Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a\end{array}\right|$
$D = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6)$
$D = 3a - 25 - 2a + 20 - 3$
$D = a - 8$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,$D = 0$ લેતા,આપણને $a = 8$ મળે છે.
હવે,$a = 8$ માટે ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 12\end{array}\right]$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 2R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3\end{array}\right]$
છેલ્લી હાર $0 = -3$ દર્શાવે છે,જે વિરોધાભાસ છે,તેથી $a = 8$ હોય ત્યારે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y-z=6$ $(1)$
$3x+2y-z=5$ $(2)$
$2x-y-2z=-3$ $(3)$
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ (augmented matrix) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 3 & 2 & -1 & | & 5 \\ 2 & -1 & -2 & | & -3 \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ (row operations) લાગુ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & -3 & 0 & | & -15 \end{bmatrix}$
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$:
$[A:B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 6 \\ 0 & -1 & 2 & | & -13 \\ 0 & 0 & -6 & | & 24 \end{bmatrix}$
ત્રીજી હાર પરથી: $-6z = 24 \Rightarrow z = -4 = \gamma$.
બીજી હાર પરથી: $-y + 2z = -13 \Rightarrow -y + 2(-4) = -13 \Rightarrow -y - 8 = -13 \Rightarrow y = 5 = \beta$.
પહેલી હાર પરથી: $x + y - z = 6 \Rightarrow x + 5 - (-4) = 6 \Rightarrow x + 9 = 6 \Rightarrow x = -3 = \alpha$.
તેથી,$\alpha + \beta = -3 + 5 = 2$.

(B) સહગુણક શ્રેણિક $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય: $1(15-12) - 2(12-9) + 3(16-15) = 1(3) - 2(3) + 3(1) = 3 - 6 + 3 = 0$.
અહીં $D=0$ હોવાથી,સંહતિ સુસંગત હોવા માટે ક્રેમરના નિયમ મુજબ $D_3 = 0$ થવું જોઈએ.
$D_3 = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & \lambda\end{array}\right| = 0$.
$1(5\lambda - 20) - 2(4\lambda - 15) + 4(16 - 15) = 0$.
$5\lambda - 20 - 8\lambda + 30 + 4 = 0$.
$-3\lambda + 14 = 0 \Rightarrow 3\lambda = 14$.
આપેલ છે કે $3\lambda = n + 100$,તેથી $3\lambda = 14$ મૂકતા:
$14 = n + 100 \Rightarrow n = 14 - 100 = -86$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $|A| \neq 0$ છે.
$|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) \neq 0$.
$|A| = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 \neq 0$.
$|A| = a - 8 \neq 0$.
તેથી,$a \neq 8$.
કારણ કે $b$ ની કિંમત સહગુણક શ્રેણિકના નિશ્ચાયકને અસર કરતી નથી,તેથી $b$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(b \in R)$.
આમ,શરત $a \neq 8$ અને $b \in R$ છે.

(B) ધારો કે સંહતિ $AX = B$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & -2 \\ 2 & 7 & 7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(21 - (-14)) - 2(21 - (-4)) + 1(21 - 6)$
$|A| = 1(35) - 2(25) + 1(15) = 35 - 50 + 15 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે.
હવે,આપણે એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ ચકાસીએ અને $adj(A)B$ ની ગણતરી કરીએ:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix}$.
$adj(A)B = \begin{bmatrix} 35 & -7 & -7 \\ -25 & 5 & 5 \\ 15 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -105 + 7 + 28 \\ 75 - 5 - 20 \\ -45 + 3 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -70 \\ 50 \\ -30 \end{bmatrix} \neq 0$.
કારણ કે $adj(A)B \neq 0$,તેથી આ સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX=B$ માં આ રીતે લખી શકાય: $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ છે: $\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 3 & -1 & 2 & : & 1 \\ 2 & -2 & 3 & : & 2\end{array}\right]$
રો ઓપરેશન્સ $R_2 \rightarrow R_2-3R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-2R_1$ લાગુ પાડતા:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & -6 & 5 & : & -4\end{array}\right]$
$R_3 \rightarrow 7R_3-6R_2$ લાગુ પાડતા:
$\sim\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & -1 & : & 3 \\ 0 & -7 & 5 & : & -8 \\ 0 & 0 & 5 & : & 20\end{array}\right]$
કારણ કે $\operatorname{Rank}(A:B)=\operatorname{Rank}(A)=3$,સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ છે.
રો-એશેલોન સ્વરૂપ પરથી:
$5z=20 \Rightarrow z=4$
$-7y+5(4)=-8 \Rightarrow -7y=-28 \Rightarrow y=4$
$x+2(4)-4=3 \Rightarrow x+4=3 \Rightarrow x=-1$
તેથી,$\alpha=-1, \beta=4, \gamma=4$.
