Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $2x - 3y = \gamma + 5$ અને $\alpha x + 5y = \beta + 1$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$.
$\frac{\alpha}{2} = \frac{5}{-3}$ પરથી,આપણને $\alpha = -\frac{10}{3}$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$9\alpha = -30$ મળે છે.
$\frac{5}{-3} = \frac{\beta + 1}{\gamma + 5}$ પરથી,$5(\gamma + 5) = -3(\beta + 1)$ મળે છે.
$5\gamma + 25 = -3\beta - 3$.
$3\beta + 5\gamma = -28$.
હવે,આપણે $|9\alpha + 3\beta + 5\gamma|$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $|-30 + (-28)| = |-58| = 58$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$D = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & |\lambda| \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(|\lambda| + 1) - 3(|\lambda| - 1) - 1(-2) = 0$
$2|\lambda| + 2 - 3|\lambda| + 3 + 2 = 0$
$-|\lambda| + 7 = 0 \Rightarrow |\lambda| = 7 \Rightarrow \lambda = \pm 7$.
હવે,$\lambda = 7$ અને $\lambda = -7$ માટે સુસંગતતા તપાસતા:
$\lambda = 7$ માટે,ત્રીજું સમીકરણ $x - y + 7z = 24$ બને છે,જે સુસંગત છે.
$\lambda = -7$ માટે,ત્રીજું સમીકરણ $x - y + 7z = -32$ બને છે. આ કિંમત મૂકતા સંહતિ અસંગત (કોઈ ઉકેલ નથી) સાબિત થાય છે.
તેથી,$\lambda = -7$ એ સાચી શરત છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત શ્રેણિક સુસંગતતાની શરતનું પાલન કરતું હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & \delta \end{vmatrix} = 0$
$2(-3\delta - 8) - 1(\delta - 2) - 1(4 + 3) = 0$
$-6\delta - 16 - \delta + 2 - 7 = 0$
$-7\delta - 21 = 0 \Rightarrow \delta = -3$
હવે,સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,અચળ પદોના સ્તંભ સાથે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય પણ શૂન્ય થવું જોઈએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ k & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
$7(9 - 8) - 1(-3 - 2k) - 1(4 + 3k) = 0$
$7(1) + 3 + 2k - 4 - 3k = 0$
$6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$
આમ,$\delta + k = -3 + 6 = 3$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & \lambda^2 - |\lambda| \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $\Delta$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 2(3(\lambda^2 - |\lambda|) - 1) + 3(1(\lambda^2 - |\lambda|) - (-3)) + 5(-1 - 9)$
$= 2(3\lambda^2 - 3|\lambda| - 1) + 3(\lambda^2 - |\lambda| + 3) + 5(-10)$
$= 6\lambda^2 - 6|\lambda| - 2 + 3\lambda^2 - 3|\lambda| + 9 - 50$
$= 9\lambda^2 - 9|\lambda| - 43$.
$\Delta = 0$ લેતા,$9|\lambda|^2 - 9|\lambda| - 43 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = |\lambda|$. તો $9t^2 - 9t - 43 = 0$.
વિવેચક $D = (-9)^2 - 4(9)(-43) = 81 + 1548 = 1629 > 0$.
$D > 0$ હોવાથી,$t$ માટે બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે. ઉકેલો $t = \frac{9 \pm \sqrt{1629}}{18}$ છે.
$\sqrt{1629} \approx 40.36$ હોવાથી,એક ઉકેલ ધન અને એક ઋણ છે.
$t = |\lambda| \ge 0$ હોવાથી,માત્ર ધન ઉકેલ જ માન્ય છે.
આમ,$|\lambda|$ માટે માત્ર $1$ કિંમત મળે છે,જે $\lambda$ ની $2$ કિંમતો (એટલે કે $\lambda = \pm t$) દર્શાવે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 3\sin 3\theta & -1 & 1 \\ 3\cos 2\theta & 4 & 3 \\ 6 & 7 & 7 \end{vmatrix} = 0$
$D = 3\sin 3\theta(28 - 21) + 1(21\cos 2\theta - 18) + 1(21\cos 2\theta - 24) = 0$
$D = 21\sin 3\theta + 42\cos 2\theta - 42 = 0$
$21$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin 3\theta + 2\cos 2\theta - 2 = 0$ મળે છે.
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ અને $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) + 2(1 - 2\sin^2 \theta) - 2 = 0$
$-4\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$-\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
આથી $\sin \theta = 0$,$\sin \theta = 1/2$,અથવા $\sin \theta = -3/2$ (અશક્ય).
$(0, 4\pi)$ માં $\sin \theta = 0$ માટે,$\theta = \pi, 2\pi, 3\pi$.
$(0, 4\pi)$ માં $\sin \theta = 1/2$ માટે,$\theta = \pi/6, 5\pi/6, 13\pi/6, 17\pi/6$.
આમ,કુલ $3 + 4 = 7$ ઉકેલો મળે છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 8 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ \lambda & -3 & 0 \end{vmatrix} = 8(0 - (-3)) - 1(0 - \lambda) + 4(-3 - \lambda) = 0$
$24 + \lambda - 12 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 12 - 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે,સંવર્ધિત શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. $D_1 = 0$ લેતા:
$D_1 = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ \mu & -3 & 0 \end{vmatrix} = -2(0 - (-3)) - 1(0 - \mu) + 4(0 - \mu) = 0$
$-6 + \mu - 4\mu = 0 \Rightarrow -3\mu = 6 \Rightarrow \mu = -2$.
બિંદુ $\left(4, -2, -\frac{1}{2}\right)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $\frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અંતર $= \frac{|8(4) + 1(-2) + 4(-\frac{1}{2}) + 2|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|32 - 2 - 2 + 2|}{\sqrt{64 + 1 + 16}} = \frac{30}{\sqrt{81}} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. આપેલ છે કે $\det(A) = ad - bc = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
તેથી $A + I = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix}$ અને $\operatorname{Adj}(A) + I = \begin{bmatrix} d+1 & -b \\ -c & a+1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $(A+I)(\operatorname{Adj}(A)+I)$ ગણતા:
$(A+I)(\operatorname{Adj}(A)+I) = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d+1 & -b \\ -c & a+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a+1)(d+1)-bc & 0 \\ 0 & ad+a+d+1-bc \end{bmatrix}$.
આનું સાદું રૂપ $\begin{bmatrix} ad+a+d+1-bc & 0 \\ 0 & ad+a+d+1-bc \end{bmatrix}$ થાય છે.
કારણ કે $ad-bc = -1$,વિકર્ણ ઘટકો $a+d+1-1 = a+d$ છે.
આમ,શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a+d & 0 \\ 0 & a+d \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેનો નિશ્ચાયક $(a+d)^2 = 4$ છે.
તેથી,$a+d = 2$ અથવા $a+d = -2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2$ હોઈ શકે છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x+y+z=6$ $(1)$
$2x+5y+\alpha z=\beta$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગતતાની શરત સંતોષવી જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$1(15-2\alpha) - 1(6-\alpha) + 1(4-5) = 0$
$15-2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0$
$8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
હવે,$\alpha = 8$ ને સિસ્ટમમાં મૂકો અને અનંત ઉકેલો માટેની શરતનો ઉપયોગ કરો. $(1)$ અને $(3)$ પરથી:
$x+y = 6-z$
$x+2y = 14-3z$
બીજામાંથી પહેલું બાદ કરતા: $y = (14-3z) - (6-z) = 8-2z$.
$y$ ની કિંમત $x+y = 6-z$ માં મૂકતા: $x = 6-z - (8-2z) = z-2$.
$x, y, z$ ની કિંમતો $(2)$ માં મૂકતા:
$2(z-2) + 5(8-2z) + 8z = \beta$
$2z - 4 + 40 - 10z + 8z = \beta$
$36 = \beta$.
આમ,$\alpha + \beta = 8 + 36 = 44$.

