Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Hindi

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
समान पृष्ठीय आवेश घनत्व वाले गोलीय कोश के लिए,सारा आवेश बाहरी सतह पर स्थित होता है।
इसलिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = 0$ होता है।
परिणामस्वरूप,गोलीय कोश के भीतर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $0$ होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक आवेशित चालक के लिए,सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र सतह के लंबवत होता है।
चालक पर $\sigma A$ आवेश को घेरने वाली एक छोटी बेलनाकार गॉसियन सतह पर गॉस का नियम लागू करने पर,हमें $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है और क्षेत्र सतह के लंबवत होता है,इसलिए वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है और आंतरिक सपाट सतह से गुजरने वाला फ्लक्स भी शून्य है।
अतः,$E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$,जो सरल होकर $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ हो जाता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है और यह सतह के लंबवत निर्देशित होता है।

(A) एक खोखले चालक गोले के लिए,आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद चालक खोल के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है क्योंकि गोले के अंदर खींचे गए किसी भी गॉसियन सतह के भीतर कोई आवेश नहीं होता है।
इसलिए,गोले के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $0\,N/C$ होगा।

(C) $R$ त्रिज्या के एक ठोस गोले के लिए जिसमें कुल आवेश $Q$ पूरे आयतन में समान रूप से वितरित है,आवेश घनत्व $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ है।
$r < R$ त्रिज्या वाले गाऊसी सतह के लिए गाऊस के नियम का उपयोग करते हुए,परिबद्ध आवेश $q_{enc} = \rho \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = Q \cdot \frac{r^3}{R^3}$ है।
$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$E(4\pi r^2) = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3}$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{Q r}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$,$\varepsilon_0$,और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $E \propto r$ होता है।

(A) आवेशित चालक के लिए,सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है।
चालक की सतह पर एक छोटे क्षेत्रफल $A$ को घेरने वाली एक छोटी गॉसियन पिलबॉक्स सतह पर विचार करें।
चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $0$ होता है।
सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र सतह के लंबवत होता है।
गॉस का नियम लागू करने पर: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$।
चूंकि क्षेत्र सतह के लंबवत है,$E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है (प्रश्न में $q$ के रूप में दिया गया है)।
अतः,$E = \frac{q}{\varepsilon_0}$ जो सतह के लंबवत दिशा में होता है।

(C) $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व वाली एक अनंत शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
समान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ और समान आवेश वाली दो समानांतर शीटों के लिए,उनके बीच के किसी बिंदु पर प्रत्येक शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं।
मान लीजिए कि पहली शीट बाईं ओर है और दूसरी दाईं ओर। बाईं शीट से क्षेत्र दाईं ओर $(E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0})$ है,और दाईं शीट से क्षेत्र बाईं ओर $(E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0})$ है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$ होगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक खोखले आवेशित गोलाकार चालक के लिए,आवेश केवल बाहरी सतह पर ही रहता है।
खोखले गोले के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,गॉसियन सतह के भीतर कुल आवेश शून्य होता है $(q_{enclosed} = 0)$।
इसलिए,किसी भी आंतरिक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enclosed}}{r^2} = 0$ होता है।

(C) एक चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद चालक सतह के अंदर किसी भी बिंदु पर,कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
चूंकि गोले का केंद्र चालक के अंदर स्थित है,इसलिए केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ का मान $0 \ N/C$ होगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,गॉसियन सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
समान आवेश घनत्व $\rho$ वाले अचालक गोले के लिए,$r$ त्रिज्या $(r < R)$ के गोले के भीतर परिबद्ध आवेश $q_{enc} = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ है।
$r$ त्रिज्या की गोलाकार गॉसियन सतह के लिए गॉस का नियम लागू करने पर:
$E \times (4 \pi r^2) = \frac{\rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)}{\varepsilon_0}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$E = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{4 \pi r^2 \varepsilon_0}$.
$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$.

