Concurrency of three lines Questions in Gujarati

(B) આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(3x - 4y + 1) + k(5x + y - 1) = 0$ છે.
તેનું સાદું રૂપ $(3 + 5k)x + (k - 4)y + (1 - k) = 0$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડ $x$-અંતઃખંડ $= \frac{k - 1}{3 + 5k}$ અને $y$-અંતઃખંડ $= \frac{k - 1}{k - 4}$ છે.
સમાન અંતઃખંડ હોવાથી,$\frac{k - 1}{3 + 5k} = \frac{k - 1}{k - 4}$.
આથી $k - 1 = 0$ અથવા $\frac{1}{3 + 5k} = \frac{1}{k - 4}$.
જો $k = 1$ હોય,તો સમીકરણ $8x - 3y = 0$ મળે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
જો $k - 4 = 3 + 5k$ હોય,તો $4k = -7$,એટલે કે $k = -7/4$.
$k = -7/4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4(3x - 4y + 1) - 7(5x + y - 1) = 0$.
$12x - 16y + 4 - 35x - 7y + 7 = 0$.
$-23x - 23y + 11 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $23x + 23y = 11$ થાય.

(B) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય ત્યારે તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ બે બિંદુઓની જોડી વચ્ચેનો ઢાળ સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે બિંદુઓ $A(a, 0)$,$B(0, b)$ અને $C(1, 1)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - b}{1 - 0} = 1 - b$.
ઢાળને સરખાવતા: $-\frac{b}{a} = 1 - b$.
$-b = a(1 - b) \implies -b = a - ab$.
પદોને ગોઠવતા: $ab = a + b$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા: $1 = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}$.
તેથી,$1 = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$ અથવા $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$.

(A) રેખાઓ $ax + by + c = 0$ અને $a'x + b'y + c' = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(ax + by + c) + \lambda(a'x + b'y + c') = 0$ છે.
આને $x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + (c + \lambda c') = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$b + \lambda b' = 0$,જેનો અર્થ છે $\lambda = -\frac{b}{b'}$.
આ $\lambda$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(a - \frac{b}{b'}a') + y(b - \frac{b}{b'}b') + (c - \frac{b}{b'}c') = 0$.
$b'$ વડે ગુણતા:
$x(ab' - a'b) + y(bb' - bb') + (cb' - bc') = 0$.
$x(ab' - a'b) + (cb' - bc') = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(2 \cos \theta + 3 \sin \theta) x + (3 \cos \theta - 5 \sin \theta) y - (5 \cos \theta - 2 \sin \theta) = 0$ છે.
$\cos \theta$ અને $\sin \theta$ ના પદોને અલગ કરતા:
$\cos \theta (2x + 3y - 5) + \sin \theta (3x - 5y + 2) = 0$.
$\theta$ ના બધા મૂલ્યો માટે આ સમીકરણ સાચું હોવા માટે,$\cos \theta$ અને $\sin \theta$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2x + 3y - 5 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$3x - 5y + 2 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$10x + 15y - 25 = 0$
$9x - 15y + 6 = 0$
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$19x - 19 = 0 \implies x = 1$.
$x = 1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2(1) + 3y - 5 = 0 \implies 3y = 3 \implies y = 1$.
તેથી,અચળ બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(A) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ b & 3 & 1 \\ c & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(3 - 4) - 2(b - c) + 1(4b - 3c) = 0$
$-a - 2b + 2c + 4b - 3c = 0$
$-a + 2b - c = 0$
$2b = a + c$
આ શરત સૂચવે છે કે $a, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) પગલું $1$: $y = x + 7$ અને $x + 2y + 1 = 0$ ના છેદબિંદુ શોધો.
$y = x + 7$ ને $x + 2y + 1 = 0$ માં મૂકતા:
$x + 2(x + 7) + 1 = 0$
$x + 2x + 14 + 1 = 0$
$3x = -15$
$x = -5$.
તેથી $y = -5 + 7 = 2$.
છેદબિંદુ $(-5, 2)$ છે.
પગલું $2$: $5x - 2y + 7 = 0$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ શોધો.
$5x - 2y + 7 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{5}{-2} = \frac{5}{2}$ છે.
લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{2}{5}$ થશે.
પગલું $3$: બિંદુ $(-5, 2)$ અને ઢાળ $m = -\frac{2}{5}$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મેળવો.
$y - 2 = -\frac{2}{5}(x + 5)$
$5(y - 2) = -2(x + 5)$
$5y - 10 = -2x - 10$
$2x + 5y = 0$.

