Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ગણતરી કરતા,સુસંગતતાની શરત $\alpha - 2\beta + \gamma = 0$ મળે છે. નિશ્ચાયક $|M| = \alpha - 2\beta + \gamma$ છે. જો આપણે આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $|M| = 1$ અને $D = 1.5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $p, q, r$ એ હાર્મોનિક શ્રેણીના $10^{\text{th}}, 100^{\text{th}}, 1000^{\text{th}}$ પદો છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a + (n-1)d$ છે. તો $\frac{1}{p} = a + 9d, \frac{1}{q} = a + 99d, \frac{1}{r} = a + 999d$.
ત્રીજા સમીકરણ $qrx + pry + pqz = 0$ ને $pqr$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$ મળે છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોને મૂકતા,સિસ્ટમ નીચે મુજબ બને છે:
$x+y+z=1$
$x+10y+100z=0$
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$
સિસ્ટમનો નિશ્ચાયક $D$ ગણતા: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 10 & 100 \\ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \end{vmatrix}$.
સમાંતર શ્રેણીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$D = 0$ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પદોનો ગુણોત્તર શ્રેણી સાથે મેળ ખાતો હોય. ખાસ કરીને,જો $D=D_x=D_y=D_z=0$ હોય તો સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો હોય છે.
$(I)$ માટે,જો $\frac{q}{r}=10$,તો સિસ્ટમ અનંત ઉકેલો $(R)$ સાથે સુસંગત છે,અને કારણ કે તેની પાસે અનંત ઉકેલો છે,તેથી તેની પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ $(T)$ છે.
$(II)$ માટે,જો $\frac{p}{r} \neq 100$,તો સિસ્ટમ અસંગત છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી $(S)$.
$(III)$ માટે,જો $\frac{p}{q} \neq 10$,તો સિસ્ટમ અસંગત છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી $(S)$.
$(IV)$ માટે,જો $\frac{p}{q}=10$,તો સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો $(R)$ છે,અને તેથી ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ $(T)$ છે.
આને મેળવતા,$(I) \rightarrow (R, T), (II) \rightarrow (S), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (R, T)$. વિકલ્પ $(B)$ સાચો મેળ છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = \beta(1(-2) - (-2)(1)) - 0 + 1(2(1) - 3(1)) = \beta(0) + 1(-1) = -1$ ગણો.
કારણ કે $|A| = -1 \neq 0$,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
આપણને આપેલ છે કે $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ એક અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $0$ છે:
$|A^5(A^2 - (\beta - 1)A - \beta I)| = 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,આપણી પાસે $|A|^5 |A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$.
નિશ્ચાયકની અંદરના પદના અવયવ પાડો:
$A^2 - (\beta - 1)A - \beta I = A^2 - \beta A + A - \beta I = A(A - \beta I) + I(A - \beta I) = (A + I)(A - \beta I)$.
તેથી,$|A + I| |A - \beta I| = 0$.
$A + I = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$|A + I| = (\beta + 1)(-2 - (-2)) - 0 + 1(2 - 6) = (\beta + 1)(0) - 4 = -4 \neq 0$.
તેથી,આપણે $|A - \beta I| = 0$ લેવું પડશે.
$A - \beta I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 - \beta & -2 \\ 3 & 1 & -2 - \beta \end{bmatrix}$.
$|A - \beta I| = 1(2 - 3(1 - \beta)) = 2 - 3 + 3\beta = 3\beta - 1$.
$3\beta - 1 = 0$ લેતા,આપણને $\beta = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$9\beta = 9 \times \frac{1}{3} = 3$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_1 = 0$ હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & a \\ -1 & -3 & b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow 2a + b - 6 = 0$ (સમીકરણ $1$).
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & a+1 \\ -1 & -3 & 2b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow a + b - 8 = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા:
$(2a + b - 6) - (a + b - 8) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$a = -2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $-2 + b = 8 \Rightarrow b = 10$.
તેથી,$7a + 3b = 7(-2) + 3(10) = -14 + 30 = 16$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_x = D_y = D_z = 0$ હોવું જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} \lambda-1 & \lambda-4 & \lambda \\ \lambda & \lambda-1 & \lambda-4 \\ \lambda+1 & \lambda+2 & -(\lambda+2) \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા અથવા નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(\lambda-3)(2\lambda+1) = 0$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -1/2$.
$\lambda = 3$ માટે $D_x = 0$ ની સુસંગતતા તપાસતા:
$D_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 5 & -5 \end{vmatrix} = 5(-10+5) + 1(-35+9) + 3(35-18) = 5(-5) - 26 + 3(17) = -25 - 26 + 51 = 0$.
કારણ કે $\lambda = 3$ પર $D_x = 0$ છે,તેથી આ સંહતિ અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.
