Concurrency of three lines Questions in Hindi

(D) मान लीजिए बिंदु $A(3a, 0)$,$B(0, 3b)$ और $C(a, 2b)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3a(3b - 2b) + 0(2b - 0) + a(0 - 3b)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3a(b) + 0 - 3ab|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3ab - 3ab| = 0$
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।

(D) माना बिंदु $A(-a, -b)$,$B(a, b)$,और $C(a^2, ab)$ हैं।
रेखाखंडों की ढाल (slope) की गणना करें:
$AB$ की ढाल $= \frac{b - (-b)}{a - (-a)} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$.
चूंकि $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर है और वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A, B$,और $C$ संरेख हैं।

(A) यदि तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है,तो वे बिंदु संरेख होते हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |k(2k - (6 - 2k)) + (1 - k)((6 - 2k) - (2 - 2k)) + (-k - 4)((2 - 2k) - 2k)| = 0$
पदों को सरल करने पर:
$8k^2 + 4k - 4 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$2k^2 + k - 1 = 0$
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
अतः,$k = 1/2$ या $k = -1$।

(D) माना $A \equiv (x + 1, 2)$,$B \equiv (1, x + 2)$,और $C \equiv \left( \frac{1}{x + 1}, \frac{2}{x + 1} \right)$ है।
बिंदु $A, B, C$ संरेख होंगे यदि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $0$ हो।
$\left| \begin{array}{ccc} x + 1 & 2 & 1 \\ 1 & x + 2 & 1 \\ \frac{1}{x + 1} & \frac{2}{x + 1} & 1 \end{array} \right| = 0$
$R_1 \to R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} x & -x & 0 \\ 1 & x + 2 & 1 \\ \frac{1}{x + 1} & \frac{2}{x + 1} & 1 \end{array} \right| = 0$
$C_2 \to C_2 + C_1$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 1 & x + 3 & 1 \\ \frac{1}{x + 1} & \frac{3}{x + 1} & 1 \end{array} \right| = 0$
$R_1$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$x \left( x + 3 - \frac{3}{x + 1} \right) = 0$
$\frac{x^2(x + 4)}{x + 1} = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = -4$।

(A) चरण $1$: रेखाओं $x + 5y + 7 = 0$ और $3x + 2y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करें: $3x + 15y + 21 = 0$।
इसमें से दूसरा समीकरण घटाएं: $(3x + 15y + 21) - (3x + 2y - 5) = 0$,जिससे $13y + 26 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = -2$।
$y = -2$ को $x + 5y + 7 = 0$ में रखने पर: $x + 5(-2) + 7 = 0 \implies x - 10 + 7 = 0 \implies x = 3$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -2)$ है।
चरण $2$: $7x + 2y - 5 = 0$ के लंबवत रेखा की ढाल ज्ञात करें।
$7x + 2y - 5 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{7}{2}$ है।
आवश्यक रेखा की ढाल $m_2$ शर्त $m_1 \times m_2 = -1$ को पूरा करती है,इसलिए $m_2 = \frac{2}{7}$।
चरण $3$: बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करके रेखा का समीकरण लिखें।
$y - (-2) = \frac{2}{7}(x - 3) \implies 7(y + 2) = 2(x - 3) \implies 7y + 14 = 2x - 6$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2x - 7y - 20 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: रेखाओं $2x + y = 5$ और $x + 3y = -8$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $6x + 3y = 15$।
दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(6x + 3y) - (x + 3y) = 15 - (-8) \implies 5x = 23 \implies x = \frac{23}{5}$।
$x$ का मान $2x + y = 5$ में रखने पर: $2(\frac{23}{5}) + y = 5 \implies y = 5 - \frac{46}{5} = -\frac{21}{5}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{23}{5}, -\frac{21}{5})$ है।
चरण $2$: $3x + 4y = 7$ के समानांतर रेखा $3x + 4y + k = 0$ के रूप में होगी।
चूंकि यह $(\frac{23}{5}, -\frac{21}{5})$ से गुजरती है,इसलिए $3(\frac{23}{5}) + 4(-\frac{21}{5}) + k = 0$।
$\frac{69 - 84}{5} + k = 0 \implies -\frac{15}{5} + k = 0 \implies -3 + k = 0 \implies k = 3$।
अतः,रेखा का समीकरण $3x + 4y + 3 = 0$ है।