(A) બે રેખાઓ $L_1: x + y - 2 = 0$ અને $L_2: 2x - y + 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $L_1 + \lambda L_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y - 2) + \lambda(2x - y + 1) = 0$.
આ રેખા ઉદગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$(0 + 0 - 2) + \lambda(0 - 0 + 1) = 0$
$-2 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે $\lambda = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y - 2) + 2(2x - y + 1) = 0$
$x + y - 2 + 4x - 2y + 2 = 0$
$5x - y = 0$.

(A) ધારો કે ચોથા ચરણમાં છેદબિંદુ $(\alpha, -\alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha > 0$.
આ બિંદુ બંને રેખાઓ $4ax + 2ay + c = 0$ અને $5bx + 2by + d = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
પ્રથમ રેખા માટે: $4a(\alpha) + 2a(-\alpha) + c = 0$ $\Rightarrow 2a\alpha + c = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{c}{2a}$.
બીજી રેખા માટે: $5b(\alpha) + 2b(-\alpha) + d = 0$ $\Rightarrow 3b\alpha + d = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{d}{3b}$.
$\alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{c}{2a} = -\frac{d}{3b}$.
ગુણાકાર કરતા $3bc = 2ad$ મળે,જેને $3bc - 2ad = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ છે.
$k$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$.
આ રેખાઓ $2x + y - 5 = 0$ અને $x + y - 7 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું કુટુંબ દર્શાવે છે.
આ બે સમીકરણોને ઉકેલતા:
$2x + y = 5$
$x + y = 7$
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(2x - x) + (y - y) = 5 - 7$,જે $x = -2$ આપે છે.
$x = -2$ ને $x + y = 7$ માં મૂકતા: $-2 + y = 7$,તેથી $y = 9$.
આમ,બધી રેખાઓ $(-2, 9)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
આપણને શરત $3a + 2b + 4c = 0$ આપેલી છે.
આ શરતને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3}{4}a + \frac{2}{4}b + c = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, c$ ની તમામ કિંમતો માટે આ રેખાઓ નિશ્ચિત બિંદુ $(x, y) = (3/4, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,રેખાઓ બિંદુ $(3/4, 1/2)$ આગળ સંગામી છે.

(C) સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $a_1 x + b_1 y = c_1$ અને $a_2 x + b_2 y = c_2$ ને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $a^2 x + (2 - a) y = 4 + a^2$ અને $a x + (2 a - 1) y = a^5 - 2$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{a^2}{a} = \frac{2 - a}{2a - 1} \neq \frac{4 + a^2}{a^5 - 2}$.
$\frac{a^2}{a} = \frac{2 - a}{2a - 1}$ પરથી ($a \neq 0$ ધારીને): $a = \frac{2 - a}{2a - 1} \implies 2a^2 - a = 2 - a \implies 2a^2 = 2 \implies a^2 = 1 \implies a = 1$ અથવા $a = -1$.
કિસ્સો $1$: જો $a = 1$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{5}{-1}$ થાય છે,જે સાચું છે.
કિસ્સો $2$: જો $a = -1$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{1}{-1} = \frac{3}{-3} \neq \frac{5}{-3}$ થાય છે,જે સાચું છે.
જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણો $2y = 4$ અને $-y = -2$ બને છે,જેનો ઉકેલ $y = 2$ મળે છે. તેથી $a=0$ શક્ય નથી.
આમ,$a$ ની $2$ કિંમતો માટે સમીકરણ સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) ધારો કે $H.P.$ નું $k$-મું પદ $x_k$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{1}{x_k}$ એ $A.P.$ નું $k$-મું પદ છે.
ધારો કે $a_k = \frac{1}{x_k} = a + (k-1)d$,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
બિંદુઓના યામ $P(a_p, p)$,$Q(a_q, q)$,અને $R(a_r, r)$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{q - p}{a_q - a_p} = \frac{q - p}{(a + (q-1)d) - (a + (p-1)d)} = \frac{q - p}{(q - p)d} = \frac{1}{d}$ છે.
રેખાખંડ $QR$ નો ઢાળ $m_{QR} = \frac{r - q}{a_r - a_q} = \frac{r - q}{(a + (r-1)d) - (a + (q-1)d)} = \frac{r - q}{(r - q)d} = \frac{1}{d}$ છે.
જેમ કે ઢાળ $m_{PQ} = m_{QR} = \frac{1}{d}$ સમાન છે,તેથી બિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ $P, Q, R$ સમરેખ છે.

