Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - (-6)) - (-2)(3 - (-4)) + 3(9 - 2) = 1(7) + 2(7) + 3(7) = 7 + 14 + 21 = 42$.
$D \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
$z$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,$z = \frac{D_z}{D}$,જ્યાં $D_z$ એ ત્રીજા સ્તંભને અચળ પદો દ્વારા બદલીને મેળવેલ નિશ્ચાયક છે:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 1(6 - 21) - (-2)(18 - 14) + 4(9 - 2) = 1(-15) + 2(4) + 4(7) = -15 + 8 + 28 = 21$.
તેથી,$z = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$3x - 4y + z = -7$
$2x + 3y - z = 10$
$x - 2y - 3z = 3$
તેને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં દર્શાવતા:
$A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -7 \\ 10 \\ 3 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 3(-9 - 2) + 4(-6 + 1) + 1(-4 - 3) = 3(-11) + 4(-5) + 1(-7) = -33 - 20 - 7 = -60$
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય છે.
$x = \alpha$ માટે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$D_x = \begin{vmatrix} -7 & -4 & 1 \\ 10 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -7(-9 - 2) + 4(-30 + 3) + 1(-20 - 9) = -7(-11) + 4(-27) + 1(-29) = 77 - 108 - 29 = -60$
આમ,$\alpha = \frac{D_x}{|A|} = \frac{-60}{-60} = 1$.

(C) ઉકેલના પ્રકારને નિર્ધારિત કરવા માટે,આપણે પહેલા સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ અથવા સહગુણક શ્રેણિક $\Delta$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ છીએ.
સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$1x + 3y + 0z = -7$
$3x + 10y - 3z = -18$
$0x + 3y - 9z = -2$
સહગુણક શ્રેણિક $\Delta$ નો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 10 & -3 \\ 0 & 3 & -9 \end{vmatrix} = 1(10(-9) - (-3)(3)) - 3(3(-9) - 0) + 0 = 1(-90 + 9) - 3(-27) = -81 + 81 = 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$,સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અસંખ્ય ઉકેલો છે.
હવે,આપણે $\Delta_1$ ની ગણતરી કરીએ (પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને):
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} -7 & 3 & 0 \\ -18 & 10 & -3 \\ -2 & 3 & -9 \end{vmatrix} = -7(-90 + 9) - 3(162 - 6) + 0 = -7(-81) - 3(156) = 567 - 468 = 99$.
કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$,સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x+3by+bz=0$
$x+2ay+az=0$
$x+4cy+cz=0$
આ સિસ્ટમનો શૂન્યતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 1 & 2a & a \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 4c-3b & c-b \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(2a-3b)(c-b) - (a-b)(4c-3b) = 0$
$(2ac - 2ab - 3bc + 3b^2) - (4ac - 3ab - 4bc + 3b^2) = 0$
$2ac - 2ab - 3bc + 3b^2 - 4ac + 3ab + 4bc - 3b^2 = 0$
$-2ac + ab + bc = 0$
$ab + bc = 2ac$
$b(a+c) = 2ac$
આમ,જ્યારે $b(a+c) = 2ac$ હોય ત્યારે સિસ્ટમનો શૂન્યતર ઉકેલ મળે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંગત સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1(4\mu - (-5\lambda)) - (-2)(2\mu - (-15)) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$1(4\mu + 5\lambda) + 2(2\mu + 15) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$4\mu + 5\lambda + 4\mu + 30 + 6\lambda - 36 = 0$
$(4\mu + 4\mu) + (5\lambda + 6\lambda) + (30 - 36) = 0$
$8\mu + 11\lambda - 6 = 0$
$8\mu + 11\lambda = 6$