(B) अनंत रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$।
दिए गए मान हैं: $E = 7.182 \times 10^8 \, N/C$ और $r = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,इसलिए $\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} = 18 \times 10^9$।
रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र: $\lambda = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (1 / 4\pi\varepsilon_0)}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{7.182 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-2}}{18 \times 10^9}$।
$\lambda = \frac{14.364 \times 10^6}{18 \times 10^9} = 0.798 \times 10^{-3} = 7.98 \times 10^{-4} \, C/m$।

(B) मान लीजिए $T$ रेशम के धागे में तनाव है,$q$ गोले पर आवेश है,$m$ गोले का द्रव्यमान है,और $E$ बड़ी आवेशित शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र है।
संतुलन की स्थिति में,गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. धागे की दिशा में तनाव $T$।
$2$. नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$।
$3$. शीट से दूर क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाला विद्युत बल $qE$।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = qE$ (क्षैतिज घटक)
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर घटक)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{qE}{mg}$
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
बड़ी आवेशित चालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{q}{mg} \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)$
चूंकि $q, m, g,$ और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\tan \theta \propto \sigma$ या $\sigma \propto \tan \theta$.
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) अनंत लंबाई की आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र का सूत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ होता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत बाहर की ओर जाने वाला एकांक सदिश है।
बिंदु $P$,$Z = a$ और $Z = 3a$ पर स्थित शीट के बीच में है।
$1$. $Z = 3a$ पर $\sigma$ घनत्व वाली शीट के लिए,$P$ पर क्षेत्र नीचे की ओर (ऋणात्मक $Z$-दिशा में) होगा: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$।
$2$. $Z = a$ पर $-2\sigma$ घनत्व वाली शीट के लिए,$P$ पर क्षेत्र शीट की ओर (नीचे की ओर,ऋणात्मक $Z$-दिशा में) होगा: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$।
$3$. $Z = -a$ पर $-\sigma$ घनत्व वाली शीट के लिए,$P$ पर क्षेत्र शीट की ओर (नीचे की ओर,ऋणात्मक $Z$-दिशा में) होगा: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र सदिश योग है: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$।

(C) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली अनंत लंबाई की पतली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$+\sigma$ और $-\sigma$ आवेश घनत्व वाली दो समानांतर प्लेटों के लिए,धनात्मक आवेशित प्लेट का विद्युत क्षेत्र उससे दूर की ओर इंगित करता है और ऋणात्मक आवेशित प्लेट का विद्युत क्षेत्र उसकी ओर इंगित करता है।
प्लेटों के बीच के क्षेत्र में,दोनों विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में (धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर) होते हैं।
इसलिए,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ व्यक्तिगत क्षेत्रों के परिमाण का योग है:
$E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{|-\sigma|}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \text{ V/m}$.

(C) एक समान रूप से आवेशित परावैद्युत गोले के बाहर $r$ $(r > R)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{out} = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 20\, cm = 0.2\, m$ और $E_{out} = 100\, V/m$ दिया गया है, इसलिए $100 = \frac{kQ}{(0.2)^2}$, जिसका अर्थ है $kQ = 100 \times 0.04 = 4$।
एक समान रूप से आवेशित परावैद्युत गोले के अंदर $x$ $(x < R)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{in} = \frac{kQx}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 10\, cm = 0.1\, m$ और $x = 3\, cm = 0.03\, m$ दिया गया है, मान रखने पर:
$E_{in} = \frac{4 \times 0.03}{(0.1)^3} = \frac{0.12}{0.001} = 120\, V/m$।

(C) विभिन्न आवेश वितरणों के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$1$. बिंदु आवेश के लिए: $E \propto 1/r^2$.
$2$. विद्युत द्विध्रुव के लिए: $E \propto 1/r^3$.
$3$. अनंत रेखीय आवेश के लिए: $E \propto 1/r$.
$4$. अनंत समतल आवेशित शीट के लिए: $E = \sigma / (2\varepsilon_0)$,जो दूरी $r$ से स्वतंत्र है। इसे $E \propto r^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,$\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व वाले एक अनंत लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत क्षेत्र $E$,दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,$E \propto 1/r$।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$+\sigma$ और $-\sigma$ आवेश घनत्व वाली दो समानांतर शीटों के लिए,उनके बीच किसी भी बिंदु पर दोनों शीटों के विद्युत क्षेत्र सदिश एक ही दिशा में (धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर) होते हैं।
इसलिए,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{total} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ होगा।
यह क्षेत्र एकसमान है और शीटों से दूरी पर निर्भर नहीं करता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\oint E \cdot ds = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई और प्रति इकाई लंबाई $q$ आवेश वाले एक अनंत बेलन के लिए,परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = ql$ है।
गॉसियन सतह $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई का एक बेलन है,इसलिए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rl$ है।
अतः,$E(2\pi rl) = \frac{ql}{\varepsilon_0}$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0 r}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विद्युत तीव्रता $E$,$r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $E \propto \frac{1}{r}$।