(D) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$D = \begin{vmatrix} a & am & 1 \\ b & b(m+1) & 1 \\ c & c(m+2) & 1 \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - mC_1$ લાગુ કરતા:
$\begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ b & b & 1 \\ c & 2c & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(b - 2c) - 0 + 1(2bc - bc) = 0$
$ab - 2ac + bc = 0$
$b(a + c) = 2ac$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
આ સૂચવે છે કે $a, b, c$ એ બધા $m \neq 0$ માટે $H.P.$ માં છે.

(A) $x^2 + 8x - 20 = 0$ માટે,બીજ $x = 2, -10$ છે. તેથી,$(x_1, y_1) = (2, -10)$.
$4x^2 + 32x - 57 = 0$ માટે,બીજ $x = \frac{3}{2}, -\frac{19}{2}$ છે. તેથી,$(x_2, y_2) = (\frac{3}{2}, -\frac{19}{2})$.
$9x^2 + 72x - 112 = 0$ માટે,બીજ $x = \frac{4}{3}, -\frac{28}{3}$ છે. તેથી,$(x_3, y_3) = (\frac{4}{3}, -\frac{28}{3})$.
સમરેખતા ચકાસવા માટે,$A(2, -10)$ અને $B(\frac{3}{2}, -\frac{19}{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવીએ.
ઢાળ $m = \frac{-\frac{19}{2} - (-10)}{\frac{3}{2} - 2} = -1$.
સમીકરણ: $y + 10 = -1(x - 2) \implies x + y = -8$.
હવે,ચકાસો કે $C(\frac{4}{3}, -\frac{28}{3})$ એ $x + y = -8$ નું પાલન કરે છે કે નહીં:
$\frac{4}{3} + (-\frac{28}{3}) = -\frac{24}{3} = -8$.
બિંદુ $C$ સમીકરણનું પાલન કરતું હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(A) રેખાઓ સંગામી હોય તે માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ m - 1 & m^2 - 7 & -5 \\ m - 2 & 2m - 5 & 0 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(m - 2) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ m^2 - 7 & -5 \end{vmatrix} + (2m - 5) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ m - 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$
$-(m - 2)(-5 + m^2 - 7) + (2m - 5)(-5 + m - 1) = 0$
$-(m - 2)(m^2 - 12) + (2m - 5)(m - 6) = 0$
$-m^3 + 8m^2 - 5m + 6 = 0 \implies m^3 - 8m^2 + 5m - 6 = 0$
$m=3$ માટે તપાસતા,રેખાઓ $x+y-1=0$,$2x+2y-5=0$ અને $x+y=0$ મળે છે. અહીં $x+y-1=0$ અને $x+y=0$ સમાંતર રેખાઓ છે,તેથી તે ક્યારેય છેદતી નથી. આમ,$m$ ની કોઈ કિંમત શક્ય નથી.

(B) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array} \right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
આખા સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$-\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
કારણ કે $-\frac{a}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = \frac{1}{1-a} - 1$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{1}{1-a} - 1) + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y = -1$ $(1)$
$3x + y = 2$ $(2)$
$\lambda x + 2y = \mu$ $(3)$
પ્રથમ,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલીને છેદબિંદુ $(x, y)$ શોધો.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 2 - 3x$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(2 - 3x) = -1$
$2x + 6 - 9x = -1$
$-7x = -7 \Rightarrow x = 1$.
હવે,$y$ ની કિંમત શોધો:
$y = 2 - 3(1) = -1$.
સમીકરણ સંહતિ સુસંગત હોવાથી,બિંદુ $(1, -1)$ એ ત્રીજા સમીકરણ $(3)$ નું સમાધાન કરશે:
$\lambda(1) + 2(-1) = \mu$
$\lambda - 2 = \mu$
$\lambda - \mu = 2$.

(C) આપેલ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ હરાત્મક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $y = x + 9\alpha$ અને $3\alpha x + 2y + 9 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3\alpha x + 2(x + 9\alpha) + 9 = 0$
$x(3\alpha + 2) = -18\alpha - 9$
$x = \frac{-18\alpha - 9}{3\alpha + 2} = -6 + \frac{3}{3\alpha + 2}$
$x$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$(3\alpha + 2)$ એ $3$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
$3$ ના અવયવો $\pm 1, \pm 3$ છે.
માત્ર $\alpha = -1$ માટે $x$ પૂર્ણાંક મળે છે.
તેથી,$\alpha$ નું $1$ પૂર્ણાંક મૂલ્ય શક્ય છે.