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + ky + 3z = -2$
$4x + 3y + kz = 14$
$2x + y + 2z = 3$
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવા માટે,સહગુણક મેટ્રિક્સ $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે નિશ્ચાયક $|A|$ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ $(|A| \neq 0)$.
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 4 & 3 & k \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(3 \times 2 - k \times 1) - k(4 \times 2 - k \times 2) + 3(4 \times 1 - 3 \times 2)$
$|A| = 1(6 - k) - k(8 - 2k) + 3(4 - 6)$
$|A| = 6 - k - 8k + 2k^2 - 6$
$|A| = 2k^2 - 9k$
કારણ કે $|A| \neq 0$:
$2k^2 - 9k \neq 0$
$k(2k - 9) \neq 0$
તેથી,$k \neq 0$ અને $k \neq \frac{9}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$3x - 2y + z = 5k$
$2x + 3y - 2z = -5k$
$x + 4y + 3z = k$
સૌ પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 3(9 + 8) + 2(6 + 2) + 1(8 - 3) = 3(17) + 2(8) + 1(5) = 51 + 16 + 5 = 72$.
હવે,ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $D_3$ શોધો:
$D_3 = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5k \\ 2 & 3 & -5k \\ 1 & 4 & k \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = k [3(3 + 20) + 2(2 + 5) + 5(8 - 3)] = k [3(23) + 2(7) + 5(5)] = k [69 + 14 + 25] = 108k$.
કારણ કે $z = \frac{D_3}{D} = 3$,તેથી:
$\frac{108k}{72} = 3$
$\frac{3k}{2} = 3$
$3k = 6$
$k = 2$.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$2x-3y+5z=12$ $(1)$
$5x+2y+3z=11$ $(2)$
$x+2y-3z=-3$ $(3)$
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-6) + 3(-15-3) + 5(10-2) = 2(-12) + 3(-18) + 5(8) = -24 - 54 + 40 = -38$.
હવે,ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $D_1, D_2, D_3$ શોધો:
$D_1 = \begin{vmatrix} 12 & -3 & 5 \\ 11 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 12(-6-6) + 3(-33+9) + 5(22+6) = 12(-12) + 3(-24) + 5(28) = -144 - 72 + 140 = -76$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 12 & 5 \\ 5 & 11 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \end{vmatrix} = 2(-33+9) - 12(-15-3) + 5(-15-11) = 2(-24) - 12(-18) + 5(-26) = -48 + 216 - 130 = 38$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 12 \\ 5 & 2 & 11 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-22) + 3(-15-11) + 12(10-2) = 2(-28) + 3(-26) + 12(8) = -56 - 78 + 96 = -38$.
$\alpha, \beta, \gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{D_1}{D} = \frac{-76}{-38} = 2$.
$\beta = \frac{D_2}{D} = \frac{38}{-38} = -1$.
$\gamma = \frac{D_3}{D} = \frac{-38}{-38} = 1$.
અંતે,$2\alpha + 5\beta + 3\gamma$ ની કિંમત શોધો:
$2(2) + 5(-1) + 3(1) = 4 - 5 + 3 = 2$.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=5$
$x+2y+2z=6$
$x+3y+\lambda z=\mu$
આ સંહતિ મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ દ્વારા ત્યારે જ ઉકેલી શકાય જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય $(|A| \neq 0)$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 2) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 6 - \lambda + 2 + 1$
$|A| = \lambda - 3$
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda - 3 \neq 0$,એટલે કે $\lambda \neq 3$.
જ્યારે $\lambda \neq 3$ હોય,ત્યારે શ્રેણિક વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો હોય છે,તેથી $\mu \in R$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
તેથી,શરત $\lambda \neq 3, \mu \in R$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} \alpha + 2\beta + \gamma & 2\alpha + 3\beta + 2\gamma & 3\alpha - 5\beta + 5\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \alpha + 2\beta + \gamma = 3$
$2) 2\alpha + 3\beta + 2\gamma = 5$
$3) 3\alpha - 5\beta + 5\gamma = 2$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણના બમણા બાદ કરતા: $(2\alpha + 3\beta + 2\gamma) - 2(\alpha + 2\beta + \gamma) = 5 - 2(3) \Rightarrow -\beta = -1 \Rightarrow \beta = 1$.
$\beta = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$\alpha + \gamma = 3 - 2(1) = 1 \Rightarrow \alpha + \gamma = 1$
$3\alpha + 5\gamma = 2 + 5(1) = 7 \Rightarrow 3\alpha + 5\gamma = 7$
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $3(1 - \gamma) + 5\gamma = 7 \Rightarrow 3 - 3\gamma + 5\gamma = 7 \Rightarrow 2\gamma = 4 \Rightarrow \gamma = 2$.
તેથી $\alpha = 1 - 2 = -1$.
આમ,$\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = 2$.
છેલ્લે,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (-1)^3 + (1)^3 + (2)^3 = -1 + 1 + 8 = 8$.

