Angle between two straight lines Questions in Gujarati

(A) $(3, -2)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = m(x - 3)$ છે ..... $(i)$
આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^o$ હોવાથી,$\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan 60^o = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right| \implies \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3m \implies 4m = 0 \implies m = 0$.
કિસ્સો $2$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + 3m \implies 2m = 2\sqrt{3} \implies m = \sqrt{3}$.
$m = 0$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $y + 2 = 0(x - 3) \implies y + 2 = 0$.
$m = \sqrt{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $y + 2 = \sqrt{3}(x - 3) \implies y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3} \implies \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$.

(B) આપેલ રેખા $x - 2y = 3$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
$1 = \left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે: $2m - 1 = m + 2$ અથવા $2m - 1 = -(m + 2)$.
કિસ્સો $1$: $m = 3$. સમીકરણ $y - 2 = 3(x - 3)$ $\Rightarrow y - 2 = 3x - 9$ $\Rightarrow 3x - y - 7 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $2m - 1 = -m - 2$ $\Rightarrow 3m = -1$ $\Rightarrow m = -1/3$. સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ $\Rightarrow 3y - 6 = -x + 3$ $\Rightarrow x + 3y - 9 = 0$ છે.
આમ,સમીકરણો $3x - y - 7 = 0$ અને $x + 3y - 9 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખા $x + y\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 3$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી તે ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta_1 = 150^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. આ રેખાઓ અને આપેલ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 60^{\circ} = |\frac{m - (-1/\sqrt{3})}{1 + m(-1/\sqrt{3})}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - m}|$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3}(\sqrt{3} - m) = m\sqrt{3} + 1$ $\Rightarrow 3 - m\sqrt{3} = m\sqrt{3} + 1$ $\Rightarrow 2m\sqrt{3} = 2$ $\Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$. રેખા $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અથવા $x - y\sqrt{3} = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{3}(\sqrt{3} - m) = -(m\sqrt{3} + 1)$ $\Rightarrow 3 - m\sqrt{3} = -m\sqrt{3} - 1$ $\Rightarrow 3 = -1$,જે અશક્ય છે,જેનો અર્થ છે કે રેખા શિરોલંબ $(m \to \infty)$ છે. રેખા $x = 0$ છે.
આમ,રેખાઓ $x = 0$ અને $x - y\sqrt{3} = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x + 5y = 7$ અને $L_2: 2x - 5y = 9$ છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
$L_1$ માટે: $5y = -2x + 7 \implies y = -\frac{2}{5}x + \frac{7}{5}$,તેથી ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{5}$.
$L_2$ માટે: $-5y = -2x + 9 \implies y = \frac{2}{5}x - \frac{9}{5}$,તેથી ઢાળ $m_2 = \frac{2}{5}$.
અહીં $m_1 \neq m_2$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર નથી.
$m_1 \times m_2 = (-\frac{2}{5}) \times (\frac{2}{5}) = -\frac{4}{25} \neq -1$ હોવાથી,રેખાઓ લંબ નથી.
ઢાળ અલગ હોવાથી,રેખાઓ એક બિંદુએ છેદશે.
તેથી,રેખાઓ છેદતી છે.

(B) રેખા $y = 3$ નો ઢાળ $m_1 = 0$ છે (કારણ કે તે આડી રેખા છે).
રેખા $y = \sqrt{3}x + 9$ નો ઢાળ $m_2 = \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ છે.
તો,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$.
$\tan \theta = |\frac{\sqrt{3} - 0}{1 + 0 \times \sqrt{3}}| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = 60^o$.

(B) આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 2 - \sqrt{3}$ અને $m_2 = 2 + \sqrt{3}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})}{1 + (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}|$.
$\tan \theta = |\frac{-2\sqrt{3}}{1 + (4 - 3)}| = |\frac{-2\sqrt{3}}{2}| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(C) રેખાઓના સમીકરણો અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1$ મુજબ:
રેખા $1$: $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1 \implies y = \frac{b}{a}x - b$. તેથી,ઢાળ $m_1 = \frac{b}{a}$.
રેખા $2$: $\frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 1 \implies y = \frac{a}{b}x - a$. તેથી,ઢાળ $m_2 = \frac{a}{b}$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{\frac{b}{a} - \frac{a}{b}}{1 + 1}| = |\frac{b^2 - a^2}{2ab}|$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} |\frac{b^2 - a^2}{2ab}|$.

