Bisector of angle between two lines Questions in Gujarati

(B) ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: $21x + 77y - 101 = 0$
કિસ્સો $2$: $11x - 3y + 9 = 0$
લઘુકોણના દ્વિભાજકને ઓળખવા માટે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો. અહીં $a_1=3, b_1=-4, a_2=12, b_2=5$ છે.
$a_1a_2 + b_1b_2 = 36 - 20 = 16 > 0$.
જ્યારે $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ હોય,ત્યારે લઘુકોણનો દ્વિભાજક $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = -\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ દ્વારા મળે છે,જે $11x - 3y + 9 = 0$ છે.

(B) ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5}$ થાય છે,એટલે કે $\sqrt{5}(x - 2y + 4) = \pm (4x - 3y + 2)$.
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = 4x - 3y + 2$,જેનું સાદું રૂપ $(4 - \sqrt{5})x - (3 - 2\sqrt{5})y + (2 - 4\sqrt{5}) = 0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = -4x + 3y - 2$,જેનું સાદું રૂપ $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ થાય છે.
ગુરુકોણ દ્વિભાજક નક્કી કરવા માટે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો. અહીં $a_1a_2 + b_1b_2 = (1)(4) + (-2)(-3) = 10 > 0$. નિશાની ધન હોવાથી,ઋણ ચિહ્ન વાળું સમીકરણ ગુરુકોણનો દ્વિભાજક છે.
આમ,સમીકરણ $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ છે.

(A) $x$-અક્ષ $y = 0$ દ્વારા અને $y$-અક્ષ $x = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યામ અક્ષોના ખૂણાના દ્વિભાજકો એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ છે જે ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ અને $135^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ અને $\tan(135^{\circ}) = -1$ છે.
આમ,દ્વિભાજકોના સમીકરણો $y = 1x$ અને $y = -1x$ છે,જેને $y = \pm x$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) રેખાઓ $L_1: x + 2y - 11 = 0$ અને $L_2: 3x - 6y - 5 = 0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x + 2y - 11}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3x - 6y - 5}{3\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$3(x + 2y - 11) = \pm (3x - 6y - 5)$.
કિસ્સો $1$: $3x + 6y - 33 = 3x - 6y - 5 \implies 3y = 7$.
કિસ્સો $2$: $3x + 6y - 33 = -3x + 6y + 5 \implies 3x = 19$.
બિંદુ $(1, -3)$ માટે ચકાસતા,સાચો દ્વિભાજક $3x = 19$ મળે છે.

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$
આપેલ રેખાઓ $3x + 4y - 7 = 0$ અને $12x + 5y + 17 = 0$ માટે:
$a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = -7$
$a_2 = 12, b_2 = 5, c_2 = 17$
છેદની કિંમત શોધતા:
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3x + 4y - 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y + 17}{13}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) રેખાઓના સમીકરણો $L_1: 4x - 3y + 7 = 0$ અને $L_2: 3x - 4y + 14 = 0$ છે.
દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{4x - 3y + 7}{5} = \pm \frac{3x - 4y + 14}{5}$ છે,જે $4x - 3y + 7 = \pm(3x - 4y + 14)$ તરીકે સરળ બને છે.
ધન ચિહ્ન માટે: $x + y - 7 = 0$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $7x - 7y + 21 = 0 \implies x - y + 3 = 0$.
$a_1a_2 + b_1b_2 = 24 > 0$ હોવાથી,ઋણ ચિહ્ન વાળું સમીકરણ લઘુકોણનો દ્વિભાજક દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $x - y + 3 = 0$ છે.

(B) બે રેખાઓ $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ ખૂણાના દ્વિભાજક દ્વારા મળે છે: $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
આપેલ રેખાઓ માટે સમીકરણો: $\frac{3x + 4y - 11}{5} = \pm \frac{12x + 5y + 2}{13}$ છે.
કિસ્સો $1$ (ધન ચિહ્ન): $13(3x + 4y - 11) = 5(12x + 5y + 2) \implies 21x - 27y + 153 = 0$.
કિસ્સો $2$ (ઋણ ચિહ્ન): $13(3x + 4y - 11) = -5(12x + 5y + 2) \implies 99x + 77y - 133 = 0$.
ઉગમબિંદુની નજીકનો દ્વિભાજક $99x + 77y - 133 = 0$ છે.

(B) $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બિંદુ $D$ પર બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
લંબાઈની ગણતરી: $AB = 3\sqrt{2}$ અને $AC = 4\sqrt{2}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $3:4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$D = \left( \frac{31}{7}, 1 \right)$.
$AD$ નો ઢાળ $m_{AD} = 0$ છે.
આમ,$AD$ એ આડી રેખા $(y=1)$ છે,તેથી $C(5, 5)$ માંથી પસાર થતી અને તેને લંબ રેખા શિરોલંબ હશે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $x - 5 = 0$ છે.