(B) આપેલ છે કે $AB = 0$,જ્યાં $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ શૂન્યતર શ્રેણિકો છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|AB| = |0| = 0$.
કારણ કે $|AB| = |A||B| = 0$,તેનો અર્થ એ છે કે $|A|$ અથવા $|B|$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $0$ હોવું જોઈએ.
જો $|A| \neq 0$ હોય,તો $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,તેથી $A^{-1}(AB) = A^{-1}(0) \Rightarrow B = 0$,જે આપેલ શરત કે $B$ શૂન્યતર શ્રેણિક છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
જો $|B| \neq 0$ હોય,તો $B$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,તેથી $(AB)B^{-1} = 0(B^{-1}) \Rightarrow A = 0$,જે આપેલ શરત કે $A$ શૂન્યતર શ્રેણિક છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$|A| = 0$ અને $|B| = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) છે,જેનો અર્થ છે કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને અનંત ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$ax + y = 0$ $(i)$
$x + (a + 10)y = 0$ $(ii)$
સમઘાત સુરેખ સમીકરણ સંહતિને ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઉકેલો (એટલે કે શૂન્યેતર ઉકેલો) મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & a + 10 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$|A| = a(a + 10) - (1)(1) = 0$
$a^2 + 10a - 1 = 0$
આ $a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ દ્વારા મળે છે:
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 4}}{2}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{104}}{2}$
અહીં વિવેચક $D = 104 > 0$ હોવાથી,$a$ ની $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે જેના માટે સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+2y+3z=3$ ... $(i)$
$4x+3y-4z=4$ ... (ii)
$8x+4y-\lambda z=9+\mu$ ... (iii)
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિક $D$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -4 \\ 8 & 4 & -\lambda \end{vmatrix} = 1(-3\lambda + 16) - 2(-4\lambda + 32) + 3(16 - 24) = 5\lambda - 72$.
અનંત ઉકેલો માટે,$D = 0 \Rightarrow 5\lambda - 72 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{72}{5}$.
હવે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ ધ્યાનમાં લો:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 4 & 3 & -4 & | & 4 \\ 8 & 4 & -\frac{72}{5} & | & 9+\mu \end{bmatrix}$.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા: $R_2 \to R_2 - 4R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 8R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 0 & -5 & -16 & | & -8 \\ 0 & -12 & -\frac{192}{5} & | & \mu-15 \end{bmatrix}$.
અનંત ઉકેલો માટે,ત્રીજી હાર બીજી હારનો ગુણક હોવી જોઈએ. સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{-12}{-5} = 2.4$ છે.
તેથી,$\mu - 15 = 2.4 \times (-8) = -19.2 \Rightarrow \mu = 15 - 19.2 = -4.2 = -\frac{21}{5}$.
આમ,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{72}{5}, -\frac{21}{5}\right)$.

(D) સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોય જો નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોય.
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $a$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - (2a+1)R_1$ અને $R_3 \to R_3 - (3a+5)R_1$ કરતા:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 0 & -4a^2+3 & 6a^2+4a+1 \\ 0 & -6a^2-9a+5 & 9a^2+16a+2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા,$\Delta = 0$ માત્ર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે $a = 0$. કારણ કે $a \in R - \{0\}$,તેથી આપેલ ગણ માટે $\Delta$ ક્યારેય $0$ થતો નથી.
આમ,તમામ $a \in R - \{0\}$ માટે સંહતિને હંમેશા અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
તેથી,$S_1 = R - \{0\}$ અને $S_2 = \Phi$.

(B) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & 1 \\ 2\alpha & 3 & 1 \\ 3 & \alpha & 2 \end{vmatrix} = \alpha^2 - 2\alpha - 3 = (\alpha - 3)(\alpha + 1)$ છે.
$D = 0$ માટે,$\alpha = 3$ અથવા $\alpha = -1$ મળે.
જો $\alpha = -1$ હોય,તો સમીકરણો $-x + 2y + z = 1$,$-2x + 3y + z = 1$,$3x - y + 2z = \beta$ બને છે. ઉકેલતા,જો $\beta \neq 2$ હોય તો કોઈ ઉકેલ નથી અને જો $\beta = 2$ હોય તો અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $\alpha = 3$ હોય,તો સમીકરણો $3x + 2y + z = 1$,$6x + 3y + z = 1$,$3x + 3y + 2z = \beta$ બને છે. ઉકેલતા,જો $\beta \neq 2$ હોય તો કોઈ ઉકેલ નથી.
વિકલ્પ $B$ કહે છે કે $\alpha = -1$ અને તમામ $\beta \in \mathbb{R}$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી,જે ખોટું છે કારણ કે $\beta = 2$ માટે અનંત ઉકેલો મળે છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & k \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & 2\end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1(3 \times 2 - (-1) \times 4) - 1(2 \times 2 - (-1) \times 3) + k(2 \times 4 - 3 \times 3) = 0$
$1(6 + 4) - 1(4 + 3) + k(8 - 9) = 0$
$10 - 7 - k = 0$
$3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$
હવે,$k = 3$ ને બીજી સમીકરણ સંહતિમાં મૂકતા:
$(3+1)x + (2 \times 3 - 1)y = 7 \Rightarrow 4x + 5y = 7 \dots (1)$
$(2 \times 3 + 1)x + (3+5)y = 10 \Rightarrow 7x + 8y = 10 \dots (2)$
ઉકેલના પ્રકારને ચકાસવા માટે,આ સંહતિના સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધો:
$D = \left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 7 & 8\end{array}\right| = 32 - 35 = -3 \neq 0$
$D \neq 0$ હોવાથી,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$(2) - (1) \Rightarrow (7x + 8y) - (4x + 5y) = 10 - 7$
$3x + 3y = 3 \Rightarrow x + y = 1$
આમ,સંહતિને $x+y=1$ નું પાલન કરતો અનન્ય ઉકેલ છે.