તેથી,$\lambda^2 + \lambda = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 25) - 1(\lambda - 5) + 1(5 - 2) = 2\lambda - 25 - \lambda + 5 + 3 = \lambda - 17$ ગણો.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 17$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 1(2\mu - 45) - 1(\mu - 9) + 6(5 - 2) = 2\mu - 45 - \mu + 9 + 18 = \mu - 18$ ગણો.
કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$D = 0$ અને $D_z \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\lambda = 17$ અને $\mu \neq 18$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 5 & \lambda & 3 \\ 100 & -47 & \mu \end{vmatrix} = 2(\lambda\mu + 141) + 1(5\mu - 300) + 1(-235 - 100\lambda) = 0$ ગણીએ.
સાદું રૂપ આપતા,$2\lambda\mu + 282 + 5\mu - 300 - 235 - 100\lambda = 0$,જે $2\lambda\mu + 5\mu - 100\lambda = 253$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
આગળ,આપણે $\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{vmatrix} = 0$ ગણીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(212\lambda + 564) + 1(1060 - 1200) + 4(-235 - 100\lambda) = 0$.
$424\lambda + 1128 - 140 - 940 - 400\lambda = 0$.
$24\lambda + 48 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(-2)\mu + 5\mu - 100(-2) = 253$.
$-4\mu + 5\mu + 200 = 253 \Rightarrow \mu = 53$.
છેલ્લે,$\mu - 2\lambda = 53 - 2(-2) = 53 + 4 = 57$.

(D) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે નિશ્ચાયક $D = 0$ અને $D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવું જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{vmatrix} = 1(\lambda\mu - 15) - 2(2\mu - 70) - 3(6 - 14\lambda) = 0$
$\lambda\mu - 15 - 4\mu + 140 - 18 + 42\lambda = 0 \Rightarrow \lambda\mu + 42\lambda - 4\mu + 107 = 0$.
હવે,$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 5 \\ 14 & 3 & 33 \end{vmatrix} = 1(33\lambda - 15) - 2(66 - 70) + 2(6 - 14\lambda) = 0$
$33\lambda - 15 + 8 + 12 - 28\lambda = 0 \Rightarrow 5\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $D = 0$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-1)\mu + 42(-1) - 4\mu + 107 = 0 \Rightarrow -5\mu + 65 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
આમ,$\lambda + \mu = -1 + 13 = 12$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{bmatrix}$ છે.
$\Delta = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
હવે,$\Delta_z = 0$ માટેની શરત તપાસીએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \\ 1 & 4 & m^2 \end{vmatrix} = 1(2m^2-4m) - 1(m^2-m) + 1(4-2) = 2m^2 - 4m - m^2 + m + 2 = m^2 - 3m + 2 = 0$.
$m^2 - 3m + 2 = 0$ ઉકેલતા $(m-1)(m-2) = 0$ મળે,તેથી $m = 1$ અથવા $m = 2$.
આમ,$\alpha = 1$ અને $\beta = 2$.
આપણે $\sum_{n=1}^{10}(n^1 + n^2) = \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} n^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$k=10$ માટે સૂત્રો $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ અને $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
કુલ સરવાળો $55 + 385 = 440$ થાય.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & \beta \\ 2 & \alpha & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(\alpha + 2) - 1(2 + 1) + \beta(4 - \alpha) = 3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$.
ત્યારબાદ,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 2 & \alpha & -3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 3(4\alpha + 6) - 1(8 + 3) + 3(4 - \alpha) = 9\alpha + 19 = 0$.
$9\alpha + 19 = 0$ પરથી,$\alpha = -\frac{19}{9}$ મળે છે.
$\alpha$ ની કિંમત $3\alpha + 4\beta - \alpha\beta + 3 = 0$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{19}{9}) + 4\beta - (-\frac{19}{9})\beta + 3 = 0 \Rightarrow -\frac{19}{3} + 4\beta + \frac{19}{9}\beta + 3 = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $-57 + 36\beta + 19\beta + 27 = 0 \Rightarrow 55\beta = 30 \Rightarrow \beta = \frac{6}{11}$.
અંતે,$22\beta - 9\alpha = 22(\frac{6}{11}) - 9(-\frac{19}{9}) = 12 + 19 = 31$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 2(2\mu + 5) - \lambda(3\mu + 4) + 3(15 - 8) = 0$
$4\mu + 10 - 3\lambda\mu - 4\lambda + 21 = 0 \Rightarrow 4\mu - 3\lambda\mu - 4\lambda + 31 = 0 \dots (1)$
હવે,$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0$ લેતા:
$2(18 - 35) - \lambda(27 - 28) + 5(15 - 8) = 0$
$2(-17) - \lambda(-1) + 5(7) = 0 \Rightarrow -34 + \lambda + 35 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$4\mu - 3(-1)\mu - 4(-1) + 31 = 0$
$4\mu + 3\mu + 4 + 31 = 0 \Rightarrow 7\mu = -35 \Rightarrow \mu = -5$
તેથી,$\lambda^2 + \mu^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.