(A) રેખા $L_1: y = x$ અને $L_3: y = -2$ માટે,છેદબિંદુ $P$ એ $(-2, -2)$ છે.
રેખા $L_2: y = -2x$ અને $L_3: y = -2$ માટે,છેદબિંદુ $Q$ એ $(1, -2)$ છે.
અંતર $PQ = |1 - (-2)| = 3$.
ખૂણાના દ્વિભાજકનું પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. બાજુઓની લંબાઈ $OP = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$ અને $OQ = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
$\angle POQ$ નો દ્વિભાજક $PQ$ ને $OP:OQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
આમ,$PR:RQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$.
વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ ખૂણાના દ્વિભાજકનું પ્રમેય છે,જે એક પ્રમાણિત ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે,અને તે વિધાન-$1$ માં ગુણોત્તરની ગણતરી માટે સાચી સમજૂતી છે.

(C) રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણો $21x + 77y - 101 = 0$ અને $11x - 3y + 9 = 0$ છે.
રેખા $3x - 4y + 7 = 0$ (ઢાળ $m_1 = 3/4$) અને દ્વિભાજક $11x - 3y + 9 = 0$ (ઢાળ $m_2 = 11/3$) વચ્ચેનો ખૂણો ચકાસતા:
$\tan \theta = |\frac{11/3 - 3/4}{1 + (11/3)(3/4)}| = |\frac{35}{45}| = \frac{7}{9} < 1$.
તેથી,$11x - 3y + 9 = 0$ એ લઘુકોણનો દ્વિભાજક છે.

(C) ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. તે $(1, -10)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y + 10 = m(x - 1)$ છે.
ત્રીજી બાજુ આપેલ બે બાજુઓ સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}$
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m = -3$ અથવા $m = 1/3$ મળે છે.
$m = -3$ માટે,રેખા $3x + y + 7 = 0$ મળે છે.
$m = 1/3$ માટે,રેખા $x - 3y - 31 = 0$ મળે છે.
આમ,ત્રીજી બાજુના શક્ય સમીકરણો $3x + y + 7 = 0$ અથવા $x - 3y - 31 = 0$ છે.

(A) પ્રથમ,અચળ પદોને ધન બનાવો:
$3x - 4y + 7 = 0$ અને $-12x - 5y + 2 = 0$.
$a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(-12) + (-4)(-5) = -36 + 20 = -16$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $a_1a_2 + b_1b_2 < 0$ હોવાથી,ઋણ ચિહ્ન ગુરુકોણનો દ્વિભાજક આપે છે.
$\frac{3x - 4y + 7}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = -\frac{-12x - 5y + 2}{\sqrt{(-12)^2 + (-5)^2}}$
$\frac{3x - 4y + 7}{5} = -\frac{-12x - 5y + 2}{13}$
$13(3x - 4y + 7) = -5(-12x - 5y + 2)$
$39x - 52y + 91 = 60x + 25y - 10$
$21x + 77y - 101 = 0$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 7 = 0$ અને $L_2: 12x + 5y - 2 = 0$ છે.
પ્રથમ,અચળ પદોને ધન બનાવો:
$L_1: 3x - 4y + 7 = 0$
$L_2: -12x - 5y + 2 = 0$
હવે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો:
$a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(-12) + (-4)(-5) = -36 + 20 = -16 < 0$.
કિંમત ઋણ હોવાથી,દ્વિભાજકના સૂત્રમાં ધન ચિહ્ન લઘુકોણનો દ્વિભાજક આપે છે:
$\frac{3x - 4y + 7}{5} = \frac{-12x - 5y + 2}{13}$
$13(3x - 4y + 7) = 5(-12x - 5y + 2)$
$39x - 52y + 91 = -60x - 25y + 10$
$99x - 27y + 81 = 0$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $11x - 3y + 9 = 0$ મળે છે.

(C) કોણ દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5}$ છે.
અહીં $a_1a_2 + b_1b_2 = (1)(4) + (-2)(-3) = 10 > 0$ હોવાથી,ઋણ ચિહ્ન વાળું સમીકરણ ગુરૂકોણનો દ્વિભાજક દર્શાવે છે.
તેથી,$(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ એ માંગેલ સમીકરણ છે.

(A) રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ખાતરી કરો કે અચળ પદો $c_1$ અને $c_2$ ધન છે. રેખાઓને $-3x + 4y - 7 = 0$ અને $12x - 5y - 8 = 0$ તરીકે ફરીથી લખો. અચળ પદોને ધન બનાવવા માટે,$3x - 4y + 7 = 0$ અને $-12x + 5y + 8 = 0$ નો ઉપયોગ કરો.
હવે,$\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{-12x + 5y + 8}{13}$.
ધન ચિહ્ન લેતા: $13(3x - 4y + 7) = 5(-12x + 5y + 8) \implies 99x - 77y + 51 = 0$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $13(3x - 4y + 7) = -5(-12x + 5y + 8) \implies 21x + 27y - 131 = 0$.

