Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Gujarati

(A) રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{1+5}{2}, \frac{1+7}{2}) = (3, 4)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{7-1}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$ થાય.
બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{2}{3}(x - 3)$ છે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y - 12 = -2x + 6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2x + 3y = 18$ થાય છે.

(C) આપેલા બિંદુઓ $A(-1, 5)$,$B(0, 0)$,અને $C(2, 2)$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1, 1)$.
રેખા $AD$ નો ઢાળ $m_{AD} = \frac{1-5}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ છે.
રેખા $AD$ નું સમીકરણ $y - 5 = -2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + y - 3 = 0$ થાય છે.
$AD$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{AD}} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ રેખા $B(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0)$ એટલે કે $x - 2y = 0$ થાય.

(A) $(a, b)$ અને $(a', b')$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m_1 = \frac{b' - b}{a' - a}$ છે.
લંબ દ્વિભાજકનો ઢાળ $m = \frac{a' - a}{b - b'}$ થાય.
મધ્યબિંદુ $\left( \frac{a + a'}{2}, \frac{b + b'}{2} \right)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - \frac{b + b'}{2} = \frac{a' - a}{b - b'} \left( x - \frac{a + a'}{2} \right)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$2(a - a')x + 2(b - b')y = a^2 + b^2 - a'^2 - b'^2$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખા $x \sec \theta + y \csc \theta = a$ છે,જેને $x/\cos \theta + y/\sin \theta = a$ તરીકે લખી શકાય.
તેનો ઢાળ $m_1 = -(\sin \theta / \cos \theta) = -\tan \theta$ છે.
જરૂરી રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = -1/m_1 = \cot \theta = \cos \theta / \sin \theta$ થશે.
બિંદુ $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 \theta = (\cos \theta / \sin \theta)(x - a \cos^3 \theta)$
$y \sin \theta - a \sin^4 \theta = x \cos \theta - a \cos^4 \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos^4 \theta - a \sin^4 \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$.

(C) બિંદુઓ $(7, 4)$ અને $(-1, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{7-1}{2}, \frac{4-2}{2}) = (3, 1)$ છે.
રેખાખંડનો ઢાળ $m = \frac{-2-4}{-1-7} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{4}{3}$ થાય.
બિંદુ $(3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 3)$
$3(y - 1) = -4(x - 3)$
$3y - 3 = -4x + 12$
$4x + 3y = 15$.

(A) પગલું $1$: $5x - 6y - 1 = 0$ અને $3x + 2y + 5 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,$9x + 6y + 15 = 0$ મળે છે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(5x - 6y - 1) + (9x + 6y + 15) = 0$ $\Rightarrow 14x + 14 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $3x + 2y + 5 = 0$ માં મૂકતા: $3(-1) + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow -3 + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = -2$ $\Rightarrow y = -1$.
છેદબિંદુ $(-1, -1)$ છે.
પગલું $2$: $3x - 5y + 11 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ શોધો.
$ax + by + c = 0$ ને લંબ રેખાનું સામાન્ય સ્વરૂપ $bx - ay + k = 0$ છે.
તેથી,રેખા $5x + 3y + k = 0$ છે.
પગલું $3$: રેખા $(-1, -1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$5(-1) + 3(-1) + k = 0$ $\Rightarrow -5 - 3 + k = 0$ $\Rightarrow k = 8$.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ $5x + 3y + 8 = 0$ છે.

(A) $(-4, 6)$ અને $(8, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $(\frac{-4+8}{2}, \frac{6+8}{2}) = (2, 7)$ છે.
રેખાખંડનો ઢાળ $m = \frac{8-6}{8-(-4)} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -6$ થાય.
બિંદુ $(2, 7)$ માંથી પસાર થતી અને $-6$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 7 = -6(x - 2)$ છે.
$y - 7 = -6x + 12$.
$6x + y - 19 = 0$.

