Concurrency of three lines Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(3a, 0)$,$B(0, 3b)$ અને $C(a, 2b)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3a(3b - 2b) + 0(2b - 0) + a(0 - 3b)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3a(b) + 0 - 3ab|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3ab - 3ab| = 0$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-a, -b)$,$B(a, b)$,અને $C(a^2, ab)$ છે.
રેખાખંડોના ઢાળની ગણતરી કરો:
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{b - (-b)}{a - (-a)} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$.
જેহেতু $AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો છે અને તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવે છે,તેથી બિંદુઓ $A, B$,અને $C$ સમરેખ છે.

(A) જો ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય,તો તે બિંદુઓ સમરેખ હોય છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |k(2k - (6 - 2k)) + (1 - k)((6 - 2k) - (2 - 2k)) + (-k - 4)((2 - 2k) - 2k)| = 0$
પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$8k^2 + 4k - 4 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$2k^2 + k - 1 = 0$
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
તેથી,$k = 1/2$ અથવા $k = -1$.

(D) ધારો કે $A \equiv (x + 1, 2)$,$B \equiv (1, x + 2)$,અને $C \equiv \left( \frac{1}{x + 1}, \frac{2}{x + 1} \right)$.
બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ હોય જો $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
$\left| \begin{array}{ccc} x + 1 & 2 & 1 \\ 1 & x + 2 & 1 \\ \frac{1}{x + 1} & \frac{2}{x + 1} & 1 \end{array} \right| = 0$
$R_1 \to R_1 - R_2$ લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x & -x & 0 \\ 1 & x + 2 & 1 \\ \frac{1}{x + 1} & \frac{2}{x + 1} & 1 \end{array} \right| = 0$
$C_2 \to C_2 + C_1$ લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 1 & x + 3 & 1 \\ \frac{1}{x + 1} & \frac{3}{x + 1} & 1 \end{array} \right| = 0$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$x \left( x + 3 - \frac{3}{x + 1} \right) = 0$
$\frac{x^2(x + 4)}{x + 1} = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -4$.

(A) પગલું $1$: $x + 5y + 7 = 0$ અને $3x + 2y - 5 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $3x + 15y + 21 = 0$.
બીજા સમીકરણને તેમાંથી બાદ કરતા: $(3x + 15y + 21) - (3x + 2y - 5) = 0$,જે $13y + 26 = 0$ આપે છે,તેથી $y = -2$.
$y = -2$ ને $x + 5y + 7 = 0$ માં મૂકતા: $x + 5(-2) + 7 = 0 \implies x - 10 + 7 = 0 \implies x = 3$.
છેદબિંદુ $(3, -2)$ છે.
પગલું $2$: $7x + 2y - 5 = 0$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ શોધો.
$7x + 2y - 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{7}{2}$ છે.
જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m_2 = \frac{2}{7}$.
પગલું $3$: બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ લખો.
$y - (-2) = \frac{2}{7}(x - 3) \implies 7(y + 2) = 2(x - 3) \implies 7y + 14 = 2x - 6$.
ગોઠવતા $2x - 7y - 20 = 0$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $2x + y = 5$ અને $x + 3y = -8$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $6x + 3y = 15$.
બીજા સમીકરણને બાદ કરતા: $(6x + 3y) - (x + 3y) = 15 - (-8) \implies 5x = 23 \implies x = \frac{23}{5}$.
$x$ ની કિંમત $2x + y = 5$ માં મૂકતા: $2(\frac{23}{5}) + y = 5 \implies y = 5 - \frac{46}{5} = -\frac{21}{5}$.
છેદબિંદુ $(\frac{23}{5}, -\frac{21}{5})$ છે.
પગલું $2$: $3x + 4y = 7$ ને સમાંતર રેખા $3x + 4y + k = 0$ સ્વરૂપની હોય.
તે $(\frac{23}{5}, -\frac{21}{5})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$3(\frac{23}{5}) + 4(-\frac{21}{5}) + k = 0$.
$\frac{69 - 84}{5} + k = 0 \implies -\frac{15}{5} + k = 0 \implies -3 + k = 0 \implies k = 3$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $3x + 4y + 3 = 0$ છે.