તેથી $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (-1)^2 + 4^2 + 4^2 = 1 + 16 + 16 = 33$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$,અને $2x+y-z=-5$ છે.
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX=D$ માં,જ્યાં $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]$,$X=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,અને $D=\left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો કોફેક્ટર મેટ્રિક્સ $C$ શોધીએ છીએ:
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-5-4) = 9$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5-(-2) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1-1) = 2$
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1-2 = -3$
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2-(-1) = 3$
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = -(2-5) = 3$
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -1-5 = -6$
આમ,$\operatorname{adj}(A) = C^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right]$.
હવે,$(\operatorname{adj} A)D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 9 & -3 & 3 \\ 7 & 1 & -6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}6 \\ 3 \\ -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-6+6-15 \\ 54-9-15 \\ 42+3+30\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-15 \\ 30 \\ 75\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}, w = \frac{1}{z}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$u + 2v - 3w = 1$ ...$(i)$
$2u - 4v + 3w = 1$ ...(ii)
$3u + 6v - 6w = 4$ ...(iii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $3u - 2v = 2$ ...(iv)
(ii) ને $2$ વડે ગુણીને (iii) માં ઉમેરતા: $(4u - 8v + 6w) + (3u + 6v - 6w) = 2 + 4 \Rightarrow 7u - 2v = 6$ ...$(v)$
$(v)$ માંથી (iv) બાદ કરતા: $(7u - 2v) - (3u - 2v) = 6 - 2 \Rightarrow 4u = 4 \Rightarrow u = 1$. $u = \frac{1}{x}$ હોવાથી,$x = 1 = \alpha$.
$u = 1$ ને (iv) માં મૂકતા: $3(1) - 2v = 2 \Rightarrow 2v = 1 \Rightarrow v = \frac{1}{2}$. $v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$y = 2 = \beta$.
$u = 1, v = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $1 + 2(\frac{1}{2}) - 3w = 1 \Rightarrow 1 + 1 - 3w = 1 \Rightarrow 3w = 1 \Rightarrow w = \frac{1}{3}$. $w = \frac{1}{z}$ હોવાથી,$z = 3 = \gamma$.
આમ,$\alpha^2 + \gamma^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.
$\beta = 2$ હોવાથી,$5\beta = 5(2) = 10$.
તેથી,$\alpha^2 + \gamma^2 = 5\beta$.

(C) સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ: $\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -4 & k \\ 1 & 2 & -1 \\ k & -1 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $3(6 - 1) + 4(3 + k) + k(-1 - 2k) \neq 0$.
$15 + 12 + 4k - k - 2k^2 \neq 0 \implies -2k^2 + 3k + 27 \neq 0 \implies 2k^2 - 3k - 27 \neq 0$.
અવયવ પાડતા: $(2k - 9)(k + 3) \neq 0$,તેથી $k \neq \frac{9}{2}$ અને $k \neq -3$.
આપેલ છે કે $2\beta - \gamma = 8$,આપણે બીજા સમીકરણ $x + 2y - z = 9$ નો ઉપયોગ કરીએ. $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ મૂકતા:
$\alpha + 2\beta - \gamma = 9 \implies \alpha + 8 = 9 \implies \alpha = 1$.
$k \neq m$ હોવાથી,$m$ એ એવી કિંમતો દર્શાવે છે જેના માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ નથી,એટલે કે $m \in \{\frac{9}{2}, -3\}$.
જો $m = -3$ લઈએ,તો $\alpha + m = 1 + (-3) = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) x+y-z=6$
$2) 4x+y+z=2$
$3) x+ky+z=-8$
$x=2$ મૂકતા:
$2+y-z=6 \Rightarrow y-z=4$ (સમીકરણ $i$)
$4(2)+y+z=2 \Rightarrow 8+y+z=2 \Rightarrow y+z=-6$ (સમીકરણ $ii$)
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2y = -2 \Rightarrow y = -1$
$z = -5$
સમીકરણ $(3)$ માં $x=2, y=-1, z=-5$ મૂકતા:
$2 + k(-1) - 5 = -8 \Rightarrow -k - 3 = -8 \Rightarrow k = 5$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ $k=1$ માટે વિકલ્પ $D$ સાચો ઠરે છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX=B$ ને અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \mu \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1((-1)(-1) - (3)(\mu)) - 1((5)(-1) - (2)(\mu)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$|A| = 1(1 - 3\mu) - 1(-5 - 2\mu) + 1(15 + 2)$
$|A| = 1 - 3\mu + 5 + 2\mu + 17$
$|A| = 23 - \mu$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે.
$23 - \mu \neq 0 \implies \mu \neq 23$.