(B) ત્રિકોણ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(-1, -7)$,$B(5, 1)$ અને $C(1, 4)$ આપેલ છે.
ધારો કે $\angle B$ નો કોણ દ્વિભાજક બાજુ $AC$ ને બિંદુ $D$ માં મળે છે.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$.
$BA$ અને $BC$ ની લંબાઈ ગણતા:
$BA = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
$BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$.
તેથી,$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{5} = 2$.
બિંદુ $D$ એ $AC$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
કોણ દ્વિભાજક એ $B(5, 1)$ અને $D(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
ઢાળ $m = \frac{1 - 1/3}{5 - 1/3} = \frac{1}{7}$.
રેખા $BD$ નું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5)$ એટલે કે $x - 7y + 2 = 0$ થાય.

(A) બિંદુઓ $P(-1, 0)$,$Q(0, 0)$ અને $R(3, 3\sqrt{3})$ છે.
રેખા $QP$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 180^{\circ}$ છે.
રેખા $QR$ એ $(0, 0)$ અને $(3, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ છે. તેથી,$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
$\angle PQR$ એ આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક આ ખૂણાને બે $60^{\circ}$ ના ભાગોમાં વહેંચે છે. દ્વિભાજકનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
તે ઉગમબિંદુ $Q(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ થશે,જે $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(-2, 0)$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1-2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{0-2}{-2-1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{3}{2}$ થશે.
બિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{3}{2}$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -\frac{3}{2}(x + \frac{1}{2})$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4(y - 1) = -6(x + \frac{1}{2})$
$4y - 4 = -6x - 3$
$6x + 4y = 1$.

(C) રેખા $QP$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\pi$ છે. રેખા $QR$ એ $(0, 0)$ અને $(3, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ છે. રેખા $QR$ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણો બનાવે છે.
ખૂણો $\angle PQR$ એ રેખા $QP$ (ખૂણો $\pi$) અને રેખા $QR$ (ખૂણો $\frac{\pi}{3}$) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\angle PQR$ નું માપ $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક ધન $x$-અક્ષ સાથે $\alpha = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$ ખૂણો બનાવશે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ છે.
દ્વિભાજક ઉગમબિંદુ $Q(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ એટલે કે $\sqrt{3}x + y = 0$ થાય.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $L_1: x - y + 1 = 0$ અને $L_2: 7x - y - 5 = 0$ છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ શિરોબિંદુ $A$ છે. $x - y = -1$ અને $7x - y = 5$ ઉકેલતા $6x = 6$ મળે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$. આમ,$A = (1, 2)$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને દુભાગે છે. ખૂણાના દુભાજકોના સમીકરણો $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y - 5}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $5(x - y + 1) = \pm (7x - y - 5)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $5x - 5y + 5 = 7x - y - 5 \Rightarrow x + 2y - 5 = 0$.
કિસ્સો $2$: $5x - 5y + 5 = -7x + y + 5 \Rightarrow 2x - y = 0$.
વિકર્ણો છેદબિંદુ $(-1, -2)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,વિકર્ણોના સમીકરણો $x + 2y + 5 = 0$ અને $2x - y = 0$ છે.
વિકલ્પ તપાસતા,બિંદુ $\left( \frac{1}{3}, - \frac{8}{3} \right)$ એ $x + 2y + 5 = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|x| = |y|$ એ $x = y$ અને $x = -y$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,જેને $x - y = 0$ અને $x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x + y}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x - y}{\sqrt{2}} = \pm \frac{x + y}{\sqrt{2}}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x - y = \pm (x + y)$.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x - y = x + y \implies 2y = 0 \implies y = 0$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x - y = -(x + y) \implies x - y = -x - y \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
આમ,દ્વિભાજકોના સમીકરણો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.

(A) રેખાઓના કુળ $(x - 2y - 3) + \lambda (x + 3y + 2) = 0$ નું છેદબિંદુ $x - 2y - 3 = 0$ અને $x + 3y + 2 = 0$ નો ઉકેલ મેળવીને મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x - 2y = 3$ અને $x + 3y = -2$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $5y = -5$ મળે,તેથી $y = -1$.
$y = -1$ ને $x - 2y = 3$ માં મૂકતા $x = 1$ મળે છે.
સ્થિર બિંદુ $P(1, -1)$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ બિંદુ $P(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
દ્વિભાજક $B_1$ એ $P(1, -1)$ અને $A(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$B_1$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3 - (-1)}{2 - 1} = 4$ છે.
$B_1$ નું સમીકરણ $4x - y - 5 = 0$ છે.
બે રેખાઓના ખૂણા દ્વિભાજકો હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
ધારો કે બીજા દ્વિભાજક $B_2$ નો ઢાળ $m_2$ છે. $B_1 \perp B_2$ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $4 \times m_2 = -1$,એટલે કે $m_2 = -\frac{1}{4}$.
$P(1, -1)$ માંથી પસાર થતા $B_2$ નું સમીકરણ $y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 1)$ છે.
$4(y + 1) = -(x - 1) \Rightarrow x + 4y + 3 = 0$.