(C) સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & \alpha \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$1(8 + \alpha) - (-1)(8 - 3\alpha) + 1(-2 - 6) = 0$
$8 + \alpha + 8 - 3\alpha - 8 = 0$
$8 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = 4$.
હવે,$\alpha = 4$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x - y + z = 5$
$2x + 2y + 4z = 8 \implies x + y + 2z = 4$
$3x - y + 4z = \beta$
પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x - y + z) + (x + y + 2z) = 5 + 4 \implies 2x + 3z = 9$.
અનંત ઉકેલો માટે,ત્રીજું સમીકરણ એ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે $k_1(x - y + z) + k_2(x + y + 2z) = 3x - y + 4z$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $k_1 + k_2 = 3$,$-k_1 + k_2 = -1$,$k_1 + 2k_2 = 4$.
$k_1 + k_2 = 3$ અને $-k_1 + k_2 = -1$ ઉકેલતા $2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$ અને $k_1 = 2$ મળે છે.
આમ,$\beta = 2(5) + 1(4) = 14$.
બીજ $\alpha = 4$ અને $\beta = 14$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 4)(x - 14) = x^2 - 18x + 56 = 0$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=6$ $(1)$
$\alpha x+\beta y+7z=3$ $(2)$
$x+2y+3z=14$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$y+2z=8$,તેથી $y=8-2z$. આને $(1)$ માં મૂકતા,$x+(8-2z)+z=6 \Rightarrow x=z-2$.
$x=z-2$ અને $y=8-2z$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$\alpha(z-2)+\beta(8-2z)+7z=3$
$(\alpha-2\beta+7)z = 2\alpha-8\beta+3$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$z$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\alpha-2\beta+7 \neq 0$.
અસંખ્ય ઉકેલો માટે,બંને બાજુ શૂન્ય હોવી જોઈએ: $\alpha-2\beta+7=0$ અને $2\alpha-8\beta+3=0$.
આને ઉકેલતા: $2\alpha-4\beta+14=0$ અને $2\alpha-8\beta+3=0$. બાદબાકી કરતા $4\beta+11=0 \Rightarrow \beta=-11/4$,અને $\alpha=-25/2$. આ એક અનન્ય બિંદુ છે,જે રેખા $x-2y+7=0$ પર નથી.
આમ,વિકલ્પ $D$ સત્ય $\text{નથી}$.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $(\alpha \ \beta \ \gamma)\begin{bmatrix} 2 & 10 & 8 \\ 9 & 3 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \end{bmatrix} = (0 \ 0 \ 0)$ પરથી,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$2\alpha + 9\beta + 8\gamma = 0 \quad (1)$
$10\alpha + 3\beta + 4\gamma = 0 \quad (2)$
$8\alpha + 8\beta + 8\gamma = 0 \quad (3)$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$\alpha + \beta + \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = -\alpha - \beta$.
$\gamma$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2\alpha + 9\beta + 8(-\alpha - \beta) = 0 \implies -6\alpha + \beta = 0 \implies \beta = 6\alpha$.
હવે,$\alpha$ ના પદમાં $\gamma$ શોધો:
$\gamma = -\alpha - 6\alpha = -7\alpha$.
બિંદુ $P(\alpha, 6\alpha, -7\alpha)$ એ સમતલ $2x + 4y + 3z = 5$ પર આવેલું છે:
$2(\alpha) + 4(6\alpha) + 3(-7\alpha) = 5$
$2\alpha + 24\alpha - 21\alpha = 5$
$5\alpha = 5 \implies \alpha = 1$.
આમ,$\alpha = 1, \beta = 6, \gamma = -7$.
આપણે $6\alpha + 9\beta + 7\gamma$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$6(1) + 9(6) + 7(-7) = 6 + 54 - 49 = 11$.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $D = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$ ગણતા.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -2$ મળે છે.
જો $\lambda = 1$ હોય,તો સિસ્ટમ $x + y + z = 1$ બને છે,જે અનંત ઉકેલો આપે છે (સુસંગત).
જો $\lambda = -2$ હોય,તો સિસ્ટમ $-2x + y + z = 1$,$x - 2y + z = 1$,અને $x + y - 2z = 1$ બને છે. આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $0 = 3$ મળે છે,જે વિરોધાભાસ છે,તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે.
આમ,$S = \{-2\}$.
સરવાળો $\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|) = (|-2|^2 + |-2|) = 4 + 2 = 6$ થાય છે.