નિશ્ચાયક $\lambda$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,અનન્ય ઉકેલની શરત માત્ર $\mu$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,$\mu \neq 23$ અને $\lambda$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(\lambda \in R)$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+kz=1$ ... $(i)$
$2x+2y=3$ ... $(ii)$
$x+2y+2kz=k$ ... $(iii)$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ સુસંગત ન હોવી જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 2k \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(4k - 0) - 1(4k - 0) + k(4 - 2)$
$D = 4k - 4k + 2k = 2k$
$D = 0$ લેતા,આપણને $2k = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0$.
હવે,$k = 0$ માટે સુસંગતતા તપાસતા:
સમીકરણો આ મુજબ બને છે:
$x+y=1$
$2x+2y=3$
$x+2y=0$
$(i)$ પરથી,$x+y=1$,તેથી $2x+2y=2$. પરંતુ,$(ii)$ માં $2x+2y=3$ આપેલ છે. $2 \neq 3$ હોવાથી,$k=0$ માટે સંહતિ અસંગત છે.
આમ,$k$ ની કિંમતોનો ગણ $\{0\}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 6y + 0z = -11$
$6x + 20y - 6z = -3$
$0x + 6y - 18z = -1$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ ગણતા:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 6 & 20 & -6 \\ 0 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D = 2(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6(6 \times (-18) - 0) + 0$
$D = 2(-360 + 36) - 6(-108)$
$D = 2(-324) + 648 = -648 + 648 = 0$
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમ અસંગત છે અથવા અનંત ઉકેલો ધરાવે છે. આપણે $D_1$ તપાસીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} -11 & 6 & 0 \\ -3 & 20 & -6 \\ -1 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D_1 = -11(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6((-3) \times (-18) - (-1) \times (-6))$
$D_1 = -11(-360 + 36) - 6(54 - 6)$
$D_1 = -11(-324) - 6(48) = 3564 - 288 = 3276 \neq 0$
$D = 0$ અને $D_1 \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમપરિમાણીય સમીકરણ સંહતિના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે:
$x-y+z=0$ $(i)$
$x+2y-z=0$ $(ii)$
$2x+y+3z=0$ $(iii)$
આપણે આ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=0$ માં લખી શકીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ અને $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(2 \times 3 - (-1) \times 1) - (-1)(1 \times 3 - (-1) \times 2) + 1(1 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
સમપરિમાણીય સંહતિ $AX=0$ માટે,જો $|A| \neq 0$ હોય,તો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ (trivial solution) $X=0$ (એટલે કે $x=0, y=0, z=0$) મળે છે.
તેથી,કુલ $1$ ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ અને $S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right\}$.
$S$ ની કાર્ડિનાલિટી શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ ઉકેલીએ.
$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x + 3y \\ 4x - 3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + 3y = 3x \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
$4x - 3y = 3y \implies 4x = 6y \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
બંને સમીકરણો એક જ શરત $x = \frac{3}{2}y$ માં પરિણમે છે.
આમ,$S = \left\{ \begin{bmatrix} \frac{3}{2}y \\ y \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ y \begin{bmatrix} 1.5 \\ 1 \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\}$.
કારણ કે $y$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,તેથી આવા અસંખ્ય સદિશો છે.
ગણ $S$ એ $\mathbb{R}^2$ માં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે,જેમાં અગણિત બિંદુઓ છે.
તેથી,$S$ ની કાર્ડિનાલિટી અગણિત (uncountable) છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -4 & b & 6 \\ 0 & -3 & -b \end{vmatrix} = 0$
$2(-b^2 + 18) - 5(4b - 0) + 1(12 - 0) = 0$
$-2b^2 + 36 - 20b + 12 = 0$
$-2b^2 - 20b + 48 = 0$
$b^2 + 10b - 24 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(b + 12)(b - 2) = 0$. તેથી $b = -12$ અને $b = 2$ મળે છે.
$b = 2$ માટે તપાસતા: સિસ્ટમ અસંગત બને છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
$b = -12$ માટે તપાસતા: સિસ્ટમ અસંગત બને છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
આ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગુણાકાર $(-12) \times (2) = -24$ થાય છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = D$ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $D = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ છે.
ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $\Delta = |A|$ શોધીશું.
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
ત્રીજી હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$\Delta = 1 \cdot (2(1) - (-1)(1)) = 1 \cdot (2 + 1) = 3$.
અહીં $\Delta = 3 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (non-singular) છે અને તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણ સંહતિ $AX = D$ ને અનન્ય ઉકેલ છે જે $X = A^{-1}D$ દ્વારા મળે છે.

(C) ધારો કે $u = |y|$ અને $v = [z]$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$2x + 3u + 5v = 0$
$x + u - 2v = 4$
$x + u + v = 1$
ત્રીજા સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(x + u + v) - (x + u - 2v) = 1 - 4$
$3v = -3 \Rightarrow v = -1$.