(C) चरण $1$: रेखाओं $3x - 2y - 1 = 0$ और $x - 4y + 3 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $3x - 12y + 9 = 0$.
पहले समीकरण से इसे घटाने पर: $(3x - 2y - 1) - (3x - 12y + 9) = 0$ $\Rightarrow 10y - 10 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ को $x - 4y + 3 = 0$ में रखने पर: $x - 4(1) + 3 = 0$ $\Rightarrow x - 1 = 0$ $\Rightarrow x = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चरण $2$: $(1, 1)$ और $(\pi, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
ढाल $m = \frac{0 - 1}{\pi - 1} = \frac{-1}{\pi - 1}$ है।
समीकरण $y - 0 = \frac{-1}{\pi - 1}(x - \pi)$ है।
$(\pi - 1)y = -x + \pi \Rightarrow x - y = \pi(1 - y)$.

(B) चरण $1$: $4x - 3y = 1$ और $5x - 2y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:
$8x - 6y = 2$
$15x - 6y = 9$
घटाने पर: $7x = 7 \implies x = 1$.
$x = 1$ रखने पर $4(1) - 3y = 1 \implies y = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चरण $2$: $2y - 3x + 2 = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $3x - 2y = C$ के रूप में होगा।
चरण $3$: चूंकि रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है,इसलिए $3(1) - 2(1) = C \implies C = 1$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x - 2y = 1$ है।

(B) रेखाओं $x + 2y - 10 = 0$ और $2x + y + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए,हम उन्हें एक साथ हल करते हैं।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y - 20 = 0$ प्राप्त होता है।
इसमें से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(2x + 4y - 20) - (2x + y + 5) = 0$,जो $3y - 25 = 0$ में सरल हो जाता है,इसलिए $y = 25/3$ है।
$y = 25/3$ को $x + 2y - 10 = 0$ में रखने पर: $x + 2(25/3) - 10 = 0 \implies x + 50/3 - 30/3 = 0 \implies x = -20/3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-20/3, 25/3)$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$5x + 4y = 0$ के लिए:
$5(-20/3) + 4(25/3) = -100/3 + 100/3 = 0$ है।
अतः,रेखा $5x + 4y = 0$ प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(1)$ और $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ $(2)$ हैं।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $x(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + y(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2 \implies (x + y)(\frac{a + b}{ab}) = 2 \implies x + y = \frac{2ab}{a + b}$.
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $x(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + y(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) = 0 \implies x(\frac{b - a}{ab}) - y(\frac{b - a}{ab}) = 0 \implies x = y$.
$x = y$ को $x + y = \frac{2ab}{a + b}$ में रखने पर,हमें $2x = \frac{2ab}{a + b} \implies x = \frac{ab}{a + b}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (\frac{ab}{a + b}, \frac{ab}{a + b})$ है।
रेखा $P$ और $Q = (a, b)$ को जोड़ती है। ढाल $m = \frac{b - \frac{ab}{a + b}}{a - \frac{ab}{a + b}} = \frac{b^2}{a^2}$.
समीकरण $y - b = \frac{b^2}{a^2}(x - a) \implies a^2y - b^2x = ab(a - b)$ है।