(D) રેખા $AB$ નો ઢાળ $(m_1)$ $\frac{-2 - 2}{12 - (-4)} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$ છે.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $(m_2)$ $\frac{6 - (-2)}{8 - 12} = \frac{8}{-4} = -2$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-1/4 - (-2)}{1 + (-1/4)(-2)} \right| = \left| \frac{-1/4 + 2}{1 + 1/2} \right| = \left| \frac{7/4}{3/2} \right| = \frac{7}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
તેથી,$\angle B = \tan^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ છે.
તેને $bx + ay - ab = 0$ અને $bx - ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -\frac{b}{a}$ અને $m_2 = \frac{b}{a}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{2b}{a}}{1 - \frac{b^2}{a^2}} \right| = \left| \frac{2ab}{a^2 - b^2} \right|$.
નિત્યસમ $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,ખૂણો $2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 3$ અને $m_2 = \frac{1}{2}$ છે. ધારો કે ત્રીજી રેખાનો ઢાળ $m_3 = m$ છે.
રેખાઓ ત્રીજી રેખા સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,પ્રથમ અને ત્રીજી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો એ બીજી અને ત્રીજી રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ થાય.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = |\frac{m_a - m_b}{1 + m_a m_b}|$,આપણને મળે છે:
$|\frac{3 - m}{1 + 3m}| = |\frac{2m - 1}{2 + m}|$
આ સમીકરણ ઉકેલતા $7m^2 - 2m - 7 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખા પરના અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પ્રથમ રેખા $x \cos \alpha_1 + y \sin \alpha_1 = p_1$ માટે,અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha_1$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,રેખા પોતે $x$-અક્ષ સાથે $\theta_1 = \frac{\pi}{2} + \alpha_1$ ખૂણો બનાવે છે.
બીજી રેખા $x \cos \alpha_2 + y \sin \alpha_2 = p_2$ માટે,અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha_2$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,રેખા પોતે $x$-અક્ષ સાથે $\theta_2 = \frac{\pi}{2} + \alpha_2$ ખૂણો બનાવે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = |\theta_1 - \theta_2| = |(\frac{\pi}{2} + \alpha_1) - (\frac{\pi}{2} + \alpha_2)| = |\alpha_1 - \alpha_2|$ થાય.

(B) આપેલ રેખાઓ અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં છે.
પ્રથમ રેખા $x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = 3$ માટે,અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha_1 = 30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બીજી રેખા $x \cos 60^\circ + y \sin 60^\circ = 5$ માટે,અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha_2 = 60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો હોય છે.
તેથી,$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1| = |60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $y = 2x + 9$ અને $y = -\frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$ છે.
તેમને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,તેથી બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
આથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ અને $L_2: \frac{x}{b'} + \frac{y}{a'} = 1$ છે.
ઢાળ-આંતરછેદ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા:
$L_1: y = -\frac{b}{a}x + b$,તેથી ઢાળ $m_1 = -\frac{b}{a}$.
$L_2: y = -\frac{a'}{b'}x + a'$,તેથી ઢાળ $m_2 = -\frac{a'}{b'}$.
બે રેખાઓ લંબ હોય જો $m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
$m_1 \times m_2 = (-\frac{b}{a}) \times (-\frac{a'}{b'}) = \frac{ba'}{ab'}$.
આપેલ શરત: $\frac{1}{ab'} + \frac{1}{ba'} = 0 \implies ba' + ab' = 0 \implies ba' = -ab'$.
ઢાળના ગુણાકારમાં આ કિંમત મૂકતા: $m_1 \times m_2 = \frac{-ab'}{ab'} = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(A) ધારો કે $L_1 \equiv 2x + 3y - 7 = 0$ અને $L_2 \equiv 2x + 3y - 5 = 0$.
રેખા $ax + by + c = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ દ્વારા મળે છે.
$L_1$ માટે,ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$.
$L_2$ માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{3}$.
$m_1 = m_2$ હોવાથી,રેખાઓ સમાન ઢાળ ધરાવે છે પરંતુ અલગ અંતઃખંડ ધરાવે છે,તેથી તે એકબીજાને સમાંતર છે.