$v = -1$ ને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$x + u + 2 = 4 \Rightarrow x + u = 2$
$x + u - 1 = 1 \Rightarrow x + u = 2$.
બંને સમીકરણો $x + u = 2$ માં પરિણમે છે,તેથી $(x, u)$ ની અનંત જોડીઓ મળે છે.
આપેલ છે કે $u = |y| = 2 - x$,કોઈપણ $x \leq 2$ માટે,$u$ અ-ઋણ છે.
વળી,$v = [z] = -1$ નો અર્થ છે કે $z \in [-1, 0)$.
આમ,$x$ ની એવી ઘણી કિંમતો છે જેના માટે $|y| = 2 - x \geq 0$ (એટલે કે $x \leq 2$),તેથી $(x, y, z)$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણ સંહતિ છે:
$x+2y+3z=6$
$x+3y+5z=9$
$2x+5y+\lambda z=\mu$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 25) - 2(\lambda - 10) + 3(5 - 6) = \lambda - 8$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,તેથી $\lambda \neq 8$. આમ,$(B)$ એ $3$ સાથે જોડાય છે.
હવે,$\lambda = 8$ માટે $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ ધ્યાનમાં લો:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 5 \\ \mu & 5 & 8 \end{vmatrix} = \mu - 15$.
જો $\lambda = 8$ અને $\mu \neq 15$,તો $\Delta_1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી. આમ,$(A)$ એ $2$ સાથે જોડાય છે.
જો $\lambda = 8$ અને $\mu = 15$,તો $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0, \Delta_3 = 0$. સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો છે. આમ,$(C)$ એ $1$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-2, B-3, C-1$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=a$ ... $(i)$
$x-y+bz=2$ ... $(ii)$
$2x+3y-z=1$ ... $(iii)$
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$1(1-3b) - 1(-1-2b) + 1(3+2) = 0$
$1-3b + 1+2b + 5 = 0$
$7-b = 0 \Rightarrow b=7$
હવે,$b=7$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(i) + (ii) \Rightarrow 2x + (1+7)z = a+2 \Rightarrow 2x+8z = a+2 \Rightarrow x+4z = \frac{a+2}{2}$ ... $(iv)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણીને તેમાંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$3(x+y+z) - (2x+3y-z) = 3a - 1$
$3x+3y+3z - 2x-3y+z = 3a-1$
$x+4z = 3a-1$ ... $(v)$
અનંત ઉકેલો માટે,$(iv)$ અને $(v)$ સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{a+2}{2} = 3a-1$
$a+2 = 6a-2$
$5a = 4$
અંતે,$b-5a = 7-4 = 3$.

(C) ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 8 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 2(28+10) + 1(21-25) + 8(-6-20) = 76 - 4 - 208 = -136$
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 13 & -1 & 8 \\ 18 & 4 & 5 \\ 20 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 13(28+10) + 1(126-100) + 8(-36-80) = 494 + 26 - 928 = -408$
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 13 & 8 \\ 3 & 18 & 5 \\ 5 & 20 & 7 \end{vmatrix} = 2(126-100) - 13(21-25) + 8(60-90) = 52 + 52 - 240 = -136$
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 13 \\ 3 & 4 & 18 \\ 5 & -2 & 20 \end{vmatrix} = 2(80+36) + 1(60-90) + 13(-6-20) = 232 - 30 - 338 = -136$
હવે,$\alpha = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-408}{-136} = 3$,$\beta = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-136}{-136} = 1$,$\gamma = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-136}{-136} = 1$.
તેથી,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(1) + (1)(1) + (1)(3) = 3 + 1 + 3 = 7$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x - 2y + 3z = 5$
$2x - 2y + z = 0$
$-x + 2y - 3z = 6$
ધારો કે $\Delta$ એ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 1((-2)(-3) - (1)(2)) - (-2)((2)(-3) - (1)(-1)) + 3((2)(2) - (-2)(-1))$
$= 1(6 - 2) + 2(-6 + 1) + 3(4 - 2)$
$= 1(4) + 2(-5) + 3(2) = 4 - 10 + 6 = 0$
કારણ કે $\Delta = 0$,તેથી સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે.
હવે,પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને $\Delta_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 5((-2)(-3) - (1)(2)) - (-2)((0)(-3) - (1)(6)) + 3((0)(2) - (-2)(6))$
$= 5(6 - 2) + 2(0 - 6) + 3(0 + 12)$
$= 5(4) + 2(-6) + 3(12) = 20 - 12 + 36 = 44$
કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$,તેથી સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=3$ ... $(i)$
$2x+2y-z=3$ ... $(ii)$
$x+y-z=1$ ... $(iii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(x+y+z) + (x+y-z) = 3+1$
$2x+2y = 4$
$x+y = 2$
$x+y=2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2+z = 3$
$z = 1$
હવે,ઉકેલ $(x_0, y_0, z_0)$ માટે $2x_0+2y_0+z_0$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$2x_0+2y_0+z_0 = 2(x_0+y_0) + z_0$
કારણ કે $x_0+y_0=2$ અને $z_0=1$:
$= 2(2) + 1$
$= 4+1 = 5$

(B) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D$ એ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$D = \begin{vmatrix} k & k+1 & k-1 \\ k-1 & k+2 & k \\ k+1 & k & k+2 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = k((k+2)(k+2) - k^2) - (k+1)((k-1)(k+2) - k(k+1)) + (k-1)(k(k-1) - (k+2)(k+1)) = 0$.