(C) मान लीजिए कि गोले का एकसमान आवेश घनत्व $\rho = \frac{3Q}{4\pi R^3}$ है और $E$ गोले के केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र है,जहाँ $x < R$ है।
$x$ त्रिज्या वाले गौसियन पृष्ठ पर गौस का नियम लागू करने पर:
$E \cdot 4\pi x^2 = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0} = \frac{\rho V'}{\varepsilon_0} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3}\pi x^3$
यहाँ,$V' = \frac{4}{3}\pi x^3$ त्रिज्या $x$ वाले गोले का आयतन है।
समीकरण को सरल करने पर:
$E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} x$
चूंकि $\rho$,$3$,और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए $E \propto x$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $x$ के सीधे आनुपातिक है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,केंद्र से $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र केवल $R$ त्रिज्या वाले गॉसियन सतह के भीतर परिबद्ध आवेश द्वारा निर्धारित होता है।
$a < R < b$ के लिए,गॉसियन सतह केवल $+3Q$ आवेश वाले ठोस धात्विक गोले को घेरती है।
चालक गोलीय कोश के कारण उसके अंदर किसी भी बिंदु पर (अर्थात $R < b$) विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{3Q}{R^2}$

(B) अनंत लंबाई के तार,जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda_1$ है,द्वारा $R$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2K\lambda_1}{R}$ होता है।
दूसरे तार पर $l$ लंबाई का एक खंड लें,जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda_2$ है। इस खंड पर आवेश $Q = \lambda_2 l$ है।
विद्युत क्षेत्र $E_1$ द्वारा इस खंड पर लगाया गया बल $F_2 = Q E_1 = (\lambda_2 l) \frac{2K\lambda_1}{R}$ है।
इसलिए,प्रति इकाई लंबाई बल $\frac{F_2}{l} = \frac{2K\lambda_1\lambda_2}{R}$ होगा।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पहले तार पर प्रति इकाई लंबाई बल का परिमाण भी समान होगा।

(D) एक अचालक ठोस गोले के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार होता है:
गोले के अंदर $(r < R)$: $E = \frac{kQr}{R^3}$,जिसका अर्थ है $E \propto r$। अतः,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$E$ बढ़ता है।
गोले के बाहर $(r > R)$: $E = \frac{kQ}{r^2}$,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{r^2}$। अतः,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$E$ घटता है।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $E = A r_0$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है और $r_0$ त्रिज्या वाले गोले की सतह पर एकसमान है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r_0^2$ है।
गोले से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = E \times S = (A r_0) \times (4\pi r_0^2) = 4\pi A r_0^3$ है।
गॉस के नियम के साथ तुलना करने पर: $\frac{Q}{\varepsilon_0} = 4\pi A r_0^3$।
अतः,निहित आवेश $Q = 4\pi \varepsilon_0 A r_0^3$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोलाकार चालक के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया जाता है:
$1$. $r < R$ (चालक के अंदर) के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = 0$ है।
$2$. $r \ge R$ (चालक के बाहर) के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$ है।
इस प्रकार,ग्राफ $r < R$ के लिए शून्य क्षेत्र और $r \ge R$ के लिए हाइपरबोलिक गिरावट को दर्शाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) $R$ त्रिज्या और आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक समान रूप से आवेशित गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{inside} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $E \propto r$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध है।
$2$. गोले के बाहर $(r \ge R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{outside} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$,जो एक व्युत्क्रम-वर्ग संबंध है।
$3$. इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ़ मूल बिंदु से शुरू होता है,$r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और उसके बाद $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग वक्र का पालन करते हुए घटता है। यह ग्राफ़ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(A) सामान्य केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ गॉस के नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:
$1$. $x < r_A$ के लिए: चालक कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। अतः,$E = 0$.
$2$. $r_A < x < r_B$ के लिए: केवल कोश $A$ पर स्थित आवेश $Q_A$ क्षेत्र में योगदान देता है। अतः,$E = \frac{k Q_A}{x^2}$। यह एक धनात्मक मान है जो $x$ के बढ़ने पर घटता है।
$3$. $x > r_B$ के लिए: दोनों आवेश $Q_A$ और $-Q_B$ क्षेत्र में योगदान देते हैं। कुल आवेश $(Q_A - Q_B)$ है। चूँकि $|Q_B| > |Q_A|$,कुल आवेश ऋणात्मक है। अतः,$E = \frac{k(Q_A - Q_B)}{x^2}$। यह एक ऋणात्मक मान है जो $x \to \infty$ होने पर शून्य के करीब पहुँचता है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,ग्राफ $x < r_A$ के लिए $E=0$,$r_A < x < r_B$ के लिए धनात्मक $1/x^2$ वक्र और $x > r_B$ के लिए ऋणात्मक $1/x^2$ वक्र दर्शाता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,गोलीय सममित आवेश वितरण के लिए $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
गोले के लिए,$E(4\pi r^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr'$.
अतः,$E = \frac{1}{\varepsilon_0 r^2} \int_0^r \rho_0 \left( \frac{5}{4} - \frac{r'}{R} \right) r'^2 dr'$.
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 r^2} \int_0^r \left( \frac{5}{4}r'^2 - \frac{r'^3}{R} \right) dr'$.
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 r^2} \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]$.
$E = \frac{\rho_0}{\varepsilon_0 r^2} \left[ \frac{5r^3}{12} - \frac{r^4}{4R} \right]$.
$E = \frac{\rho_0 r}{\varepsilon_0} \left( \frac{5}{12} - \frac{r}{4R} \right) = \frac{\rho_0 r}{3\varepsilon_0} \left( \frac{5}{4} - \frac{3r}{4R} \right)$.

