Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(B) ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ આ મુજબ છે: $\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$.
હરોળની પ્રક્રિયાઓ કરતા:
$R_1 \leftrightarrow R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_2 \rightarrow R_2 - \lambda R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & 1+\lambda & 1+2\lambda & 3-6\lambda \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ મળે.
અનંત ઉકેલો માટે,શ્રેણિકનો ક્રમ ચલની સંખ્યા $(3)$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
જો $\lambda = -1$ હોય,તો બીજી હરોળ $[0, 0, -1, 9]$ બને છે.
જ્યારે $\mu = 3$ હોય ત્યારે સમીકરણો પરસ્પર આધારિત બને છે અને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ એ એક સજાતીય સિસ્ટમ $AX = 0$ છે,જ્યાં સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{bmatrix}$ છે.
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 \end{vmatrix}$ છે.
આ એક વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,જેનું મૂલ્ય $|A| = (\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha)$ થાય છે.
$(i)$ જો $\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન હોય,તો $|A| \neq 0$ થાય. આ કિસ્સામાં,સિસ્ટમ પાસે માત્ર શૂન્ય ઉકેલ $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ હોય છે,જે એક અનન્ય ઉકેલ છે.
(ii) જો $\alpha, \beta, \gamma$ માંથી કોઈપણ બે સમાન હોય,તો $|A| = 0$ થાય. આ કિસ્સામાં,સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો હોય છે કારણ કે શ્રેણિકનો ક્રમ ચલની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & a & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$3(a + 2) - 1(2 + 1) + 4(4 - a) = 0$
$3a + 6 - 3 + 16 - 4a = 0$
$19 - a = 0 \Rightarrow a = 19$
હવે,$a = 19$ માટે $\Delta_x$ ચકાસીએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -3 & 19 & -1 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3(19 + 2) - 1(-3 + 4) + 4(-6 - 76)$
$= 3(21) - 1(1) + 4(-82) = 63 - 1 - 328 = -266 \neq 0$
આમ,$\Delta = 0$ અને $\Delta_x \neq 0$ હોવાથી,$a = 19$ માટે આ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $X = A^{-1}B = \frac{\text{adj } A}{|A|} B$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$.
$|\text{adj } A| = 4(0 - (-10)) - 2(-15 - 5) + 2(10 - 0) = 4(10) - 2(-20) + 2(10) = 40 + 40 + 20 = 100$.
તેથી,$|A|^2 = 100$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 10$.
હવે,$X = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} = \pm \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \pm \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$x = \pm 2, y = \mp 1, z = \pm 1$.
તેથી $|x + y + z| = |\pm(2 - 1 + 1)| = |\pm 2| = 2$.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ અનન્ય હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D \neq 0$ હોય.
$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \\ 1 & n-2 & n+1 \\ 0 & n-1 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1((n-2)(1) - (n+1)(n-1)) - 1((-n)(1) - (1)(n-1)) + 0$
$D = (n-2 - (n^2-1)) - (-n - n + 1)$
$D = (n-2 - n^2 + 1) - (-2n + 1)$
$D = -n^2 + 3n - 2$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$,તેથી $-n^2 + 3n - 2 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 - 3n + 2 \neq 0$.
$(n-1)(n-2) \neq 0$,તેથી $n \neq 1$ અને $n \neq 2$.
પાસા પર મળતી સંખ્યા $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$n$ ના જે મૂલ્યો માટે સિસ્ટમનો ઉકેલ અનન્ય છે તે $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ છે.
આવા મૂલ્યોની સંખ્યા $4$ છે,તેથી સંભાવના $\frac{4}{6}$ છે.
આમ,$k = 4$.
$k$ અને $n$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $4 + (3 + 4 + 5 + 6) = 4 + 18 = 22$ થાય.

(B) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 6$
$2x + 5y + az = 36$
$x + 2y + 3z = b$
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & a \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2a) - 1(6 - a) + 1(4 - 5) = 8 - a$.
સંહતિને અનંત ઉકેલો અથવા કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે $D = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
હવે,$a = 8$ સાથે $D_3$ ની ગણતરી કરો:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 5 & 36 \\ 1 & 2 & b \end{vmatrix} = 1(5b - 72) - 1(2b - 36) + 6(4 - 5) = 3b - 42$.
$D_3 = 0$ માટે,આપણને $3b = 42$ મળે છે,તેથી $b = 14$.
જ્યારે $a = 8$ અને $b = 14$ હોય,ત્યારે આપણે $D_1$ અને $D_2$ તપાસીએ છીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 36 & 5 & 8 \\ 14 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$ અને $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 36 & 8 \\ 1 & 14 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
આમ,$a = 8$ અને $b = 14$ માટે $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 15) - 1(\lambda - 10) + 1(3 - 4) = 0$
$2\lambda - 15 - \lambda + 10 - 1 = 0$
$\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 6$.
હવે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 5 & | & 10 \\ 2 & 3 & 6 & | & \mu \end{pmatrix}$ લો.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરો: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & \mu - 12 \end{pmatrix}$.
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ,તેથી $\mu - 12 = 4 \Rightarrow \mu = 16$.
આમ,$\lambda = 6$ અને $\mu = 16$.
$\lambda + \mu = 6 + 16 = 22$.