$D = k(4k+4) - (k+1)(-2) + (k-1)(-4k-2) = 0$.
$4k^2+4k + 2k+2 - 4k^2-2k+4k+2 = 0$.
$8k + 4 = 0 \implies 8k = -4 \implies k = -\frac{1}{2}$.
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમત $-\frac{1}{2}$ છે,તેથી સરવાળો $-\frac{1}{2}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$1) 3x + 4y - 5z = -6$
$2) 2x + 3y - 4z = -7$
$3) 4x - 2y + z = 9$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$z = 9 - 4x + 2y$ મળે છે.
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x + 4y - 5(9 - 4x + 2y) = -6$
$3x + 4y - 45 + 20x - 10y = -6$
$23x - 6y = 39$ $(4)$
$z$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2x + 3y - 4(9 - 4x + 2y) = -7$
$2x + 3y - 36 + 16x - 8y = -7$
$18x - 5y = 29$ $(5)$
સમીકરણ $(4)$ ને $5$ વડે અને $(5)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$115x - 30y = 195$
$108x - 30y = 174$
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $7x = 21 \implies x = 3$.
$x = 3$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા:
$23(3) - 6y = 39 \implies 69 - 6y = 39 \implies 6y = 30 \implies y = 5$.
$x = 3, y = 5$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$z = 9 - 4(3) + 2(5) = 9 - 12 + 10 = 7$.
આમ,$(\alpha, \beta, \gamma) = (3, 5, 7)$.
$\alpha + 3\beta - 2\gamma = 3 + 3(5) - 2(7) = 3 + 15 - 14 = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x+y+z=5$
$x+2y+az=9$
$x+2y+z=b$
આને આપણે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX=B$ માં લખી શકીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સિસ્ટમ અસંગત હોવા માટે,નિશ્ચાયક $|A|$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
$|A| = 1(2-2a) - 1(1-a) + 1(2-2) = 2-2a-1+a = 1-a$.
$|A|=0$ લેતા,આપણને $1-a=0$ મળે છે,તેથી $a=1$.
હવે,$a=1$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x+y+z=5$
$x+2y+z=9$
$x+2y+z=b$
બીજા અને ત્રીજા સમીકરણની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો $b \neq 9$ હોય,તો સિસ્ટમ બે સમાંતર સમતલો દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી (અસંગત).
તેથી,સિસ્ટમ $a=1$ અને $b \neq 9$ હોય ત્યારે અસંગત છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX=B$ ને અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય, એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$|A| = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1$
$|A| = \lambda - 5$
અનન્ય ઉકેલ માટે, આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે કે $\lambda - 5 \neq 0$, અથવા $\lambda \neq 5$.
$\mu$ ની કિંમત અનન્ય ઉકેલના અસ્તિત્વને અસર કરતી નથી, તેથી $\mu$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે $(\mu \in R)$.
તેથી, અનન્ય ઉકેલ માટેની શરત $\lambda \neq 5$ અને $\mu \in R$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+2y+\lambda z=\mu$
સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે તે માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો રેન્ક ચલની સંખ્યા $(3)$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ લખતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \\ 1 & 2 & \lambda & | & \mu \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & \lambda-1 & | & \mu-6 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-3 & | & \mu-10 \end{bmatrix}$
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\lambda-3=0$ અને $\mu-10=0$.
આમ,$\lambda=3$ અને $\mu=10$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y + z = 5$
$3x + y + 5z = 7$
$x + 4y - 2z = 3$
આ સંહતિને $AX = B$ સ્વરૂપે લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 1 & 4 & -2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 2(-2 - 20) - 3(-6 - 5) + 1(12 - 1)$
$|A| = 2(-22) - 3(-11) + 1(11) = -44 + 33 + 11 = 0$
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે. આપણે $(\text{adj } A)B$ તપાસીએ:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix}$
$(\text{adj } A)B = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -110 + 70 + 42 \\ 55 - 35 - 21 \\ 55 - 35 - 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \neq 0$
કારણ કે $(\text{adj } A)B \neq 0$,તેથી આ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખીએ છીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક $(|A|)$ ગણો:
$|A| = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$|A| = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$|A| = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$ છે,સિસ્ટમ કાં તો અસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી) અથવા અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.
