Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ ની સરખામણીમાં બિંદુ $A$ પાસે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાની વધુ નજીક (વધુ ગીચ) છે.
જેમ કે $A$ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વધારે છે,તેથી $A$ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $(E_A)$ એ $B$ આગળના વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્ય $(E_B)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$E_A > E_B$.

(C) જ્યારે કોઈ વાહકને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારો એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી વાહકની અંદરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દરેક બિંદુએ વાહકની સપાટીને લંબ હોવી જોઈએ.
તેઓ વાહકની અંદર પ્રવેશી શકતી નથી કારણ કે સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,ક્ષેત્ર રેખાઓ ગોળાની આસપાસ વળે છે અને તેની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થાય છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ચુંબકીય બળરેખાઓ હંમેશા સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે,જે આકૃતિ $(1)$ માં દર્શાવેલ છે.
વિદ્યુત બળરેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બંધ ગાળાઓ બનાવતી નથી,જે આકૃતિ $(2)$ માં દર્શાવેલ છે.
તેથી,આકૃતિ $(1)$ ચુંબકીય બળરેખાઓ દર્શાવે છે અને આકૃતિ $(2)$ વિદ્યુત બળરેખાઓ દર્શાવે છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે આકૃતિ $(1)$ ચુંબકીય બળરેખાઓ દર્શાવે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ વાહકની સપાટી પર દરેક બિંદુએ લંબ હોવી જોઈએ. ધાતુના વાહકની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,ક્ષેત્ર રેખાઓ ગોળામાંથી પસાર થઈ શકતી નથી; તેઓ સપાટી પર સમાપ્ત થાય છે અને બીજી બાજુથી બહાર આવે છે,જે હંમેશા સપાટીને લંબ દિશા જાળવી રાખે છે. માર્ગ $4$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં રેખાઓ ગોળાની સપાટીને લંબ રૂપે મળવા માટે વળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા જેટલી વધારે,તેટલું વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રબળ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ ની સરખામણીમાં બિંદુ $A$ અને $C$ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાની નજીક છે.
તેથી,બિંદુ $A$ અને $C$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા બિંદુ $B$ કરતા વધારે છે.
આમ,${E_A} = {E_C} > {E_B}$.

(D) વિદ્યુત બળ રેખાઓ એ કોઈ વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને સમજવા માટેની કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
તેઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર પૂર્ણ થાય છે.
તેઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે અશક્ય છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર અને સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે,ગોળાની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સમાન હોય છે.
જોકે,વિદ્યુત બળ રેખાઓનું કોઈ ભૌતિક અસ્તિત્વ હોતું નથી; તે વિદ્યુતક્ષેત્રને દર્શાવવા માટેનું એક ગાણિતિક માળખું છે.
તેથી,તેઓ ભૌતિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) નળાકારને ત્રણ સપાટીઓ છે: બે વર્તુળાકાર છેડા ($A$ અને $B$) અને એક વક્ર સપાટી $(C)$.
વર્તુળાકાર સપાટી $A$ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ બહારની તરફ (વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં) હોય છે,તેથી ફ્લક્સ $\phi_A = \vec{E} \cdot \vec{A} = E(\pi R^2) \cos(180^\circ) = -E\pi R^2$ છે.
વર્તુળાકાર સપાટી $B$ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ બહારની તરફ (વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં) હોય છે,તેથી ફ્લક્સ $\phi_B = \vec{E} \cdot \vec{A} = E(\pi R^2) \cos(0^\circ) = +E\pi R^2$ છે.
વક્ર સપાટી $C$ માટે,દરેક બિંદુએ ક્ષેત્રફળ સદિશ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ હોય છે,તેથી ફ્લક્સ $\phi_C = \int \vec{E} \cdot d\vec{s} = \int E ds \cos(90^\circ) = 0$ છે.
નળાકારમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = -E\pi R^2 + E\pi R^2 + 0 = 0$ થાય છે.