(C) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$1) 2x + 3y - 2z = -4$
$2) 3x - 4y + 3z = -5$
$3) kx - 2y + z = -3$
અહીં $x = \alpha = -2$ આપેલ છે,તેથી $x = -2$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2(-2) + 3y - 2z = -4 \Rightarrow -4 + 3y - 2z = -4 \Rightarrow 3y - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 3y \Rightarrow z = \frac{3}{2}y$
$3(-2) - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -6 - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -4y + 3z = 1$
બીજા સમીકરણમાં $z = \frac{3}{2}y$ મૂકતા:
$-4y + 3(\frac{3}{2}y) = 1 \Rightarrow -4y + \frac{9}{2}y = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}y = 1 \Rightarrow y = 2$
તેથી $z = \frac{3}{2}(2) = 3$.
હવે $x = -2, y = 2, z = 3$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$k(-2) - 2(2) + 3 = -3$
$-2k - 4 + 3 = -3$
$-2k - 1 = -3$
$-2k = -2 \Rightarrow k = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$: $\left| \begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = (3 \times 2) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1$.
આમ,$k = 1$ એ વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) \beta x + \alpha y - z = -1$
$2) 3x - \beta y + \alpha z = 0$
$3) \alpha x + \beta y + z = 1$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ $x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$,અને $z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(1)$ પરથી: $\beta(-1) + \alpha(1) - 2 = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
$(2)$ પરથી: $3(-1) - \beta(1) + \alpha(2) = 0 \Rightarrow 2\alpha - \beta = 3$
$(3)$ પરથી: $\alpha(-1) + \beta(1) + 2 = 1 \Rightarrow -\alpha + \beta = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
હવે $\alpha$ અને $\beta$ માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$\alpha - \beta = 1$
$2\alpha - \beta = 3$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(2\alpha - \beta) - (\alpha - \beta) = 3 - 1$
$\alpha = 2$
$\alpha = 2$ ને $\alpha - \beta = 1$ માં મૂકતા:
$2 - \beta = 1 \Rightarrow \beta = 1$
આમ,$(\alpha, \beta) = (2, 1)$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ ($x = y = z = 0$ સિવાયનો ઉકેલ) હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો:
$3x - 2y + z = 0$
$\lambda x - 14y + 15z = 0$
$x + 2y - 3z = 0$
નિશ્ચાયક $\Delta$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$3((-14)(-3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(-3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(42 - 30) + 2(-3\lambda - 15) + 1(2\lambda + 14) = 0$
$3(12) - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$36 - 30 + 14 - 4\lambda = 0$
$20 - 4\lambda = 0$
$4\lambda = 20$
$\lambda = 5$

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$5x - 2y + 3z = 0$ $(1)$
$7x + 10y - 8z = 3$ $(2)$
$2x + 3y - 4z = -4$ $(3)$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 7 & 10 & -8 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$D = 5(-40 + 24) + 2(-28 + 16) + 3(21 - 20) = -101$
હવે,બીજા સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને $D_y$ શોધો:
$D_y = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & -8 \\ 2 & -4 & -4 \end{vmatrix} = -202$
તેથી,$y = \beta = \frac{D_y}{D} = \frac{-202}{-101} = 2$.