(C) चरण $1$: रेखाओं $x - 2y = 1$ और $x + 3y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। घटाने पर $5y = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \frac{1}{5}$. $x$ का मान $x = \frac{7}{5}$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$ है।
चरण $2$: रेखा $3x + 4y = 0$ के समांतर होने के कारण,इसका ढाल $m = -\frac{3}{4}$ है।
चरण $3$: बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर,$y - \frac{1}{5} = -\frac{3}{4}(x - \frac{7}{5})$.
चरण $4$: सरल करने पर $3x + 4y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: $2x - 3y + 4 = 0$ और $3x + 4y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। समीकरणों को हल करने पर,$x = -\frac{1}{17}$ और $y = \frac{22}{17}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ है।
चरण $2$: दी गई रेखा $6x - 7y + 3 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{6}{7}$ है।
चरण $3$: इस पर लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{7}{6}$ होगी।
चरण $4$: बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए,$y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$।
चरण $5$: $102$ से गुणा करने पर,$102y - 132 = -119x - 7$,जिसे सरल करने पर $119x + 102y = 125$ प्राप्त होता है।

(C) $L_1: 3x - y + 2 = 0$ और $L_2: 5x - 2y + 7 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $L_1 + \lambda L_2 = 0$ है।
$(3x - y + 2) + \lambda (5x - 2y + 7) = 0$
$(3 + 5\lambda)x - (1 + 2\lambda)y + (2 + 7\lambda) = 0$
रेखा की ढाल अनंत होने के लिए,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$1 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$
$\lambda = -1/2$ को समीकरण में रखने पर:
$(3x - y + 2) - \frac{1}{2}(5x - 2y + 7) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2(3x - y + 2) - (5x - 2y + 7) = 0$
$6x - 2y + 4 - 5x + 2y - 7 = 0$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.

(A) दिया गया समीकरण $(a - 2b)x + (a + 3b)y + 3a + 4b = 0$ है।
$a$ और $b$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(x + y + 3) + b(-2x + 3y + 4) = 0$.
यह रेखाओं का एक परिवार है जो $x + y + 3 = 0$ और $-2x + 3y + 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$x + y = -3$ $(i)$
$-2x + 3y = -4$ (ii)
$(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 2y = -6$.
इसे (ii) में जोड़ने पर: $5y = -10$,अतः $y = -2$.
$y = -2$ को $(i)$ में रखने पर: $x - 2 = -3$,अतः $x = -1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -2)$ है।

(A) दी गई शर्त $a + b + c = 0$ का उपयोग करते हुए,हम $(b + c) = -a$,$(c + a) = -b$,और $(a + b) = -c$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं:
$ax - ay = p \implies x - y = \frac{p}{a}$
$bx - by = p \implies x - y = \frac{p}{b}$
$cx - cy = p \implies x - y = \frac{p}{c}$
चूंकि $p \neq 0$ है,इसलिए तीनों रेखाओं की ढाल (slope) $1$ है।
चूंकि रेखाओं की ढाल समान है लेकिन उनके $y$-अंतःखंड अलग-अलग हैं,इसलिए ये रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,ये रेखाएं परिमित समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$1) \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
$2) \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\frac{x}{a} + \frac{x}{b}) + (\frac{y}{b} + \frac{y}{a}) = 2$
$x(\frac{a+b}{ab}) + y(\frac{a+b}{ab}) = 2$
$(x + y)(\frac{a+b}{ab}) = 2 \implies x + y = \frac{2ab}{a+b}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\frac{x}{a} - \frac{x}{b}) + (\frac{y}{b} - \frac{y}{a}) = 0$
$x(\frac{b-a}{ab}) - y(\frac{b-a}{ab}) = 0$
$(x - y)(\frac{b-a}{ab}) = 0 \implies x = y$
$x = y$ को $x + y = \frac{2ab}{a+b}$ में रखने पर,$2x = \frac{2ab}{a+b} \implies x = \frac{ab}{a+b}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{ab}{a+b}, \frac{ab}{a+b})$ है।
विकल्प $(a)$ की जाँच करने पर: $x - y = 0$. (सही)
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर: $(x + y)(a + b) = 2ab$. (सही)
विकल्प $(c)$ की जाँच करने पर: $(lx + my)(a + b) = (l+m)ab$. (सही)
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(D) दो रेखाएं $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ समान होती हैं यदि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$ हो।
दिए गए समीकरणों के लिए:
$\frac{b^3 - c^3}{b - c} = \frac{c^3 - a^3}{c - a} = \frac{a^3 - b^3}{a - b} = k$
सर्वसमिका $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ का उपयोग करने पर:
$b^2 + bc + c^2 = c^2 + ca + a^2 = a^2 + ab + b^2 = k$
स्थिति $1$: यदि $a = b = c$ है,तो समीकरण $0 = 0$ बन जाते हैं,जो एक ही रेखा को दर्शाते हैं।
स्थिति $2$: यदि $a, b, c$ सभी समान नहीं हैं,तो $b^2 + bc + c^2 = c^2 + ca + a^2 \implies b^2 - a^2 + c(b - a) = 0 \implies (b - a)(b + a + c) = 0$।
यह दर्शाता है कि $b = a$ या $a + b + c = 0$।
अतः,यदि $a=b$,$b=c$,या $c=a$ है,तो रेखाएं समान हैं। इसलिए,उपरोक्त सभी सही हैं।