(C) પગલું $1$: રેખાઓ $3x - 2y - 1 = 0$ અને $x - 4y + 3 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $3x - 12y + 9 = 0$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી આ બાદ કરતા: $(3x - 2y - 1) - (3x - 12y + 9) = 0$ $\Rightarrow 10y - 10 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ ને $x - 4y + 3 = 0$ માં મૂકતા: $x - 4(1) + 3 = 0$ $\Rightarrow x - 1 = 0$ $\Rightarrow x = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
પગલું $2$: $(1, 1)$ અને $(\pi, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઢાળ $m = \frac{0 - 1}{\pi - 1} = \frac{-1}{\pi - 1}$.
સમીકરણ $y - 0 = \frac{-1}{\pi - 1}(x - \pi)$ છે.
$(\pi - 1)y = -x + \pi \Rightarrow x - y = \pi(1 - y)$.

(B) પગલું $1$: $4x - 3y = 1$ અને $5x - 2y = 3$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$8x - 6y = 2$
$15x - 6y = 9$
બાદબાકી કરતા: $7x = 7 \implies x = 1$.
$x = 1$ મુકતા $4(1) - 3y = 1 \implies y = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
પગલું $2$: $2y - 3x + 2 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - 2y = C$ સ્વરૂપમાં હોય.
પગલું $3$: રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3(1) - 2(1) = C \implies C = 1$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $3x - 2y = 1$ છે.

(B) રેખાઓ $x + 2y - 10 = 0$ અને $2x + y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે તેમને એકસાથે ઉકેલીએ.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y - 20 = 0$.
તેમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(2x + 4y - 20) - (2x + y + 5) = 0$,જે $3y - 25 = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી $y = 25/3$.
$y = 25/3$ ને $x + 2y - 10 = 0$ માં મૂકતા: $x + 2(25/3) - 10 = 0 \implies x + 50/3 - 30/3 = 0 \implies x = -20/3$.
છેદબિંદુ $(-20/3, 25/3)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$5x + 4y = 0$ માટે:
$5(-20/3) + 4(25/3) = -100/3 + 100/3 = 0$.
આમ,રેખા $5x + 4y = 0$ છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(1)$ અને $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ $(2)$ છે.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $x(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + y(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2 \implies (x + y)(\frac{a + b}{ab}) = 2 \implies x + y = \frac{2ab}{a + b}$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $x(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + y(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) = 0 \implies x(\frac{b - a}{ab}) - y(\frac{b - a}{ab}) = 0 \implies x = y$.
$x = y$ ને $x + y = \frac{2ab}{a + b}$ માં મૂકતા,આપણને $2x = \frac{2ab}{a + b} \implies x = \frac{ab}{a + b}$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $P = (\frac{ab}{a + b}, \frac{ab}{a + b})$ છે.
રેખા $P$ અને $Q = (a, b)$ ને જોડે છે. ઢાળ $m = \frac{b - \frac{ab}{a + b}}{a - \frac{ab}{a + b}} = \frac{b^2}{a^2}$.
સમીકરણ $y - b = \frac{b^2}{a^2}(x - a) \implies a^2y - b^2x = ab(a - b)$ છે.

(C) પગલું $1$: $x - 2y = 1$ અને $x + 3y = 2$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો. બાદબાકી કરતા $5y = 1$ મળે,તેથી $y = \frac{1}{5}$. $x$ ની કિંમત $x = \frac{7}{5}$ મળે છે. છેદબિંદુ $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$ છે.
પગલું $2$: રેખા $3x + 4y = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
પગલું $3$: બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$y - \frac{1}{5} = -\frac{3}{4}(x - \frac{7}{5})$.
પગલું $4$: સાદું રૂપ આપતા $3x + 4y - 5 = 0$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: $2x - 3y + 4 = 0$ અને $3x + 4y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો. સમીકરણો ઉકેલતા,$x = -\frac{1}{17}$ અને $y = \frac{22}{17}$ મળે છે. બિંદુ $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ છે.
પગલું $2$: આપેલી રેખા $6x - 7y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{6}{7}$ છે.
પગલું $3$: તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{7}{6}$ થાય.
પગલું $4$: બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$.
પગલું $5$: $102$ વડે ગુણતા,$102y - 132 = -119x - 7$,જે સાદું રૂપ આપતા $119x + 102y = 125$ મળે છે.