(B) ધારો કે $\tan A = x$,$\cos B = y$,અને $\sin C = z$. સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + 3y + 6z = 1 \quad \dots(i)$
$3x + y + 4z = 4 \quad \dots(ii)$
$5x + 3y - 8z = -2 \quad \dots(iii)$
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝનનો ઉપયોગ કરતા,સહગુણક મેટ્રિક્સ $P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 3 & -8 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|P| = 1(-8 - 12) - 3(-24 - 20) + 6(9 - 5) = -20 + 132 + 24 = 136$.
સિસ્ટમ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}$ ને ઉકેલતા:
$x = 1 \implies \tan A = 1 \implies A = \frac{\pi}{4}$ (કારણ કે $A \in [0, \frac{\pi}{2})$).
$y = -1 \implies \cos B = -1 \implies B = \pi$ (કારણ કે $B \in [0, 2\pi]$).
$z = \frac{1}{2} \implies \sin C = \frac{1}{2} \implies C = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે $C \in [0, \frac{\pi}{2})$).
અંતે,$B - 2A - C = \pi - 2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 9y + 5z = 8$,$2x + 3y - z = -4$,અને $x - 2z = -5$ ને અનંત ઉકેલો $x = -5 + at$,$y = 2 + bt$,$z = ct$,જ્યાં $t \in R$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2(-5 + at) + 9(2 + bt) + 5(ct) = 8$
$2(-5 + at) + 3(2 + bt) - (ct) = -4$
$(-5 + at) - 2(ct) = -5$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$-10 + 2at + 18 + 9bt + 5ct = 8 \Rightarrow 2at + 9bt + 5ct = 0$
$-10 + 2at + 6 + 3bt - ct = -4 \Rightarrow 2at + 3bt - ct = 0$
$-5 + at - 2ct = -5 \Rightarrow at - 2ct = 0$
$t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારતા):
$2a + 9b + 5c = 0$
$2a + 3b - c = 0$
$a - 2c = 0 \Rightarrow a = 2c$
$a = 2c$ ને $2a + 3b - c = 0$ માં મૂકતા:
$2(2c) + 3b - c = 0 \Rightarrow 4c + 3b - c = 0 \Rightarrow 3b = -3c \Rightarrow b = -c$
આમ,$a : b : c = 2c : -c : c = 2 : -1 : 1$.
તેથી,$a = 2$,$b = -1$,$c = 1$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ,અને નિશ્ચાયકો $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ પણ શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
$\Delta = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમ સુસંગત છે જો $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોય.
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & 2 & 4 \\ k^2 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 2(k^2 - 3k + 2) = 2(k-1)(k-2)$.
$\Delta_1 = 0$ લેતા,$(k-1)(k-2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$ અથવા $k = 2$.
તે જ રીતે,$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 4 \\ 1 & k^2 & 10 \end{vmatrix} = -3(k^2 - 3k + 2) = -3(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = 0$ લેતા,$k = 1$ અથવા $k = 2$.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{vmatrix} = (k^2 - 3k + 2) = (k-1)(k-2)$.
$\Delta_3 = 0$ લેતા,$k = 1$ અથવા $k = 2$.
આમ,સિસ્ટમ $k = 1, 2$ માટે સુસંગત છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=3$
$x+2y+2z=6$
$x+ay+3z=b$
આ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=B$ માં દર્શાવતા,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & a & 3 \end{bmatrix}$ છે.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta = |A| = 1(6-2a) - 1(3-2) + 1(a-2)$
$\Delta = 6 - 2a - 1 + a - 2 = 3 - a$.
સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટે નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta \neq 0$.
$3 - a \neq 0 \Rightarrow a \neq 3$.
જો $a \neq 3$ હોય,તો $b$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=3$
$2x+2y-z=3$
$x+y+\lambda z=1$
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની કિંમત:
$|A| = 1(2\lambda + 1) - 1(2\lambda + 1) + 1(2-2) = 0$
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી કોઈપણ $\lambda \in R$ માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ નથી.
હવે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 2 & -1 & | & 3 \\ 1 & 1 & \lambda & | & 1 \end{bmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & \lambda-1 & | & -2 \end{bmatrix}$
$R_2$ પરથી,$-3z = -3 \implies z = 1$ મળે છે.
$z=1$ ને $R_3$ માં મૂકતા: $(\lambda-1)(1) = -2 \implies \lambda = -1$.
જો $\lambda = -1$ હોય,તો સંહતિ સુસંગત છે (અનંત ઉકેલો).
જો $\lambda \neq -1$ હોય,તો સંહતિ અસુસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
તેથી,વિધાન '$S$ એ તમામ $\lambda \in R$ માટે સુસંગત છે' તે ખોટું છે.

(C) સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 0$
$12 - 2q - 3p + pq - 6 = 0$
$pq - 3p - 2q + 6 = 0$
$p(q - 3) - 2(q - 3) = 0$
$(p - 2)(q - 3) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $p = 2$ અથવા $q = 3$.
કિસ્સો $1$: જો $p = 2$ હોય,તો સમીકરણો બને છે:
$2x + 2y + 6z = 8 \Rightarrow x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
અહીં,પ્રથમ અને ત્રીજું સમીકરણ સમાન છે. જો $p=2$ હોય,તો સંહતિ અનંત ઉકેલો ધરાવે છે,તેથી $p=2$ માટે 'કોઈ ઉકેલ નથી' તેવી સ્થિતિ મળતી નથી.
કિસ્સો $2$: જો $q = 3$ અને $p \neq 2$ હોય,તો સમીકરણો છે:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + 3z = 5$
$x + y + 3z = 4$
બીજા સમીકરણમાંથી ત્રીજું બાદ કરતા: $y = 1$.
$y=1$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 3z = 3$.
$y=1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2x + p + 6z = 8 \Rightarrow 2x + 6z = 8 - p$.
$x + 3z = 3$ હોવાથી,$2x + 6z = 6$.
કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$6 \neq 8 - p$,જેનો અર્થ છે કે $p \neq 2$.
આમ,કોઈ ઉકેલ ન હોવાની શરત $p \neq 2$ અને $q = 3$ છે.