(A) ગોસના પ્રમેય મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,ફ્લક્સ સમઘનની તમામ $6$ સપાટીઓમાંથી સમાન રીતે પસાર થશે.
તેથી,સમઘનની એક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{\phi_{net}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ થશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ ધન વિદ્યુતભાર માટે,$q_{enclosed} = 1 \text{ unit}$.
તેથી,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{\varepsilon_0} = \varepsilon_0^{-1}$ થાય.

(C) ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ $\phi_E = \oint {E \cdot ds} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\oint {E \cdot ds} = 0$ પરથી સીધું જ ફલિત થાય છે કે સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે $(q_{enclosed} = 0)$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ એ સાચું તારણ છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં સમઘન સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે અને સમઘનની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી $(q_{enclosed} = 0)$,તેથી સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ડાબી બાજુની સપાટીમાં પ્રવેશતું ફ્લક્સ $-El^2$ છે અને જમણી બાજુની સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $+El^2$ છે. અન્ય ચાર સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ આ સપાટીઓને સમાંતર છે. આમ,કુલ ફ્લક્સ $-El^2 + El^2 = 0$ થાય છે.

(D) ગોસના નિયમ અનુસાર,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{net}}$ એ સપાટીની અંદર રહેલો કુલ વીજભાર છે.
એક વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભારો,$+e$ અને $-e$ નો બનેલો હોય છે. એક ડાયપોલનો કુલ વીજભાર $q_{\text{dipole}} = (+e) + (-e) = 0$ થાય છે.
સમઘનની અંદર આવા આઠ ડાયપોલ હોવાથી,અંદર રહેલો કુલ વીજભાર $q_{\text{net}} = 8 \times 0 = 0$ થાય છે.
તેથી,સમઘનમાંથી બહાર આવતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ થશે.

(C) ગોસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવા માટે,તે આવશ્યક છે કે વિદ્યુતભાર બંધ સપાટીની અંદર મૂકવામાં આવે.
બંધ ગૌસિયન સપાટી (એક મોટો નળાકાર) બનાવવા માટે હાલના પાત્રની ઉપર બીજું સમાન નળાકાર પાત્ર ઉલટું મૂકવાની કલ્પના કરો.
ગોસના નિયમ મુજબ,આ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર $q$ બે સમાન નળાકારોના જોડાણ પર મૂકવામાં આવ્યો છે,સંમિતિ દ્વારા,દરેક નળાકારમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હશે.
તેથી,મૂળ પાત્રની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{\phi_{total}}{2} = \frac{q}{2\varepsilon_0}$ થશે.

(B) ગૌસનો નિયમ ત્યારે સૌથી વધુ અસરકારક છે જ્યારે વિદ્યુતભારનું વિતરણ ઉચ્ચ કક્ષાની સંમિતિ (જેમ કે ગોળાકાર,નળાકાર અથવા સમતલીય સંમિતિ) ધરાવતું હોય.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર ગોળાકાર સંમિતિ ધરાવતું નથી કારણ કે ક્ષેત્ર ડાયપોલ અક્ષની સાપેક્ષ દિશા પર આધાર રાખે છે.
ડાયપોલના કેન્દ્ર પર રહેલી ગોળાકાર સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અચળ ન હોવાથી,સંકલન $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$ ને $E \oint dA$ તરીકે સરળ બનાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ ગણતરી માટે ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટીનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ નથી.