(B) સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 7 & 3 & -2 \\ 12 & 3 & -(4+\lambda) \end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(-3(4+\lambda) + 6) - 3(-7(4+\lambda) + 24) + 5(21 - 36) = 0$.
$2(-12 - 3\lambda + 6) - 3(-28 - 7\lambda + 24) + 5(-15) = 0$.
$2(-6 - 3\lambda) - 3(-4 - 7\lambda) - 75 = 0$.
$-12 - 6\lambda + 12 + 21\lambda - 75 = 0 \Rightarrow 15\lambda = 75 \Rightarrow \lambda = 5$.
અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક પણ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\left|\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 5 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 - R_2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 7 \\ 8 & 3 & -2 \\ 16-\mu & 3 & -9 \end{array}\right| = 0$.
$1(-27 + 6) - 0 + 7(24 - 3(16-\mu)) = 0$.
$-21 + 7(24 - 48 + 3\mu) = 0 \Rightarrow -21 + 7(3\mu - 24) = 0$.
$-3 + 3\mu - 24 = 0 \Rightarrow 3\mu = 27 \Rightarrow \mu = 9$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5, 9)$ છે. રેખા $4x - 3y = 0$ છે.
ત્રિજ્યા એ $(5, 9)$ થી $4x - 3y = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે: $r = \frac{|4(5) - 3(9)|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|20 - 27|}{5} = \frac{7}{5}$.

(A) સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ નિશ્ચાયકો $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \\ 24 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda + 3) - 5(4\lambda + 72) - 1(4 - 72) = -17\lambda - 289 = 0$.
તેથી,$\lambda = -17$.
હવે,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 7 & 3 & -3 \\ \mu & 1 & -17 \end{vmatrix} = 540 - 12\mu = 0$.
તેથી,$\mu = 45$.
સમીકરણો $x+5y-z=1$ અને $4x+3y-3z=7$ મળે છે.
$(Eq 2)$ માંથી $3 \times (Eq 1)$ બાદ કરતા: $x - 12y = 4 \Rightarrow x = 12y + 4$.
$x$ ની કિંમત $Eq 1$ માં મૂકતા: $z = 17y + 3$.
આપેલ છે કે $7 \leq x+y+z \leq 77$.
$x$ અને $z$ ની કિંમતો મૂકતા: $7 \leq 30y + 7 \leq 77 \Rightarrow 0 \leq 30y \leq 70 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2.33$.
$y$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$y \in \{0, 1, 2\}$.
દરેક $y$ માટે,$x$ અને $z$ ના અનન્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો મળે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે $x^2+x+1=0$. $\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2+\alpha+1=0$. તેથી,$\alpha = \omega$ અથવા $\omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3=1$ અને $1+\omega+\omega^2=0$.
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-a-2b & 64-a-14b & 52+2a-8b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આનાથી સમીકરણો મળે છે: $a+2b=4$ અને $a+14b=64$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $12b=60 \Rightarrow b=5$. $b=5$ ને $a+2b=4$ માં મૂકતા $a+10=4 \Rightarrow a=-6$ મળે છે.
હવે,$a=-6, b=5$ ને $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ માં મૂકો.
$\alpha^3=1$ હોવાથી,$\alpha^4=\alpha$,$\alpha^{-6}=1$,અને $\alpha^5=\alpha^2$.
તેથી,$\frac{4}{\alpha} + m + \frac{n}{\alpha^2} = 3$.
$\frac{1}{\alpha} = \alpha^2$ અને $\frac{1}{\alpha^2} = \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$4\alpha^2 + m + n\alpha = 3$ મળે છે.
$\alpha^2 = -1-\alpha$ હોવાથી,$4(-1-\alpha) + m + n\alpha = 3 \Rightarrow (n-4)\alpha + (m-4) = 3$.
આ સમીકરણ માટે,$n-4=0 \Rightarrow n=4$ અને $m-4=3 \Rightarrow m=7$.
તેથી,$m+n = 7+4 = 11$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
આ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ દર્શાવે છે:
$1) x + 3y + 3z = 12$
$2) x + 4y + 4z = 15$
$3) x + 3y + 4z = 13$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 3y + 4z) - (x + 3y + 3z) = 13 - 12$
$z = 1$
$z = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 3y + 3(1) = 12 \implies x + 3y = 9$
$x + 4y + 4(1) = 15 \implies x + 4y = 11$
બીજા સાદું રૂપ આપેલા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરતા:
$(x + 4y) - (x + 3y) = 11 - 9$
$y = 2$
$y = 2$ ની કિંમત $x + 3y = 9$ માં મૂકતા:
$x + 3(2) = 9 \implies x + 6 = 9 \implies x = 3$
હવે,$x^2 + y^2 + z^2$ ની ગણતરી કરતા:
$x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$
આના પરથી સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$a - b + 2c = 3$ $(i)$
$2a + c = 1$ $(ii)$
$3a + 2b + c = 4$ $(iii)$
$(ii)$ પરથી,$c = 1 - 2a$ મળે છે.