(B) રેખા $x = 2$ એ શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_1$ અવ્યાખ્યાયિત (અથવા $\infty$) છે.
રેખા $x - 3y = 6$ ને $3y = x - 6$ અથવા $y = \frac{1}{3}x - 2$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{3}$ છે.
શિરોલંબ રેખા અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{1}{m} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = \frac{1}{3}$,તેથી $\tan \theta = \left| \frac{1}{1/3} \right| = 3$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(C) આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 2 + \sqrt{3}$ અને $m_2 = k$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ હોવાથી,આપણે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 60^{\circ} = \left| \frac{2 + \sqrt{3} - k}{1 + k(2 + \sqrt{3})} \right| = \sqrt{3}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{2 + \sqrt{3} - k}{1 + k(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{3} \implies k = 2 - \sqrt{3}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{2 + \sqrt{3} - k}{1 + k(2 + \sqrt{3})} = -\sqrt{3} \implies k = -1$.

(A) આપેલ રેખા $(\sqrt{3} - 1)x = (\sqrt{3} + 1)y$ છે,જેને $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}x$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$.
તેથી,રેખાનો ઢાળ $m_1 = \tan(15^{\circ})$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $75^{\circ}$ છે,તેથી $\tan(75^{\circ}) = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$.
$\tan(75^{\circ}) = \cot(15^{\circ}) = \frac{1}{\tan(15^{\circ})}$ હોવાથી,$m_2$ એ $y$-અક્ષનો ઢાળ દર્શાવે છે,જે અવ્યાખ્યાયિત છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને અવ્યાખ્યાયિત ઢાળ ધરાવતી રેખા $y$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $x = 0$ છે.

(B) રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ના ઢાળ $m_1 = -\frac{a_1}{b_1}$ અને $m_2 = -\frac{a_2}{b_2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_1a_2 + b_1b_2} \right|$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cot^{-1} \left| \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) પ્રથમ રેખા $2x - y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{-1} = 2$ છે.
બીજી રેખા $x + 2y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ છે.
તેથી,બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
આમ,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x - y\sqrt{3} = 5$ અને $L_2: \sqrt{3}x + y = 7$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ નીચે મુજબ મળે છે:
$L_1$ માટે,$m_1 = -\frac{1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$L_2$ માટે,$m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$.
અહીં $m_1 \times m_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times (-\sqrt{3}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $2x - y - 15 = 0$ $(i)$ અને $3x + y + 4 = 0$ $(ii)$ છે.
તેમને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -3$ મળે છે.
જો રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + (2)(-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ હોવાથી $\theta = 45^\circ$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે. બિંદુઓ $(3, -4)$ અને $(-2, 6)$ છે.
$m_1 = \frac{6 - (-4)}{-2 - 3} = \frac{10}{-5} = -2$
ધારો કે બીજી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે. બિંદુઓ $(-3, 6)$ અને $(9, -18)$ છે.
$m_2 = \frac{-18 - 6}{9 - (-3)} = \frac{-24}{12} = -2$
અહીં $m_1 = m_2 = -2$ હોવાથી,બંને રેખાઓ સમાંતર છે.

(C) રેખા $2x + 3ay - 1 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3a}$ છે.
રેખા $3x + 4y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{3}{4}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\left(-\frac{2}{3a}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$.
$\frac{6}{12a} = -1$.
$\frac{1}{2a} = -1$.
$2a = -1$.
$a = -\frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ અને $B(a \cos \beta, a \sin \beta)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $P$ એ $P\left( \frac{a(\cos \alpha + \cos \beta)}{2}, \frac{a(\sin \alpha + \sin \beta)}{2} \right)$ છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\cos \beta - \cos \alpha} = -\cot(\frac{\alpha + \beta}{2})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $OP$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \tan(\frac{\alpha + \beta}{2})$ છે.
હવે,$m_1 \times m_2 = -\cot(\frac{\alpha + \beta}{2}) \times \tan(\frac{\alpha + \beta}{2}) = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(B) રેખાઓના સમીકરણો $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ છે.
પ્રથમ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{a_1}{b_1}$ છે.
બીજી રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{a_2}{b_2}$ છે.
જો રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$\left(-\frac{a_1}{b_1}\right) \times \left(-\frac{a_2}{b_2}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{a_1a_2}{b_1b_2} = -1$.
$\Rightarrow a_1a_2 = -b_1b_2$.
$\Rightarrow a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

(B) આપેલ રેખાઓ $y = 2x$ અને $y = -\frac{1}{2}x$ છે.
તેમને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(B) રેખા $mx + 2y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{m}{2}$ છે.
રેખા $2x + 3y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{3}$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( -\frac{m}{2} \right) \times \left( -\frac{2}{3} \right) = -1$.
$\frac{m}{3} = -1$.
તેથી,$m = -3$.