(A) $ax + by + c = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $bx - ay + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ રેખા $3x - 5y + 7 = 0$ છે,તેથી લંબ રેખા $5x + 3y + \lambda = 0$ $(i)$ થશે.
આ રેખા $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી બિંદુના યામ સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5(1) + 3(-2) + \lambda = 0$
$5 - 6 + \lambda = 0$
$-1 + \lambda = 0$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,માંગેલ સમીકરણ $5x + 3y + 1 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 1)$ અને $B(5, 3)$ છે.
$A$ અને $B$ સામસામેના શિરોબિંદુઓ હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}) = (2, 2)$ છે.
વિકર્ણ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3-1}{5-(-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
ચોરસનો બીજો વિકર્ણ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોય છે.
તેથી,બીજા વિકર્ણનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{AB}} = -3$ થશે.
$M(2, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $-3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2 = -3(x - 2)$
$y - 2 = -3x + 6$
$3x + y - 8 = 0$.

(A) $ax + by + c = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $bx - ay + \lambda = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે.....$(i)$
આ રેખા $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકીએ:
$b(a) - a(b) + \lambda = 0$
$ab - ab + \lambda = 0$
$\lambda = 0$
$\lambda = 0$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને માંગેલું સમીકરણ મળે છે:
$bx - ay = 0$

(B) આપેલ રેખા $3x - y + 4 = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(2, 3)$ માંથી દોરેલા લંબપાદના યામ $Q(h, k)$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m_1 = 3$ છે.
તેથી લંબરેખા $PQ$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{3}$ થાય.
બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી લંબરેખાનું સમીકરણ $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y = 11$ થાય.
સમીકરણો $3x - y = -4$ અને $x + 3y = 11$ ને ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા $9x - 3y = -12$ મળે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $10x = -1$,તેથી $x = -\frac{1}{10}$ મળે.
$x$ ની કિંમત $x + 3y = 11$ માં મૂકતા,$y = \frac{37}{10}$ મળે.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( - \frac{1}{10}, \frac{37}{10} \right)$ છે.

(B) રેખા $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ અને $(a \cos \beta, a \sin \beta)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનું સમીકરણ $x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ પરના લંબપાદના યામ $(p \cos \theta, p \sin \theta)$ છે.
અહીં,$p = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ અને $\theta = \frac{\alpha + \beta}{2}$ છે.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}, a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ થાય.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ અને $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{a}{2} [\cos \alpha + \cos \beta]$ અને $y = \frac{a}{2} [\sin \alpha + \sin \beta]$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે લંબપાદના યામ $(h, k)$ છે.
$(h, k)$ એ રેખા $ax + by + c = 0$ પર હોવાથી,$ah + bk + c = 0$ થાય.
રેખા $ax + by + c = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{a}{b}$ છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(h, k)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{k - y_1}{h - x_1}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{k - y_1}{h - x_1} = \frac{b}{a}$.
ગુણધર્મ $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $h$ અને $k$ મળે છે:
$h = \frac{b^2x_1 - aby_1 - ac}{a^2 + b^2}$ અને $k = \frac{a^2y_1 - abx_1 - bc}{a^2 + b^2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $(2, 4)$ બિંદુમાંથી $x + y - 1 = 0$ રેખા પરના લંબપાદના યામ $(h, k)$ છે.
અહીં $a = 1, b = 1, c = -1$ છે.
લંબપાદ શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h - 2}{1} = \frac{k - 4}{1} = -\frac{1(2) + 1(4) - 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{5}{2}$.
તેથી,$h = 2 - 2.5 = -0.5 = -\frac{1}{2}$ અને $k = 4 - 2.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.
આમ,લંબપાદ $\left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(2, 3)$ છે અને રેખા $L: x + y - 11 = 0$ છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
$L$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થશે.
બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = 1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
લંબપાદ એ રેખાઓ $x + y = 11$ અને $x - y = -1$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (x - y) = 11 - 1 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.
$x = 5$ ને $x + y = 11$ માં મૂકતા: $5 + y = 11 \implies y = 6$.
આમ,લંબપાદ $(5, 6)$ છે.