$c$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $a - b + 2(1 - 2a) = 3 \implies a - b + 2 - 4a = 3 \implies -3a - b = 1 \implies b = -3a - 1$.
$a, b, c$ ની કિંમતો $(iii)$ માં મૂકતા: $3a + 2(-3a - 1) + (1 - 2a) = 4$
$3a - 6a - 2 + 1 - 2a = 4$
$-5a - 1 = 4$
$-5a = 5 \implies a = -1$.
હવે $b$ અને $c$ શોધો:
$b = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
$c = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
અંતે,$2a - 3b + 4c$ ની ગણતરી કરો:
$2(-1) - 3(2) + 4(3) = -2 - 6 + 12 = 4$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ માટે:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ -2 \end{bmatrix}$
ત્રીજી હાર પરથી,$2x_2 = -2$,જે આપણને $x_2 = -1$ આપે છે.
$x_2 = -1$ ને બીજી હારના સમીકરણ $3x_2 - 5x_3 = -8$ માં મૂકતા:
$3(-1) - 5x_3 = -8 \Rightarrow -3 - 5x_3 = -8 \Rightarrow -5x_3 = -5 \Rightarrow x_3 = 1$.
$x_2 = -1$ અને $x_3 = 1$ ને પ્રથમ હારના સમીકરણ $x_1 - x_2 + x_3 = 4$ માં મૂકતા:
$x_1 - (-1) + 1 = 4 \Rightarrow x_1 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 2$.
આમ,$X = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, y,$ અને $z$ છે.
રકમ મુજબ,આપણી પાસે નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો છે:
$x + y + z = 6$ $(1)$
$x + 3z = 7$ $(2)$
$3x + y + z = 12$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(3x + y + z) - (x + y + z) = 12 - 6$
$2x = 6 \Rightarrow x = 3$
$x = 3$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3 + 3z = 7$
$3z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$
$x = 3$ અને $z = \frac{4}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3 + y + \frac{4}{3} = 6$
$y = 6 - 3 - \frac{4}{3} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9-4}{3} = \frac{5}{3}$
આમ,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $xyz = (3) \times (\frac{5}{3}) \times (\frac{4}{3}) = \frac{20}{3}$ થાય.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX=B$ છે,જ્યાં $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$,અને $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1((-1)(-4) - (0)(3)) - (-1)((2)(-4) - (0)(3)) + 1((2)(3) - (-1)(3))$
$|A| = 1(4) + 1(-8) + 1(6+3) = 4 - 8 + 9 = 5$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ,$adj(A)$,એ કોફેક્ટર શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$C_{11} = 4, C_{12} = 8, C_{13} = 9$
$C_{21} = -1, C_{22} = -7, C_{23} = -6$
$C_{31} = 1, C_{32} = 2, C_{33} = 1$
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$X = A^{-1}B = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ 8 & -7 & 2 \\ 9 & -6 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}4(1) - 1(1) + 1(2) \\ 8(1) - 7(1) + 2(2) \\ 9(1) - 6(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{l}5 \\ 5 \\ 5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$.
તેથી,$x=1, y=1, z=1$.
અંતે,$x+y+z = 1+1+1 = 3$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX=B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + 3y + 3z = 12$
$y + z = 3$
$z = 1$
$z = 1$ ને $y + z = 3$ માં મૂકતા,$y + 1 = 3$ મળે,તેથી $y = 2$.
$y = 2$ અને $z = 1$ ને $x + 3y + 3z = 12$ માં મૂકતા:
$x + 3(2) + 3(1) = 12$
$x + 6 + 3 = 12$
$x + 9 = 12 \Rightarrow x = 3$
અંતે,$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 9 + 4 + 1 = 14$.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta = |A|$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\Delta = 1(9-15) - 2(18-15) + 3(10-5)$
$\Delta = 1(-6) - 2(3) + 3(5)$
$\Delta = -6 - 6 + 15 = 3$.