(B) તારના એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર $Q\, C/cm$ આપેલ છે.
નળાકાર સપાટીની લંબાઈ $L = 1\, m = 100\, cm$ છે.
નળાકાર સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enc} = (\text{એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર}) \times (\text{નળાકારની લંબાઈ}) = Q \times 100 = 100Q\, C$ થાય.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q_{enc}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{100Q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને તેમાંથી પસાર થતા ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\Phi_E = E \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નો $S.I.$ એકમ $\text{ન્યૂટન પ્રતિ કુલંબ}$ $(N/C)$ અથવા $\text{વોલ્ટ પ્રતિ મીટર}$ $(V/m)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નો $S.I.$ એકમ $\text{ચોરસ મીટર}$ $(m^2)$ છે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સનો $S.I.$ એકમ $\frac{N}{C} \times m^2 = \frac{N \cdot m^2}{C}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ જૂલ} = 1 \text{ ન્યૂટન} \times 1 \text{ મીટર}$,તેથી આપણે $\frac{N \cdot m^2}{C} = \frac{J \cdot m}{C}$ લખી શકીએ.
વળી,$1 \text{ વોલ્ટ} = 1 \text{ જૂલ પ્રતિ કુલંબ}$ $(J/C)$ હોવાથી,એકમ $\text{વોલ્ટ} \times \text{મીટર}$ $(V \cdot m)$ બને છે.

(B) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ સપાટી વડે ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\Phi_E = \oint_S \vec{E}_{net} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$
આપેલ આકૃતિમાં,ગૌસિયન સપાટી $S$ દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q_1, q_2$ અને $q_3$ છે. વિદ્યુતભાર $q_4$ સપાટીની બહાર છે.
તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ એ બધા વિદ્યુતભારો (સપાટીની અંદર અને બહાર) દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે,એટલે કે $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4$.
જોકે,સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ માત્ર ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર $Q_{enc} = q_1 + q_2 + q_3$ પર આધાર રાખે છે.
આમ,$\oint_S (\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4) \cdot d\vec{A} = \frac{q_1 + q_2 + q_3}{\varepsilon_0}$.
વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલ પદ એ ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારોને કારણે મળતું ફ્લક્સ દર્શાવે છે,અને સપાટી પરના કુલ ક્ષેત્રનું સંકલન એ ફ્લક્સની બરાબર હોવાથી,વિકલ્પ $(b)$ એ આ તંત્ર માટે ગૌસના નિયમનું સાચું નિરૂપણ છે.

(B) ગૌસનો નિયમ સીધો કુલંબના નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે, જે જણાવે છે કે બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે।
જો વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ ચોક્કસપણે સાચો ન હોય, તો બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ગૌસના નિયમ $(\Phi_E = q_{enclosed} / \epsilon_0)$ દ્વારા વર્ણવ્યા મુજબ બંધિત વિદ્યુતભારના સીધા પ્રમાણમાં રહેશે નહીં।
તેથી, ગૌસના નિયમની માન્યતા મૂળભૂત રીતે વિદ્યુત ક્ષેત્રના વ્યસ્ત વર્ગના સ્વભાવ પર આધારિત છે।