(C) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$ax + 2by = -3b$ $(1)$
$bx - 2ay = 3a$ $(2)$
$(1)$ को $a$ से और $(2)$ को $b$ से गुणा करने पर:
$a^2x + 2aby = -3ab$
$b^2x - 2aby = 3ab$
जोड़ने पर: $(a^2 + b^2)x = 0$. चूँकि $(a, b) \ne (0, 0)$,$a^2 + b^2 \ne 0$,इसलिए $x = 0$.
$x = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $2by = -3b$. यदि $b \ne 0$ है,तो $y = -3/2$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -3/2)$ है।
$x$-अक्ष के समांतर रेखा का रूप $y = k$ होता है। चूँकि यह $(0, -3/2)$ से गुजरती है,रेखा $y = -3/2$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष के नीचे $3/2$ इकाई की दूरी पर है।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$ax + by + c = 0$ $(i)$
$bx + cy + a = 0$ $(ii)$
$cx + ay + b = 0$ $(iii)$
तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$
अतः,$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.

(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
दी गई रेखाओं को $m_1x - y + c_1 = 0$,$m_2x - y + c_2 = 0$ और $m_3x - y + c_3 = 0$ के रूप में लिखने पर,संगामी होने की शर्त है:
$\begin{vmatrix} m_1 & -1 & c_1 \\ m_2 & -1 & c_2 \\ m_3 & -1 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
दूसरे स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} m_2 & c_2 \\ m_3 & c_3 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} m_1 & c_1 \\ m_3 & c_3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} m_1 & c_1 \\ m_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$(m_2c_3 - m_3c_2) - (m_1c_3 - m_3c_1) + (m_1c_2 - m_2c_1) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$m_1(c_2 - c_3) + m_2(c_3 - c_1) + m_3(c_1 - c_2) = 0$.

(C) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ संगामी हैं,हम गुणांकों का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} p-q & q-r & r-p \\ q-r & r-p & p-q \\ r-p & p-q & q-r \end{vmatrix}$
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर,पहला स्तंभ बनता है:
$(p-q) + (q-r) + (r-p) = 0$
चूँकि पहले स्तंभ के अवयवों का योग $0$ है,इसलिए सारणिक $D = 0$ है।
अतः,रेखाएँ संगामी हैं।