(C) આપેલ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
$2ac = b(a + c)$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ હરાત્મક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A\left( 0, \frac{8}{3} \right)$,$B(1, 3)$ અને $C(82, 30)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{3 - \frac{8}{3}}{1 - 0} = \frac{\frac{9-8}{3}}{1} = \frac{1}{3}$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{30 - 3}{82 - 1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
અહીં $AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી અને તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે,એટલે કે તેઓ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(C) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: x + 2ay + a = 0$ $(1)$
$L_2: x + 3by + b = 0$ $(2)$
$L_3: x + 4ay + a = 0$ $(3)$
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેઓ એક સામાન્ય બિંદુએ છેદે છે.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 4ay + a) - (x + 2ay + a) = 0$
$2ay = 0$
રેખાઓ ભિન્ન હોવાથી,$a \neq 0$,તેથી $y = 0$.
સમીકરણ $(1)$ માં $y = 0$ મુકતા:
$x + 2a(0) + a = 0 \Rightarrow x = -a$.
સંગામી બિંદુ $(-a, 0)$ છે.
આ બિંદુ રેખા $(2)$ પર હોવું જોઈએ:
$-a + 3b(0) + b = 0$
$-a + b = 0 \Rightarrow b = a$.
બિંદુ $(a, b)$ એ સમીકરણ $y = x$ નું પાલન કરે છે,જે એક સુરેખા દર્શાવે છે.

(C) આપેલી રેખાઓ:
$ax + 2by + 3b = 0$ $(1)$
$bx - 2ay - 3a = 0$ $(2)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(1)$ ને $a$ વડે અને $(2)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2x + 2aby + 3ab = 0$
$b^2x - 2aby - 3ab = 0$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $(a^2 + b^2)x = 0$. કારણ કે $(a, b) \neq (0, 0)$,તેથી $a^2 + b^2 \neq 0$,એટલે કે $x = 0$.
$(1)$ માં $x = 0$ મૂકતા: $2by = -3b$. તેથી $y = -3/2$.
છેદબિંદુ $(0, -3/2)$ છે.
$x-$ અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપનું હોય. તે $(0, -3/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $y = -3/2$ મળે.
આ રેખા $x-$ અક્ષની નીચે $3/2$ અંતરે આવેલી છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $px + qy + r = 0$ અને શરત $3p + 2q + 4r = 0$ છે.
શરત પરથી,આપણે $r = -\frac{3p + 2q}{4}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$px + qy - \frac{3p + 2q}{4} = 0$
$4px + 4qy - 3p - 2q = 0$
$p$ અને $q$ ના પદોને ગોઠવતા:
$p(4x - 3) + q(4y - 2) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $p$ અને $q$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$
$4y - 2 = 0 \implies y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,બધી રેખાઓ નિશ્ચિત બિંદુ $\left( \frac{3}{4}, \frac{1}{2} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ આ બિંદુએ સંગામી છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(3, -1), (1, 3)$ અને $(2, 4)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $C = (\frac{3+1+2}{3}, \frac{-1+3+4}{3}) = (2, 2).$
રેખાઓ $x + 3y - 1 = 0$ અને $3x - y + 1 = 0$ નું છેદબિંદુ $P = (-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).$
$C(2, 2)$ અને $P(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $8x - 11y + 6 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $(-9, -6)$ બિંદુ મૂકતા: $8(-9) - 11(-6) + 6 = -72 + 66 + 6 = 0.$
તેથી,રેખા $(-9, -6)$ માંથી પસાર થાય છે.