(D) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{net} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરની તરફના ફ્લક્સને ઋણ અને બહારની તરફના ફ્લક્સને ધન લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે: અંદરની તરફનો ફ્લક્સ $\phi_{in} = -8 \times 10^3 \text{ N} \cdot m^2/C$ અને બહારની તરફનો ફ્લક્સ $\phi_{out} = 4 \times 10^3 \text{ N} \cdot m^2/C$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_{in} + \phi_{out} = -8 \times 10^3 + 4 \times 10^3 = -4 \times 10^3 \text{ N} \cdot m^2/C$.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Q_{enclosed} = \phi_{net} \times \varepsilon_0$.
તેથી, $Q_{enclosed} = (-4 \times 10^3) \varepsilon_0 \text{ C}$.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\varphi_{net}$ એ સપાટી વડે ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_{0}$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર $Q \; \mu C$ વિદ્યુતભાર મૂકતા,કુલ ફ્લક્સ $\varphi_{net} = \frac{Q \times 10^{-6}}{\varepsilon_{0}}$ થાય.
સમઘનને $6$ સમાન સપાટીઓ હોય છે અને વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર પર હોવાથી,ફ્લક્સ બધી સપાટીઓ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,કોઈપણ એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\varphi_{face} = \frac{\varphi_{net}}{6} = \frac{Q \times 10^{-6}}{6 \varepsilon_{0}} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}} \times 10^{-6}$ થાય.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$.
આપેલ આકૃતિમાં,$Q_{\text{enclosed}}$ એ ગોલીય વાહક પરનો તે વિદ્યુતભારનો ભાગ છે જે તૂટક રેખાવાળી બંધ સપાટીની અંદર છે.
તેથી,સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{\varepsilon_0} \times Q_{\text{enclosed}}$ થશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે: $\Phi_{net} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
અહીં,સપાટીમાં પ્રવેશતું ફ્લક્સ $\varphi_1$ (ઋણ ફ્લક્સ) છે અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $\varphi_2$ (ધન ફ્લક્સ) છે.
તેથી,કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{net} = \varphi_2 - \varphi_1$ થશે.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા: $\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
આમ,સપાટીની અંદરનો વિદ્યુતભાર $Q_{enc} = (\varphi_2 - \varphi_1)\varepsilon_0$ થશે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્લક્સ ઘનની તમામ $6$ સપાટીઓમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,કોઈપણ એક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને $4\pi$ વડે ગુણતા:
$\phi_{face} = \frac{q \times 4\pi}{6 \times \varepsilon_0 \times 4\pi} = \frac{4\pi q}{6(4\pi \varepsilon_0)}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
આપેલ આકૃતિમાં,સપાટી $S$ એ બે વિદ્યુતભારોને ઘેરે છે,જે દરેકનું મૂલ્ય $+q$ છે.
તેથી,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q_{enc} = +q + q = 2q$.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) ગૌસના નિયમ અનુસાર,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કે,ગૌસિયન સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ આસપાસમાં હાજર તમામ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,પછી ભલે તે ગૌસિયન સપાટીની અંદર હોય કે બહાર.
તેથી,સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બધા જ વિદ્યુતભારો ($+q_1, -q_1$ અને $q_2$) ને કારણે હોય છે.

(B) ગૌસનો નિયમ એ સ્થિત-વિદ્યુતશાસ્ત્રના વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પરિણામ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ ને $\phi = \oint E \cdot dA = E \cdot A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે,જે $4 \pi r^2$ છે.
$E$ અને $A$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\phi = (\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}) \times (4 \pi r^2) = \frac{q}{\epsilon_0}$ મળે છે.
બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F$ કુલંબના નિયમ મુજબ $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ છે,તેથી તે સ્પષ્ટ છે કે $F \propto r^{-2}$.
આમ,ગૌસનો નિયમ ત્યારે જ સાચો ઠરે છે જો બળ $r^{-2}$ મુજબ બદલાતું હોય.

(C) વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભારો,$+q$ અને $-q$ નો બનેલો હોય છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની અંદરનો કુલ વીજભાર $q_{net} = (+q) + (-q) = 0$ હોવાથી,ગોળામાંથી પસાર થતું ચોખ્ખું (net) વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગોળામાં પ્રવેશતું વિદ્યુત ફ્લક્સ અને ગોળામાંથી બહાર નીકળતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ગૌસિયન સપાટી $A$ ત્રણેય વિદ્યુતભારો $q_1$,$q_2$ અને $q_3$ ને ઘેરે છે.
કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = q_1 + q_2 + q_3 = (-14 + 78.85 - 56)\, nC = 8.85\, nC = 8.85 \times 10^{-9}\, C$.
મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટીનું મૂલ્ય $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\, C^2 N^{-1} m^{-2}$ છે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{8.85 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = 10^3\, N m^2 C^{-1}$.