(B) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t \\ 6 & 1 & 5t \\ 3 & t^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 - 5t^3) - 2(6 - 15t) + t(6t^2 - 3) = 0$
$1 - 5t^3 - 12 + 30t + 6t^3 - 3t = 0$
$t^3 + 27t - 11 = 0$.
પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ જો સિસ્ટમને તમામ $t \in R$ માટે અનંત ઉકેલો હોય,તો નિશ્ચાયક તમામ $t$ માટે શૂન્ય હોવો જોઈએ. જો કે,$t^3 + 27t - 11$ એ બહુપદી છે જે તમામ $t$ માટે શૂન્ય નથી. જો આપણે આ પદાવલિને વિધેય $f(t) = t^3 + 27t - 11$ તરીકે લઈએ,તો તેનું વિકલન $f'(t) = 3t^2 + 27$ હંમેશા ધન રહે છે. તેથી,$f(t)$ એ ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + 2y + z = 5$ $(1)$
$2x + y + \alpha z = 5$ $(2)$
$8x + 4y + \beta z = 18$ $(3)$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & \alpha \\ 8 & 4 & \beta \end{vmatrix} = 1(\beta - 4\alpha) - 2(2\beta - 8\alpha) + 1(8 - 8) = 0$
$\beta - 4\alpha - 4\beta + 16\alpha = 0 \implies 12\alpha - 3\beta = 0 \implies \beta = 4\alpha$.
હવે,$\beta = 4\alpha$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા. હાર પ્રક્રિયા કરતા: $R_3 \to R_3 - 4R_1$ લેતા,આપણને $0x + 0y + (\beta - 4)z = 18 - 20 = -2$ મળે છે.
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$0 = -2$ (વિરોધાભાસ) હોવો જોઈએ,જે ત્યારે શક્ય છે જ્યારે $\beta - 4 = 0$,એટલે કે $\beta = 4$.
કારણ કે $\beta = 4\alpha$,તેથી $4 = 4\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{4}{1} = 4$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $M$ ની પ્રમાણિત આધાર સદિશો પરની અસર પરથી,$M$ ના સ્તંભો એ પ્રમાણિત આધાર સદિશોના પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ મળે.
આપણે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix}$ ઉકેલવાની છે.
આના પરથી સમીકરણો મળે છે:
$1) x - z = 1 \Rightarrow x = z + 1$
$2) 2x + y + z = 7$
$3) 3x + 2y + z = 11$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ માં $x = z + 1$ મૂકતા:
$2(z + 1) + y + z = 7 \Rightarrow 3z + y = 5 \Rightarrow y = 5 - 3z$
$3(z + 1) + 2(5 - 3z) + z = 11 \Rightarrow 3z + 3 + 10 - 6z + z = 11 \Rightarrow -2z = -2 \Rightarrow z = 1$
હવે,$x$ અને $y$ ની કિંમત શોધીએ:
$x = 1 + 1 = 2$
$y = 5 - 3(1) = 2$
અંતે,$x + y + z = 2 + 2 + 1 = 5$.

(B) ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ (વધારેલ શ્રેણિક) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & \lambda-1 & \mu-5 \end{bmatrix}$.
હવે $R_3 \to R_3 - 2R_2$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-5 & \mu-13 \end{bmatrix}$.
સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમાંક (rank) અને ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો ક્રમાંક સમાન હોવો જોઈએ અને તે ચલની સંખ્યા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. આ માટે છેલ્લી હાર શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$\lambda - 5 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
$\mu - 13 = 0 \Rightarrow \mu = 13$.
તેથી,$\lambda + \mu = 5 + 13 = 18$.

(D) સમીકરણોની સંહતિ માટે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ પાડતા:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 1 & 6 & a & b \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & a-6 & b-4 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \to 7R_3 + R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & -7 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & 7a-50 & 7b-29 \end{bmatrix}$ મળે.
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી $7a - 50 = 0$ અને $7b - 29 = 0$.
આમ,$a = 50/7$ અને $b = 29/7$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો $a=7$ અને $b=5$ લઈએ,તો $a+b=12$ થાય છે. આ બિંદુ $(7, 5)$ એ $a+b=12$ રેખા પર આવેલું છે.