(A) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले समान रूप से आवेशित अचालक ठोस गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $E \propto r$, इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है, विद्युत क्षेत्र रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. गोले के बाहर $(r \ge R)$: विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $E \propto \frac{1}{r^2}$, इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है, विद्युत क्षेत्र घटता है।
$3$. $r = R$ पर निरंतरता: $r = R$ पर, $E_{in} = \frac{kQ}{R^2}$ और $E_{out} = \frac{kQ}{R^2}$ होता है। चूँकि $E_{in} = E_{out}$, इसलिए विद्युत क्षेत्र सतह पर सतत है।
अतः, कथन $(1)$, $(3)$ और $(4)$ सही हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार, $(1, 3)$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) शेल प्रमेय (shell theorem) के अनुसार,एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र हर जगह शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि कोश के विभिन्न भागों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के योगदान किसी भी आंतरिक बिंदु $P$ पर एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
विशेष रूप से,किसी आंतरिक बिंदु $P$ पर समान ठोस कोण बनाने वाले किन्हीं दो छोटे खंडों $dq_1$ और $dq_2$ के लिए,उनके द्वारा $P$ पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं।
इसलिए,इन खंडों के कारण बिंदु $P$ पर नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(B) समान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले $R$ त्रिज्या के एक ठोस गोले के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार दिया जाता है:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$,जिसका अर्थ है $E \propto r$.
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$: $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{r^2}$.
दिया गया ग्राफ दर्शाता है कि $E$ सतह तक $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है और फिर $r > R$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार घटता है। यह व्यवहार समान रूप से आवेशित ठोस गोले के लिए विशिष्ट है।

(B) विद्युत विभव $V(x) = 4x^2$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ है।
अतः,$E(x) = -\frac{d}{dx}(4x^2) = -8x$.
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
मूल बिंदु पर केंद्रित $1 \ m$ भुजा वाले घन के लिए,सतहें $x = 0.5 \ m$ और $x = -0.5 \ m$ पर स्थित हैं।
$x = 0.5 \ m$ पर,$E = -8(0.5) = -4 \ V/m$। क्षेत्रफल सदिश बाहर की ओर है,इसलिए $\phi_1 = E \cdot A = (-4)(1^2) = -4 \ V \cdot m$।
$x = -0.5 \ m$ पर,$E = -8(-0.5) = 4 \ V/m$। क्षेत्रफल सदिश बाहर की ओर है,इसलिए $\phi_2 = E \cdot A = (4)(1^2) = 4 \ V \cdot m$।
कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_1 + \phi_2 = -4 + 4 = 0$।
गॉस के नियम से,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$,इसलिए $0 = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$,जिसका अर्थ है कि $q_{enclosed} = 0$।