(B) ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. ઉગમબિંદુથી રેખા $3x + 4y + 15 = 0$ પરના લંબ અંતર $OD$ નું માપ $OD = \frac{|3(0) + 4(0) + 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3 \text{ એકમ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ODA$ માં,$OA = 9$ અને $OD = 3$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ એકમ}$.
$OD$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AB = 2AD = 2(6\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \text{ એકમ}$.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OD = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} \times 3 = 18\sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(h, k)$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,મધ્યગા $AD$ એ બાજુ $BC$ ને લંબ છે. મધ્યકેન્દ્ર $O(0, 0)$ એ મધ્યગા $AD$ પર આવેલું છે. તેથી,રેખા $OA$ એ $BC$ $(x + y - 2 = 0)$ ને લંબ છે.
$BC$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $OA$ નો ઢાળ $1$ થશે.
$\frac{k - 0}{h - 0} = 1 \Rightarrow k = h$ ... $(i)$
ધારો કે $D(\alpha, \beta)$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $O$ મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તે મધ્યગા $AD$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$O = \left(\frac{2\alpha + h}{3}, \frac{2\beta + k}{3}\right) = (0, 0)$.
આથી $2\alpha + h = 0 \Rightarrow \alpha = -h/2$ અને $2\beta + k = 0 \Rightarrow \beta = -k/2$.
$D(\alpha, \beta)$ એ $x + y - 2 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$\alpha + \beta - 2 = 0$.
$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત મૂકતા: $-h/2 - k/2 - 2 = 0 \Rightarrow h + k = -4$.
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$h + h = -4$ $\Rightarrow 2h = -4$ $\Rightarrow h = -2$.
તેથી,$k = -2$. આમ,શિરોબિંદુ $A$ એ $(-2, -2)$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ પરના લંબનો લંબપાદ $(h, k)$ છે.
આપેલ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થતી લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{k}{h}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\left( -\frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{k}{h} \right) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k}{h} = \frac{4}{3}$,એટલે કે $k = \frac{4h}{3}$.
બિંદુ $(h, k)$ એ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ પર હોવાથી,$3h + 4k = 5$ થાય.
$k = \frac{4h}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $3h + 4\left( \frac{4h}{3} \right) = 5$.
$3h + \frac{16h}{3} = 5 \implies \frac{25h}{3} = 5 \implies 25h = 15 \implies h = \frac{3}{5}$.
તેથી,$k = \frac{4}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$.
આમ,લંબપાદ $\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(3, 8)$ નું પ્રતિબિંબ $A'(x_1, y_1)$ છે.
બિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી અને $x + 3y - 7 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x - y - 1 = 0$ મળે છે.
બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x + 3y = 7$ અને $3x - y = 1$ ઉકેલીએ છીએ,જે $(1, 2)$ મળે છે.
આ બિંદુ $(1, 2)$ એ $AA'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1 + 3}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{y_1 + 8}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$
આમ,પ્રતિબિંબ $(-1, -4)$ છે.

(A) ધારો કે $Q(a, b)$ એ બિંદુ $P(4, -13)$ નું રેખા $5x + y + 6 = 0$ માં પ્રતિબિંબ છે.
મધ્યબિંદુ $R\left(\frac{a + 4}{2}, \frac{b - 13}{2}\right)$ એ રેખા $5x + y + 6 = 0$ પર આવેલું છે.
રેખાના સમીકરણમાં $R$ ના યામ મૂકતા:
$5\left(\frac{a + 4}{2}\right) + \left(\frac{b - 13}{2}\right) + 6 = 0$
$5a + b + 19 = 0$ ......$(i)$
વળી,રેખાખંડ $PQ$ એ રેખા $5x + y + 6 = 0$ ને લંબ છે.
રેખાનો ઢાળ $-5$ હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $\frac{1}{5}$ થશે.
$\frac{b + 13}{a - 4} = \frac{1}{5}$
$a - 5b - 69 = 0$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $a = -1$ અને $b = -14$ મળે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ $(-1, -14)$ છે.

(D) $y = x$ રેખાના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(y, x)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુ $(4, -3)$ માટે,આપણે રૂપાંતરણ નિયમ $(y, x)$ માં $x = 4$ અને $y = -3$ મૂકીએ છીએ.
આમ,પ્રતિબિંબ $(-3, 4)$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1)$ અને $B(2, 3)$ છે.
રેખા $AB$ ની દિશામાં સદિશ $\vec{AB} = (2-1)i + (3 - (-1))j = i + 4j$ છે.
$\vec{AB} = i + 4j$ ને લંબ સદિશ $\lambda(4i - j)$ સ્વરૂપનો હોય.
એકમ લંબ સદિશ $\pm \frac{4i - j}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{4i - j}{\sqrt{17}}$ છે.
$(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $i + 4j$ દિશાવાળી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{4}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y - 5 = 0$ થાય છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ નો લંબ સદિશ $ai + bj$ છે. અહીં,લંબ સદિશ $4i - j$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ તરફની દિશા ચકાસવા માટે,આપણે $4x - y - 5$ માં $(0, 0)$ મૂકીએ. $4(0) - 0 - 5 = -5 < 0$ હોવાથી,ઉગમબિંદુ તરફ નિર્દેશિત સદિશ એ લંબ સદિશ $4i - j$ નો વિરોધી સદિશ હોવો જોઈએ.
આમ,જરૂરી એકમ લંબ સદિશ $-\frac{4i - j}{\sqrt{17}} = \frac{-4i + j}{\sqrt{17}}$ છે.