(B) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ ખૂણાના દ્વિભાજક દ્વારા મળે છે: $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
આપેલ રેખાઓ માટે કિંમતો મૂકતા: $\frac{3x + 4y - 11}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \pm \frac{12x + 5y + 2}{\sqrt{12^2 + 5^2}}$.
$\frac{3x + 4y - 11}{5} = \pm \frac{12x + 5y + 2}{13}$.
કિસ્સો $1$: $13(3x + 4y - 11) = 5(12x + 5y + 2) \implies 39x + 52y - 143 = 60x + 25y + 10 \implies 21x - 27y + 153 = 0 \implies 7x - 9y + 51 = 0$.
કિસ્સો $2$: $13(3x + 4y - 11) = -5(12x + 5y + 2) \implies 39x + 52y - 143 = -60x - 25y - 10 \implies 99x + 77y - 133 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સમીકરણ $99x + 77y - 133 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x - y + 4 = 0$ અને $L_2: x - 2y - 1 = 0$ છે.
દ્વિભાજક શોધવા માટે,આપણે અચળ પદોને ધન બનાવીએ: $L_1: 2x - y + 4 = 0$ અને $L_2: -x + 2y + 1 = 0$.
$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો: $(2)(-1) + (-1)(2) = -2 - 2 = -4 < 0$.
$a_1a_2 + b_1b_2 < 0$ હોવાથી,લઘુકોણના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{2x - y + 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{-x + 2y + 1}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{2x - y + 4}{\sqrt{5}} = \frac{-x + 2y + 1}{\sqrt{5}}$.
$2x - y + 4 = -x + 2y + 1$.
$3x - 3y + 3 = 0$.
$x - y + 1 = 0$.

(A) ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુકોણના દ્વિભાજકને ઓળખવા માટે,આપણે અચળ પદોને ધન બનાવીએ: $3x - 4y + 7 = 0$ અને $-12x - 5y + 2 = 0$.
$a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(-12) + (-4)(-5) = -36 + 20 = -16$ ગણો.
$a_1a_2 + b_1b_2 < 0$ હોવાથી,ધન ચિહ્ન ધરાવતો દ્વિભાજક એ લઘુકોણનો દ્વિભાજક છે:
$13(3x - 4y + 7) = 5(-12x - 5y + 2)$
$39x - 52y + 91 = -60x - 25y + 10$
$99x - 27y + 81 = 0$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $11x - 3y + 9 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $d_1$ અને $d_2$ એ બિંદુ $(1, 2)$ થી દ્વિભાજક $B_1$ અને $B_2$ ના લંબ અંતર છે.
$B_1: 3x + 4y - 7 = 0$ થી $(1, 2)$ નું અંતર $d_1 = \frac{|3(1) + 4(2) - 7|}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
$B_2: 4x - 3y - 14 = 0$ થી $(1, 2)$ નું અંતર $d_2 = \frac{|4(1) - 3(2) - 14|}{5} = \frac{16}{5}$ છે.
અહીં $d_1 < d_2$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 2)$ એ $B_1$ ની નજીક છે.
તેથી,$B_1$ એ લઘુકોણ દ્વિભાજક છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: (\alpha + 1)x + 2y + 5 = 0$ અને $L_2: 4x + \alpha y - 3 = 0$ છે.
અચળ પદ ધન બનાવવા માટે,$L_2$ ને $-4x - \alpha y + 3 = 0$ તરીકે લખો.
અહીં $A_1 = \alpha + 1, B_1 = 2, C_1 = 5$ અને $A_2 = -4, B_2 = -\alpha, C_2 = 3$ છે.
ઉગમબિંદુ ધરાવતો ખૂણાનો દ્વિભાજક $\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિભાજક ગુરુકોણનો દ્વિભાજક હોય તે માટે,$A_1A_2 + B_1B_2$ ની નિશાની તપાસો.
$A_1A_2 + B_1B_2 = (\alpha + 1)(-4) + (2)(-\alpha) = -6\alpha - 4$.
ગુરુકોણના દ્વિભાજક માટે,$A_1A_2 + B_1B_2 < 0$ હોવું જોઈએ.
$-6\alpha - 4 < 0$ $\Rightarrow -6\alpha < 4$ $\Rightarrow \alpha > -\frac{2}{3}$.