(A) केंद्र से $r_1$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
$r_1$ त्रिज्या के गोले में परिबद्ध आवेश $q_{enclosed}$ आयतन पर आवेश घनत्व $\rho(r)$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$q_{enclosed} = \int_0^{r_1} \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$\rho(r) = \frac{Q}{\pi R^4} r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q_{enclosed} = \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) 4\pi r^2 dr = \frac{4Q}{R^4} \int_0^{r_1} r^3 dr$
$q_{enclosed} = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
अब,$r_1$ त्रिज्या की गोलाकार सतह के लिए गॉस का नियम लागू करने पर:
$E(4\pi r_1^2) = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{Q r_1^4}{\epsilon_0 R^4}$.
$E$ के लिए हल करने पर:
$E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \epsilon_0 r_1^2 R^4} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \epsilon_0 R^4}$.

(A) समान आवेश घनत्व $\rho$ वाले अचालक गोले के लिए,$r < R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र गॉस के नियम के अनुसार $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ होता है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
सतह पर विभव $V_s = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$ होता है।
केंद्र पर विभव $V_c = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}$ होता है।
जब आवेश $q$ को सतह से केंद्र तक ले जाया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q(V_c - V_s) = q(\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}) = q \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0}$ होता है।
इस प्रकार,कथन-$1$ भी सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए जहाँ एक प्लेट पर $+q$ आवेश है और दूसरी प्लेट ग्राउंडेड है,आवेश वितरण इस प्रकार होता है कि पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर $+q$ और दूसरी प्लेट की आंतरिक सतह पर $-q$ आवेश होता है। बाहरी सतहों पर आवेश शून्य होता है।
$1$. बिंदु $P$ पर (प्लेटों के बीच): धनात्मक आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र उससे दूर की दिशा में होता है,और ऋणात्मक आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र उसकी ओर होता है। दोनों क्षेत्र जुड़ जाते हैं,इसलिए नेट विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं होता है।
$2$. बिंदु $P_1$ पर (ग्राउंडेड प्लेट के बाहर): धनात्मक प्लेट और ऋणात्मक प्लेट के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं क्योंकि निकाय का कुल आवेश शून्य है,जिसके परिणामस्वरूप नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
$3$. बिंदु $P_2$ पर (धनात्मक प्लेट के बाहर): इसी प्रकार,धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
अतः,केवल बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है।

(C) अनंत लंबी आवेशित तार या पाइप के लिए,जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ (यहाँ प्रति इकाई लंबाई $q$ दिया गया है) है,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं।
पाइप की अक्ष के समाक्ष $r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाली एक बेलनाकार गॉसियन सतह पर विचार करें।
गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = E \cdot (2\pi r L)$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है।

(D) एक आवेशित गोलीय चालक के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर स्थित होता है।
गॉस के नियम के अनुसार,चालक के अंदर किसी भी बिंदु $(r < R)$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q_{enc} = 0$ होता है।
इसलिए,चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E = \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0 r^2} = 0$ होता है।
अतः,एक आवेशित गोलीय चालक के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,गोलीय आवेश वितरण के केंद्र से $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k q_{enclosed}}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्र $a < R < b$ के लिए,गॉसियन सतह मूल बिंदु पर केंद्रित $R$ त्रिज्या का एक गोला है।
इस गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध आवेश केवल ठोस धातु के गोले पर स्थित आवेश है,जो $+3Q$ है।
चालक कोश (आवेश $-Q$) गॉसियन सतह के बाहर है,इसलिए यह $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E$ का मान है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{3Q}{R^2} = \frac{3Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$.

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ प्लेट के लंबवत इकाई सदिश है जो प्लेट से दूर इंगित करता है।
बिंदु $P$,$Z = a$ और $Z = 3a$ के बीच स्थित है।
$1$. $Z = 3a$ पर $\sigma$ घनत्व वाली प्लेट के लिए: बिंदु $P$ इसके नीचे है,इसलिए क्षेत्र नीचे की ओर निर्देशित होगा: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$।
$2$. $Z = a$ पर $-2\sigma$ घनत्व वाली प्लेट के लिए: बिंदु $P$ इसके ऊपर है,इसलिए क्षेत्र प्लेट की ओर (नीचे की ओर) निर्देशित होगा: $\vec{E}_2 = \frac{-2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$।
$3$. $Z = -a$ पर $-\sigma$ घनत्व वाली प्लेट के लिए: बिंदु $P$ इसके ऊपर है,इसलिए क्षेत्र प्लेट की ओर (नीचे की ओर) निर्देशित होगा: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$।
$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ होगा।