(B) સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{bmatrix}$
$|A| = 0$ લેતા:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & \lambda-3 & -\lambda+3 \\ -\lambda+3 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_2$ અને $R_3$ માંથી $(\lambda-3)$ સામાન્ય લેતા:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda-3)^2 [(\lambda-1)(1-0) - (3\lambda+1)(0-1) + 2\lambda(0 - (-1))] = 0$
$(\lambda-3)^2 [\lambda-1 + 3\lambda+1 + 2\lambda] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6\lambda] = 0$
આમ,$\lambda$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો $\lambda = 3$ અને $\lambda = 0$ મળે છે. તેથી $p=3$ અને $q=0$.
અંતે,$p^2+q^2-pq = 3^2 + 0^2 - (3)(0) = 9 + 0 - 0 = 9$.

(B) આપેલ સમરૂપ સમીકરણોની સંહતિ $AX=0$ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ છે,તેથી નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 1 - bc - ab + abc + abc - ac = 1 - ab - bc - ca + 2abc = 0$.
હવે અ-સમરૂપ સંહતિ $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ ને ધ્યાનમાં લો. ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $A' = \begin{bmatrix} 1 & a & a & | & a \\ b & 1 & b & | & b \\ c & c & 1 & | & c \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $|A|=0$ છે,તેથી સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અસંખ્ય ઉકેલો છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $A'$ નો ક્રમ $A$ ના ક્રમ જેટલો જ છે (જે $a, b, c \neq 1$ માટે $2$ છે).
કારણ કે સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમ ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સના ક્રમ જેટલો છે,તેથી સંહતિને અસંખ્ય ઉકેલો છે.

(A) ધારો કે $x = \sin \alpha$,$y = \cos \beta$,અને $z = \tan \gamma$. સમીકરણો આ મુજબ બને છે:
$2x - y + 3z = 3 \quad \dots (i)$
$4x + 2y - 2z = 2 \quad \dots (ii)$
$6x - 3y + z = 9 \quad \dots (iii)$
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & -2 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 2(2 - 6) - (-1)(4 + 12) + 3(-12 - 12) = -64$.
$X = A^{-1}B$ ઉકેલતા,આપણને $x = 1$,$y = -1$,$z = 0$ મળે છે.
આમ,$\sin \alpha = 1 \implies \alpha = \pi/2$.
$\cos \beta = -1 \implies \beta = \pi$.
$\tan \gamma = 0 \implies \gamma = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $2\alpha - \beta - \gamma = 2(\pi/2) - \pi - 0 = 0$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે,$AX=D$ એ ત્રણ સુરેખ અસમઘાત સમીકરણોની સંહતિ છે.
અહીં $|A|=0$ હોવાથી,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ નથી.
આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha$.
Rouché-Capelli પ્રમેય મુજબ,જો $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha < n$ (જ્યાં $n=3$ એ ચલની સંખ્યા છે),તો સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય છે.
તેથી,જ્યારે $\alpha < 3$ હોય,ત્યારે $AX=D$ સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સિસ્ટમ: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(4\lambda^2 - 4\lambda^2) - 2(2\lambda^2 - 2\lambda^2) + \lambda(4\lambda - 4\lambda) = 0 - 0 + 0 = 0$.
કારણ કે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ છે,તેથી સિસ્ટમ $AX = 0$ પાસે કોઈપણ $\lambda \in (-\infty, \infty)$ માટે હંમેશા અનંત ઉકેલો (નોન-ટ્રિવિયલ ઉકેલો) હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$ax+ay+2az=4$
સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $AX=B$ નો ઉકેલ અનન્ય હોય જો અને માત્ર જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(3(2a) - 2(a)) - 1(2(2a) - 2(a)) + 1(2(a) - 3(a))$
$|A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a)$
$|A| = 4a - 2a - a = a$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $a \neq 0$.
તેથી,સંહતિનો ઉકેલ બધા $a \in R-\{0\}$ માટે અનન્ય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ પ્રણાલી નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=9$
$2x+5y+7z=52$
$x+7y+11z=77$
આપણે આ પ્રણાલીને ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 2 & 5 & 7 & 52 \\ 1 & 7 & 11 & 77 \end{bmatrix}$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 6 & 10 & 68 \end{bmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3-2R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
અહીં,સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમ $\rho(A) = 2$ છે અને ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો ક્રમ $\rho(A|B) = 2$ છે. કારણ કે $\rho(A) = \rho(A|B) < 3$ (જ્યાં $3$ એ ચલની સંખ્યા છે),તેથી આ પ્રણાલીને અનંત ઉકેલો છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ -1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$
$\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(2\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \beta$ માટે સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \beta$ છે.
$2\alpha + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$2\alpha = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$
$\alpha = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8}$