(C) $L_1: 3x - y + 2 = 0$ અને $L_2: 5x - 2y + 7 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $L_1 + \lambda L_2 = 0$ છે.
$(3x - y + 2) + \lambda (5x - 2y + 7) = 0$
$(3 + 5\lambda)x - (1 + 2\lambda)y + (2 + 7\lambda) = 0$
રેખાનો ઢાળ અનંત હોવા માટે,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$1 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$
$\lambda = -1/2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3x - y + 2) - \frac{1}{2}(5x - 2y + 7) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2(3x - y + 2) - (5x - 2y + 7) = 0$
$6x - 2y + 4 - 5x + 2y - 7 = 0$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(a - 2b)x + (a + 3b)y + 3a + 4b = 0$ છે.
$a$ અને $b$ ના સંદર્ભમાં પદોને ગોઠવતા:
$a(x + y + 3) + b(-2x + 3y + 4) = 0$.
આ રેખાઓની એક સંહતિ દર્શાવે છે જે $x + y + 3 = 0$ અને $-2x + 3y + 4 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x + y = -3$ $(i)$
$-2x + 3y = -4$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 2y = -6$.
તેને (ii) માં ઉમેરતા: $5y = -10$,તેથી $y = -2$.
$y = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x - 2 = -3$,તેથી $x = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, -2)$ છે.

(A) આપેલ શરત $a + b + c = 0$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(b + c) = -a$,$(c + a) = -b$,અને $(a + b) = -c$ મૂકી શકીએ છીએ.
રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$ax - ay = p \implies x - y = \frac{p}{a}$
$bx - by = p \implies x - y = \frac{p}{b}$
$cx - cy = p \implies x - y = \frac{p}{c}$
અહીં $p \neq 0$ હોવાથી,ત્રણેય રેખાઓનો ઢાળ $1$ છે.
રેખાઓના ઢાળ સમાન છે પરંતુ તેમના અંતઃખંડ અલગ-અલગ હોવાથી,આ રેખાઓ પરસ્પર સમાંતર છે.
તેથી,આ રેખાઓ શાંત સમતલમાં ક્યાંય છેદતી નથી.

(D) આપેલ રેખાઓ:
$1) \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
$2) \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{x}{a} + \frac{x}{b}) + (\frac{y}{b} + \frac{y}{a}) = 2$
$x(\frac{a+b}{ab}) + y(\frac{a+b}{ab}) = 2$
$(x + y)(\frac{a+b}{ab}) = 2 \implies x + y = \frac{2ab}{a+b}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\frac{x}{a} - \frac{x}{b}) + (\frac{y}{b} - \frac{y}{a}) = 0$
$x(\frac{b-a}{ab}) - y(\frac{b-a}{ab}) = 0$
$(x - y)(\frac{b-a}{ab}) = 0 \implies x = y$
$x = y$ ને $x + y = \frac{2ab}{a+b}$ માં મૂકતા,$2x = \frac{2ab}{a+b} \implies x = \frac{ab}{a+b}$ મળે.
આમ,છેદબિંદુ $(\frac{ab}{a+b}, \frac{ab}{a+b})$ છે.
વિકલ્પ $(a)$ તપાસતા: $x - y = 0$. (સાચું)
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $(x + y)(a + b) = 2ab$. (સાચું)
વિકલ્પ $(c)$ તપાસતા: $(lx + my)(a + b) = (l+m)ab$. (સાચું)
તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(D) બે રેખાઓ $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ અને $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ સમાન હોય જો $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$ હોય.
આપેલ સમીકરણો માટે:
$\frac{b^3 - c^3}{b - c} = \frac{c^3 - a^3}{c - a} = \frac{a^3 - b^3}{a - b} = k$
નિત્યસમ $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 + bc + c^2 = c^2 + ca + a^2 = a^2 + ab + b^2 = k$
કિસ્સો $1$: જો $a = b = c$ હોય,તો સમીકરણો $0 = 0$ બને છે,જે સમાન રેખા દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $a, b, c$ બધા સમાન ન હોય,તો $b^2 + bc + c^2 = c^2 + ca + a^2 \implies b^2 - a^2 + c(b - a) = 0 \implies (b - a)(b + a + c) = 0$.
આ સૂચવે છે કે $b = a$ અથવા $a + b + c = 0$.
આમ,જો $a=b$,$b=c$,અથવા $c=a$ હોય,તો રેખાઓ સમાન છે. તેથી,ઉપરના તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(C) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$ax + 2by = -3b$ $(1)$
$bx - 2ay = 3a$ $(2)$
$(1)$ ને $a$ વડે અને $(2)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2x + 2aby = -3ab$
$b^2x - 2aby = 3ab$
સરવાળો કરતા: $(a^2 + b^2)x = 0$. $(a, b) \ne (0, 0)$ હોવાથી,$a^2 + b^2 \ne 0$,તેથી $x = 0$.
$x = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2by = -3b$. જો $b \ne 0$ હોય,તો $y = -3/2$.
આમ,છેદબિંદુ $(0, -3/2)$ છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $y = k$ છે. તે $(0, -3/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખા $y = -3/2$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષની નીચે $3/2$ એકમ અંતરે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ છે:
$ax + by + c = 0$ $(i)$
$bx + cy + a = 0$ $(ii)$
$cx + ay + b = 0$ $(iii)$
ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$
તેથી,$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.