અહીં $\Delta \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ (માત્ર એક ઉકેલ) મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 6 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$
હવે,$R_3 \rightarrow R_3 - 6R_2$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}$
પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ પરથી:
$5x_3 = 5 \implies x_3 = 1$
$x_2 - 2x_3 = -1 \implies x_2 - 2(1) = -1 \implies x_2 = 1$
$x_1 - x_2 + x_3 = 1 \implies x_1 - 1 + 1 = 1 \implies x_1 = 1$
તેથી,$x_1 + x_2 + x_3 = 1 + 1 + 1 = 3$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને સમાન છે:
$x + y + z = 0$ $\dots (i)$
$x - 2y - 2z = 3$ $\dots (ii)$
$x + 3y + z = 4$ $\dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 4 - 0$
$2y = 4 \implies y = 2$
$y = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x + 2 + z = 0 \implies x + z = -2$ $\dots (iv)$
$x - 2(2) - 2z = 3 \implies x - 2z = 7$ $\dots (v)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી સમીકરણ $(v)$ બાદ કરતા:
$(x + z) - (x - 2z) = -2 - 7$
$3z = -9 \implies z = -3$
$z = -3$ ને સમીકરણ $(iv)$ માં મૂકતા:
$x - 3 = -2 \implies x = 1$
હવે,$2x - y + z$ ની કિંમત શોધીએ:
$2(1) - 2 + (-3) = 2 - 2 - 3 = -3$

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$x + z = 1$ $(i)$
$-x + y = 1$ $(ii)$
$-y + z = 2$ $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(-x + y) + (-y + z) = 1 + 2$
$-x + z = 3$ $(iv)$
હવે,$(i)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + z) + (-x + z) = 1 + 3$
$2z = 4 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
$x = -1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-(-1) + y = 1 \Rightarrow 1 + y = 1 \Rightarrow y = 0$
આમ,ઉકેલ $(x, y, z) = (-1, 0, 2)$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં,આ $AX = B$ છે,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(1 + 3) - (-1)(2 + 3) + 1(2 - 1) = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$
કારણ કે $|A| \neq 0$,સંહતિનો ઉકેલ $X = A^{-1}B$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ શોધો:
$C_{11} = 4, C_{12} = -5, C_{13} = 1$
$C_{21} = 2, C_{22} = 0, C_{23} = -2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 5, C_{33} = 3$
$adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
આમ,$x = 2, y = -1, z = 1$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$
આના પરથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \quad a + b + c = 6$
$2) \quad b + 3c = 11$
$3) \quad a - 2b + c = 0$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$a + c = 2b$ મળે છે.
$a + c = 2b$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2b + b = 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2$.
હવે,$b = 2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2 + 3c = 11 \implies 3c = 9 \implies c = 3$.
અંતે,$b = 2$ અને $c = 3$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 2 + 3 = 6 \implies a + 5 = 6 \implies a = 1$.
આપણે $2a + b + 2c$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$2(1) + 2 + 2(3) = 2 + 2 + 6 = 10$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX=B$ છે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4 \\ -8 \\ -2\end{array}\right]$
ત્રીજી હાર પરથી,$3y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}$.
બીજી હાર પરથી,$3y - 5z = -8 \Rightarrow 3(-\frac{2}{3}) - 5z = -8 \Rightarrow -2 - 5z = -8 \Rightarrow -5z = -6 \Rightarrow z = \frac{6}{5}$.
પ્રથમ હાર પરથી,$x - y + z = 4 \Rightarrow x - (-\frac{2}{3}) + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{10+18}{15} = 4 \Rightarrow x + \frac{28}{15} = 4 \Rightarrow x = 4 - \frac{28}{15} = \frac{60-28}{15} = \frac{32}{15}$.
$2x + y - z = 2(\frac{32}{15}) + (-\frac{2}{3}) - \frac{6}{5} = \frac{64}{15} - \frac{10}{15} - \frac{18}{15} = \frac{36}{15} = 2.4$.

(D) પ્રશ્ન એક પ્રમાણિત શ્રેણિક સમાનતા અથવા સંકર સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત બીજગણિતીય સ્વરૂપ સૂચવે છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$x = a^2+b^2$ અને $y = 2ab$ એ એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે જે ઘણીવાર સંકર સંખ્યાઓના શ્રેણિક નિરૂપણમાં માનાંક અને ગુણાકારના ગુણધર્મો સાથે સંકળાયેલ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $x = \frac{1}{m}$ અને $y = \frac{1}{n}$.
તેથી આપેલા સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$5x + 2y = 9$ --- $(1)$
$3x + 4y = 11$ --- $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણો:
$10x + 4y = 18$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરો:
$(10x - 3x) + (4y - 4y) = 18 - 11$
$7x = 7 \implies x = 1$
$x = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(1) + 2y = 9$
$5 + 2y = 9 \implies 2y = 4 \implies y = 2$
કારણ કે $x = \frac{1}{m} = 1$,તેથી $m = 1$ મળે છે.
કારણ કે $y = \frac{1}{n} = 2$,તેથી $n = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$m = 1$ અને $n = \frac{1}{2}$ એ માંગેલ કિંમતો છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$.
ડાબી બાજુ શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{c}1(x) + 1(y) \\ -1(x) + 1(y)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{c}x+y \\ -x+y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + y = 2$ (સમીકરણ $1$)
$-x + y = 4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (-x + y) = 2 + 4$
$2y = 6 \implies y = 3$
સમીકરણ $1$ માં $y = 3$ મૂકતા:
$x + 3 = 2 \implies x = -1$
આમ,$x = -1$ અને $y = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3 - \lambda)(1 - \lambda) - (2)(1) = 0$.
$3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^{2} - 2 = 0$.
$\lambda^{2} - 4\lambda + 1 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. $\lambda = A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^{2} - 4A + I = 0$.