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=4$ $(1)$
$x-y+z=2$ $(2)$
$x+2y+2z=1$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(x+y+z) - (x-y+z) = 4-2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
$y=1$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$x+1+z=4 \implies x+z=3$ $(4)$
$x+2(1)+2z=1 \implies x+2z=-1$ $(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $(x+2z) - (x+z) = -1 - 3 \implies z = -4$.
$z=-4$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા: $x-4=3 \implies x=7$.
આમ,$a=7, b=1, c=-4$.
હવે,$ab+bc+ca$ શોધીએ:
$ab+bc+ca = (7)(1) + (1)(-4) + (-4)(7) = 7 - 4 - 28 = -25$.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ $\begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ છે.
આને $\begin{bmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ તરીકે લખી શકાય.
શૂન્યેતર ઉકેલ માટે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{vmatrix} = 0$.
$(2-k)(7-k) - 24 = 0$.
$k^2 - 9k + 14 - 24 = 0$.
$k^2 - 9k - 10 = 0$.
$(k-10)(k+1) = 0$.
તેથી,$k = 10$ અથવા $k = -1$. ધન કિંમત લેતા,$k = 10$.
$k = 10$ મૂકતા,આપણને $-8a + 8b = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$x+y+2z=3$
$x+2y+3z=4$
$x+y+cz=5$
સંહતિ સુસંગત ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(2c - 3) - 1(c - 3) + 2(1 - 2) = 0$
$2c - 3 - c + 3 - 2 = 0$
$c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$
જો $c=2$ હોય,તો સમીકરણો $x+y+2z=3$ અને $x+y+2z=5$ મળે છે,જે વિરોધાભાસી છે.
તેથી,$c=2$ માટે સંહતિ સુસંગત નથી.
નોંધ: જો ત્રીજું સમીકરણ $x+y+2cz=5$ હોય,તો $c=1$ મળે છે.

(B) સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$ax + by + cz = 2$
$bx + cy + az = 2$
$cx + ay + bz = 2$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$
કારણ કે $a+b+c = 0$,આપણને મળે છે:
$\Delta = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
કારણ કે $\Delta = 0$,સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અસંખ્ય ઉકેલો છે.
ચાલો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ ની ગણતરી કરીને સુસંગતતા તપાસીએ.
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & b & c \\ 2 & c & a \\ 2 & a & b \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 2(c^2 + ab + ab - c^2 - a^2 - b^2) = 2(2ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$c = -(a+b)$,તેથી $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
આમ,$\Delta_x = 2(2ab - a^2 - b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)) = 2(-2a^2 - 2b^2) = -4(a^2 + b^2)$.
જો $a, b, c$ બધા શૂન્ય ન હોય,તો $\Delta_x \neq 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય નથી,તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચાયક $D$ અને $D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \\ 9 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 4(-35 + 9) - 1(7 - 27) + 2(-3 + 45) = 4(-26) - 1(-20) + 2(42) = -104 + 20 + 84 = 0$.
કારણ કે $D = 0$,સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે. હવે આપણે $D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 10 & -5 & 3 \\ 20 & -3 & 7 \end{vmatrix} = 5(-35 + 9) - 1(70 - 60) + 2(-30 + 100) = 5(-26) - 1(10) + 2(70) = -130 - 10 + 140 = 0$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 10 & 3 \\ 9 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 4(70 - 60) - 5(7 - 27) + 2(20 - 90) = 4(10) - 5(-20) + 2(-70) = 40 + 100 - 140 = 0$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 5 \\ 1 & -5 & 10 \\ 9 & -3 & 20 \end{vmatrix} = 4(-100 + 30) - 1(20 - 90) + 5(-3 + 45) = 4(-70) - 1(-70) + 5(42) = -280 + 70 + 210 = 0$.
આમ,$D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે અને તેને અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$3x + 2y + z = 6$
$3x + 4y + 3z = 14$
$6x + 10y + 8z = a$
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 6 & 10 & 8 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(32 - 30) - 2(24 - 18) + 1(30 - 24) = 3(2) - 2(6) + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,સિસ્ટમને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે. અનંત ઉકેલો માટે,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ હોવું જોઈએ.
$A$ નો એડજોઈન્ટ નીચે મુજબ છે:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix}$.
હવે,$(\text{adj } A) \cdot B = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & -6 & 2 \\ -6 & 18 & -6 \\ 6 & -18 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 84 + 2a \\ -36 + 252 - 6a \\ 36 - 252 + 6a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a - 72 \\ 216 - 6a \\ 6a - 216 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ હાર પરથી,$2a - 72 = 0 \implies a = 36$.
અન્ય હાર સાથે ચકાસતા,$216 - 6(36) = 216 - 216 = 0$.
આમ,$a = 36$ માટે,સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ સમપરિમાણીય (homogeneous) છે,જેને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = O$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.
સમપરિમાણીય સંહતિ $AX = O$ માટે,જો $|A| \neq 0$ હોય,તો સંહતિનો માત્ર તુચ્છ ઉકેલ $(x=0, y=0, z=0)$ જ મળે.
તેથી,અ-તુચ્છ ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$3x - 4y + 7z = -6$
$5x + 2y - 4z = -9$
$8x - 6y - z = -5$
આને $AX = D$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 \\ 5 & 2 & -4 \\ 8 & -6 & -1 \end{bmatrix}$ અને $D = \begin{bmatrix} -6 \\ -9 \\ -5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(-2 - 24) + 4(-5 + 32) + 7(-30 - 16)$
$|A| = 3(-26) + 4(27) + 7(-46)$
$|A| = -78 + 108 - 322 = -292 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમાંક (Rank) $3$ છે.
ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|D] = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 & | & -6 \\ 5 & 2 & -4 & | & -9 \\ 8 & -6 & -1 & | & -5 \end{bmatrix}$ માટે,તેનો ક્રમાંક પણ $3$ છે કારણ કે $3 \times 3$ સબ-મેટ્રિક્સ $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય નથી.
આમ,$\operatorname{Rank}(A) = \operatorname{Rank}([A|D]) = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^a y^b = e^m$ અને $x^c y^d = e^n$ છે. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
આ $X = \ln x$ અને $Y = \ln y$ ચલોમાં સુરેખ સમીકરણોની એક સિસ્ટમ છે.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{md-bn}{ad-bc}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{an-mc}{ad-bc}$
કારણ કે $X = \ln x$,તેથી $x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$.
કારણ કે $Y = \ln y$,તેથી $y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$.