(A) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
આપેલી રેખાઓને $m_1x - y + c_1 = 0$,$m_2x - y + c_2 = 0$ અને $m_3x - y + c_3 = 0$ તરીકે લખતા,સંગામી હોવાની શરત છે:
$\begin{vmatrix} m_1 & -1 & c_1 \\ m_2 & -1 & c_2 \\ m_3 & -1 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
બીજા સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \begin{vmatrix} m_2 & c_2 \\ m_3 & c_3 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} m_1 & c_1 \\ m_3 & c_3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} m_1 & c_1 \\ m_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$(m_2c_3 - m_3c_2) - (m_1c_3 - m_3c_1) + (m_1c_2 - m_2c_1) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$m_1(c_2 - c_3) + m_2(c_3 - c_1) + m_3(c_1 - c_2) = 0$.

(C) રેખાઓ સંગામી છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શોધીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} p-q & q-r & r-p \\ q-r & r-p & p-q \\ r-p & p-q & q-r \end{vmatrix}$
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા,પ્રથમ સ્તંભ બને છે:
$(p-q) + (q-r) + (r-p) = 0$
પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોનો સરવાળો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયક $D = 0$ થાય છે.
તેથી,રેખાઓ સંગામી છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
પ્રથમ,$3x + 4y + 6 = 0$ અને $6x + 5y + 9 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $6x + 8y + 12 = 0$.
તેમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(6x + 8y + 12) - (6x + 5y + 9) = 0 \implies 3y + 3 = 0 \implies y = -1$.
$y = -1$ ને $3x + 4y + 6 = 0$ માં મૂકતા: $3x - 4 + 6 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$.
છેદબિંદુ $(-2/3, -1)$ છે.
હવે,તપાસો કે કયો વિકલ્પ $(-2/3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
વિકલ્પ $(b)$ માટે: $3(-2/3) + 3(-1) + 5 = -2 - 3 + 5 = 0$.
આમ,રેખાઓ સંગામી છે.

(A) જો રેખાઓ સંગામી હોય તો સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 7 & -8 & 5 \\ 3 & -4 & 5 \\ 4 & 5 & k \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$7(-4k - 25) + 8(3k - 20) + 5(15 + 16) = 0$
$-28k - 175 + 24k - 160 + 155 = 0$
$-4k - 180 = 0$
$k = -45$

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x - 3 = 0$,$L_2: y - 4 = 0$ અને $L_3: 4x - 3y + a = 0$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેઓ એક જ બિંદુએ છેદશે.
પ્રથમ,$x = 3$ અને $y = 4$ ને ઉકેલીને $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ શોધો.
છેદબિંદુ $(3, 4)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,આ બિંદુ $(3, 4)$ ત્રીજી રેખા $L_3: 4x - 3y + a = 0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 4$ મૂકતા:
$4(3) - 3(4) + a = 0$
$12 - 12 + a = 0$
$a = 0$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 15x - 18y + 1 = 0$,$L_2: 12x + 10y - 3 = 0$,અને $L_3: 6x + 66y - 11 = 0$ છે.
ત્રણ રેખાઓ એકબિંદુગામી હોય જો અચળાંકો $a$ અને $b$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $L_3 = aL_1 + bL_2$ થાય.
રેખીય સંયોજન $3(12x + 10y - 3) - 2(15x - 18y + 1) = (36x - 30x) + (30y + 36y) + (-9 - 2) = 6x + 66y - 11$ ધ્યાનમાં લો.
આ $L_3 = 0$ સાથે મેળ ખાય છે.
જેহেতু $L_3$ ને $L_1$ અને $L_2$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી રેખાઓ એકબિંદુગામી છે.