(A) રેખા $2x + y + 6 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -2$ છે.
રેખા $x - 2y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{2}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = (-2) \times (\frac{1}{2}) = -1$ થાય છે,જે દર્શાવે છે કે રેખાઓ લંબ છે.
બીજી રેખા $x - 2y + 5 = 0$ બિંદુ $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે કે નહીં તે ચકાસતા: $x=1$ અને $y=3$ મૂકતા,$1 - 2(3) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $(1, 3)$ રેખા પર આવેલું છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $7x + 3y + 9 = 0$ છે,જેને $3y = -7x - 9$ અથવા $y = -\frac{7}{3}x - 3$ તરીકે લખી શકાય. તેથી ઢાળ $m_1 = -\frac{7}{3}$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $y = kx + 7$ છે. તેથી ઢાળ $m_2 = k$ છે.
જો બે રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$(-\frac{7}{3}) \times k = -1$.
તેથી,$k = \frac{3}{7}$.

(B) રેખા $y = -2$ નો ઢાળ $m_1 = 0$ છે.
રેખા $y = x + 2$ નો ઢાળ $m_2 = 1$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{0 - 1}{1 + (0)(1)} \right| = |-1| = 1$.
તેથી,લઘુકોણ $\theta = 45^o$ મળે છે.
ગુરૂકોણ $180^o - 45^o = 135^o$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓ $2x - y + 5 = 0$ અને $3x + y + 4 = 0$ છે.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -3$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + (2)(-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^o$ મળે છે.

(C) પ્રથમ રેખા $x = 9$ છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે. તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
બીજી રેખા $x - \sqrt{3}y + 7 = 0$ છે,જેને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{7}{\sqrt{3}}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
પ્રથમ રેખા શિરોલંબ હોવાથી ($x$-અક્ષ સાથે $90^\circ$),બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $|90^\circ - 30^\circ| = 60^\circ$ થાય.

(B) પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ $y = 3$ છે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર આડી રેખા છે. તેનો ઢાળ $m_1 = 0$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x + 9$ છે. તેને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_2 = \sqrt{3}$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}|$.
$\tan \theta = |\frac{\sqrt{3} - 0}{1 + 0 \times \sqrt{3}}| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ મળે છે.

(A, B) ધારો કે આપેલ રેખા $2x + 3y = 5$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = |\frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)}|$
$1 = |\frac{3m + 2}{3 - 2m}|$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{3m + 2}{3 - 2m} = 1 \implies 3m + 2 = 3 - 2m \implies 5m = 1 \implies m = \frac{1}{5}$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{1}{5}(x - 2) \implies 5y - 15 = x - 2 \implies x - 5y + 13 = 0$.
કિસ્સો $2$: $\frac{3m + 2}{3 - 2m} = -1 \implies 3m + 2 = -3 + 2m \implies m = -5$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = -5(x - 2) \implies y - 3 = -5x + 10 \implies 5x + y - 13 = 0$.
આમ,શક્ય સમીકરણો $x - 5y + 13 = 0$ અથવા $5x + y - 13 = 0$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $y = 1x + 5$ અને $y = \sqrt{3}x - 4$ છે.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = \sqrt{3}$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + (1)(\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right|$.
સાદુરૂપ આપતા: $\tan \theta = 2 - \sqrt{3}$.
આમ,$\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 15^\circ$ મળે.

(A) બિંદુ $(3, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = m(x - 3)$ છે.
આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ માટે,$\tan(60^{\circ}) = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies m = 0$.
સમીકરણ: $y + 2 = 0$.
કિસ્સો $2$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies m = \sqrt{3}$.
સમીકરણ: $\sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$.