આ સમીકરણની સરખામણી $A^{2} + xA + yI = 0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$x = -4$ અને $y = 1$.
આમ,$(x, y) = (-4, 1)$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x+y+z=6 \quad (1)$
$x+2y+3z=10 \quad (2)$
$x+2y+az=b \quad (3)$
સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=B$ માં દર્શાવતા,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નીચે મુજબ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 1 & 2 & a & | & b \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & a-1 & | & b-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & a-3 & | & b-10 \end{bmatrix}$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમાંક ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકના ક્રમાંક કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે છેલ્લી હાર અશક્ય સમીકરણ દર્શાવે,એટલે કે $0x + 0y + 0z = k$ જ્યાં $k \neq 0$.
તેથી,$a-3 = 0 \Rightarrow a=3$ અને $b-10 \neq 0 \Rightarrow b \neq 10$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1) \ x+y+z=3$
$(2) \ 2x+2y-z=3$
$(3) \ x+y-z=1$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(x+y+z) - (x+y-z) = 3 - 1$
$2z = 2 \implies z = 1$
$z=1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x+y+1 = 3 \implies x+y = 2$
જો $(x_0, y_0, z_0)$ ઉકેલ હોય,તો $x_0+y_0 = 2$ અને $z_0 = 1$ થાય.
હવે,$2x_0+2y_0+z_0$ ની કિંમત શોધતા:
$2x_0+2y_0+z_0 = 2(x_0+y_0) + z_0$
$= 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x-y+2z=4$
$3x+y+4z=6$
$x+y+z=1$
અહીં $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
તથા $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણોને અનંત ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે $X^T B^T = A^T$. બંને બાજુ પરિવર્તિત (transpose) લેતા,$(X^T B^T)^T = (A^T)^T$,જેનો અર્થ થાય છે $BX = A$.
પ્રથમ,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|B| = 3(0 - (-8)) - 5(0 - 48) - 7(0 - (-6)) = 3(8) - 5(-48) - 7(6) = 24 + 240 - 42 = 222$.
$B$ નો એડજોઈન્ટ $\text{adj}(B) = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$X = B^{-1}A = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 8 & 7 & 33 \\ 48 & 42 & -24 \\ 6 & 33 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix}$.
$X = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 0 - 42 + 264 \\ 0 - 252 - 192 \\ 0 - 198 - 24 \end{bmatrix} = \frac{1}{222} \begin{bmatrix} 222 \\ -444 \\ -222 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$D = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$D^T A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix} = (1)(0) + (-2)(-6) + (-1)(8) = 0 + 12 - 8 = 4$.

(C) આપેલ છે કે $[x \ y \ z] A^{T} = B^{T}$. બંને બાજુ પરિવર્તિત (transpose) લેતા,આપણને મળે $([x \ y \ z] A^{T})^{T} = (B^{T})^{T}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $A [x \ y \ z]^{T} = B$.
શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & -1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$.
આનાથી સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$x + 5y + 3z = -1$ ...$(i)$
$2x + 4y = -2 \implies x + 2y = -1 \implies x = -1 - 2y$ ...(ii)
$3x - y - 5z = 4$ ...(iii)
સમીકરણ $(i)$ માં $x = -1 - 2y$ મૂકતા:
$(-1 - 2y) + 5y + 3z = -1 \implies 3y + 3z = 0 \implies y = -z$.
સમીકરણ (iii) માં $x = -1 - 2y$ અને $y = -z$ મૂકતા:
$3(-1 - 2(-z)) - (-z) - 5z = 4$
$3(-1 + 2z) + z - 5z = 4$
$-3 + 6z - 4z = 4 \implies 2z = 7 \implies z = 3.5$.
તેથી $y = -3.5$ અને $x = -1 - 2(-3.5) = -1 + 7 = 6$.
આમ,$x + y + z = 6 - 3.5 + 3.5 = 6$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 7 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 y + 11 \\ 6 z - 1 \\ 5 y + 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ x \\ 4 z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z \\ 3 x \\ 4 y \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુનો ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 2x + 2y + 3z \\ 7x + y + z \\ 6y + 5z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 3y + z + 11 \\ 4x + 6z - 1 \\ 9y + 4z + 11 \end{bmatrix}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) 2x + 2y + 3z = x + 3y + z + 11 \Rightarrow x - y + 2z = 11$
$2) 7x + y + z = 4x + 6z - 1 \Rightarrow 3x + y - 5z = -1$
$3) 6y + 5z = 9y + 4z + 11 \Rightarrow -3y + z = 11$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$z = 3y + 11$. આ કિંમત $(1)$ અને $(2)$ માં મુકતા:
$x - y + 2(3y + 11) = 11 \Rightarrow x + 5y = -11$
$3x + y - 5(3y + 11) = -1 \Rightarrow 3x - 14y = 54$
$x + 5y = -11$ અને $3x - 14y = 54$ નો ઉકેલ મેળવતા:
$x = -11 - 5y \Rightarrow 3(-11 - 5y) - 14y = 54 \Rightarrow -33 - 15y - 14y = 54 \Rightarrow -29y = 87 \Rightarrow y = -3$
તેથી $x = -11 - 5(-3) = 4$ અને $z = 3(-3) + 11 = 2$.