(A) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -9 \\ 3 & 5 & -5 \\ a & b & -1 \end{array} \right| = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(2(-5) - 5(-9)) - b(1(-5) - 3(-9)) - 1(1(5) - 3(2)) = 0$
$a(-10 + 45) - b(-5 + 27) - 1(5 - 6) = 0$
$35a - 22b + 1 = 0$
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે બિંદુ $(a, b)$ એ રેખા $35x - 22y + 1 = 0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,રેખા બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) જો આપેલી રેખાઓ સંગામી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
આખા સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{-a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$1 - \frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$
$\frac{1-a+a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$

(A) આપેલ રેખાઓ $ax + 2y + 1 = 0$,$bx + 3y + 1 = 0$ અને $cx + 4y + 1 = 0$ છે.
આ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ b & 3 & 1 \\ c & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(3 - 4) - 2(b - c) + 1(4b - 3c) = 0$
$-a - 2b + 2c + 4b - 3c = 0$
$-a + 2b - c = 0$
$2b = a + c$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(-2) - (-3)(2)) - 1(a(-2) - (-3)(3)) - 1(a(2) - 3(3)) = 0$
$2(-6 + 6) - 1(-2a + 9) - 1(2a - 9) = 0$
$2(0) + 2a - 9 - 2a + 9 = 0$
$0 = 0$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $a$ ની કોઈપણ કિંમત માટે શૂન્ય હોવાથી,રેખાઓ $a$ ની તમામ કિંમતો માટે સંગામી છે.

(C) જો રેખાઓ સંગામી હોય તો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left| \begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ b & 5 & -3 \end{array} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5b) - 1(5 + b) = 0$
$-88 + 9 + 15b - 5 - b = 0$
$-84 + 14b = 0$
$14b = 84$
$b = 6$

(D) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 5 & a & -3 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(-3a + 3) + 1(-15 + 6) - 2(5 - 2a) = 0$
$-9a + 9 - 9 - 10 + 4a = 0$
$-5a - 10 = 0$
$a = -2$

(D) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} l & m & n \\ m & n & l \\ n & l & m \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} l + m + n & m & n \\ l + m + n & n & l \\ l + m + n & l & m \end{vmatrix} = 0$
$(l + m + n)$ સામાન્ય લેતા:
$(l + m + n) \begin{vmatrix} 1 & m & n \\ 1 & n & l \\ 1 & l & m \end{vmatrix} = 0$
આમ,સંગામી હોવાની શરત $l + m + n = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $4ax + 3by + c = 0$ છે અને શરત $a + b + c = 0$ છે.
શરત પરથી,આપણે લખી શકીએ $c = -(a + b)$.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4ax + 3by - (a + b) = 0$
$a$ અને $b$ ના પદોને અલગ કરતા:
$a(4x - 1) + b(3y - 1) = 0$
આ સમીકરણ $a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4}$
$3y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{3}$
આમ,રેખાઓ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ બિંદુએ સંગામી છે.

(C) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ સહગુણકો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & q \\ 0 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 \times 5 - (-2) \times 2) - 0 + q(0 \times 2 - 1 \times 3) = 0$
$1(5 + 4) + q(-3) = 0$
$9 - 3q = 0$
$3q = 9$
$q = 3$

(B) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 5,$ $5x + 4y = 4$ અને $\lambda x + 4y = 6$ છે.
જો પ્રથમ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ ત્રીજી રેખા પર આવેલું હોય,તો આ રેખાઓ સંગામી (concurrent) કહેવાય.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(5x + 4y) - (3x + 4y) = 4 - 5 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}.$
$x = -\frac{1}{2}$ ને $3x + 4y = 5$ માં મૂકતા: $3(-\frac{1}{2}) + 4y = 5 \implies -\frac{3}{2} + 4y = 5 \implies 4y = \frac{13}{2} \implies y = \frac{13}{8}.$
છેદબિંદુ $(-\frac{1}{2}, \frac{13}{8})$ છે.
આ બિંદુ $\lambda x + 4y = 6$ પર હોવાથી,$\lambda(-\frac{1}{2}) + 4(\frac{13}{8}) = 6.$
$-\frac{\lambda}{2} + \frac{13}{2} = 6 \implies -\frac{\lambda}{2} = -\frac{1}{2} \implies \lambda = 1.$

(A) આપેલ ત્રણ સીધી રેખાઓ $ax + by - c = 0$,$bx + cy - a = 0$ અને $cx + ay - b = 0$ છે.
આ રેખાઓ સંગામી હોય તે માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a & b & -c \\ b & c & -a \\ c & a & -b \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજા સ્તંભમાંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$-\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$-(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 0$
આ શરત માટે,કાં તો $(a+b+c) = 0$ અથવા નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 0$ હોવો જોઈએ.
સંગામી હોવાની શરત $a + b + c = 0$ છે.