(B) બે રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રનો બિંદુપથ એ આપેલી રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડી છે.
આપેલી રેખાઓ $L_1: x + 2y - 5 = 0$ અને $L_2: 2x - 4y + 7 = 0$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x + 2y - 5}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \pm \frac{2x - 4y + 7}{\sqrt{2^2 + (-4)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x + 2y - 5}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x - 4y + 7}{2\sqrt{5}}$.
$2(x + 2y - 5) = \pm (2x - 4y + 7)$.
કિસ્સો $1$: $2x + 4y - 10 = 2x - 4y + 7 \Rightarrow 8y = 17 \Rightarrow y = \frac{17}{8}$.
કિસ્સો $2$: $2x + 4y - 10 = -2x + 4y - 7 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
બિંદુપથ $'C'$ એ રેખાઓ $x = \frac{3}{4}$ અને $y = \frac{17}{8}$ ધરાવે છે.
આ રેખાઓ $(\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$ પર છેદે છે.
આપણે આ બે રેખાઓ અને રેખા $x - y - 5 = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
છેદબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$) $x = \frac{3}{4}$ અને $x - y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ: $\frac{3}{4} - y - 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4} - 5 = -\frac{17}{4}$. બિંદુ $A = (\frac{3}{4}, -\frac{17}{4})$.
$2$) $y = \frac{17}{8}$ અને $x - y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ: $x - \frac{17}{8} - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{8} + 5 = \frac{57}{8}$. બિંદુ $B = (\frac{57}{8}, \frac{17}{8})$.
$3$) $x = \frac{3}{4}$ અને $y = \frac{17}{8}$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ $V = (\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$.
આ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |x_B - x_V| \times |y_V - y_A|$ છે.
$|x_B - x_V| = |\frac{57}{8} - \frac{6}{8}| = \frac{51}{8}$.
$|y_V - y_A| = |\frac{17}{8} - (-\frac{34}{8})| = \frac{51}{8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{51}{8} \times \frac{51}{8} = \frac{51^2}{2 \times 8^2}$.
$\frac{P^2}{2Q^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P = 51$ અને $Q = 8$ મળે છે.
$P$ અને $Q$ સાપેક્ષ અવિભાજ્ય હોવાથી,$P + Q = 51 + 8 = 59$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(0, c)$ છે.
બાજુઓને સમાંતર રેખાઓના સમીકરણો $x - y + 2 = 0$ અને $7x - y + 3 = 0$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એ બાજુઓ ધરાવતી રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક હોય છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{x - y + 2}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x - y + 2}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{5\sqrt{2}}$.
$5x - 5y + 10 = \pm (7x - y + 3)$.
કિસ્સો $1$: $5x - 5y + 10 = 7x - y + 3 \Rightarrow 2x + 4y - 7 = 0$. ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{2}$ છે.
કિસ્સો $2$: $5x - 5y + 10 = -7x + y - 3 \Rightarrow 12x - 6y + 13 = 0$. ઢાળ $m_2 = 2$ છે.
વિકર્ણો $P(1, 2)$ અને $A(0, c)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AP$ નો ઢાળ $\frac{2 - c}{1 - 0} = 2 - c$ છે.
જો $2 - c = 2$ હોય,તો $c = 0$ મળે,જે ઉગમબિંદુ છે (જે શક્ય નથી).
જો $2 - c = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે.

(D) બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નું $L_{1}: 3x - 4y + 12 = 0$ થી અંતર $1$ છે,તેથી $\frac{|3\alpha - 4\beta + 12|}{5} = 1$. $P$ એ $L_{1}$ ની નીચે હોવાથી,$3\alpha - 4\beta + 12 = -5 \implies 3\alpha - 4\beta + 17 = 0$.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નું $L_{2}: 8x + 6y + 11 = 0$ થી અંતર $1$ છે,તેથી $\frac{|8\alpha + 6\beta + 11|}{10} = 1$. $P$ એ $L_{2}$ ની ઉપર હોવાથી,$8\alpha + 6\beta + 11 = 10 \implies 8\alpha + 6\beta + 1 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $P(\alpha, \beta)$ મળે છે,જેના માટે $100(\alpha + \beta) = 14$ થાય છે.

(A) રેખા $l_1: 3y - 2x = 3$ અને $l_2: x - y + 1 = 0$ નું છેદબિંદુ $P(0, 1)$ છે.
આ બિંદુ $l_3: \alpha x + \beta y + 17 = 0$ પર હોવાથી,$\beta = -17$ મળે છે.
રેખા $l_2$ પરનું બિંદુ $Q(-1, 0)$ લો. રેખા $l_1$ ની સાપેક્ષે $Q$ નું પ્રતિબિંબ $Q'(-\frac{17}{13}, \frac{6}{13})$ મળે છે.
આ બિંદુ $l_3$ પર હોવાથી,$\alpha(-\frac{17}{13}) - 17(\frac{6}{13}) + 17 = 0$ પરથી $\alpha = 7$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha - \beta = 7^2 + (-17)^2 - 7 - (-17) = 49 + 289 - 7 + 17 = 348$.