(A) બિંદુવત સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પ્રકાશિત ફ્લક્સ $\Phi_{total} = 3000 \ lumen$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ (ફલક) હોય છે.
કારણ કે બિંદુવત સ્ત્રોત સમઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં સ્થિત છે,તેથી સંમિતિને કારણે કુલ ફ્લક્સ તમામ $6$ બાજુઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સમઘનની એક બાજુ (ફલક) માંથી પસાર થતો ફ્લક્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Phi_{face} = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{3000}{6} = 500 \ lumen$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ ઘનના કેન્દ્ર પર હોવાથી,ફલક્સ ઘનની તમામ $6$ બાજુઓમાંથી સમાન રીતે વિતરિત થશે.
તેથી,કોઈપણ એક બાજુમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6}$ થશે.
કુલ ફલક્સનું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $\phi_{face} = \frac{Q}{6 \varepsilon_0}$ મળે છે.

(D) બાજુવાળા ચોરસને $a$ બાજુવાળા સમઘનની એક સપાટી તરીકે કલ્પના કરો.
ચોરસના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે વિદ્યુતભાર $q$ મૂકેલો હોવાથી,તે આ કાલ્પનિક સમઘનના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર સ્થિત છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમઘનની બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\Phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન સપાટીઓ હોય છે અને વિદ્યુતભાર કેન્દ્રમાં હોવાથી,દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ સમાન હશે.
તેથી,ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફલક્સ $\Phi = \frac{\Phi_{\text{total}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ થાય.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા આપેલ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $E$ ના મૂલ્યના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $(2)$ સાચું છે અને વિધાન $(1)$ ખોટું છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમજવા માટેનું એક કાલ્પનિક સાધન છે. અવકાશમાં તેમનું કોઈ ભૌતિક અસ્તિત્વ નથી. તેથી,વિધાન $(3)$ સાચું છે અને વિધાન $(4)$ ખોટું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(2)$ અને $(3)$ છે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enclosed}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
આ પ્રશ્નમાં,ગૌસિયન સપાટી $2R$ ત્રિજ્યાનો ગોળો છે,જે $R$ ત્રિજ્યાના આંતરિક ગોળા પર રહેલા સંપૂર્ણ વિદ્યુતભાર $Q$ ને ઘેરે છે.
તેથી,$Q_{enclosed} = Q$.
આ કિંમત ગૌસના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(D) ધારો કે નળાકારને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E\hat{i}$ માં $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
$1$. ડાબી વર્તુળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ (ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$): ક્ષેત્રફળ સદિશ બહારની તરફ હોય છે,તેથી $\vec{A}_1 = -\pi R^2\hat{i}$. ફલક્સ $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A}_1 = (E\hat{i}) \cdot (-\pi R^2\hat{i}) = -E\pi R^2$ થાય.
$2$. જમણી વર્તુળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ: ક્ષેત્રફળ સદિશ બહારની તરફ હોય છે,તેથી $\vec{A}_2 = \pi R^2\hat{i}$. ફલક્સ $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A}_2 = (E\hat{i}) \cdot (\pi R^2\hat{i}) = +E\pi R^2$ થાય.
$3$. વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ: વક્ર સપાટી પરના દરેક બિંદુએ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec{A}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$). તેથી,$d\phi = \vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA \cos 90^{\circ} = 0$. આમ,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફલક્સ $0$ છે.
$4$. કુલ ફલક્સ $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 + \phi_{curved} = -E\pi R^2 + E\pi R^2 + 0 = 0$.

(D) ધારો કે સમઘનનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર છે. કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફલક્સ $\Phi_{total} = q / \varepsilon_0$ છે. સંમિતિને કારણે,કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભારને લીધે દરેક $6$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $\Phi_{center} = (1/6) \times (q / \varepsilon_0) = q / (6\varepsilon_0)$ થાય.
હવે,સમઘનની બહાર $O$ થી $L$ અંતરે મૂકેલા બીજા $q$ વિદ્યુતભારનો વિચાર કરો. આ બાહ્ય વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ $ABCD$ સપાટીમાંથી અંદર પ્રવેશે છે અને સામેની સપાટી $EFGH$ માંથી બહાર નીકળે છે. ગાઉસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીની બહાર રહેલા વિદ્યુતભાર માટે,તે સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફલક્સ શૂન્ય હોય છે. તેથી,બાહ્ય વિદ્યુતભારને કારણે $ABCD$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $-q / (24\varepsilon_0)$ મળે છે.
બંને ફલક્સનો સરવાળો કરતા: $\Phi_{net} = \Phi_{center} + \Phi_{external} = q / (6\varepsilon_0) - q / (24\varepsilon_0) = (4q - q) / (24\varepsilon_0) = 3q / (24\varepsilon_0) = q / (8\varepsilon_0)$.