(A) રેખા $L$ એ $2x - y = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બિંદુ $P(0, 1)$ છે. રેખા $ax + by + c = 0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x' - x_0}{a} = \frac{y' - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
$a = 2, b = -1, c = 0$ અને $(x_0, y_0) = (0, 1)$ મૂકતા:
$\frac{x' - 0}{2} = \frac{y' - 1}{-1} = -2 \frac{2(0) - 1(1) + 0}{2^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-1}{5} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$x' = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ અને $y' - 1 = -1 \times \frac{2}{5} = -\frac{2}{5} \implies y' = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ પ્રતિબિંબની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે,જે મુજબ રેખા $L$ એ બિંદુ અને તેના પ્રતિબિંબને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે. તેથી,બિંદુઓ રેખાથી સમાન અંતરે છે અને વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) $y$-અક્ષની સાપેક્ષે બિંદુ $(h, k)$ નું પ્રતિબિંબ $(-h, k)$ થાય છે.
આ નિયમ બિંદુ $(1, -2)$ પર લાગુ પાડતા:
$h = 1, k = -2$.
તેથી,પરાવર્તિત બિંદુ $(-1, -2)$ થશે.

(A) ધારો કે રેખા $2x - 3y - 3 = 0$ ને લંબ રેખા $3x + 2y + K = 0$ છે.
તે $P(-5, 13)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3(-5) + 2(13) + K = 0$,જે આપણને $K = -11$ આપે છે.
આમ,રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $3x + 2y - 11 = 0$ છે.
રેખા $2x - 3y - 3 = 0$ અને $3x + 2y - 11 = 0$ નું છેદબિંદુ $R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = 3$ (ગુણ્યા $2$): $4x - 6y = 6$
$3x + 2y = 11$ (ગુણ્યા $3$): $9x + 6y = 33$
સરવાળો કરતા $13x = 39$,તેથી $x = 3$.
$x = 3$ ને $3(3) + 2y = 11$ માં મૂકતા $2y = 2$,તેથી $y = 1$.
આમ,$R = (3, 1)$.
ધારો કે $Q = (\alpha, \beta)$. $R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha - 5}{2} = 3$ $\Rightarrow \alpha - 5 = 6$ $\Rightarrow \alpha = 11$
$\frac{\beta + 13}{2} = 1$ $\Rightarrow \beta + 13 = 2$ $\Rightarrow \beta = -11$
તેથી,$Q$ ના યામ $(11, -11)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(-1, 3)$ છે અને રેખા $L: x - y + 1 = 0$ છે. ધારો કે $P$ નું પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
અહીં,$a = 1, b = -1, c = 1, x_1 = -1, y_1 = 3$.
$\frac{x' - (-1)}{1} = \frac{y' - 3}{-1} = -2 \frac{1(-1) + (-1)(3) + 1}{1^2 + (-1)^2}$
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' - 3}{-1} = -2 \frac{-1 - 3 + 1}{1 + 1}$
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' - 3}{-1} = -2 \frac{-3}{2} = 3$
હવે,$x' + 1 = 3 \implies x' = 2$.
અને $\frac{y' - 3}{-1} = 3 \implies y' - 3 = -3 \implies y' = 0$.
આમ,પ્રતિબિંબ બિંદુ $(2, 0)$ છે.

(C) રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(h, k)$ ના પ્રતિબિંબ શોધવાનો નિયમ યામોની અદલાબદલી કરવાનો છે,જે બિંદુ $(k, h)$ આપે છે.
આપેલ બિંદુ $(4, -5)$ માટે,$h = 4$ અને $k = -5$ છે.
નિયમ લાગુ પાડતા,પ્રતિબિંબિત બિંદુ $(-5, 4)$ મળે છે.