(B) तीन रेखाएं संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो।
सबसे पहले,$3x + 4y + 6 = 0$ और $6x + 5y + 9 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $6x + 8y + 12 = 0$।
इसमें से दूसरा समीकरण घटाने पर: $(6x + 8y + 12) - (6x + 5y + 9) = 0 \implies 3y + 3 = 0 \implies y = -1$।
$y = -1$ को $3x + 4y + 6 = 0$ में रखने पर: $3x - 4 + 6 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2/3, -1)$ है।
अब,जांचें कि कौन सा विकल्प $(-2/3, -1)$ से गुजरता है:
विकल्प $(b)$ के लिए: $3(-2/3) + 3(-1) + 5 = -2 - 3 + 5 = 0$।
अतः,रेखाएं संगामी हैं।

(A) यदि रेखाएँ संगामी हैं,तो गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 7 & -8 & 5 \\ 3 & -4 & 5 \\ 4 & 5 & k \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$7(-4k - 25) + 8(3k - 20) + 5(15 + 16) = 0$
$-28k - 175 + 24k - 160 + 155 = 0$
$-4k - 180 = 0$
$k = -45$

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x - 3 = 0$,$L_2: y - 4 = 0$ और $L_3: 4x - 3y + a = 0$ हैं।
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,वे एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सबसे पहले,$x = 3$ और $y = 4$ को हल करके $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 4)$ है।
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,यह बिंदु $(3, 4)$ तीसरी रेखा $L_3: 4x - 3y + a = 0$ के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 3$ और $y = 4$ रखने पर:
$4(3) - 3(4) + a = 0$
$12 - 12 + a = 0$
$a = 0$.

(C) मान लीजिए रेखाएँ $L_1: 15x - 18y + 1 = 0$,$L_2: 12x + 10y - 3 = 0$,और $L_3: 6x + 66y - 11 = 0$ हैं।
तीन रेखाएँ संगामी होती हैं यदि ऐसे स्थिरांक $a$ और $b$ मौजूद हों कि $L_3 = aL_1 + bL_2$ हो।
रैखिक संयोजन $3(12x + 10y - 3) - 2(15x - 18y + 1) = (36x - 30x) + (30y + 36y) + (-9 - 2) = 6x + 66y - 11$ पर विचार करें।
यह $L_3 = 0$ के बराबर है।
चूँकि $L_3$ को $L_1$ और $L_2$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए रेखाएँ संगामी हैं।

(A) तीन रेखाएँ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -9 \\ 3 & 5 & -5 \\ a & b & -1 \end{array} \right| = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(2(-5) - 5(-9)) - b(1(-5) - 3(-9)) - 1(1(5) - 3(2)) = 0$
$a(-10 + 45) - b(-5 + 27) - 1(5 - 6) = 0$
$35a - 22b + 1 = 0$
यह समीकरण दर्शाता है कि बिंदु $(a, b)$ रेखा $35x - 22y + 1 = 0$ के समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,रेखा बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरती है।

(B) यदि दी गई रेखाएँ संगामी हैं,तो उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{-a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$1 - \frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$
$\frac{1-a+a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$

(A) दी गई रेखाएँ $ax + 2y + 1 = 0$,$bx + 3y + 1 = 0$ और $cx + 4y + 1 = 0$ हैं।
चूँकि ये रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ b & 3 & 1 \\ c & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(3 - 4) - 2(b - c) + 1(4b - 3c) = 0$
$-a - 2b + 2c + 4b - 3c = 0$
$-a + 2b - c = 0$
$2b = a + c$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3(-2) - (-3)(2)) - 1(a(-2) - (-3)(3)) - 1(a(2) - 3(3)) = 0$
$2(-6 + 6) - 1(-2a + 9) - 1(2a - 9) = 0$
$2(0) + 2a - 9 - 2a + 9 = 0$
$0 = 0$
चूँकि सारणिक का मान $a$ के किसी भी मान के लिए शून्य है,इसलिए रेखाएँ $a$ के सभी मानों के लिए संगामी हैं।

(C) यदि रेखाएँ संगामी हैं तो उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\left| \begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ b & 5 & -3 \end{array} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5b) - 1(5 + b) = 0$
$-88 + 9 + 15b - 5 - b = 0$
$-84 + 14b = 0$
$14b = 84$
$b = 6$