(A) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2-1) - 1(a-1) + 1(1-a) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)$ છે.
જ્યારે $a=1$ હોય,ત્યારે સમીકરણો $x+y+z=1$,$x+y+z=1$,$x+y+z=\beta$ બને છે. જો $\beta=1$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
જ્યારે $a=-2$ હોય,ત્યારે $D=0$ થાય છે. $\beta=1$ માટે ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ છે. હારનો સરવાળો કરતા $0=3$ મળે છે,જે અશક્ય છે. તેથી,કોઈ ઉકેલ નથી. વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
જ્યારે $a=2$ અને $\beta=1$ હોય,ત્યારે $D = (2-1)^2(2+2) = 4 \neq 0$ થાય છે. આ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ છે. ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$x=y=z = \frac{1}{4}$ મળે છે. તેથી $x+y+z = \frac{3}{4}$ થાય છે. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
જ્યારે $a=2$ અને $\beta=-1$ હોય,ત્યારે $D=4 \neq 0$ હોવાથી,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે,અનંત ઉકેલો નહીં. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15-4) - 1(6-2) + a(4-5) = 11 - 4 - a = 7 - a$.
$\Delta = 0$ લેતા,$7 - a = 0$,તેથી $a = 7$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે $\Delta_x = 0$ લઈએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 1 & 7 \\ 6 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = b(15-4) - 1(18-6) + 7(12-15) = 11b - 12 - 21 = 11b - 33$.
$\Delta_x = 0$ લેતા,$11b = 33$,તેથી $b = 3$.
અંતે,$2a + 3b$ ની કિંમત શોધીએ:
$2a + 3b = 2(7) + 3(3) = 14 + 9 = 23$.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=6$
$x+2y+\alpha z=10$
$x+3y+5z=\beta$
સહગુણક શ્રેણિક $D$ નો નિશ્ચાયક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(10-3\alpha) - 1(5-\alpha) + 1(3-2) = 6-2\alpha$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\alpha \neq 3$.
જો $\alpha=3$ હોય,તો $D=0$. સિસ્ટમ આ મુજબ બને છે:
$x+y+z=6$
$x+2y+3z=10$
$x+3y+5z=\beta$
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $y+2z=4$.
બીજા સમીકરણને ત્રીજામાંથી બાદ કરતા: $y+2z=\beta-10$.
સિસ્ટમનો ઉકેલ મળે તે માટે $4 = \beta-10$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\beta=14$. જો $\beta=14$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે. જો $\beta \neq 14$ હોય,તો કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
વિકલ્પ $A$ કહે છે કે $\alpha=3$ માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ છે,જે ખોટું છે કારણ કે $\alpha=3$ માટે $D=0$ થાય છે.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 7(\alpha + 5)$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \neq -5$. તેથી,જ્યારે $\alpha \neq -5$ હોય ત્યારે કોઈપણ $\beta$ માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ હોય છે.
અનંત ઉકેલો માટે,આપણે $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ ની જરૂર છે.
$\Delta = 0$ લેતા $\alpha = -5$ મળે છે.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & \beta \end{vmatrix} = 7(\beta - 9)$ ગણતા.
$\Delta_3 = 0$ લેતા $\beta = 9$ મળે છે.
જ્યારે $\alpha = -5$ અને $\beta = 9$ હોય,ત્યારે $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ થાય છે,તેથી સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
વિકલ્પ $C$ જણાવે છે કે $\alpha = -6$ અને $\beta = 9$ માટે સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે,જે ખોટું છે કારણ કે $\alpha = -6$ માટે $\Delta \neq 0$ થાય છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 6 \lambda & -3 & 3 \\ 2 & 6 \lambda & 4 \\ 3 & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરો.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 6 \lambda (18 \lambda^2 - 8) + 3 (6 \lambda - 12) + 3 (4 - 18 \lambda) = 0$
$108 \lambda^3 - 48 \lambda + 18 \lambda - 36 + 12 - 54 \lambda = 0$
$108 \lambda^3 - 84 \lambda - 24 = 0$
$12$ વડે ભાગતા: $9 \lambda^3 - 7 \lambda - 2 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$\lambda = 1$ એ એક બીજ છે. સિન્થેટિક ડિવિઝનનો ઉપયોગ કરતા,$( \lambda - 1 )( 9 \lambda^2 + 9 \lambda + 2 ) = 0$.
$( \lambda - 1 )( 3 \lambda + 1 )( 3 \lambda + 2 ) = 0$.
તેથી,$\lambda \in \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
આ મૂલ્યો માટે,આપણે ચકાસીએ કે $\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 \lambda^2 & -3 & 3 \\ 1 & 6 \lambda & 4 \\ \lambda & 2 & 3 \lambda \end{vmatrix} \neq 0$.
$\lambda = 1$ માટે,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 3 \\ 1 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 4(18-8) + 3(3-4) + 3(2-6) = 40 - 3 - 12 = 25 \neq 0$.
$\lambda = -1/3$ અને $\lambda = -2/3$ માટે પણ $\Delta_1 \neq 0$ મળે છે.
આમ,$S = \{ 1, -1/3, -2/3 \}$.
$12 \sum_{\lambda \in S} |\lambda| = 12 ( |1| + |-1/3| + |-2/3| ) = 12 ( 1 + 1/3 + 2/3 ) = 12 ( 2 ) = 24$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(i) 7x + 11y + \alpha z = 13$
$(ii) 5x + 4y + 7z = \beta$
$(iii) 175x + 194y + 57z = 361$
સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,ત્રીજું સમીકરણ એ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે $(iii) = k_1(i) + k_2(ii)$.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$7k_1 + 5k_2 = 175$
$11k_1 + 4k_2 = 194$
આ સમીકરણો ઉકેલતા: પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા:
$28k_1 + 20k_2 = 700$
$55k_1 + 20k_2 = 970$
બાદબાકી કરતા $27k_1 = 270$,તેથી $k_1 = 10$.
$k_1 = 10$ ને $7(10) + 5k_2 = 175$ માં મૂકતા,$5k_2 = 105$,તેથી $k_2 = 21$.
હવે,$z$ અને અચળ પદ માટે:
$10\alpha + 21(7) = 57 \implies 10\alpha + 147 = 57 \implies 10\alpha = -90 \implies \alpha = -9$.
$10(13) + 21\beta = 361 \implies 130 + 21\beta = 361 \implies 21\beta = 231 \implies \beta = 11$.
તેથી,$\alpha + \beta + 2 = -9 + 11 + 2 = 4$.