(A) $1$. $\angle B$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $y=x$ છે. બિંદુ $B(\alpha, \beta)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\alpha=\beta$ થાય. તેથી,$B$ એ $(\alpha, \alpha)$ છે.
$2$. બાજુ $AC$ નું સમીકરણ $2x-y=2$ છે. બિંદુ $D$ એ ખૂણાના દ્વિભાજક $y=x$ અને $AC$ $(2x-y=2)$ નું છેદબિંદુ છે. $y=x$ ને $2x-y=2$ માં મૂકતા,$2x-x=2$ મળે,તેથી $x=2$. આમ,$D=(2,2)$.
$3$. $\triangle ABC$ માં ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\angle B$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.
$4$. આપેલ છે કે $2AB=BC$,તેથી $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$. તેથી,$\frac{AD}{DC} = \frac{1}{2}$.
$5$. બિંદુ $D(2,2)$ એ $AC$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જ્યાં $A=(4,6)$ અને $C=(x_c, y_c)$,તેથી $2 = \frac{1 \cdot x_c + 2 \cdot 4}{1+2} \implies x_c = -2$,અને $2 = \frac{1 \cdot y_c + 2 \cdot 6}{1+2} \implies y_c = -6$. તેથી $C=(-2,-6)$.
$6$. બિંદુ $A(4,6)$ નું ખૂણાના દ્વિભાજક $y=x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ રેખા $BC$ પર આવેલું છે. $(4,6)$ નું $y=x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $A'(6,4)$ છે.
$7$. રેખા $BC$ એ $B(\alpha, \alpha)$ અને $A'(6,4)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}$ છે. સમીકરણ $y-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(x-\alpha)$ છે.
$8$. બિંદુ $C(-2,-6)$ રેખા $BC$ પર હોવાથી,$-6-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(-2-\alpha)$.
$9$. આને ઉકેલતા: $(-6-\alpha)(\alpha-6) = (\alpha-4)(-2-\alpha) \implies \alpha^2-36 = \alpha^2-2\alpha-8 \implies 2\alpha = 28 \implies \alpha=14$.
$10$. $\alpha=\beta$ હોવાથી,$B=(14,14)$. તેથી $\alpha+2\beta = 14+2(14) = 14+28 = 42$.

(A) રેખાઓ $L_1: y=x$ અને $L_2: y=-2x$ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માં છેદે છે.
રેખા $L_3$ એ $y=-2$ છે.
$P$ માટે,$L_1$ માં $y=-2$ મૂકતા: $-2-x=0 \implies x=-2$. તેથી $P=(-2,-2)$.
$Q$ માટે,$L_2$ માં $y=-2$ મૂકતા: $2x-2=0 \implies x=1$. તેથી $Q=(1,-2)$.
અંતર $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અંતર $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$\triangle OPQ$ માં ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle POQ$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $PQ$ નું $OP$ અને $OQ$ બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{PR}{RQ} = \frac{OP}{OQ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ એ ખૂણાના દ્વિભાજકનું પ્રમેય છે,જે એક પ્રમાણભૂત ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે. આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે અને તે $\text{વિધાન}-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}$ છે.
અહીં $|\vec{OA}| = 2$ અને $|\vec{OB}| = 2$ હોવાથી,$\angle AOB$ નો ખૂણા દુભાજક એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે જેની દિશા $\vec{OA} + \vec{OB} = (\sqrt{3} + 1)\hat{i} + (1 + \sqrt{3})\hat{j}$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $C(a, 1 - a)$ નું રેખા $x - y = 0$ થી અંતર $d = \frac{|a - (1 - a)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{9}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $|2a - 1| = 9$.
આથી,$2a - 1 = 9 \Rightarrow a = 5$,અથવા $2a - 1 = -9 \Rightarrow a = -4$.
$a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $5 + (-4) = 1$ થાય છે.

(C) બિંદુઓના યામ $P(-3, 0)$,$Q(0, 0)$ અને $R(3, 3\sqrt{3})$ છે.
$QP$ એ ઋણ $X$-અક્ષ પર છે,તેથી તે ધન $X$-અક્ષ સાથે $180^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$QR$ નો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ છે.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$QR$ ધન $X$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ખૂણો $\angle PQR$ એ $QP$ અને $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક આ ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે,દરેક $60^{\circ}$ નો.
દ્વિભાજક ધન $X$-અક્ષ સાથે $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ છે.
દ્વિભાજક ઉગમબિંદુ $Q(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 0)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{3}x + y = 0$ મળે છે.