(D) तीन रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 5 & a & -3 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(-3a + 3) + 1(-15 + 6) - 2(5 - 2a) = 0$
$-9a + 9 - 9 - 10 + 4a = 0$
$-5a - 10 = 0$
$a = -2$

(D) तीनों रेखाओं के संगामी होने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} l & m & n \\ m & n & l \\ n & l & m \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} l + m + n & m & n \\ l + m + n & n & l \\ l + m + n & l & m \end{vmatrix} = 0$
$(l + m + n)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(l + m + n) \begin{vmatrix} 1 & m & n \\ 1 & n & l \\ 1 & l & m \end{vmatrix} = 0$
अतः,संगामी होने की शर्त $l + m + n = 0$ है।

(B) दी गई रेखाओं का समीकरण $4ax + 3by + c = 0$ है और शर्त $a + b + c = 0$ है।
शर्त से,हम लिख सकते हैं $c = -(a + b)$।
इस मान को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4ax + 3by - (a + b) = 0$
$a$ और $b$ के पदों को समूहबद्ध करने पर:
$a(4x - 1) + b(3y - 1) = 0$
यह समीकरण $a$ और $b$ के सभी मानों के लिए सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4}$
$3y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः,रेखाएँ बिंदु $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ पर संगामी हैं।

(C) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & q \\ 0 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 \times 5 - (-2) \times 2) - 0 + q(0 \times 2 - 1 \times 3) = 0$
$1(5 + 4) + q(-3) = 0$
$9 - 3q = 0$
$3q = 9$
$q = 3$

(B) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 5,$ $5x + 4y = 4$ और $\lambda x + 4y = 6$ हैं।
ये रेखाएँ संगामी (concurrent) होंगी यदि पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी रेखा पर स्थित हो।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(5x + 4y) - (3x + 4y) = 4 - 5 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}.$
$x = -\frac{1}{2}$ को $3x + 4y = 5$ में रखने पर: $3(-\frac{1}{2}) + 4y = 5 \implies -\frac{3}{2} + 4y = 5 \implies 4y = \frac{13}{2} \implies y = \frac{13}{8}.$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{1}{2}, \frac{13}{8})$ है।
चूँकि यह बिंदु $\lambda x + 4y = 6$ पर स्थित है,इसलिए $\lambda(-\frac{1}{2}) + 4(\frac{13}{8}) = 6.$
$-\frac{\lambda}{2} + \frac{13}{2} = 6 \implies -\frac{\lambda}{2} = -\frac{1}{2} \implies \lambda = 1.$

(A) दी गई तीन सीधी रेखाएँ $ax + by - c = 0$,$bx + cy - a = 0$ और $cx + ay - b = 0$ हैं।
इन रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & b & -c \\ b & c & -a \\ c & a & -b \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ से $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$-\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$-(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 0$
इसके लिए,या तो $(a+b+c) = 0$ या सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} = 0$ होना चाहिए।
संगामी होने की शर्त $a + b + c = 0$ है।