(A) चालक प्लेट के निकट विद्युत क्षेत्र $E = \frac{|\sigma|}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन प्लेट की ओर गति करता है और सतह पर रुक जाता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i = 0 - K = -K$.
प्रारंभिक दूरी $d$ और प्लेट के बीच विभवांतर $\Delta V = -E \cdot d = -\frac{|\sigma|}{\epsilon_0} d$ है।
इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $W = q \Delta V = (-e) \left( -\frac{|\sigma|}{\epsilon_0} d \right) = \frac{e |\sigma| d}{\epsilon_0}$.
कार्य को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $K = \frac{e |\sigma| d}{\epsilon_0}$.
यहाँ $K = 100 \ \text{eV} = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ \text{J}$,$|\sigma| = 2 \times 10^{-6} \ \text{C/m}^2$,और $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2)$.
$100 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6}) \times d}{8.85 \times 10^{-12}}$.
$100 = \frac{2 \times 10^{-6} \times d}{8.85 \times 10^{-12}} \Rightarrow 100 = \frac{2 \times 10^6 \times d}{8.85}$.
$d = \frac{100 \times 8.85}{2 \times 10^6} = 4.425 \times 10^{-4} \ \text{m}$.

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \sigma / (2\epsilon_0)$ द्वारा दिया जाता है।
$+\sigma$ और $-\sigma$ आवेश घनत्व वाली दो समानांतर प्लेटों के लिए,उनके बीच के क्षेत्र में दोनों प्लेटों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में (धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर) होता है।
इसलिए,परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ दोनों प्लेटों के क्षेत्रों का योग है:
$E_{net} = E_+ + E_- = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$.
अतः,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $\sigma/\epsilon_0$ है।

(C) समान रूप से आवेशित बेलन के अंदर किसी बिंदु $(r < R)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{\rho r}{2\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \rho (\pi R^2)$ है,इसलिए $\rho = \frac{\lambda}{\pi R^2}$ होगा।
इस मान को विद्युत क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $E = \frac{\lambda r}{2\epsilon_0 \pi R^2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = R/2$ दिया गया है,इसलिए: $E = \frac{\lambda (R/2)}{2\epsilon_0 \pi R^2} = \frac{\lambda R}{4\epsilon_0 \pi R^2} = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 R}$।

(C) समान परिमाण और विपरीत संकेतों वाले पृष्ठ आवेश घनत्व $+\sigma$ और $-\sigma$ वाली दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\sigma = 26.4 \times 10^{-12} \ C/m^2$ और $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2/N \cdot m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$E = \frac{26.4 \times 10^{-12}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 2.98 \approx 3 \ N/C$.
अतः, प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $3 \ N/C$ है।

(B) गेंद $B$ पर कार्य करने वाले बल हैं: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,प्लेट से दूर क्षैतिज दिशा में विद्युत बल $qE$,और धागे में तनाव $T$।
साम्यावस्था में,बलों के घटक लेने पर:
$T \sin \theta = qE$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
एक बड़ी आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ होता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
समीकरण में $E$ का मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{q}{mg} \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right)$
चूँकि $q, m, g, \varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\sigma \propto \tan \theta$

(C) दिया गया है: गोले की त्रिज्या $R = 10 \ cm$,दूरी $r_1 = 20 \ cm$,विद्युत क्षेत्र $E_1 = 100 \ V/m$,और दूरी $r_2 = 3 \ cm$.
एक समान रूप से आवेशित परावैद्युत गोले के लिए:
गोले के बाहर $(r > R)$,विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{kQ}{r_1^2}$ होता है।
गोले के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{kQr_2}{R^3}$ होता है।
पहले समीकरण से,$kQ = E_1 \cdot r_1^2 = 100 \times (20 \times 10^{-2})^2 = 100 \times 0.04 = 4 \ V \cdot m$.
दूसरे समीकरण में $kQ$ का मान रखने पर:
$E_2 = \frac{(kQ) \cdot r_2}{R^3} = \frac{4 \times (3 \times 10^{-2})}{(10 \times 10^{-2})^3} = \frac{0.12}{0.001} = 120 \ V/m$.