બિંદુઓ $(3,0), (-2,-2)$ અને $(8,2)$ સમરેખ છે તે દર્શાવવા માટે,તે પૂરતું છે કે બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(-2,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખા બિંદુ $(8,2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(-2,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$(y - 0) = \frac{-2 - 0}{-2 - 3}(x - 3)$
$y = \frac{-2}{-5}(x - 3)$
$y = \frac{2}{5}(x - 3)$
$5y = 2x - 6$
$2x - 5y = 6$
હવે,આપણે તપાસીએ કે બિંદુ $(8,2)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$L.H.S. = 2(8) - 5(2) = 16 - 10 = 6$
અહીં $L.H.S. = R.H.S. = 6$ હોવાથી,બિંદુ $(8,2)$ એ $(3,0)$ અને $(-2,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
તેથી,બિંદુઓ $(3,0), (-2,-2)$ અને $(8,2)$ સમરેખ છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ સંગામી ત્યારે કહેવાય જ્યારે તે એક સામાન્ય બિંદુમાંથી પસાર થાય,એટલે કે કોઈપણ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ ત્રીજી રેખા પર આવેલું હોય.
આપેલ રેખાઓ:
$2x + y - 3 = 0$ $(1)$
$5x + ky - 3 = 0$ $(2)$
$3x - y - 2 = 0$ $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x + y - 3) + (3x - y - 2) = 0$
$5x - 5 = 0 \implies x = 1$
$x = 1$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2(1) + y - 3 = 0 \implies y = 1$
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ સમીકરણ $(2)$ નું સમાધાન કરશે:
$5(1) + k(1) - 3 = 0$
$5 + k - 3 = 0$
$k + 2 = 0 \implies k = -2$

(N/A) $y-$ અક્ષને સમાંતર કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $x=a$ $(1)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ બે રેખાઓ $x-7y+5=0$ $(2)$ અને $3x+y=0$ $(3)$ છે.
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$y = -3x$ મળે છે.
$y = -3x$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$x - 7(-3x) + 5 = 0$
$x + 21x + 5 = 0$
$22x = -5$
$x = -\frac{5}{22}$.
રેખા $x=a$ એ છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,$a$ ની કિંમત છેદબિંદુનો $x-$ યામ થશે.
તેથી,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $x = -\frac{5}{22}$ અથવા $22x + 5 = 0$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$3x + y - 2 = 0$ ...... $(1)$
$px + 2y - 3 = 0$ ...... $(2)$
$2x - y - 3 = 0$ ...... $(3)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો ઉકેલ મેળવો:
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x + y - 2) + (2x - y - 3) = 0$
$5x - 5 = 0$
$x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(1) + y - 2 = 0$
$3 + y - 2 = 0$
$y + 1 = 0$
$y = -1$
છેદબિંદુ $(1, -1)$ છે.
ત્રણેય રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(1, -1)$ એ સમીકરણ $(2)$ નું સમાધાન કરશે:
$p(1) + 2(-1) - 3 = 0$
$p - 2 - 3 = 0$
$p - 5 = 0$
$p = 5$
આમ,$p$ ની જરૂરી કિંમત $5$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ... $(2)$
$y=m_{3}x+c_{3}$ ... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માંથી બાદ કરતા:
$0 = (m_{2}-m_{1})x + (c_{2}-c_{1})$
$(m_{1}-m_{2})x = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ ની આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1}$
$y = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
આમ,રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ નું છેદબિંદુ $\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,આ બિંદુ સમીકરણ $(3)$ નું સમાધાન કરશે:
$\frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}} = m_{3}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{3}$
$m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1} = m_{3}(c_{2}-c_{1}) + c_{3}(m_{1}-m_{2})$
$m_{1}(c_{2}-c_{3}) + m_{2}(c_{3}-c_{1}) + m_{3}(c_{1}-c_{2}) = 0$.

(D) ત્રણ રેખાઓ ત્રિકોણ ન બનાવે જો તે સંગામી હોય અથવા તેમાંથી કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર હોય.
કિસ્સો-$1$: રેખાઓ સંગામી છે.
સંગામી હોવાની શરત એ છે કે સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 6 & 3 & 1 \\ \alpha & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
$2(-6 - 2) - (-1)(-12 - \alpha) + 3(12 - 3\alpha) = 0$
$-16 - 12 - \alpha + 36 - 9\alpha = 0$
$8 - 10\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{4}{5}$.
કિસ્સો-$2$: બે રેખાઓ સમાંતર છે.
રેખા $L_1: 2x - y + 3 = 0$ (ઢાળ $m_1 = 2$)
રેખા $L_2: 6x + 3y + 1 = 0$ (ઢાળ $m_2 = -2$)
રેખા $L_3: \alpha x + 2y - 2 = 0$ (ઢાળ $m_3 = -\frac{\alpha}{2}$)
$L_3$ એ $L_1$ ને સમાંતર હોય જો $-\frac{\alpha}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = -4$.
$L_3$ એ $L_2$ ને સમાંતર હોય જો $-\frac{\alpha}{2} = -2 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\alpha$ ના મૂલ્યો $\frac{4}{5}, 4, -4$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $p = (\frac{4}{5})^2 + (4)^2 + (-4)^2 = \frac{16}{25} + 16 + 16 = 32.64$.
$p$ થી નાનો અથવા તેના બરાબરનો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[32.64] = 32$ છે.