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = -3, z = 2$ છે.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]$.
આપેલ સમીકરણ $\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$ છે.
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$2x_1 + x_2 = 1$ (સમીકરણ $1$)
$3x_1 + 2x_2 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$x_2 = 1 - 2x_1$.
આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3x_1 + 2(1 - 2x_1) = 0$
$3x_1 + 2 - 4x_1 = 0$
$-x_1 + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$.
હવે,$x_2$ શોધતા:
$x_2 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$.
તેથી,$A = \left[\begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array}\right]$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = D$ અસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો રેન્ક એ ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|D]$ ના રેન્ક કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
$\therefore \text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$.
શ્રેણિકનો રેન્ક હંમેશા અન-ઋણ પૂર્ણાંક હોવાથી,અને $\text{Rank}(A) < \text{Rank}([A|D])$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\text{Rank}(A)}{\text{Rank}([A|D])}$ એ $1$ કરતા ઓછો થાય.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
સંહતિને ઉકેલ ન હોય તે માટે,નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક $(D_x, D_y, D_z)$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = (p - 2)(q - 3)$.
$|A| = 0$ માટે $p = 2$ અથવા $q = 3$ હોવું જોઈએ.
જો $p \neq 2$ અને $q = 3$ હોય,તો નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
$D_x = \begin{vmatrix} 8 & p & 6 \\ 5 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3p$.
જો $p \neq 2$ હોય,તો $D_x \neq 0$,તેથી સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1) x+2y+3z=4$
$2) 3x+y+z=3$
$3) x+3y+3z=2$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x+3y+3z) - (x+2y+3z) = 2 - 4$
$y = -2$
$y = -2$ ને સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 2(-2) + 3z = 4 \implies x + 3z = 8$
$3x + (-2) + z = 3 \implies 3x + z = 5$
$3x + z = 5$ પરથી,$z = 5 - 3x$ મળે.
$z$ ની કિંમત $x + 3z = 8$ માં મૂકતા:
$x + 3(5 - 3x) = 8$
$x + 15 - 9x = 8$
$-8x = -7 \implies x = \frac{7}{8}$
હવે $z$ શોધીએ:
$z = 5 - 3(\frac{7}{8}) = 5 - \frac{21}{8} = \frac{40-21}{8} = \frac{19}{8}$
આમ,$\alpha = \frac{7}{8}, \beta = -2, \gamma = \frac{19}{8}$.
$3\alpha + \gamma$ ની ગણતરી કરતા:
$3(\frac{7}{8}) + \frac{19}{8} = \frac{21}{8} + \frac{19}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
$\beta = -2$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$A) \beta = -2$
$B) 2\beta = -4$
$C) 1 - 2\beta = 1 - 2(-2) = 5$
$D) 2\beta + 1 = 2(-2) + 1 = -3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AX=B$ નો અનન્ય ઉકેલ $X=D$ છે. તેથી,$AD=B$.
આપેલ છે કે $CX=D$ નો અનન્ય ઉકેલ $X=B$ છે. તેથી,$CB=D$.
બીજા સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $B = C^{-1}D$.
$B$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $AD = C^{-1}D$.
આ સૂચવે છે કે $(A - C^{-1})D = O$.
આને $(A - C^{-1})X = O$ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $X=D$ એ ઉકેલ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) 2x - 3y + 2z = -15$
$2) 3x + y - z = -2$
$3) x - 3y - 3z = -8$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$z = 3x + y + 2$ મળે છે.
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x - 3y + 2(3x + y + 2) = -15$
$2x - 3y + 6x + 2y + 4 = -15$
$8x - y = -19$ --- $(4)$
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x - 3y - 3(3x + y + 2) = -8$
$x - 3y - 9x - 3y - 6 = -8$
$-8x - 6y = -2$ --- $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$(8x - y) + (-8x - 6y) = -19 - 2$
$-7y = -21 \implies y = 3$
$y = 3$ ને $(4)$ માં મૂકતા:
$8x - 3 = -19$
$8x = -16 \implies x = -2$
$x = -2$ અને $y = 3$ ને $z = 3x + y + 2$ માં મૂકતા:
$z = 3(-2) + 3 + 2 = -6 + 5 = -1$
આમ,$\alpha = -2, \beta = 3, \gamma = -1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$\alpha + \beta + \gamma = -2 + 3 - 1 = 0$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ સુસંગત હોવી જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધતા:
$D = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 12 - 2q - 3p + pq - 6 = pq - 3p - 2q + 6 = (p - 2)(q - 3) = 0$.
આથી $p = 2$ અથવા $q = 3$ મળે.