(D) रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$L_1: x + 2y - 3 = 0$
$L_2: 3x + 4y - 7 = 0$
$L_3: 2x + 3y - 4 = 0$
$L_4: 4x + 5y - 6 = 0$
सबसे पहले,ढाल $(m = -A/B)$ की तुलना करके समानांतर रेखाओं की जांच करें:
$m_1 = -1/2, m_2 = -3/4, m_3 = -2/3, m_4 = -4/5$.
चूंकि कोई भी ढाल समान नहीं है,इसलिए कोई भी दो रेखाएं समानांतर नहीं हैं। अतः,वे एक आयत नहीं बना सकतीं।
इसके बाद,किसी भी तीन रेखाओं के लिए संगामी होने की जांच करें। $L_1, L_2, L_3$ के लिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & -7 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 1(-16 + 21) - 2(-12 + 14) - 3(9 - 8) = 5 - 4 - 3 = -2 \neq 0$.
चूंकि सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए रेखाएं संगामी नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) रेखाओं $x - y - 4 = 0$ और $3x + y - 7 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(x - y - 4) + \lambda(3x + y - 7) = 0$ है।
इसे सरल करने पर: $(1 + 3\lambda)x + (\lambda - 1)y - (4 + 7\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह रेखा $x + 2y = 1$ के समांतर है,इसलिए गुणांकों का अनुपात समान होगा:
$\frac{1 + 3\lambda}{\lambda - 1} = \frac{1}{2}$.
वज्र-गुणन करने पर: $2 + 6\lambda = \lambda - 1$,जिससे $5\lambda = -3$,अर्थात $\lambda = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -\frac{3}{5}$ का मान रखने पर:
$(x - y - 4) - \frac{3}{5}(3x + y - 7) = 0$.
$5$ से गुणा करने पर: $5x - 5y - 20 - 9x - 3y + 21 = 0$.
परिणामस्वरूप $-4x - 8y + 1 = 0$,अर्थात $4x + 8y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएँ संगामी होती हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
$2ac = b(a + c)$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
यह शर्त दर्शाती है कि $a, b$ और $c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(B) यदि रेखाएँ संगामी हैं,तो गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$
$3abc - a^3 - b^3 - c^3 = 0$
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$
सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर
इसका अर्थ है $a + b + c = 0$ या $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
अतः,अभीष्ट शर्त $a + b + c = 0$ है।

(B) तीन रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए।
समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$2x + y - 4 = 0$
$3x + 2y - 3 = 0$
$ax + 3y - 2 = 0$
संगामी होने की शर्त है:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 \\ 3 & 2 & -3 \\ a & 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2(-2) - (-3)(3)) - 1(3(-2) - (-3)(a)) - 4(3(3) - 2(a)) = 0$
$2(-4 + 9) - 1(-6 + 3a) - 4(9 - 2a) = 0$
$2(5) + 6 - 3a - 36 + 8a = 0$
$10 + 6 - 36 + 5a = 0$
$-20 + 5a = 0$
$5a = 20$
$a = 4$

(B) दिया गया समीकरण $ax + by + c = 0$ है और शर्त $3a + 2b + 4c = 0$ है।
दूसरे समीकरण से,$c = -\frac{3a + 2b}{4}$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$ax + by - \frac{3a + 2b}{4} = 0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4ax + 4by - 3a - 2b = 0$
$a$ और $b$ के पदों को समूहित करने पर:
$a(4x - 3) + b(4y - 2) = 0$
चूँकि यह सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4x - 3 = 0 \implies x = 3/4$
$4y - 2 = 0 \implies y = 2/4 = 1/2$
अतः,संगामी बिंदु $(3/4, 1/2)$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण: $ax + by + c = 0$ $(i)$
दी गई शर्त: $3a - 2b + 5c = 0$
$5$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{3}{5}a - \frac{2}{5}b + c = 0$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a(x - \frac{3}{5}) + b(y + \frac{2}{5}) = 0$
यह $x - \frac{3}{5} = 0$ और $y + \frac{2}{5} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक परिवार दर्शाता है।
अतः,रेखाएँ बिंदु $(\frac{3}{5}, -\frac{2}{5})$ पर संगामी हैं।
चूंकि रेखाओं का परिवार $L_1 + \lambda L_2 = 0$,$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन पर संगामी होता है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया समीकरण $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ है।
$k$ को अलग करने पर:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$।
यह रेखाओं का एक परिवार है जो $2x + y - 5 = 0$ और $x + y - 7 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x + y = 5$
$x + y = 7$
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 5 - 7$
$x = -2$।
$x = -2$ को $x + y = 7$ में रखने पर:
$-2 + y = 7 \implies y = 9$।
अतः,सभी रेखाएँ निश्चित बिंदु $(-2, 9)$ से होकर गुजरती हैं।