(C) પ્રથમ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
બીજી રેખા $4x + ky - 8 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{4}{k}$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોય ત્યારે તેમના ઢાળ સમાન હોય છે,તેથી $m_1 = m_2$.
$-\frac{3}{4} = -\frac{4}{k}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3k = 16$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{16}{3}$.

(B) ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ અનુક્રમે $BA$ અને $BC$ ના ઢાળ છે.
$m_1 = \frac{3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$m_2 = \frac{-4 - 3}{-2 - 2} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}$
ધારો કે $BA$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો,
$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{7}{4} - \frac{1}{2}}{1 + (\frac{7}{4} \times \frac{1}{2})} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{4}}{\frac{15}{8}} \right| = \left| \frac{5}{4} \times \frac{8}{15} \right| = \frac{2}{3}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) આપેલ રેખા $x - \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
ધારો કે માંગેલ રેખાઓનો ઢાળ $m'$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m' - m}{1 + m'm} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m' - 1/\sqrt{3}}{1 + m'/\sqrt{3}} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{\sqrt{3}m' - 1}{\sqrt{3} + m'} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}m' - 1}{\sqrt{3} + m'}$ $\Rightarrow 3 + \sqrt{3}m' = \sqrt{3}m' - 1$ $\Rightarrow 3 = -1$ (અશક્ય,જે શિરોલંબ રેખા સૂચવે છે).
$(7, 9)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x = 7$ છે.
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}m' - 1}{\sqrt{3} + m'}$ $\Rightarrow -3 - \sqrt{3}m' = \sqrt{3}m' - 1$ $\Rightarrow 2\sqrt{3}m' = -2$ $\Rightarrow m' = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 9 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 7)$ $\Rightarrow \sqrt{3}y - 9\sqrt{3} = -x + 7$ $\Rightarrow x + \sqrt{3}y = 7 + 9\sqrt{3}$.
આમ,સમીકરણો $x = 7$ અને $x + \sqrt{3}y = 7 + 9\sqrt{3}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 0), B(2, 3)$ અને $C(2, -2), D(3, 5)$ છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}$ છે.
રેખા $CD$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{5 - (-2)}{3 - 2} = \frac{7}{1} = 7$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $tan\theta = \left| \frac{\frac{3}{2} - 7}{1 + (\frac{3}{2})(7)} \right| = \left| \frac{\frac{3 - 14}{2}}{1 + \frac{21}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{11}{2}}{\frac{23}{2}} \right| = \left| -\frac{11}{23} \right| = \frac{11}{23}$.
તેથી,$\theta = tan^{-1}\left(\frac{11}{23}\right)$.