(D) साम्यावस्था में,गेंद $B$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. धागे में तनाव $T$।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. स्थिर वैद्युत बल $F_e = qE$ जो प्लेट से दूर क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = F_e = qE$ $(1)$
$T \cos \theta = mg$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{qE}{mg}$
$\tan \theta = \frac{qE}{mg}$
एक बड़ी आवेशित चालक प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{q \sigma}{mg \epsilon_0}$
$\sigma = \frac{mg \epsilon_0}{q} \tan \theta$
चूंकि $m, g, \epsilon_0,$ और $q$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\sigma \propto \tan \theta$

(D) आवेशित चालक प्लेट के निकट विद्युत क्षेत्र $E = \frac{|\sigma|}{\in_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE = e \frac{|\sigma|}{\in_0}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में गति कर रहा है (ऋणात्मक प्लेट द्वारा प्रतिकर्षण),उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_k$ दूरी $d$ तय करने के लिए विद्युत बल के विरुद्ध किए गए कार्य में व्यय होती है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार:
$E_k = F \cdot d = (eE) \cdot d$
$E = \frac{|\sigma|}{\in_0}$ का मान रखने पर:
$E_k = e \left( \frac{|\sigma|}{\in_0} \right) d$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{E_k \in_0}{e|\sigma|}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक बड़ी आवेशित प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
जब इलेक्ट्रॉन प्लेट की ओर बढ़ता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot r = eE \cdot r$ होता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
इलेक्ट्रॉन के प्लेट से न टकराने के लिए,उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा प्लेट तक पहुँचने से पहले पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जानी चाहिए। अतः,$KE = eEr$.
$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $KE = e \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right) r$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{2 \cdot KE \cdot \varepsilon_0}{e \cdot \sigma}$.
यहाँ $KE = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$,$\sigma = 2 \times 10^{-6} \ C/m^2$,और $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ है।
$r = \frac{2 \times 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 8.854 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{400 \times 8.854 \times 10^{-12}}{2 \times 10^{-6}} = 200 \times 8.854 \times 10^{-6} \ m = 1770.8 \times 10^{-6} \ m \approx 1.77 \times 10^{-3} \ m = 1.77 \ mm$.

(D) एक आवेशित गोलीय कोश के लिए, बाहर के क्षेत्र $(r > R)$ में विद्युत क्षेत्र $E_{out} = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$ पर $E_{out} = 100 \ V/m$ दिया गया है, इसलिए $100 = \frac{kQ}{(0.2)^2}$, जिसका अर्थ है $kQ = 100 \times 0.04 = 4 \ V \cdot m$।
एक आवेशित गोलीय कोश के अंदर $(r < R)$ विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है क्योंकि कोश के अंदर कोई आवेश नहीं होता है, अर्थात $E_{in} = 0 \ V/m$।
चूंकि $3 \ cm < 10 \ cm$ है, इसलिए यह बिंदु कोश के अंदर स्थित है।
अतः, $3 \ cm$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $0 \ V/m$ होगा।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
घन के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 x \hat{i}$ है।
बाईं सतह (जहाँ $x = x_0$) से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_L = \vec{E} \cdot \vec{A}_L = (E_0 x_0 \hat{i}) \cdot (-a^2 \hat{i}) = -E_0 x_0 a^2$ है।
दाईं सतह (जहाँ $x = x_0 + a$) से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_R = \vec{E} \cdot \vec{A}_R = (E_0 (x_0 + a) \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i}) = E_0 (x_0 + a) a^2$ है।
अन्य सभी सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि विद्युत क्षेत्र क्षेत्रफल सदिश के लंबवत है।
कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_L + \phi_R = -E_0 x_0 a^2 + E_0 x_0 a^2 + E_0 a^3 = E_0 a^3$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
इसलिए,$q_{enclosed} = \varepsilon_0 \phi_{net} = \varepsilon_0 E_0 a^3$।

(D) माना $\phi_A, \phi_B,$ और $\phi_C$ क्रमशः पृष्ठ $A, B,$ और $C$ से संबद्ध विद्युत फ्लक्स हैं।
गॉस के नियम के अनुसार,बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
बेलन की सममिति के कारण,दोनों समतल पृष्ठों $A$ और $C$ से संबद्ध फ्लक्स समान होता है,इसलिए $\phi_A = \phi_C$ है।
इस मान को गॉस के नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $2\phi_A + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि वक्र पृष्ठ $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_B = \phi$ है,इसलिए $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$।
$\phi_A$ के लिए हल करने पर,$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$।