(D) બિંદુઓ $P(-5, 0)$,$Q(0, 0)$,અને $R(2, 2\sqrt{3})$ છે.
$QP$ એ ઋણ $X$-અક્ષ પર છે,તેથી તે ધન $X$-અક્ષ સાથે $180^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$QR$ નો ઢાળ $m = \frac{2\sqrt{3} - 0}{2 - 0} = \sqrt{3}$ છે.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$QR$ ધન $X$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ખૂણો $\angle PQR = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
ખૂણા $\angle PQR$ નો દ્વિભાજક આ $120^{\circ}$ ના ખૂણાને બે $60^{\circ}$ ના ભાગમાં વહેંચે છે.
તેથી,દ્વિભાજક ધન $X$-અક્ષ સાથે $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ છે,જે $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(D) આપેલ બિંદુઓ $P = (-1, 0)$,$Q = (0, 0)$,અને $R = (3, 3\sqrt{3})$ છે.
રેખા $QP$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો નમનકોણ $\pi$ રેડિયન છે.
રેખા $QR$ એ $(0, 0)$ અને $(3, 3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા $QR$ નો નમનકોણ $\phi$ એ $\tan \phi = \sqrt{3}$ નું પાલન કરે છે,તેથી $\phi = \frac{\pi}{3}$.
ખૂણો $\angle PQR$ એ ઋણ $x$-અક્ષ અને રેખા $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક ધન $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. દ્વિભાજક $\angle PQR$ ને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે,તેથી દ્વિભાજકનો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $m = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ છે.
$(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ છે,જે $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જ્યાં $AB=AC$. $\angle BAC$ નો ખૂણા દ્વિભાજક પાયા $BC$ ને લંબ હોય છે.
$7x-y+3=0$ અને $x+y-3=0$ રેખાઓના ખૂણા દ્વિભાજકોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$\frac{7x-y+3}{\sqrt{7^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$\frac{7x-y+3}{5\sqrt{2}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$
$7x-y+3 = \pm 5(x+y-3)$
કિસ્સો $1$: $7x-y+3 = 5x+5y-15 \Rightarrow x-3y+9=0$. આ દ્વિભાજકનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{3}$ છે.
કિસ્સો $2$: $7x-y+3 = -5x-5y+15 \Rightarrow 3x+y-3=0$. આ દ્વિભાજકનો ઢાળ $m_2 = -3$ છે.
ત્રીજી બાજુ $BC$ એ ખૂણા દ્વિભાજકને લંબ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m$ એ $m \cdot m_{bisector} = -1$ નું પાલન કરે છે.
$m_1 = \frac{1}{3}$ માટે,$m = -3$.
$m_2 = -3$ માટે,$m = \frac{1}{3}$.
આપેલ છે કે $m$ પૂર્ણાંક છે,તેથી $m = -3$.

(B) બિંદુઓના યામ $P(-1, 0)$,$Q(0, 0)$ અને $R(3, 3\sqrt{3})$ છે.
રેખા $QP$ અને $QR$ ના ઢાળ શોધો.
$QP$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $0$ છે.
$QR$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\sqrt{3}$ છે.
રેખા $QP$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
રેખા $QR$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{0^\circ + 60^\circ}{2} = 30^\circ$ નો ખૂણો બનાવશે.
પરંતુ,$P$ એ $x$-અક્ષની ઋણ દિશામાં હોવાથી,ખૂણો $120^\circ$ થશે.
તેથી,દ્વિભાજકનો ઢાળ $m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ થશે.
સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ એટલે કે $\sqrt{3}x + y = 0$ મળે.

(C) પગલું $1$: છેદબિંદુઓ $P$ અને $Q$ શોધો.
$L_1: y=x$ અને $L_3: y=-2$ માટે,$P = (-2, -2)$ મળે છે.
$L_2: y=-2x$ અને $L_3: y=-2$ માટે,$-2 = -2x \implies x=1$,તેથી $Q = (1, -2)$ મળે છે.
પગલું $2$: ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $PR$ અને $RQ$ ની લંબાઈ શોધો.
અંતર $OP = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અંતર $OQ = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે. ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$PR:RQ = OP:OQ = 2\sqrt{2}:\sqrt{5}$.
આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
પગલું $3$: વિધાન-$II$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
ખૂણાના દ્વિભાજકનું પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે. વિધાન-$II$ એ પ્રમાણિત ભૂમિતિનું પ્રમેય છે. તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે અને તે વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(A) બિંદુઓના યામ $P(-1,0)$,$Q(0,0)$ અને $R(3,3\sqrt{3})$ છે.
રેખા $QP$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી ધન $x$-અક્ષ સાથે તેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.
રેખા $QR$ એ $(0,0)$ અને $(3,3\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{3\sqrt{3}-0}{3-0} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા $QR$ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\tan \theta = \sqrt{3}$ એટલે કે $\theta = 60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\angle PQR$ એ રેખા $QP$ $(180^\circ)$ અને $QR$ $(60^\circ)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ છે.
$\angle PQR$ નો દ્વિભાજક ધન $x$-અક્ષ સાથે $60^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 120^\circ$ નો ખૂણો બનાવશે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ છે.
દ્વિભાજક ઉગમબિંદુ $Q(0,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = -\sqrt{3}x$ એટલે કે $\sqrt{3}x + y = 0$ થાય.