(D) આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 3$ અને $m_2 = \frac{1}{2}$ છે. ધારો કે ત્રીજી રેખાનો ઢાળ $m_3 = m$ છે.
રેખા $y = mx + 4$ અન્ય બે રેખાઓ સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી:
$|\frac{m - 3}{1 + 3m}| = |\frac{m - 1/2}{1 + m/2}|$
$|\frac{m - 3}{1 + 3m}| = |\frac{2m - 1}{2 + m}|$
કિસ્સો $1$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = \frac{2m - 1}{2 + m}$
$(m - 3)(m + 2) = (2m - 1)(3m + 1)$
$m^2 - m - 6 = 6m^2 - m - 1$
$5m^2 = -5 \Rightarrow m^2 = -1$ (વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -(\frac{2m - 1}{2 + m})$
$(m - 3)(m + 2) = -(2m - 1)(3m + 1)$
$m^2 - m - 6 = -6m^2 + m + 1$
$7m^2 - 2m - 7 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(7)(-7)}}{14} = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(B) આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ છે,જેનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m_1 = 0$. રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = 0$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m_1 = \sqrt{3}$. રેખાનું સમીકરણ $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ મળે.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે. આપેલી રેખા $y = mx + c$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m$ છે. બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = tan^{-1} m$ આપેલ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર વાપરતા: $tan \theta = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$.
$\theta = tan^{-1} m$ મૂકતા,આપણને $m = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = m \implies m_1 - m = m + m_1 m^2 \implies m_1(1 - m^2) = 2m \implies m_1 = \frac{2m}{1 - m^2}$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m_1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = m_1 x$ છે,તેથી $y = \frac{2m}{1 - m^2} x$,જેનું સાદું રૂપ $(1 - m^2)y = 2mx$ અથવા $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = -m \implies m_1 - m = -m - m_1 m^2 \implies m_1(1 + m^2) = 0 \implies m_1 = 0$.
રેખાનું સમીકરણ $y = 0x$ એટલે કે $y = 0$ થાય છે.
આમ,સમીકરણો $y = 0$ અને $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખા $x - \sqrt{3}y + 5 = 0$ છે.
તેને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા,$\sqrt{3}y = x + 5$,એટલે કે $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{5}{\sqrt{3}}$.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
$y$-અક્ષ એ શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2$ અવ્યાખ્યાયિત છે (અથવા તે $x$-અક્ષ સાથે $90^o$ નો ખૂણો બનાવે છે).
રેખા અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{1}{m}|$ છે.
અહીં,$\tan \theta = |\frac{1}{1/\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(D) જો બે રેખાઓ એક સામાન્ય રેખાને લંબ હોય,તો તેઓ એકબીજાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
પ્રથમ રેખાનો ઢાળ $m_1 = p(p^2 + 1)$ છે.
બીજી રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{(p^2 + 1)^2}{p^2 + 1} = -(p^2 + 1)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે,$m_1 = m_2$ હોવું જોઈએ.
$p(p^2 + 1) = -(p^2 + 1)$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $p$ માટે $p^2 + 1 \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $(p^2 + 1)$ વડે ભાગતા:
$p = -1$.
આમ,$p$ ના એક ચોક્કસ મૂલ્ય માટે રેખાઓ એક સામાન્ય રેખાને લંબ છે.

(A) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
આપેલ રેખાઓ $3x - 4y - 7 = 0$ અને $12x - 5y + 6 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \frac{3}{4}$ અને $m_2 = \frac{12}{5}$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાઓ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી ખૂણો સમાન છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}| = |\frac{m - m_2}{1 + m m_2}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\frac{4m - 3}{4 + 3m}| = |\frac{5m - 12}{5 + 12m}|$
ઉકેલતા $63m^2 - 32m - 63 = 0$ મળે છે.
$m$ ની કિંમતો $m = \frac{9}{7}$ અને $m = -\frac{7}{9}$ મળે છે.
બિંદુ $(4, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = m(x - 4)$ છે.
$m = 9/7$ માટે $9x - 7y = 1$ અને $m = -7/9$ માટે $7x + 9y = 73$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: y = x - 5$ અને $L_2: y = \sqrt{3}x + 7$ છે.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = \sqrt{3}$ મળે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = |\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + (1)(\sqrt{3})}| = |\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}|$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\tan \theta = |\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1}| = |\frac{3 + 1 - 2\sqrt{3}}{2}| = |\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}| = |2 - \sqrt{3}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^o = 2 - \sqrt{3}$,તેથી $\theta = 15^o$ મળે છે.

(A) રેખાઓના ઢાળ નીચે મુજબ છે:
$L_1: y = x - 1, m_1 = 1.$
$L_2: y = -x + 1, m_2 = -1.$
$L_3: y = -x + 2.5, m_3 = -1.$
$L_4: y = x - 3.5, m_4 = 1.$
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી $L_1 \perp L_2.$
$m_2 = m_3 = -1$ હોવાથી $L_2 \parallel L_3.$
$m_1 = m_4 = 1$ હોવાથી $L_1 \parallel L_4.$

(A) જો બે રેખાઓ એક સામાન્ય રેખાને લંબ હોય,તો તેઓ એકબીજાને સમાંતર હોવી જોઈએ.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
પ્રથમ રેખા $p(p^2 + 1)x - y + q = 0$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{p(p^2 + 1)}{1} = p(p^2 + 1)$.
બીજી રેખા $(p^2 + 1)^2x + (p^2 + 1)y + 2q = 0$ માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{(p^2 + 1)^2}{p^2 + 1} = -(p^2 + 1)$.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,$m_1 = m_2$.
$p(p^2 + 1) = -(p^2 + 1)$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $p$ માટે $p^2 + 1 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $(p^2 + 1)$ વડે ભાગી શકીએ.
$p = -1$.
આમ,$p$ ની બરાબર એક કિંમત મળે છે.