મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો: $2x + y + z = 1$,$x - 2y - z = \frac{3}{2}$,અને $3y - 5z = 9$.

ધારો કે $A.P.$ ના કોઈપણ ત્રણ અલગ-અલગ ક્રમિક પદો $a, b, c$ માટે,રેખાઓ $ax + by + c = 0$ બિંદુ $P$ પર સંગામી છે અને $Q(\alpha, \beta)$ એક એવું બિંદુ છે કે જેથી સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 6$,$2x + 5y + \alpha z = \beta$ અને $x + 2y + 3z = 4$ ને અનંત ઉકેલો છે. તો $(PQ)^2$ બરાબર . . . . . . છે.

સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $x + y + z = \lambda$,$5x - y + \mu z = 10$,અને $2x + 3y - z = 6$ ના અનન્ય ઉકેલનું અસ્તિત્વ શેના પર આધાર રાખે છે?

$4 \, kg$ ડુંગળી,$3 \, kg$ ઘઉં અને $2 \, kg$ ચોખાની કિંમત $Rs \, 60$ છે. $2 \, kg$ ડુંગળી,$4 \, kg$ ઘઉં અને $6 \, kg$ ચોખાની કિંમત $Rs \, 90$ છે. $6 \, kg$ ડુંગળી,$2 \, kg$ ઘઉં અને $3 \, kg$ ચોખાની કિંમત $Rs \, 70$ છે. શ્રેણિકની રીતનો ઉપયોગ કરીને દરેક વસ્તુની પ્રતિ $kg$ કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$. સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો:
$a x + 2 y = \lambda$
$3 x - 2 y = \mu$
નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું(ચા) છે?
$(A)$ જો $a = -3$ હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
$(B)$ જો $a \neq -3$ હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સિસ્ટમને અનન્ય ઉકેલ છે.
$(C)$ જો $\lambda + \mu = 0$ હોય,તો $a = -3$ માટે આ સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
$(D)$ જો $\lambda + \mu \neq 0$ હોય,તો $a = -3$ માટે આ સિસ્ટમને કોઈ ઉકેલ નથી.

જો $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 13 \end{bmatrix}$ હોય,તો $x^2 + y^2 + z^2 =$ ની કિંમત શોધો.