(D) રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$L_1: x + 2y - 3 = 0$
$L_2: 3x + 4y - 7 = 0$
$L_3: 2x + 3y - 4 = 0$
$L_4: 4x + 5y - 6 = 0$
પ્રથમ,ઢાળ $(m = -A/B)$ સરખાવીને સમાંતર રેખાઓ તપાસો:
$m_1 = -1/2, m_2 = -3/4, m_3 = -2/3, m_4 = -4/5$.
કોઈપણ ઢાળ સમાન ન હોવાથી,કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર નથી. તેથી,તેઓ લંબચોરસ બનાવી શકતી નથી.
આગળ,કોઈપણ ત્રણ રેખાઓ માટે સંગામી હોવાની ચકાસણી કરો. $L_1, L_2, L_3$ માટે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & -7 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 1(-16 + 21) - 2(-12 + 14) - 3(9 - 8) = 5 - 4 - 3 = -2 \neq 0$.
નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવાથી,રેખાઓ સંગામી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) રેખાઓ $x - y - 4 = 0$ અને $3x + y - 7 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(x - y - 4) + \lambda(3x + y - 7) = 0$ છે.
તેનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 + 3\lambda)x + (\lambda - 1)y - (4 + 7\lambda) = 0$.
આ રેખા $x + 2y = 1$ ને સમાંતર હોવાથી,સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{1 + 3\lambda}{\lambda - 1} = \frac{1}{2}$.
ગુણાકાર કરતા: $2 + 6\lambda = \lambda - 1$,તેથી $5\lambda = -3$,એટલે કે $\lambda = -\frac{3}{5}$.
$\lambda = -\frac{3}{5}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(x - y - 4) - \frac{3}{5}(3x + y - 7) = 0$.
$5$ વડે ગુણતા: $5x - 5y - 20 - 9x - 3y + 21 = 0$.
પરિણામે $-4x - 8y + 1 = 0$,એટલે કે $4x + 8y - 1 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ ત્યારે જ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
$2ac = b(a + c)$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b$ અને $c$ એ $H.P.$ (હરાત્મક શ્રેણી) માં છે.

(B) જો રેખાઓ સંગામી હોય,તો સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$
$3abc - a^3 - b^3 - c^3 = 0$
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$
નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા
આથી $a + b + c = 0$ અથવા $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
આમ,શરત $a + b + c = 0$ મળે છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોય તે માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સમીકરણોની સિસ્ટમ આ મુજબ છે:
$2x + y - 4 = 0$
$3x + 2y - 3 = 0$
$ax + 3y - 2 = 0$
સંગામી હોવાની શરત:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & -3 \\ a & 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(-2) - (-3)(3)) - 1(3(-2) - (-3)(a)) - 4(3(3) - 2(a)) = 0$
$2(-4 + 9) - 1(-6 + 3a) - 4(9 - 2a) = 0$
$2(5) + 6 - 3a - 36 + 8a = 0$
$10 + 6 - 36 + 5a = 0$
$-20 + 5a = 0$
$5a = 20$
$a = 4$