(A) माना बिंदु $A(-a, -b)$,$B(0, 0)$,$C(a, b)$ और $D(a^2, ab)$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने की जांच करने के लिए,हम उनके बीच की ढाल (slope) की गणना करते हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब $CD$ की ढाल $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (जहाँ $a \neq 1, 0$)।
चूंकि $AB, BC$ और $CD$ तीनों की ढाल $\frac{b}{a}$ है,इसलिए चारों बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
अतः,ये बिंदु संरेख हैं।

(C) $x + y - 3 = 0$ और $2x - y + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(x + y - 3) + \lambda(2x - y + 1) = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $(2, -3)$ से गुजरती है,इसलिए $x = 2$ और $y = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 - 3 - 3) + \lambda(2(2) - (-3) + 1) = 0$
$-4 + \lambda(4 + 3 + 1) = 0$
$-4 + 8\lambda = 0$
$8\lambda = 4 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
अब $\lambda = \frac{1}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x + y - 3) + \frac{1}{2}(2x - y + 1) = 0$
$2(x + y - 3) + (2x - y + 1) = 0$
$2x + 2y - 6 + 2x - y + 1 = 0$
$4x + y - 5 = 0$.

(C) चरण $1$: रेखाओं $4x - 3y = 1$ और $5x - 2y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $8x - 6y = 2$ और $15x - 6y = 9$ प्राप्त होता है।
समीकरणों को घटाने पर: $7x = 7$,अतः $x = 1$ है।
$x = 1$ को $4(1) - 3y = 1$ में रखने पर,$3y = 3$,अतः $y = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चरण $2$: रेखा $2x - 3y + 2 = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $2x - 3y + k = 0$ के रूप में होगा।
चूंकि रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है: $2(1) - 3(1) + k = 0$।
$2 - 3 + k = 0$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $2x - 3y + 1 = 0$ है।

(B) बिंदु संरेख होते हैं यदि उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ हो।
$\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \sec^2 \theta & 1 \\ \csc^2 \theta & 0 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(\sec^2 \theta - 0) - 1(0 - \csc^2 \theta) + 1(0 - \sec^2 \theta \csc^2 \theta) = 0$
$\sec^2 \theta + \csc^2 \theta - \sec^2 \theta \csc^2 \theta = 0$
$\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$0 = 0$
यह सर्वसमिका सभी $\theta$ के लिए सत्य है जहाँ $\sec^2 \theta$ और $\csc^2 \theta$ परिभाषित हैं।
चूँकि $\theta = \frac{n\pi}{2}$ पर $\sec^2 \theta$ अपरिभाषित है,इसलिए बिंदु $\theta \neq \frac{n\pi}{2}$ के लिए संरेख हैं।

(A) $ax + 2by + 3b = 0$ और $bx - 2ay - 3a = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(ax + 2by + 3b) + \lambda(bx - 2ay - 3a) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(a + \lambda b)x + (2b - 2a\lambda)y + (3b - 3a\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$a + \lambda b = 0$,जिससे $\lambda = -a/b$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -a/b$ को समीकरण में रखने पर:
$(ax + 2by + 3b) - \frac{a}{b}(bx - 2ay - 3a) = 0$
$ax + 2by + 3b - ax + \frac{2a^2}{b}y + \frac{3a^2}{b} = 0$
$y(2b + \frac{2a^2}{b}) + (3b + \frac{3a^2}{b}) = 0$
$y(\frac{2b^2 + 2a^2}{b}) = -(\frac{3b^2 + 3a^2}{b})$
$y = -\frac{3(a^2 + b^2)}{2(a^2 + b^2)} = -\frac{3}{2}$.
इस प्रकार,रेखा $y = -3/2$ है,जो $x$-अक्ष से $3/2$ इकाई नीचे है।