(B) રેખાઓ $L_1: x+3y-5=0$,$L_2: 3x-ky-1=0$,અને $L_3: 5x+2y-12=0$ છે.
$(A)$ સંગામી રેખાઓ માટે,તેઓ એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ. $L_1$ અને $L_3$ ને ઉકેલતા: $x+3y=5$ અને $5x+2y=12$. $L_1$ ને $5$ વડે ગુણતા: $5x+15y=25$. $L_3$ ને બાદ કરતા: $13y=13 \Rightarrow y=1$. તેથી $x=2$. છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે. $L_2$ માં કિંમત મૂકતા: $3(2)-k(1)-1=0 \Rightarrow 6-k-1=0 \Rightarrow k=5$. આમ,$(A) \rightarrow (s)$.
$(B)$ રેખાઓ સમાંતર હોય તે માટે:
$L_1 \parallel L_2: \frac{1}{3} = \frac{3}{-k} \Rightarrow k=-9$.
$L_2 \parallel L_3: \frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$.
$L_1 \parallel L_3$ શક્ય નથી કારણ કે ઢાળ $-1/3$ અને $-5/2$ છે. આમ,$(B) \rightarrow (p, q)$.
$(C)$ રેખાઓ ત્રિકોણ બનાવે છે જો તેઓ સંગામી ન હોય અને કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર ન હોય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $k \neq 5, -9, -\frac{6}{5}$. વિકલ્પોમાંથી,ફક્ત $k=\frac{5}{6}$ આ શરત સંતોષે છે. આમ,$(C) \rightarrow (r)$.
$(D)$ રેખાઓ ત્રિકોણ બનાવતી નથી જો તેઓ સંગામી હોય અથવા સમાંતર હોય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $k=5, -9, -\frac{6}{5}$. આમ,$(D) \rightarrow (p, q, s)$.

(A) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ સૂચવે છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(A) આપેલી રેખાઓ $3x - y = 5$ અને $x + 3y = 1$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$3(3x - y) = 3(5) \Rightarrow 9x - 3y = 15$
$x + 3y = 1$ સાથે સરવાળો કરતા,$10x = 16 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$.
$x = \frac{8}{5}$ ને $3x - y = 5$ માં મૂકતા: $y = \frac{24}{5} - 5 = -\frac{1}{5}$.
છેદબિંદુ $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ છે.
સમાન અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = a$ છે.
બિંદુ $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ મૂકતા:
$\frac{8}{5} - \frac{1}{5} = a \Rightarrow a = \frac{7}{5}$.
તેથી,$x + y = \frac{7}{5} \Rightarrow 5x + 5y - 7 = 0$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: x - 2y + 8 = 0$ અને $L_2: 3x - y + 4 = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$L_2$ ને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 2y + 8 = 0$.
તેમાંથી $L_1$ બાદ કરતા: $5x = 0$,તેથી $x = 0$.
$x = 0$ ને $L_2$ માં મૂકતા: $y = 4$.
છેદબિંદુ $(0, 4)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x = 0$ છે.

(NONE) પગલું $1$: $x + 2y + 6 = 0$ અને $2x - y = 2$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 2x - 2$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(2x - 2) + 6 = 0$.
$x + 4x - 4 + 6 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$.
તેથી $y = 2(-\frac{2}{5}) - 2 = -\frac{14}{5}$.
છેદબિંદુ $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ છે.
પગલું $2$: $y$-અંતઃખંડ $c = 5$ વાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + 5$ છે.
રેખા $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$-\frac{14}{5} = m(-\frac{2}{5}) + 5 \implies m = \frac{39}{2}$.
પગલું $3$: સમીકરણ $y = \frac{39}{2}x + 5 \implies 39x - 2y + 10 = 0$ થાય.

