે,વિદ્યુત બળ તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = F_g \Rightarrow qE = mg$
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$q \left( \frac{\sigma}{\epsilon_0} \right) = mg$
$\sigma = \frac{mg \epsilon_0}{q}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \frac{(2 \times 10^{-6} \ kg) \times (10 \ m \ s^{-2}) \times (8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2})}{5 \times 10^{-6} \ C}$
$\sigma = \frac{20 \times 8.85 \times 10^{-18}}{5 \times 10^{-6}}$
$\sigma = 4 \times 8.85 \times 10^{-12} \ C \ m^{-2}$
$\sigma = 35.4 \times 10^{-12} \ C \ m^{-2}$

(B) ધારો કે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ઉગમબિંદુ $x=0$ પર છે. તાર $x = 2 \text{ cm}$ થી $x = 12 \text{ cm}$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
તારની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{24 \times 10^{-6} \text{ C}}{0.1 \text{ m}} = 2.4 \times 10^{-4} \text{ C/m}$ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે તારના એક નાના ખંડ $dx$ નો વિચાર કરો. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx$ છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ અને ખંડ $dq$ વચ્ચેનું બળ $dF = \frac{k q dq}{x^2} = \frac{k q \lambda dx}{x^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ છે.
કુલ બળ $F$ એ $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ થી $x = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ સુધી $dF$ નું સંકલન છે:
$F = \int_{0.02}^{0.12} \frac{k q \lambda}{x^2} dx = k q \lambda \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0.02}^{0.12} = k q \lambda \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.12} \right)$
$F = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2.4 \times 10^{-4}) \times \left( 50 - 8.333 \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \left( \frac{6-1}{0.12} \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{5}{0.12} = 90 \text{ N}$.