આપણે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$
રો ઓપરેશન્સ કરતા: $R_1 \leftrightarrow R_2$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 7 & -5 & | & 4 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix}$.
છેલ્લી હાર સૂચવે છે કે $0 = -1$,જે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આ સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) બિંદુ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ સમતલ $2x + y + z = 1$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2\alpha + \beta + \gamma = 1 \quad \dots(i)$
આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$\alpha + 8\beta + 7\gamma = 0 \quad \dots(ii)$
$9\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \quad \dots(iii)$
$\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$(2\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 1 - 0 \implies \alpha = 1$
$\alpha = 1$ ને $(iv)$ માં મુકતા:
$1 + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -1 \quad \dots(v)$
$\alpha = 1$ ને $(ii)$ માં મુકતા:
$1 + 8\beta + 7\gamma = 0 \implies 8\beta + 7\gamma = -1 \quad \dots(vi)$
$(v)$ પરથી,$\gamma = -1 - \beta$. તેને $(vi)$ માં મુકતા:
$8\beta + 7(-1 - \beta) = -1 \implies 8\beta - 7 - 7\beta = -1 \implies \beta = 6$
તેથી $\gamma = -1 - 6 = -7$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (1)^2 + (6)^2 + (-7)^2 = 1 + 36 + 49 = 86$.

(B) આપેલ સમીકરણો માટે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 8 & 15\end{array}\right]$
$R_3 \to 2R_3 - R_2$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
આપેલ મેટ્રિક્સ $\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & c & 32\end{array}\right]$ સાથે સરખાવતા,પ્રથમ હારમાં ત્રીજા સ્તંભમાં $0$ લાવવા માટે $R_1 \to R_1 + R_2$ કરતા:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
તેથી,$a = 3$,$b = -2$,અને $c = 15$.
આમ,$\sqrt{a+b+c} = \sqrt{3 - 2 + 15} = \sqrt{16} = 4$.

(B) આપેલ છે કે $5 A^{-1}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$5 I = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x+4y & 2x-y & 2x-y \\ 2x-y & -3x+4y & 2x-y \\ 2x-y & 2x-y & -3x+4y \end{bmatrix}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$-3x+4y=5$ અને $2x-y=0$ મળે છે.
$2x-y=0$ પરથી,$y=2x$ મળે. પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-3x+4(2x)=5 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1$.
તેથી $y=2(1)=2$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ $5 A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$5 A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = A - 4 I$.
જમણી બાજુ $A$ વડે ગુણતા: $5 I = A^2 - 4 A$.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણો $AX=B$ અને $AY=Q$ છે.
કારણ કે $B$ એ $AY=Q$ નો અનન્ય ઉકેલ છે,તેથી $AB=Q$ થાય.
આપણે $AX=B$ માં $X$ માટે ઉકેલ શોધવાનો છે.
$AX=B$ ની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા:
$A(AX) = AB$
$A^2 X = AB$
$AB=Q$ હોવાથી,સમીકરણમાં $Q$ મૂકતા:
$A^2 X = Q$
$A$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવાથી,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બંને બાજુએ $(A^{-1})^2$ વડે ગુણતા:
$(A^{-1})^2 (A^2 X) = (A^{-1})^2 Q$
$I X = (A^{-1})^2 Q$
$X = (A^{-1})^2 Q$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$2x + y + z = 1$ $(i)$
$3y - z = 1$ $(ii)$
$x - y + z = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(2x + y + z) - (x - y + z) = 1 - 0$
$x + 2y = 1 \Rightarrow x = 1 - 2y$ $(iv)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$z = 3y - 1$.
ધારો કે $y = K$,જ્યાં $K \in R$.
તેથી $x = 1 - 2K$ અને $z = 3K - 1$.
આમ,ઉકેલ સદિશ:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2K \\ K \\ 3K - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + K \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a+3b \\ c & 2c+3d \end{bmatrix}$.
$AB$ અદિશ શ્રેણિક હોવાથી,$c = 0$ અને $2a+3b = 0$,અને $a = 2c+3d = 3d$.
આમ,$a = 3d$ અને $b = -\frac{2}{3}a = -2d$.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 3d & -2d \\ 0 & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $\det(3A) = 27$,તેથી $3^2 \det(A) = 27$,એટલે કે $\det(A) = 3$.
$\det(A) = (3d)(d) - 0 = 3d^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $d^2 = 1$. $d=1$ લેતા,આપણને $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$3A^{-1} + A^2 = 3 \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.

(B) $\alpha=1$ માટે,સિસ્ટમ એક સજાતીય સિસ્ટમમાં ઘટાડો થાય છે જે હંમેશા સુસંગત હોય છે. તેથી,$\alpha \neq 1$.