(A) આપાત કિરણ $x = 1$ રેખા પર છે,જે શિરોલંબ રેખા છે. પરાવર્તક રેખા $x + y = 1$ છે,જેનો ઢાળ $-1$ છે.
આપાત કિરણ ($x = 1$,ઢાળ $m_1 = \infty$) અને પરાવર્તક રેખા ($x + y = 1$,ઢાળ $m_2 = -1$) વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે. તેથી પરાવર્તિત કિરણ પરાવર્તક રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવશે.
આપાત કિરણ શિરોલંબ હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ હશે. સમક્ષિતિજ રેખાનો ઢાળ $m = 0$ હોય છે.
$x = 1$ અને $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ $(1, 0)$ છે.
$(1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 0$ ઢાળ ધરાવતી પરાવર્તિત કિરણની રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = 0(x - 1)$ એટલે કે $y = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{a}{b}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2$ એવો હશે કે જેથી $m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
તેથી,$m_2 = \frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = \frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - b = \frac{b}{a}(x - a)$ છે.
$a$ વડે ગુણતા,$a(y - b) = b(x - a)$ મળે.
$ay - ab = bx - ab$.
$bx - ay = 0$.

(A) ધારો કે લંબપાદ $P(h, k)$ છે.
આપેલ રેખા $2x + 3y - 4 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
બિંદુ $(7, 8)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થતી લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{k - 8}{h - 7}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $(-\frac{2}{3}) \times (\frac{k - 8}{h - 7}) = -1$,જેનું સાદું રૂપ $2(k - 8) = 3(h - 7)$ એટલે કે $3h - 2k = 5$ થાય છે.
$P(h, k)$ એ રેખા $2x + 3y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$2h + 3k = 4$ મળે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$3h - 2k = 5$ ($3$ વડે ગુણતા): $9h - 6k = 15$
$2h + 3k = 4$ ($2$ વડે ગુણતા): $4h + 6k = 8$
સરવાળો કરતા $13h = 23$,તેથી $h = \frac{23}{13}$.
$h$ ની કિંમત $2h + 3k = 4$ માં મૂકતા: $2(\frac{23}{13}) + 3k = 4 \implies \frac{46}{13} + 3k = 4 \implies 3k = \frac{6}{13} \implies k = \frac{2}{13}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( \frac{23}{13}, \frac{2}{13} \right)$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને લંબપાદ $P(3, -4)$ છે.
રેખાખંડ $OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = -\frac{4}{3}$ છે.
આપેલ રેખા $OP$ ને લંબ હોવાથી,માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{OP}} = \frac{3}{4}$ થશે.
માંગેલ રેખા બિંદુ $P(3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3)$
$y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3)$
$4(y + 4) = 3(x - 3)$
$4y + 16 = 3x - 9$
$3x - 4y = 25$.

(B) આપેલ રેખા $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ છે,જેને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી તે $x$-અક્ષ સાથે $-30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કિરણ $x$-અક્ષને જ્યાં $y = 0$ હોય ત્યાં અથડાય છે,એટલે કે $x = \sqrt{3}$ પર. તેથી આપાતબિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તિત કિરણ $x$-અક્ષ સાથે $+30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે લંબપાદના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ અને બિંદુ $(x_1, y_1)$ માટે,લંબપાદ $(h, k)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
અહીં,$a = 3, b = -4, c = -5$ અને $(x_1, y_1) = (0, 5)$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{h - 0}{3} = \frac{k - 5}{-4} = -\frac{3(0) - 4(5) - 5}{3^2 + (-4)^2}$
$\frac{h}{3} = \frac{k - 5}{-4} = -\frac{0 - 20 - 5}{9 + 16}$
$\frac{h}{3} = \frac{k - 5}{-4} = -\frac{-25}{25}$
$\frac{h}{3} = \frac{k - 5}{-4} = 1$
$\frac{h}{3} = 1$ પરથી,$h = 3$ મળે.
$\frac{k - 5}{-4} = 1$ પરથી,$k - 5 = -4$,તેથી $k = 1$ મળે.
આમ,લંબપાદના યામ $(3, 1)$ છે.