(B) આપેલ સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે અને શરત $3a + 2b + 4c = 0$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$c = -\frac{3a + 2b}{4}$ મળે.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$ax + by - \frac{3a + 2b}{4} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4ax + 4by - 3a - 2b = 0$
$a$ અને $b$ ના પદોને અલગ કરતા:
$a(4x - 3) + b(4y - 2) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4x - 3 = 0 \implies x = 3/4$
$4y - 2 = 0 \implies y = 2/4 = 1/2$
આમ,સંગામી બિંદુ $(3/4, 1/2)$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $ax + by + c = 0$ $(i)$
આપેલ શરત: $3a - 2b + 5c = 0$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{3}{5}a - \frac{2}{5}b + c = 0$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$a(x - \frac{3}{5}) + b(y + \frac{2}{5}) = 0$
આ $x - \frac{3}{5} = 0$ અને $y + \frac{2}{5} = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું કુળ દર્શાવે છે.
આમ,રેખાઓ બિંદુ $(\frac{3}{5}, -\frac{2}{5})$ આગળ સંગામી છે.
કારણ કે રેખાઓનું કુળ $L_1 + \lambda L_2 = 0$ એ $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુએ સંગામી હોય છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ છે.
$k$ ને અલગ પાડતા:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$.
આ સમીકરણ $2x + y - 5 = 0$ અને $x + y - 7 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ દર્શાવે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x + y = 5$
$x + y = 7$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 5 - 7$
$x = -2$.
$x = -2$ ને $x + y = 7$ માં મૂકતા:
$-2 + y = 7 \implies y = 9$.
આમ,બધી રેખાઓ નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 9)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-a, -b)$,$B(0, 0)$,$C(a, b)$ અને $D(a^2, ab)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તેમની વચ્ચેનો ઢાળ ચકાસીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.
$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે $CD$ નો ઢાળ $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (જ્યાં $a \neq 1, 0$).
$AB, BC$ અને $CD$ ત્રણેયનો ઢાળ $\frac{b}{a}$ હોવાથી,ચારેય બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) $x + y - 3 = 0$ અને $2x - y + 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(x + y - 3) + \lambda(2x - y + 1) = 0$ છે.
આ રેખા $(2, -3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x = 2$ અને $y = -3$ મૂકતા:
$(2 - 3 - 3) + \lambda(2(2) - (-3) + 1) = 0$
$-4 + \lambda(4 + 3 + 1) = 0$
$-4 + 8\lambda = 0$
$8\lambda = 4 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
હવે $\lambda = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y - 3) + \frac{1}{2}(2x - y + 1) = 0$
$2(x + y - 3) + (2x - y + 1) = 0$
$2x + 2y - 6 + 2x - y + 1 = 0$
$4x + y - 5 = 0$.

(C) પગલું $1$: રેખાઓ $4x - 3y = 1$ અને $5x - 2y = 3$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા: $8x - 6y = 2$ અને $15x - 6y = 9$.
બાદબાકી કરતા: $7x = 7$,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ ને $4(1) - 3y = 1$ માં મુકતા,$3y = 3$,તેથી $y = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
પગલું $2$: રેખા $2x - 3y + 2 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
આ રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી: $2(1) - 3(1) + k = 0$.
$2 - 3 + k = 0$,તેથી $k = 1$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $2x - 3y + 1 = 0$ છે.

(B) આપેલા બિંદુઓ સમરેખ હોય જો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
$\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \sec^2 \theta & 1 \\ \csc^2 \theta & 0 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(\sec^2 \theta - 0) - 1(0 - \csc^2 \theta) + 1(0 - \sec^2 \theta \csc^2 \theta) = 0$
$\sec^2 \theta + \csc^2 \theta - \sec^2 \theta \csc^2 \theta = 0$
$\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$0 = 0$
આ નિત્યસમ તમામ $\theta$ માટે સાચું છે જ્યાં $\sec^2 \theta$ અને $\csc^2 \theta$ વ્યાખ્યાયિત હોય.
કારણ કે $\theta = \frac{n\pi}{2}$ પર $\sec^2 \theta$ અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી બિંદુઓ $\theta \neq \frac{n\pi}{2}$ માટે સમરેખ છે.

(A) રેખાઓ $ax + 2by + 3b = 0$ અને $bx - 2ay - 3a = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(ax + 2by + 3b) + \lambda(bx - 2ay - 3a) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(a + \lambda b)x + (2b - 2a\lambda)y + (3b - 3a\lambda) = 0$ મળે.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a + \lambda b = 0$,જે $\lambda = -a/b$ આપે છે.
$\lambda = -a/b$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ax + 2by + 3b) - \frac{a}{b}(bx - 2ay - 3a) = 0$
$ax + 2by + 3b - ax + \frac{2a^2}{b}y + \frac{3a^2}{b} = 0$
$y(2b + \frac{2a^2}{b}) + (3b + \frac{3a^2}{b}) = 0$
$y(\frac{2b^2 + 2a^2}{b}) = -(\frac{3b^2 + 3a^2}{b})$
$y = -\frac{3(a^2 + b^2)}{2(a^2 + b^2)} = -\frac{3}{2}$.
આમ,રેખા $y = -3/2$ છે,જે $x$-અક્ષથી $3/2$ એકમ નીચે છે.