$\alpha \neq 1$ માટે,આપણે નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} \alpha & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતાં,આપણને મળે છે:
$D = \begin{vmatrix} \alpha+2 & \alpha+2 & \alpha+2 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ કરતાં:
$D = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \alpha-1 & 0 \\ 1 & 0 & \alpha-1 \end{vmatrix} = (\alpha+2)(\alpha-1)^2$.
હવે,$D_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} \alpha-1 & -1 & -1 \\ \alpha-1 & -\alpha & -1 \\ \alpha-1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતાં:
$D_1 = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1)(1-\alpha)^2 = (\alpha-1)^3$.
સિસ્ટમ અસંગત હોવા માટે,આપણને $D=0$ અને $D_1 \neq 0$ ની જરૂર છે.
$D=0$ નો અર્થ છે $\alpha = -2$ અથવા $\alpha = 1$.
કારણ કે $\alpha \neq 1$,આપણે $\alpha = -2$ તપાસીએ છીએ.
$\alpha = -2$ માટે,$D=0$ અને $D_1 = (-2-1)^3 = -27 \neq 0$.
આમ,$\alpha = -2$ માટે સિસ્ટમ અસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 7 & -6 \end{bmatrix}$ અને $B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}$.
$AB=\begin{bmatrix} 2 & 14 & -4 \\ 4 & 1 & -8 \\ -6 & 15 & 12 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 2+4b_{21}+2b_{31} & 4b_{22}+2b_{32} & -2+4b_{23}+2b_{33} \\ 4-b_{21}+4b_{31} & -b_{22}+4b_{32} & -4-b_{23}+4b_{33} \\ -6+7b_{21}-6b_{31} & 7b_{22}-6b_{32} & 6+7b_{23}-6b_{33} \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
સ્તંભ $1$ પરથી: $2b_{21}+b_{31}=0$ અને $-b_{21}+4b_{31}=0$ ઉકેલતા $b_{21}=0, b_{31}=0$ મળે.
સ્તંભ $2$ પરથી: $4b_{22}+2b_{32}=14$ અને $-b_{22}+4b_{32}=1$ ઉકેલતા $b_{22}=3, b_{32}=1$ મળે.
સ્તંભ $3$ પરથી: $-2+4b_{23}+2b_{33}=-4$ અને $-4-b_{23}+4b_{33}=-8$ ઉકેલતા $b_{23}=0, b_{33}=-1$ મળે.
આમ,$B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|B| = 2(-3-0) - 0 + (-2)(0-0) = -6$.
$\operatorname{trace}(B) = 2+3-1 = 4$.
તેથી,$|B|+\operatorname{trace}(B) = -6+4 = -2$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 & 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 & 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2x_1 + x_2 = 1$ અને $3x_1 + 2x_2 = 0$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x_2 = -\frac{3}{2}x_1$.
પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2x_1 - \frac{3}{2}x_1 = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x_1 = 1 \Rightarrow x_1 = 2$.
તેથી $x_2 = -\frac{3}{2}(2) = -3$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$.

(D) સમીકરણ સંહતિ $AX=B$ માટે,કારણ કે તેને અનન્ય ઉકેલ છે,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{rank}(A) = 3$. આમ,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A: B]$ નો રેન્ક પણ $3$ છે.
સમીકરણ સંહતિ $CX=D$ માટે,કારણ કે તેને અનંત ઉકેલો છે,શ્રેણિક $C$ અસામાન્ય (singular) હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{rank}(C) < 3$. સુસંગતતા માટે,$\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}([C: D]) < 3$ હોવું જોઈએ.
રેન્કની સરખામણી કરતા: $\operatorname{rank}(A) = 3$ અને $\operatorname{rank}(C) < 3$,તેથી $\operatorname{rank}(A) > \operatorname{rank}(C)$.
ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકોના સંદર્ભમાં,$\operatorname{rank}([A: D])$ મહત્તમ $3$ છે,અને $\operatorname{rank}([C: B])$ મહત્તમ $3$ છે. કારણ કે $\operatorname{rank}(A) = 3$,$[A: D]$ નો રેન્ક $3$ છે. કારણ કે $\operatorname{rank}(C) < 3$,$[C: B]$ નો રેન્ક મહત્તમ $3$ છે. આમ,$\operatorname{rank}([A: D]) \geq \operatorname{rank}([C: B])$ એ સાચું વિધાન છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & p \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$1(3p - 2) + 2(2p - 1) + 1(4 - 3) = 0$
$3p - 2 + 4p - 2 + 1 = 0$
$7p - 3 = 0 \implies p = \frac{3}{7}$.
અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
હાર પ્રક્રિયાઓ કરતા,આપણને $q = \frac{24}{7}$ મળે છે.