(B) આપેલ મેટ્રિક્સ સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
પ્રથમ બે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
આનાથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x - y + 2z = 5$
$-x + y - 2z = -5$
$2x - 2y + 4z = 10$
આ ત્રણેય સમીકરણો એક જ સમતલના સમીકરણ $x - y + 2z = 5$ ને સમાન છે.
કારણ કે $x, y, z$ ના સહગુણકો શૂન્ય નથી,તેથી આ સમતલ કોઈપણ યામ સમતલ $(XY, YZ, ZX)$ ને સમાંતર નથી.
આમ,ઉકેલો એવા સમતલ પર આવેલા છે જે કોઈપણ યામ સમતલને સમાંતર નથી.

(C) આપેલ છે,$f(x) = 2x^2 + 5x + 1$.
વળી,$f(x) = a(x+1)(x-2) + b(x-2)(x-1) + c(x-1)(x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (a+b+c)x^2 + (-a-3b)x + (-2a+2b-c)$.
$x^2$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \; a + b + c = 2$
$2) \; -a - 3b = 5$
$3) \; -2a + 2b - c = 1$
અહીં $3$ ચલ $(a, b, c)$ માટે $3$ સુરેખ સમીકરણો છે અને સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય નથી,તેથી $a, b, c$ માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
આ ઉકેલતા,આપણને $a = -\frac{35}{4}$,$b = \frac{5}{4}$,અને $c = \frac{38}{4}$ મળે છે.
આમ,$a, b, c$ દરેક માટે બરાબર એક જ વિકલ્પ છે.

(D) અહીં આપણને શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ આપેલ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix}$.
આપણે દરેક વિકલ્પ માટે શ્રેણિક ગુણાકાર $AX$ કરીને ચકાસણી કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$AX = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(4) + (-1)(2) + (0)(1) \\ (0)(4) + (1)(2) + (-1)(1) \\ (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 2 + 0 \\ 0 + 2 - 1 \\ 4 + 2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix} = B$.
આમ,સાચો શ્રેણિક $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત ન હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 12 & 24 & 5 \\ x & 6 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 12(6 \times 3 - 2 \times (-2)) - 24(x \times 3 - 2 \times (-1)) + 5(x \times (-2) - 6 \times (-1))$
$|A| = 12(18 + 4) - 24(3x + 2) + 5(-2x + 6)$
$|A| = 12(22) - 72x - 48 - 10x + 30$
$|A| = 264 - 82x - 18$
$|A| = 246 - 82x$
$|A| = 0$ લેતા:
$246 - 82x = 0$
$82x = 246$
$x = \frac{246}{82} = 3$
તેથી,$x$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - \lambda I_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ છે.
આપેલ છે કે $\det(A) = 1$,તેથી સમીકરણ $\lambda^2 - (a+d)\lambda + 1 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય કરતા નાનો $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = [-(a+d)]^2 - 4(1)(1) = (a+d)^2 - 4$ છે.
$D < 0$ લેતા,આપણને $(a+d)^2 - 4 < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(a+d)^2 < 4$.