(A) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2a \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = 2(4 + 15) - 4(2 - 6) + 2a(-5 - 4) = 2(19) - 4(-4) + 2a(-9) = 38 + 16 - 18a = 54 - 18a = 18(3 - a)$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $\Delta \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $18(3 - a) \neq 0$,તેથી $a \neq 3$.
જો $a \neq 3$ હોય,તો $b$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
આમ,વિકલ્પો $B$ અને $C$ સાચા છે કારણ કે $a=6 \neq 3$ અને $a=8 \neq 3$.
અનંત ઉકેલો માટે,આપણે $\Delta = 0$ અને $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ ની જરૂર છે.
$\Delta = 0$ લેતા $a = 3$ મળે છે.
હવે,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 2a \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$a = 3$ માટે,$\Delta_x = \begin{vmatrix} b & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 3 \\ 8 & -5 & 2 \end{vmatrix} = b(4 + 15) - 4(8 - 24) + 6(-20 - 16) = 19b - 4(-16) + 6(-36) = 19b + 64 - 216 = 19b - 152$.
$\Delta_x = 0$ માટે,$19b = 152$,જે $b = 8$ આપે છે.
તેથી,જો $a = 3$ અને $b = 8$ હોય તો સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
આ વિકલ્પ $D$ ને સાચો બનાવે છે.
પરિણામે,વિકલ્પ $A$ સાચો નથી.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમ અનંત ઉકેલો ધરાવે તે માટે,સહગુણક મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & -5 & \lambda \\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(25 - 2\lambda) - 1(-10 - \lambda) - 1(4 + 5) = 0$
$50 - 4\lambda + 10 + \lambda - 9 = 0$
$51 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 3\lambda = 51 \Rightarrow \lambda = 17$
અનંત ઉકેલો માટે,નિશ્ચાયક $\Delta_z$ પણ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & \mu \\ 1 & 2 & 7 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(-35 - 2\mu) - 1(14 - \mu) + 5(4 + 5) = 0$
$-70 - 4\mu - 14 + \mu + 45 = 0$
$-3\mu - 39 = 0 \Rightarrow 3\mu = -39 \Rightarrow \mu = -13$
હવે,$(\lambda + \mu)^2 + (\lambda - \mu)^2 = 2(\lambda^2 + \mu^2)$ ની ગણતરી કરતા:
$= 2(17^2 + (-13)^2) = 2(289 + 169) = 2(458) = 916$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$-x+2y-9z=7$ $(1)$
$-x+3y-7z=9$ $(2)$
$-2x+y+5z=8$ $(3)$
$-3x+y+13z=\lambda$ $(4)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(-x+3y-7z) - (-x+2y-9z) = 9-7$
$y+2z=2$ $(5)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $2 \times (1)$ બાદ કરતા:
$(-2x+y+5z) - 2(-x+2y-9z) = 8-2(7)$
$-3y+23z=-6$ $(6)$
સમીકરણ $(5)$ ને $3$ વડે ગુણીને $(6)$ માં ઉમેરતા:
$3(y+2z) + (-3y+23z) = 3(2) - 6$
$29z = 0 \Rightarrow z=0$
$z=0$ ને $(5)$ માં મૂકતા:
$y=2$
$y=2, z=0$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$-x+2(2)-9(0)=7 \Rightarrow -x+4=7 \Rightarrow x=-3$
તેથી,$(\alpha, \beta, \gamma) = (-3, 2, 0)$.
$\lambda$ શોધવા માટે આ કિંમતોને $(4)$ માં મૂકતા:
$-3(-3) + 2 + 13(0) = \lambda \Rightarrow 9+2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 11$.
બિંદુ $(-3, 2, 0)$ નું સમતલ $2x-2y+z-11=0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(-3) - 2(2) + 1(0) - 11|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-6 - 4 - 11|}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{|-21|}{3} = 7$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$AB = [AB_1, AB_2, AB_3]$ હોવાથી,$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|AB| = |A| |B|$.
પહેલા $|A| = 2(1-0) - 0(1-0) + 1(0-1) = 2 - 1 = 1$ શોધો.
$|AB| = 1(3-0) - 2(0-0) + 3(0-0) = 3$ શોધો.
$|A| |B| = |AB|$ હોવાથી,$1 \times |B| = 3$,તેથી $\alpha = |B| = 3$.
$B$ શોધવા માટે,$B = A^{-1} (AB)$ નો ઉપયોગ કરો.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$B$ ના વિકર્ણ ઘટકો $1, 1, -1$ છે. તેથી,$\beta = 1 + 1 - 1 = 1$.
અંતે,$\alpha^3 + \beta^3 = 3^3 + 1^3 = 27 + 1 = 28$.

(B) કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જે સૂચવે છે કે $a - 2b + c = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $ax + by + c = 0$ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $P(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2\alpha) - 1(6 - \alpha) + 1(4 - 5) = 0$.
$15 - 2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0 \Rightarrow 8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે,$D_1 = 0$ જ્યાં $D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ \beta & 5 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$6(15 - 16) - 1(3\beta - 32) + 1(2\beta - 20) = 0$.
$-6 - 3\beta + 32 + 2\beta - 20 = 0 \Rightarrow -\beta + 6 = 0 \Rightarrow \beta = 6$.
આમ,$Q = (8, 6)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(8 - 1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$.
તેથી,$(PQ)^2 = 113$.

(A) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=4\mu$
$x+2y+2\lambda z=10\mu$
$x+3y+4\lambda^2 z=\mu^2+15$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\lambda \\ 1 & 3 & 4\lambda^2 \end{vmatrix} = (2\lambda - 1)^2$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,એટલે કે $\lambda \neq \frac{1}{2}$.
જ્યારે $\lambda = \frac{1}{2}$,ત્યારે $\Delta = 0$. ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક પરથી:
$y = 6\mu$ અને $2y = \mu^2 - 4\mu + 15$ મળે છે.
તેથી $12\mu = \mu^2 - 4\mu + 15 \implies \mu^2 - 16\mu + 15 = 0 \implies (\mu-1)(\mu-15) = 0$.
આમ,જો $\lambda = \frac{1}{2}$ અને $\mu \in \{1, 15\}$ હોય તો સંહતિ સુસંગત છે. જો $\mu \neq 1, 15$ હોય તો સંહતિ અસંગત છે. વિકલ્પ $A$ ખોટું વિધાન છે કારણ કે અનન્ય ઉકેલ માટે $\mu$ પર કોઈ શરત નથી.

(D) સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$ છે.
સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટે $\det(A) \neq 0$ હોવું જોઈએ.
$\det(A) = 1(2\lambda - 3\lambda^2) - 1(\lambda - \lambda^2) + 1(3 - 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1 = -(2\lambda+1)(\lambda-1)$.
આમ,$\det(A) = 0$ જ્યારે $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -1/2$ હોય.
જો $\lambda \neq 1$ અને $\lambda \neq -1/2$ હોય,તો કોઈપણ $\mu$ માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
જો $\lambda = 1$ હોય,તો સમીકરણો $x+y+z=5$,$x+2y+z=9$,અને $x+3y+z=\mu$ બને છે. પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $y=4$ મળે છે. બીજાને ત્રીજામાંથી બાદ કરતા $y=\mu-9$ મળે છે. તેથી,$4 = \mu-9 \Rightarrow \mu=13$. જો $\mu=13$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે. જો $\mu \neq 13$ હોય,તો કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
વિકલ્પ $D$ કહે છે કે જો $\lambda \neq 1$ અને $\mu \neq 13$ હોય તો અનન્ય ઉકેલ મળે છે. આ ખોટું છે કારણ કે જો $\lambda = -1/2$ હોય,તો $\mu$ ની કોઈપણ કિંમત માટે અનન્ય ઉકેલ મળતો નથી.