હવે,$q - p = \frac{24}{7} - \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$. તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$1) 2x + 3y + z = -1$
$2) 3x + y + z = 4$
$3) x - 3y - 2z = 1$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y + z) - (3x + y + z) = -1 - 4$
$-x + 2y = -5 \implies x - 2y = 5 \implies x = 2y + 5$
$x = 2y + 5$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$(2y + 5) - 3y - 2z = 1$
$-y - 2z = -4 \implies y + 2z = 4 \implies z = \frac{4-y}{2}$
$x = 2y + 5$ અને $z = \frac{4-y}{2}$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3(2y + 5) + y + (\frac{4-y}{2}) = 4$
$6y + 15 + y + 2 - 0.5y = 4$
$6.5y = 4 - 17 = -13$
$y = \frac{-13}{6.5} = -2$
આમ,$\beta = -2$.

(C) સુરેખ સમઘાત સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લેતા:
$1(2(1) - (-1)(3)) - a(a(1) - (-1)(2)) + 1(a(3) - 2(2)) = 0$
$1(2 + 3) - a(a + 2) + 1(3a - 4) = 0$
$5 - a^2 - 2a + 3a - 4 = 0$
$-a^2 + a + 1 = 0$
$a^2 - a - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
અહીં આપણે $a$ ની ધન કિંમત શોધવાની હોવાથી,$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$ અને $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$.
$A X = B$ ને બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $X = A^{-1} B = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A \cdot B$ મળે.
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1(1) + (-1)(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1 - 1 - 2 \\ 1 + 1 - 2 \\ 1 + 1 + 2\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right]$.
અહીં $|A| > 0$ હોવાથી,આપણે આપેલ $\operatorname{Adj} A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$.
$|\operatorname{Adj} A| = 1(1+1) - (-1)(1+1) + (-1)(1-1) = 2 + 2 + 0 = 4$.
તેથી,$|A|^2 = 4 \implies |A| = 2$ (કારણ કે $|A| > 0$).
$X$ ના સમીકરણમાં $|A| = 2$ મૂકતા:
$X = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ -2 & 5 & -9 & : & -c \end{bmatrix}$ છે.
હરોળ પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ લાગુ પાડતા:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & -3 & 5 & : & -c + 2a \end{bmatrix}$.
હરોળ પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & 0 & 0 & : & -c + 2a - b \end{bmatrix}$.
અહીં $A$ નો ક્રમ $\rho(A) = 2$ છે,તેથી $[A: B]$ નો ક્રમ $A$ ના ક્રમ જેટલો જ રહે તે માટે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સની છેલ્લી હરોળ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
તેથી,$-c + 2a - b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2a = b + c$.

(C) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+\lambda y-2 z=1$
$x-y+\lambda z=2$
$x-2 y+3 z=3$
સંહતિ અસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D=0$ હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -2 \\ 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(-3 + 2\lambda) - \lambda(3 - \lambda) - 2(-2 + 1) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$.
અહીં $\lambda$ ના બે મૂલ્યો $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\lambda_1 + \lambda_2 = -(\text{coefficient of } \lambda) / (\text{coefficient of } \lambda^2) = -(-1)/1 = 1$.

(A) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અશૂન્ય ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} \sin \theta & 1 & -2 \\ 2 & -1 & \cos \theta \\ -3 & \sec \theta & 3 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = \sin \theta (-3 - \cos \theta \sec \theta) - 1(6 + 3 \cos \theta) - 2(2 \sec \theta - 3) = 0$.
$\cos \theta \sec \theta = 1$ હોવાથી:
$D = \sin \theta (-3 - 1) - 6 - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta + 6 = 0$.
$-4 \sin \theta - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta = 0$.
$\cos \theta$ વડે ગુણતા (જ્યાં $\cos \theta \neq 0$):
$-4 \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$-2 \sin(2\theta) - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ મૂકતા:
$-2 \sin(2\theta) - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(2\theta) - 4 = 0$.
$-4 \sin(2\theta) - 3 \cos(2\theta) = 11$.
$a \sin x + b \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$ છે,અને $5 < 11$ હોવાથી,આ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી $\theta$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ સમીકરણો:
$(\sin \theta) x - y + z = 0$
$x - (\cos \theta) y + z = 0$
$x + y + (\sin \theta) z = 0$
નિશ્ચાયક:
$|A| = \begin{vmatrix} \sin \theta & -1 & 1 \\ 1 & -\cos \theta & 1 \\ 1 & 1 & \sin \theta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\sin \theta (-\cos \theta \cdot \sin \theta - 1) - (-1) (\sin \theta - 1) + 1 (1 - (-\cos \theta)) = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta - \sin \theta + \sin \theta - 1 + 1 + \cos \theta = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta + \cos \theta = 0$
$\cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 0$
$\cos \theta (\cos^2 \theta) = 0$
$\cos^3 \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
$\theta$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$.