(B) ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટી (ગોસિયન સપાટી) માંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enclosed}$ ના $\frac{1}{\varepsilon_0}$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટી માટે જેમાં કોઈ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર નથી,કુલ વિદ્યુત ફલક્સ શૂન્ય હોય છે.
$\phi_{\text{total}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{flat}} = 0$
તેથી,$\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{flat}}$.
સપાટ વર્તુળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $\phi_{\text{flat}} = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સપાટ સપાટીનો ક્ષેત્રફળ સદિશ શિરોલંબ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\phi_{\text{flat}} = E(\pi a^2) \cos(45^{\circ}) = E(\pi a^2) \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટ સપાટીમાંથી અંદર પ્રવેશે છે અને વક્ર સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતા ફલક્સનું મૂલ્ય સપાટ સપાટીમાંથી પસાર થતા ફલક્સના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
$\phi_{\text{curved}} = \frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$.

(C) ગાઉસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફલક્સ $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે,ગાઉસીયન સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ તંત્રમાં હાજર તમામ વિદ્યુતભારો (ગાઉસીયન સપાટીની અંદર અને બહાર બંને) ને કારણે મળતું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
તેથી,સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બધા જ વિદ્યુતભારો $(+q_1, -q_1, q_2)$ ને કારણે હોય છે.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા એ એક એવો વક્ર છે કે જેના પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશા આપે છે. ધન વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી બળની દિશા એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય છે. આમ,વિધાન $(1)$ સાચું છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર પૂર્ણ થાય છે. આમ,વિધાન $(4)$ સાચું છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોને આધારે વિધાન $(2)$ અને $(3)$ ખોટા છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(1)$ અને $(4)$ છે.

(B) ગાઉસના નિયમ મુજબ,બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \oint {\vec E \cdot d\vec s} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઘેરાતો ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = 0$ હોય,તો કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = 0$ થાય.
વિદ્યુત ફ્લક્સ એ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ચોખ્ખી સંખ્યા દર્શાવે છે.
શૂન્ય ફ્લક્સનો અર્થ એ છે કે પૃષ્ઠમાં દાખલ થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા અને પૃષ્ઠમાંથી બહાર નીકળતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ગાઉસના નિયમ મુજબ,બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું વિદ્યુતફલક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{\text{enc}}$ એ પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જો વિદ્યુતફલક્સ પૃષ્ઠમાંથી બહાર આવતું હોય (બહારની તરફનું ફલક્સ),તો $\phi$ નું મૂલ્ય ધન હોય છે.
$\varepsilon_0$ હંમેશા ધન હોવાથી,$\phi$ ધન હોવા માટે,ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enc}}$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,પૃષ્ઠ સાથે ધન વિદ્યુતભાર સંકળાયેલો છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પૃષ્ઠ $S$ ની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ છે.
તેથી,ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = (+q) + (-q) = 0$ થાય.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ મળે છે.