(D) શોધવા માટે,તમામ સહગુણકોનો સરવાળો,આપણે પદાવલિમાં $x=1$ મૂકીએ છીએ:
$a = (1-2(1)+2(1)^2)^{2023} \times (3-4(1)^2+2(1)^3)^{2024} = (1)^{2023} \times (1)^{2024} = 1$.
$b$ શોધવા માટે,આપણે $L'\text{H\^opital's Rule}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે તે $0/0$ સ્વરૂપ છે:
$b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{2024}+1}}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \times \frac{1}{x^{2024}+1} \right) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$a=1$ અને $b=1/2$ ને બીજા સમીકરણ $2bx^2+ax+4=0$ માં મૂકતા:
$2(1/2)x^2 + (1)x + 4 = 0 \implies x^2+x+4=0$.
કારણ કે સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $x^2+x+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ છે અને સહગુણકો વાસ્તવિક છે,તેથી સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{c}{1} = \frac{d}{1} = \frac{e}{4}$.
આમ,$d:c:e = 1:1:4$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 1(\alpha\beta + 3) + 2(2\beta - 9) + 1(-2 - 3\alpha) = \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta - 17 = 0 \implies \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta = 17 \dots (1)$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(5\beta - 9) + 4(2\beta - 9) + 1(6 - 15) = 5\beta - 9 + 8\beta - 36 - 9 = 13\beta - 54 = 0 \implies \beta = \frac{54}{13}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $\beta = \frac{54}{13}$ મૂકતા:
$\alpha(\frac{54}{13}) - 3\alpha + 4(\frac{54}{13}) = 17$
$\frac{54\alpha - 39\alpha + 216}{13} = 17$
$15\alpha + 216 = 221 \implies 15\alpha = 5 \implies \alpha = \frac{1}{3}$.
હવે,$12\alpha + 13\beta = 12(\frac{1}{3}) + 13(\frac{54}{13}) = 4 + 54 = 58$.

(A) આપેલ સમીકરણો દર્શાવે છે કે સદિશો $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,અને $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ એ $A$ ના આઈગન સદિશો છે જે અનુરૂપ આઈગન કિંમતો $\lambda_1 = 2$,$\lambda_2 = 4$,અને $\lambda_3 = 2$ ધરાવે છે.
આ ત્રણ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી,તેઓ $\mathbb{R}^3$ માટે આધાર (basis) બનાવે છે.
શ્રેણિક $A$ ને $A = PDP^{-1}$ તરીકે વિકર્ણીય કરી શકાય છે,જ્યાં $D = \text{diag}(2, 4, 2)$ અને $P$ એ $v_1, v_2, v_3$ સ્તંભો વાળો શ્રેણિક છે.
સમીકરણ સંહતિ $(A-3I)X = B$ છે. શ્રેણિક $(A-3I)$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_i - 3$ છે,જે $2-3 = -1$,$4-3 = 1$,અને $2-3 = -1$ છે.
$(A-3I)$ ના કોઈપણ આઈગન મૂલ્યો $0$ ન હોવાથી,નિશ્ચાયક $|A-3I| = (-1)(1)(-1) = 1 \neq 0$ થાય.
નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવાથી,શ્રેણિક $(A-3I)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.
તેથી,સમીકરણ સંહતિ $(A-3I)X = B$ ને અનન્ય ઉકેલ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$2(\alpha\beta + 3) - 3(\beta - 9) - 1(-1 - 3\alpha) = 0$
$2\alpha\beta + 6 - 3\beta + 27 + 1 + 3\alpha = 0$
$2\alpha\beta + 3\alpha - 3\beta + 34 = 0$ (સમીકરણ $1$)
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવાથી,સમતલો સુરેખ રીતે આધારિત હોવા જોઈએ. આપણે ત્રીજા સમીકરણને પ્રથમ બે સમીકરણોના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકીએ: $L_3 = c_1 L_1 + c_2 L_2$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2c_1 + c_2 = 3$
$3c_1 + c_2\alpha = -1$
$-c_1 + 3c_2 = \beta$
$5c_1 - 4c_2 = 7$
પ્રથમ અને છેલ્લા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $c_1$ અને $c_2$ માટે ઉકેલતા:
$c_2 = 3 - 2c_1$
$5c_1 - 4(3 - 2c_1) = 7 \implies 5c_1 - 12 + 8c_1 = 7 \implies 13c_1 = 19 \implies c_1 = \frac{19}{13}$
$c_2 = 3 - 2(\frac{19}{13}) = \frac{39 - 38}{13} = \frac{1}{13}$
$c_1$ અને $c_2$ ની કિંમતો અન્ય સમીકરણોમાં મૂકતા:
$3(\frac{19}{13}) + \alpha(\frac{1}{13}) = -1 \implies 57 + \alpha = -13 \implies \alpha = -70$
$-(\frac{19}{13}) + 3(\frac{1}{13}) = \beta \implies \beta = \frac{-16}{13}$
અંતે,$13\alpha\beta = 13(-70)(\frac{-16}{13}) = 70 \times 16 = 1120$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x+2y+3z=5$
$2x+3y+z=9$
$4x+3y+\lambda z=\mu$
સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 3) - 2(2\lambda - 4) + 3(6 - 12) = 0$
$3\lambda - 3 - 4\lambda + 8 - 18 = 0$
$-\lambda - 13 = 0 \Rightarrow \lambda = -13$
હવે,$\lambda = -13$ નો ઉપયોગ કરીને $\Delta_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 1 \\ \mu & 3 & -13 \end{vmatrix} = 5(-39 - 3) - 2(-117 - \mu) + 3(27 - 3\mu) = 0$
$5(-42) + 234 + 2\mu + 81 - 9\mu = 0$
$-210 + 315 - 7\mu = 0$
$105 - 7\mu = 0 \Rightarrow \mu = 15$
અંતે,$\lambda + 2\mu = -13 + 2(15) = -13 + 30 = 17$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $ D = 0 $ હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $ D_1, D_2, D_3 $ પણ $ 0 $ હોવા જોઈએ.
$ D = \begin{vmatrix} 11 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 5 \\ 8 & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ 11(-117 + 95) - 1(-78 - 40) + \lambda(-38 - 24) = 0 $
$ 11(-22) + 118 - 62\lambda = 0 $
$ -242 + 118 = 62\lambda $
$ 62\lambda = -124 \Rightarrow \lambda = -2 $
હવે,$ D_1 = 0 $ માટે:
$ D_1 = \begin{vmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \mu & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ -5(-117 + 95) - 1(-117 - 5\mu) - 2(-57 - 3\mu) = 0 $
$ -5(-22) + 117 + 5\mu + 114 + 6\mu = 0 $
$ 110 + 231 + 11\mu = 0 $
$ 11\mu = -341 \Rightarrow \mu = -31 $
અંતે,$ \lambda^4 - \mu $ ની ગણતરી કરતા:
$ \lambda^4 - \mu = (-2)^4 - (-31) = 16 + 31 = 47 $