(A) ત્રણ રેખાઓ $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ અને $a_3 x + b_3 y + c_3 = 0$ સંગામી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} k & 2 & 2 \\ 2 & k & 3 \\ 3 & 3 & k \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$k(k^2 - 9) - 2(2k - 9) + 2(6 - 3k) = 0$
$k^3 - 9k - 4k + 18 + 12 - 6k = 0$
$k^3 - 19k + 30 = 0$
અવયવ પાડતા,$(k - 2)$ એક અવયવ મળે છે:
$(k - 2)(k^2 + 2k - 15) = 0$
$(k - 2)(k + 5)(k - 3) = 0$
તેથી $k$ ના શક્ય મૂલ્યો $k_1 = 2$,$k_2 = -5$ અને $k_3 = 3$ છે.
સરવાળો $\sum k_i = 2 + (-5) + 3 = 0$ થાય.

(B) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(2, 4)$ અને $C(4, 8)$ છે.
તેઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા રેખાખંડોના ઢાળની ગણતરી કરીએ છીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{4 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.
કારણ કે $AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો છે અને તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવે છે,તેથી બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,આ બિંદુઓ એક સીધી રેખા બનાવે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ છે:
$x+3y-6=0$
$2x+y-4=0$
$kx-3y+1=0$
આ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -6 \\ 2 & 1 & -4 \\ k & -3 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1(1-12) - 3(2+4k) - 6(-6-k) = 0$
$-11 - 6 - 12k + 36 + 6k = 0$
$-6k + 19 = 0$
$6k = 19$
$k = \frac{19}{6}$

(C) શરત $PQ+PR=QR$ સૂચવે છે કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $QR$ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $Q(3,4)$ અને $R(1,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ.
ઢાળ $m = \frac{2-4}{1-3} = \frac{-2}{-2} = 1$.
રેખા $QR$ નું સમીકરણ $y - 2 = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $P$ એ રેખા $2x - y - 1 = 0$ અને રેખા $x - y + 1 = 0$ બંને પર હોવાથી,આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ:
$2x - y = 1$
$x - y = -1$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતાં $(2x - x) - (y - y) = 1 - (-1)$ મળે,તેથી $x = 2$.
$x = 2$ ને $x - y = -1$ માં મૂકતા,આપણને $2 - y = -1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 3$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(2,3)$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ છે:
$x+2y-3=0$ $\dots(i)$
$3x+4y-7=0$ $\dots(ii)$
$2x+3y-4=0$ $\dots(iii)$
$4x+5y-6=0$ $\dots(iv)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 3-2y$. $(ii)$ માં મૂકતા:
$3(3-2y) + 4y - 7 = 0$
$9 - 6y + 4y - 7 = 0$
$-2y + 2 = 0 \implies y = 1$.
તેથી $x = 3 - 2(1) = 1$.
છેદબિંદુ $P(1, 1)$ છે.
હવે,તપાસો કે $P(1, 1)$ એ $(iii)$ નું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$2(1) + 3(1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 \neq 0$.
પ્રથમ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ ત્રીજી રેખા પર ન હોવાથી,રેખાઓ સંગામી નથી.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(a+2b)x + (a-3b)y = a-b$ છે.
$a$ અને $b$ ના સહગુણકોને અલગ પાડતા:
$ax + 2bx + ay - 3by = a - b$
$a(x + y - 1) + b(2x - 3y + 1) = 0$
આ સમીકરણ $a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y - 1 = 0$ $(i)$
$2x - 3y + 1 = 0$ (ii)
$(i)$ પરથી,$y = 1 - x$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$2x - 3(1 - x) + 1 = 0$
$5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$
$x = \frac{2}{5}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$ છે.

(A) $L_1: 2x - y + 2 = 0$ અને $L_2: x + y + 4 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $L_1 + \lambda L_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(2x - y + 2) + \lambda(x + y + 4) = 0$.
આ રેખા $(5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 5$ અને $y = -2$ મુકતા:
$(2(5) - (-2) + 2) + \lambda(5 - 2 + 4) = 0$.
$14 + 7\lambda = 0$.
$\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ મુકતા:
$(2x - y + 2) - 2(x + y + 4) = 0$.
$-3y - 6 = 0$.
$y + 2 = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x-3y+2=0$ ...$(i)$
$2x+5y-7=0$ ...(ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 3y-2$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$2(3y-2) + 5y - 7 = 0$
$6y - 4 + 5y - 7 = 0$
$11y = 11 \Rightarrow y = 1$
$y=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x - 3(1) + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
$3x+2y+5=0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x-3y+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2(1) - 3(1) + \lambda = 0$
$2 - 3 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x-3y+1=0$ છે.