(A) ઘન દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enclosed} = -q + 3q - q = q$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફલક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભારો $y$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,આ ગોઠવણી $x$ અને $z$ યામોની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
સમતલ $x = +a/2$ અને $x = -a/2$ એ $y$-અક્ષથી સમાન અંતરે છે અને વિદ્યુતભારનું વિતરણ આ સમતલોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,તેમાંથી પસાર થતું ફલક્સ સમાન છે.
તે જ રીતે,સમતલ $z = +a/2$ અને $z = -a/2$ સંમિત છે,અને તેમાંથી પસાર થતું ફલક્સ સમાન છે.
આમ,$x = +a/2$ માંથી પસાર થતું ફલક્સ એ $x = -a/2$ માંથી પસાર થતા ફલક્સ જેટલું જ છે.

(D) ગાઉસના નિયમ અનુસાર,બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi_E = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ગાઉસીયન પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે,ભલે પૃષ્ઠની ત્રિજ્યા $R$ ગમે તે હોય.
તેથી,જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો પણ બહાર નીકળતું વિદ્યુત ફલક્સ સમાન જ રહેશે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુતફલક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ ને ઘનના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,ઘન એ વિદ્યુતભારને ઘેરતી બંધ ગોસિયન સપાટી તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,ઘનની તમામ છ બાજુઓમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુતફલક્સ $\frac{Q}{\epsilon_0}$ થશે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ થી શરૂ થાય છે અને ગ્રાઉન્ડેડ ધાતુની તકતી પર સમાપ્ત થાય છે.
જેમ આપણે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $X$ થી તકતી $Y$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વધે છે કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ તકતી તરફ કેન્દ્રિત થાય છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આકૃતિમાં,બિંદુ $Q$ એ વિદ્યુતભાર $X$ ની નજીક છે અને બિંદુ $P$ એ તકતી $Y$ ની નજીક છે.
તકતી પર પ્રેરિત ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે,તકતી $Y$ ની નજીક ક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભાર $X$ ની નજીકના વિસ્તાર કરતા વધુ કેન્દ્રિત હોય છે,તેથી $P$ આગળ ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા $Q$ કરતા વધારે છે.
તેથી,$P$ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $Q$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $E_P > E_Q$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર અંત પામે છે.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા દર્શાવે છે. વધુ ઘનતા એટલે પ્રબળ વિદ્યુત ક્ષેત્ર.
$3$. બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી (radial) હોય છે (ધન વિદ્યુતભાર માટે બહારની તરફ અને ઋણ વિદ્યુતભાર માટે અંદરની તરફ).
$4$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એ માત્ર એક ગાણિતિક રજૂઆત અથવા વૈચારિક સાધન છે; તેનું કોઈ ભૌતિક અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.

(A) વિદ્યુત ફલક્સ $\phi$ શોધવાનું સૂત્ર $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 3 \times 10^3 \text{ N/C}$.
ચોરસની બાજુ $s = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
ક્ષેત્રફળ $A = s^2 = (0.1)^2 = 0.01 \text{ m}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$.
સપાટીના લંબ અને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ($X$-અક્ષ) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (3 \times 10^3) \times (10^{-2}) \times \cos(60^\circ)$.
$\cos(60^\circ) = 0.5$ હોવાથી,
$\phi = 30 \times 0.5 = 15 \text{ Nm}^2/\text{C}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફલક્સ $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં,બિંદુ $P$ પર મૂકવામાં આવેલ ઋણ વિદ્યુતભાર $-Q$ વાહકની $P$ ની નજીકની સપાટી પર ધન વિદ્યુતભાર અને $P$ થી દૂરની સપાટી પર (બંધ પૃષ્ઠની અંદર) ઋણ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
બંધ પૃષ્ઠ વાહકનો એવો ભાગ ઘેરે છે જેના પર ચોખ્ખો ઋણ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર છે.
બંધ પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી $(q_{enclosed} < 0)$,બંધ પૃષ્ઠમાંથી બહાર આવતું વિદ્યુત ફલક્સ ઋણ હશે.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ ના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta$
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ કાગળના સમતલમાં છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) તે કાગળના સમતલને લંબ છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
તેથી,$\phi = ES \cos 90^\circ = ES(0) = 0$.
આમ,સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $0$ છે.