(D) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = 1(5m - 10) - 1(2m - 5) + 1(4 - 5) = 3m - 6$.
$D = 0$ લેતા,$3m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2$ મળે છે.
હવે,$m=2$ સાથે $D_3$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 5 & 17 \\ 1 & 2 & n \end{vmatrix} = 1(5n - 34) - 1(2n - 17) + 4(4 - 5) = 3n - 21$.
$D_3 = 0$ લેતા,$3n - 21 = 0 \Rightarrow n = 7$ મળે છે.
હવે,$m=2$ અને $n=7$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$m^2 + n^2 - mn = 2^2 + 7^2 - (2)(7) = 4 + 49 - 14 = 39$.
આમ,આ કિંમતો $m^2 + n^2 - mn = 39$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ અને નિશ્ચાયકો $D_1, D_2, D_3$ બધા શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $D_3 = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & \mu & -1 \end{vmatrix} = 2(-2 - 4\mu) - 7(-3 - 4) + 3(3\mu - 2) = 0$
$-4 - 8\mu + 49 + 9\mu - 6 = 0$
$\mu + 39 = 0 \Rightarrow \mu = -39$
ત્યારબાદ,$\mu = -39$ સાથે $D = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 7 & \lambda \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & -39 & 32 \end{vmatrix} = 2(64 + 195) - 7(96 - 5) + \lambda(-117 - 2) = 0$
$2(259) - 7(91) - 119\lambda = 0$
$518 - 637 - 119\lambda = 0$
$-119 - 119\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
અંતે,આપણે $(\lambda - \mu)$ શોધીએ:
$\lambda - \mu = -1 - (-39) = -1 + 39 = 38$.

(B) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^3 - 4A^2 + A + 21I = 0$ છે.
લાક્ષણિક બહુપદી $P(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + \lambda + 21 = 0$ છે.
આયગન કિંમતોનો સરવાળો (શ્રેણિક $A$ નો ટ્રેસ) એ $\lambda^2$ ના સહગુણક સાથે ચિહ્ન બદલીને મળે છે,તેથી $\text{tr}(A) = 2 + 3 + b = 4$,જે આપણને $b = -1$ આપે છે.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક એ લાક્ષણિક બહુપદીના અચળ પદ સાથે ચિહ્ન બદલીને મળે છે ($3 \times 3$ શ્રેણિક માટે),તેથી $|A| = -21$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $|A| = 2(3b - 5) - a(b - 0) + 0 = 6b - 10 - ab = -21$.
$b = -1$ મૂકતા: $6(-1) - 10 - a(-1) = -21 \Rightarrow -6 - 10 + a = -21 \Rightarrow -16 + a = -21 \Rightarrow a = -5$.
અંતે,$2a + 3b = 2(-5) + 3(-1) = -10 - 3 = -13$.

(B) સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 7 & 9 & \mu \\ 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $1(18-\mu) - 4(14-5\mu) - 1(7-45) = 0$.
$18 - \mu - 56 + 20\mu + 38 = 0$.
$19\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
હવે,$\Delta_x = 0$ માટે:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} \lambda & 4 & -1 \\ -3 & 9 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $\lambda(18-0) - 4(-6-0) - 1(-3+9) = 0$.
$18\lambda + 24 - 6 = 0$.
$18\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -1$.
અંતે,$(2\mu + 3\lambda) = 2(0) + 3(-1) = -3$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $3x + 5y + \lambda z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 3 & 5 & \lambda \\ 7 & 11 & -9 \\ 97 & 155 & -189 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$3(-2079 + 1395) - 5(-1323 + 873) + \lambda(1085 - 1067) = 0$
$3(-684) - 5(-450) + 18\lambda = 0$
$-2052 + 2250 + 18\lambda = 0$
$198 + 18\lambda = 0 \implies \lambda = -11$.
હવે,$\lambda = -11$ મૂકતા:
$(1)$ $3x + 5y - 11z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
અનંત ઉકેલો માટે,ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે $(3) = a(1) + b(2)$:
$3a + 7b = 97$ અને $5a + 11b = 155$.
ઉકેલતા $a = 9$ અને $b = 10$ મળે છે.
તેથી,$\mu = 9(3) + 10(2) = 47$.
$\mu + 2\lambda = 47 + 2(-11) = 47 - 22 = 25$.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = |A| = 1(4-6) + 2(-4+2) + 3(3-1) = 1(-2) + 2(-2) + 3(2) = -2 - 4 + 6 = 0$ ગણો.
કારણ કે $D = 0$ છે,સિસ્ટમનો કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે.
હવે,$D_1 = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 3 \\ k & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4\end{array}\right| = -1(4-6) + 2(4k+2) + 3(-3k-1) = 2 + 8k + 4 - 9k - 3 = 3 - k$ ગણો.
$D_1 = 0$ માત્ર ત્યારે જ થાય જો $k = 3$ હોય. જો $k \neq 3$ હોય,તો $D_1 \neq 0$,તેથી સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે. વિધાન-$2$ સાચું છે કારણ કે તે $D=0$ ને યોગ્ય રીતે ઓળખે છે જે સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોવાની અથવા અનંત ઉકેલો હોવાની શરત છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$ax + 2y = \lambda$
$3x - 2y = \mu$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2a - 6 = -2(a + 3)$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \neq -3$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
જો $a = -3$ હોય,તો $\Delta = 0$. સિસ્ટમને કાં તો કોઈ ઉકેલ નહીં હોય અથવા અનંત ઉકેલો હશે.
આપણે $\Delta_1 = \begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ \mu & -2 \end{vmatrix} = -2\lambda - 2\mu = -2(\lambda + \mu)$ ગણીએ છીએ.
જો $\lambda + \mu = 0$ હોય,તો $\Delta_1 = 0$. કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 = 0$,તેથી સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
જો $\lambda + \mu \neq 0$ હોય,તો $\Delta_1 \neq 0$. કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$,તેથી સિસ્ટમને કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$,$(C)$,અને $(D)$ સાચા છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+2y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2x-3y+\beta z=\gamma$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 2 & -3 & \beta \end{vmatrix} = 1(0 - (-3\alpha)) - 2(\beta - 2\alpha) + 1(-3 - 0) = 3\alpha - 2\beta + 4\alpha - 3 = 7\alpha - 2\beta - 3$ છે.
જો $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ હોય,તો $\Delta = 0$ થાય.
$(P)$ માટે: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ અને $\gamma = 28$. $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ ની ગણતરી કરતા,તે બધા $0$ મળે છે. તેથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે. $(P \rightarrow 3)$.
$(Q)$ માટે: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ અને $\gamma \neq 28$. $\Delta = 0$ હોવાથી અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર હોવાથી,સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી. $(Q \rightarrow 2)$.
$(R)$ માટે: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$,તેથી $\Delta \neq 0$. સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે. $(R \rightarrow 1)$.
$(S)$ માટે: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ અને $\alpha = 1, \gamma = 28$. $\Delta \neq 0$ હોવાથી,અનન્ય ઉકેલ મળે છે. $x=11, y=-2, z=0$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા: $11+2(-2)+0 = 7$ (સાચું),$11+1(0) = 11$ (સાચું),$2(11)-3(-2)+\beta(0) = 22+6 = 28 = \gamma$ (સાચું). આમ,$(x=11, y=-2, z=0)$ એ અનન્ય ઉકેલ છે. $(S \rightarrow 4)$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે શરત $a_{ij} = 1$ જો $i$ એ $(j+1)$ ને ભાગે,અને અન્યથા $0$ મુજબ શ્રેણિક $M$ બનાવીએ.
$i=1$ માટે: $j=1, 2, 3$ માટે $j+1$ એ $1$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=1$.
$i=2$ માટે: $j=1, 3$ માટે $j+1$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1$.
$i=3$ માટે: $j=2$ માટે $j+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=0$.
આમ,$M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$(A)$ નિશ્ચાયક શોધો: $|M| = 1(0-1) - 1(0-0) + 1(1-0) = -1 + 1 = 0$. $|M| = 0$ હોવાથી,$M$ એ સિંગ્યુલર છે અને વ્યસ્ત કરી શકાતો નથી. ($A$ ખોટું છે).
$(B)$ આપણે $M X = -X$ ઉકેલીએ,જે $(M + I)X = 0$ છે.
$M+I = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|M+I| = 2(1-1) - 1(1-0) + 1(1-0) = 0$. નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શૂન્યતર ઉકેલ $X$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ($B$ સાચું છે).
$(C)$ ગણ $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ એ $M$ ની શૂન્ય અવકાશ (null space) દર્શાવે છે. $|M| = 0$ હોવાથી,શૂન્ય અવકાશ શૂન્યતર છે. ($C$ સાચું છે).
$(D)$ $M - 2I = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
$|M-2I| = -1(4-1) - 1(-2-0) + 1(1-0) = -3 + 2 + 1 = 0$. તેથી,$(M-2I)$ વ્યસ્ત કરી શકાતો નથી. ($D$ ખોટું છે).
તેથી,સાચા વિધાનો $B$ અને $C$ છે.