(B) આપેલ છે કે $A U_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$,અને $A U_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
આને $A U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $U = [U_{1} U_{2} U_{3}]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A U = B$,જ્યાં $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$U = A^{-1} B$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,$U^{-1} = (A^{-1} B)^{-1} = B^{-1} A$.
પહેલા $A^{-1}$ શોધો. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ એ લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર શ્રેણિક છે.
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે $B^{-1}$ શોધો. $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોવાથી,$|B| = 1(3-0) = 3$.
$B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$U^{-1} = B^{-1} A = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & -2/3 & 0 \\ -7/3 & -5/3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોનો સરવાળો = $(-1/3 - 2/3 + 0) + (-7/3 - 5/3 - 1) + (3 + 2 + 1) = -1 - 5 + 6 = 0$.

(D) રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = B$ નો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a-4 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1((1)(a-4) - (2)(2)) - 2((2)(a-4) - (2)(1)) + 4((2)(2) - (1)(1))$
$|A| = 1(a-4-4) - 2(2a-8-2) + 4(4-1)$
$|A| = (a-8) - 2(2a-10) + 4(3)$
$|A| = a - 8 - 4a + 20 + 12$
$|A| = -3a + 24$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$|A| \neq 0$.
$-3a + 24 \neq 0 \Rightarrow -3a \neq -24 \Rightarrow a \neq 8$.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$\lambda x + y + 3z = 0$
$2x + \mu y - z = 0$
$5x + 7y + z = 0$
સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 3 \\ 2 & \mu & -1 \\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda(\mu(1) - (-1)(7)) - 1(2(1) - (-1)(5)) + 3(2(7) - \mu(5)) = 0$
$\lambda(\mu + 7) - 1(2 + 5) + 3(14 - 5\mu) = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 7 + 42 - 15\mu = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 15\mu + 35 = 0$
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$\lambda = 1$ અને $\mu = 3$ લેતા:
$(1)(3) + 7(1) - 15(3) + 35 = 3 + 7 - 45 + 35 = 10 - 45 + 35 = 0$.
આમ,સમીકરણ સંતોષાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ એ સમપરિમાણ સંહતિ $AX = 0$ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{bmatrix}$ છે.
ઉકેલના પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = |A|$ શોધીએ છીએ.
$D = \begin{vmatrix} 8 & -3 & -5 \\ 5 & -8 & 3 \\ 3 & 5 & -8 \end{vmatrix}$
$D = 8((-8)(-8) - (3)(5)) - (-3)((5)(-8) - (3)(3)) + (-5)((5)(5) - (-8)(3))$
$D = 8(64 - 15) + 3(-40 - 9) - 5(25 + 24)$
$D = 8(49) + 3(-49) - 5(49)$
$D = 49(8 - 3 - 5) = 49(0) = 0$.
નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવાથી,આ સમપરિમાણ સમીકરણોની સંહતિને અનંત શૂન્યેતર ઉકેલો છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિક $A$ લખીએ:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લેતા:
$|A| = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) - 2(1 - (-2)) = 0$
$|A| = 2(-2\lambda - 1) + 1(\lambda - 1) - 2(3) = 0$
$-4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 6 = 0$
$-3\lambda - 9 = 0$
$-3\lambda = 9$
$\lambda = -3$
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $-3$ છે જેના માટે સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ સંહતિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(1-\alpha)x + 3y + 5z = 0$
$5x + (1-\alpha)y + 3z = 0$
$3x + 5y + (1-\alpha)z = 0$
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-\alpha & 3 & 5 \\ 5 & 1-\alpha & 3 \\ 3 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લેતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 9-\alpha & 3 & 5 \\ 9-\alpha & 1-\alpha & 3 \\ 9-\alpha & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $(9-\alpha)$ સામાન્ય લેતા:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1-\alpha & 3 \\ 1 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ કરતા:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 0 & -\alpha-2 & -2 \\ 0 & 2 & -\alpha-4 \end{array}\right| = 0$
$(9-\alpha) [(-\alpha-2)(-\alpha-4) - (-4)] = 0$
$(9-\alpha) [\alpha^2 + 6\alpha + 8 + 4] = 0$
$(9-\alpha) (\alpha^2 + 6\alpha + 12) = 0$
$\alpha^2 + 6\alpha + 12 = 0$ માટે વિવેચક $D = 6^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$. તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,માત્ર $\alpha = 9$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂલ્ય છે. તેથી વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.