જો $p = 2$ લઈએ,તો સમીકરણો નીચે મુજબ બને:
$2x + 2y + 6z = 8 \implies x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજું સમીકરણ સમાન હોવાથી,ત્રણ ચલ માટે બે સ્વતંત્ર સમીકરણો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ $q$ માટે અનંત ઉકેલો મળે.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,$p = 2$ એ વિકલ્પ $B$ માં છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
ધારો કે $X = \ln x$ અને $Y = \ln y$. આથી સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$aX + bY = m$
$cX + dY = n$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} m & b \\ n & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{\begin{vmatrix} a & m \\ c & n \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$
$X = \ln x$ હોવાથી,$x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ મળે.
$Y = \ln y$ હોવાથી,$y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ મળે.
આમ,$x$ અને $y$ ની કિંમતો $e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$ અને $e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+2y+z=1$
$x+3y+4z=k$
$x+5y+10z=k^2$
સમીકરણ સંહતિ સુસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(30-20) - 2(10-4) + 1(5-3) = 10 - 12 + 2 = 0$.
અહીં $D=0$ હોવાથી,સંહતિ સુસંગત રહે તે માટે $D_1 = 0$ હોવું જરૂરી છે.
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ k & 3 & 4 \\ k^2 & 5 & 10 \end{vmatrix} = 1(30-20) - 2(10k-4k^2) + 1(5k-3k^2) = 0$.
$10 - 20k + 8k^2 + 5k - 3k^2 = 0$.
$5k^2 - 15k + 10 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા,$k^2 - 3k + 2 = 0$ મળે.
$(k-1)(k-2) = 0$.
આમ,$k$ ની વાસ્તવિક કિંમતો $k=1$ અને $k=2$ છે. ધારો કે $A=1$ અને $B=2$.
તેથી,$A+B = 1+2 = 3$.

(A) ક્રેમરના નિયમ મુજબ,$X = \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ માટે ઉકેલ $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta}$,અને $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\Delta_1$ ની ગણતરી કરો: $\Delta_1 = -11(1 - (-2)) - 1(-4 - (-10)) - 7(-4 - 5) = -11(3) - 1(6) - 7(-9) = -33 - 6 + 63 = 24$.
ત્યારબાદ,$\Delta_3$ ની ગણતરી કરો: $\Delta_3 = 4(5 - (-4)) - 1(5 - (-16)) - 11(1 - 4) = 4(9) - 1(21) - 11(-3) = 36 - 21 + 33 = 48$.
જેમ કે $x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$ અને $z = \frac{\Delta_3}{\Delta}$,તેથી $x = \frac{24}{\Delta}$ અને $z = \frac{48}{\Delta}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $z = 2x$. વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$: $x = -1, z = 2$ ($z = 2x$ નું પાલન કરે છે)
વિકલ્પ $B$: $x = 2, z = -1$ (પાલન કરતું નથી)
વિકલ્પ $C$: $x = 1, z = 2$ (પાલન કરતું નથી)
વિકલ્પ $D$: $x = 1, z = -1$ (પાલન કરતું નથી)
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે નિશ્ચાયક $D = 0$ અને $D_x = D_y = D_z = 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ સંહતિ:
$2x + 3y - 3z = 3$
$x + 2y + \alpha z = 1$
$2x - y + z = \beta$
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 + \alpha) - 3(1 - 2\alpha) - 3(-1 - 4) = 4 + 2\alpha - 3 + 6\alpha + 15 = 8\alpha + 16$.
$D = 0$ લેતા,$8\alpha + 16 = 0$,તેથી $\alpha = -2$.
હવે,$D_z$ ની ગણતરી કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 2(2\beta + 1) - 3(\beta - 2) + 3(-1 - 4) = 4\beta + 2 - 3\beta + 6 - 15 = \beta - 7$.
$D_z = 0$ લેતા,$\beta = 7$.
હવે $\frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2}{7} - \frac{7}{-2} = -\frac{2}{7} + \frac{7}{2} = \frac{-4 + 49}{14} = \frac{45}{14}$.

(C) આપેલ છે કે,$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 11 & 1 & 5\end{array}\right|$ અને $X=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ 2 \\ \beta\end{array}\right]$.
ક્રેમરના નિયમ મુજબ,$x = \frac{\Delta_1}{\Delta}$.
પ્રથમ,$\Delta = 1(-5-2) - 1(10+2) + 1(2-1) = -7 - 12 + 1 = -18$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\Delta_1 = 5(-5-2) - 1(20-22) + 1(4+11) = 5(-7) - 1(-2) + 15 = -35 + 2 + 15 = -18$ મેળવો.
આમ,$\alpha = x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-18}{-18} = 1$.
હવે,સમીકરણ સંહતિ $AX=B$ નો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $X = [\alpha, 2, \beta]^T = [1, 2, \beta]^T$:
$1(1) + 1(2) + 1(\beta) = 5 \Rightarrow 3 + \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.