(C) બે આપેલી રેખાઓ સાથે સમદ્રિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતી રેખાઓની શ્રેણી તે બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને સમાંતર હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $L_1: 3x - 4y - 2 = 0$ અને $L_2: 12x - 5y + 6 = 0$ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો શોધીએ.
દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{3x - 4y - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{3x - 4y - 2}{5} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{13}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા:
$13(3x - 4y - 2) = -5(12x - 5y + 6)$
$39x - 52y - 26 = -60x + 25y - 30$
$99x - 77y + 4 = 0$.
$11$ વડે ભાગતા,આપણને $9x - 7y + \frac{4}{11} = 0$ મળે છે.
આમ,આ દ્વિભાજકને સમાંતર રેખાઓની શ્રેણી $9x - 7y + c = 0$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ અને $L_2: ax + by + c = 0$ છે. દુભાજક $L_B: 2x + 3y + 1 = 0$ છે.
$L_B$ એ ખૂણાનો દુભાજક હોવાથી,$L_B$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એ $L_1$ અને $L_2$ થી સમાન અંતરે હોય છે.
બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના ખૂણાનો દુભાજક $\frac{L_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{L_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ અને $L_B: 2x + 3y + 1 = 0$ પરથી,બીજી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $9x + 46y - 28 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: y-x=0$,$L_2: 2x+y=0$,અને $L_3: y+2=0$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $y=-2$ ને $y-x=0$ માં મૂકતા $x=-2$ મળે છે. તેથી,$P = (-2, -2)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $y=-2$ ને $2x+y=0$ માં મૂકતા $2x-2=0$ મળે છે,તેથી $x=1$. તેથી,$Q = (1, -2)$.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે. લંબાઈઓ $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
$\triangle OPQ$ માં ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\angle POQ$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $PQ$ ને તેની પાસેની બાજુઓ $OP$ અને $OQ$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
આમ,$PR : RQ = OP : OQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે ત્રિકોણનો ખૂણાનો દ્વિભાજક તેને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરતું નથી (સિવાય કે ત્રિકોણ તે ખૂણાની સાપેક્ષમાં સમદ્વિબાજુ હોય).
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(D) રેખાઓ $x+y+1=0$ અને $2x-3y+4=0$ નું છેદબિંદુ $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ છે.
ધારો કે $P(-2, 0)$ એ રેખા $2x-3y+4=0$ પરનું એક બિંદુ છે. બિંદુ $P$ નું દુભાજક રેખા $x+y+1=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ બીજી રેખા પર આવેલું હશે.
ધારો કે $P(-2, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $(h, k)$ છે. પરાવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h+2}{1} = \frac{k-0}{1} = -2 \frac{-2+0+1}{1^2+1^2} = 1$.
આમ,$h=-1$ અને $k=1$.
બીજી રેખા $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ અને $(-1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{3}{2}$ છે.
સમીકરણ $y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1) \Rightarrow 3x - 2y + 5 = 0$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બે નિશ્ચિત રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ બિંદુ $P$ પર છેદે છે.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા $L$ જે $L_1$ અને $L_2$ સાથે સમાન નમેલી હોય,તે $L_1$ અને $L_2$ દ્વારા બનતા ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવો જોઈએ.
આવા બે ખૂણાના દ્વિભાજકો (આંતરિક અને બાહ્ય) હોય છે,જે હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિધાન $-I$ માં વર્ણવેલ બે રેખાઓ આ બે ખૂણાના દ્વિભાજકો હોવાથી,તેઓ એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ.
આમ,વિધાન $-I$ સાચું છે,વિધાન $-II$ સાચું છે,અને વિધાન $-II$ એ વિધાન $-I$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ અને $L_2: ax + by + c = 0$ છે. રેખા $L: 2x + 3y + 1 = 0$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક છે.
પ્રથમ,$L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$3x + 2y = -4$ ($3$ વડે ગુણતા $9x + 6y = -12$)
$2x + 3y = -1$ ($2$ વડે ગુણતા $4x + 6y = -2$)
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(9x - 4x) = -12 - (-2)$ $\Rightarrow 5x = -10$ $\Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ ને $2x + 3y + 1 = 0$ માં મૂકતા: $2(-2) + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow -4 + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$.
છેદબિંદુ $(-2, 1)$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $L$ એ $L_1$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. બીજી રેખા $L_2$ પણ $L$ સાથે બીજી બાજુ સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવશે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -3/2$ છે. $L$ નો ઢાળ $m = -2/3$ છે. ધારો કે $L_2$ નો ઢાળ $m_2$ છે.
$L_1$ અને $L$ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)| = |(-2/3 - (-3/2)) / (1 + (-2/3)(-3/2))| = |(-4/6 + 9/6) / (1 + 1)| = |(5/6) / 2| = 5/12$ દ્વારા મળે છે.
જેમ કે $L$ ખૂણાને દુભાગે છે,$\tan \theta = |(m_2 - m) / (1 + m_2 \cdot m)| = 5/12$.
$|(m_2 + 2/3) / (1 - 2m_2/3)| = 5/12 \Rightarrow |(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2)| = 5/12$.
કિસ્સો $1$: $(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2) = 5/12$ $\Rightarrow 36m_2 + 24 = 15 - 10m_2$ $\Rightarrow 46m_2 = -9$ $\Rightarrow m_2 = -9/46$.
$(-2, 1)$ બિંદુનો ઉપયોગ કરીને: $y - 1 = (-9/46)(x + 2)$ $\Rightarrow 46y - 46 = -9x - 18$ $\Rightarrow 9x + 46y - 28 = 0$.