(D) સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને વિસ્તૃત શ્રેણિક સુસંગતતાની શરતનું પાલન કરે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - \alpha^2) - \alpha(\alpha - \alpha^3) + \alpha^2(\alpha^2 - \alpha^2) = 1 - \alpha^2 - \alpha^2 + \alpha^4 = \alpha^4 - 2\alpha^2 + 1 = (\alpha^2 - 1)^2$.
$D = 0$ લેતા $(\alpha^2 - 1)^2 = 0$ મળે,તેથી $\alpha^2 = 1$,એટલે કે $\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -1$.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha = 1$ હોય,તો સમીકરણો:
$x + y + z = 1$
$x + y + z = -1$
$x + y + z = 1$
આ અસંગત છે કારણ કે $1 \neq -1$,તેથી કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha = -1$ હોય,તો સમીકરણો:
$x - y + z = 1$
$-x + y - z = -1$
$x - y + z = 1$
ત્રણેય સમીકરણો $x - y + z = 1$ ને સમાન છે,જે એક સમતલ દર્શાવે છે,તેથી અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,$\alpha = -1$.
આમ,$1 + \alpha + \alpha^2 = 1 + (-1) + (-1)^2 = 1 - 1 + 1 = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) 3x - y - z = 0$
$2) -3x + z = 0$
$3) -3x + 2y + z = 0$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને $z = 3x$ મળે છે.
$z = 3x$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x - y - 3x = 0 \Rightarrow y = 0$.
સમીકરણ $(3)$ સાથે ચકાસતા:
$-3x + 2(0) + 3x = 0$,જે $0 = 0$ છે. આ સુસંગત છે.
આમ,સિસ્ટમનું પાલન કરતું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ એ $(a, 0, 3a)$ સ્વરૂપનું છે જ્યાં $a$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણને શરત $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ આપેલ છે.
બિંદુ $(a, 0, 3a)$ મૂકતા:
$a^2 + 0^2 + (3a)^2 \leq 100$
$a^2 + 9a^2 \leq 100$
$10a^2 \leq 100$
$a^2 \leq 10$
કારણ કે $a$ પૂર્ણાંક છે,તેથી $a$ ની શક્ય કિંમતો $a \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આ કિંમતો ગણતા,આપણને $7$ શક્ય બિંદુઓ મળે છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = B$ ને કાં તો અનન્ય ઉકેલ હોય,કોઈ ઉકેલ ન હોય,અથવા અનંત ઉકેલો હોય.
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને બરાબર બે ભિન્ન ઉકેલો હોય તે ગાણિતિક રીતે અશક્ય છે.
જો કોઈ સંહતિને એક કરતા વધારે ઉકેલ હોય,તો તેને અનંત ઉકેલો હોવા જ જોઈએ.
તેથી,આવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા $0$ છે.

(A) સમીકરણ સંહતિને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે તે માટે,નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોવો જોઈએ અથવા જો $\Delta = 0$ હોય,તો $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ સંહતિ માટે:
$\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -1(-8+6) - 2(4-3) + 5(-4+4) = 2 - 2 + 0 = 0$.
ઉકેલ માટે,$\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} b_1 & 2 & 5 \\ b_2 & -4 & 3 \\ b_3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -2b_1 - 14b_2 + 26b_3 = 0$,એટલે કે $b_1 + 7b_2 - 13b_3 = 0$.
આમ,$S = \{ [b_1, b_2, b_3]^T : b_1 + 7b_2 - 13b_3 = 0 \}$.
દરેક વિકલ્પ માટે,જો $\Delta \neq 0$ હોય,તો અનન્ય ઉકેલ મળે.
$(A)$ $\Delta = 12 \neq 0$,તેથી ઉકેલ મળે છે.
$(B)$ $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$,તેથી ઉકેલ મળે છે.
$(C)$ $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$,તેથી ઉકેલ મળે છે.
$(D)$ $\Delta = 54 \neq 0$,તેથી ઉકેલ મળે છે.
આમ,$(A), (B), (C), (D)$ બધા સાચા છે.