(D) $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ છે.
લંબ દ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = k-1$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{k+1}{2}, 3.5\right)$ છે.
લંબ દ્વિભાજકનું સમીકરણ: $y - 3.5 = (k-1)(x - \frac{k+1}{2})$.
$y$-અંત:ખંડ માટે $x=0$ લેતા,$y = -4$ મળે છે.
$-4 - 3.5 = (k-1)(-\frac{k+1}{2})$.
$-7.5 = -\frac{k^2-1}{2} \implies 15 = k^2-1 \implies k^2 = 16$.
તેથી $k = \pm 4$,જેમાંથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) બિંદુ $P$ એ $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
બિંદુ $Q$ એ $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $(\alpha - \theta)$ ખૂણો બનાવે છે.
$P(\cos \theta, \sin \theta)$ નું ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $\alpha/2$ ખૂણો બનાવતી રેખા (જેનો ઢાળ $\tan(\alpha/2)$ છે) પરનું પરાવર્તન $(x', y') = (\cos(2(\alpha/2) - \theta), \sin(2(\alpha/2) - \theta))$ થાય છે.
એટલે કે $(x', y') = (\cos(\alpha - \theta), \sin(\alpha - \theta))$.
તેથી,$Q$ એ $P$ નું $\tan(\alpha/2)$ ઢાળવાળી રેખામાં પરાવર્તન છે.

(C) $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $k-1$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{k+1}{2})$ છે.
$y-$અંતઃખંડ માટે $x = 0$ લેતા:
$y = \frac{7}{2} - (k-1)(\frac{k+1}{2}) = \frac{7 - (k^2-1)}{2} = \frac{8-k^2}{2}$.
$y-$અંતઃખંડ $-4$ આપેલ છે:
$\frac{8-k^2}{2} = -4$ $\Rightarrow 8-k^2 = -8$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$.
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમત $-4$ છે.

(B) આપાત કિરણનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ છે.
$x$-અક્ષ પર આપાત બિંદુ $A$ શોધો ($y=0$ મૂકતા): $x + \sqrt{3}(0) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. તેથી,$A = (\sqrt{3}, 0)$.
આપાત કિરણ પર એક બિંદુ $B$ લો,દા.ત.,$x=0$ $\Rightarrow \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ $\Rightarrow y=1$. તેથી,$B = (0, 1)$.
પરાવર્તિત કિરણ $A(\sqrt{3}, 0)$ અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષે $B(0, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $B'(0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
પરાવર્તિત કિરણ $AB'$ નો ઢાળ $m = \frac{-1 - 0}{0 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$ છે.
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(3, 10)$ નું રેખા $2x + y - 6 = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $A'(x', y')$ છે.
સૂત્ર $\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' - 10}{1} = -2 \frac{2(3) + 10 - 6}{2^2 + 1^2} = -2 \frac{10}{5} = -4$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$x' - 3 = -8 \Rightarrow x' = -5$ અને $y' - 10 = -4 \Rightarrow y' = 6$.
આમ,$A' = (-5, 6)$.
પરાવર્તિત કિરણ બિંદુ $B(5, 6)$ અને $A'(-5, 6)$ માંથી પસાર થાય છે. બંને બિંદુઓનો $y$-યામ $6$ હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y = 6$ છે.
આપાત કિરણ બિંદુ $A(3, 10)$ અને આપાતબિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે. બિંદુ $P$ એ રેખા $A'B$ અને અરીસાની રેખાનું છેદબિંદુ છે.
રેખા $A'B$ એ $y = 6$ છે. $y = 6$ અને $2x + y - 6 = 0$ નું છેદબિંદુ $2x + 6 - 6 = 0 \Rightarrow x = 0$ છે. તેથી $P = (0, 6)$.
આપાત કિરણ બિંદુ $A(3, 10)$ અને $P(0, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{6 - 10}{0 - 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$ છે.
સમીકરણ $y - 6 = \frac{4}{3}(x - 0)$ $\Rightarrow 3y - 18 = 4x$ $\Rightarrow 4x - 3y + 18 = 0$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P = (\lambda^2 + 1, \lambda)$ અને તેનું રેખા $3x + y - 6k = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $P' = (\lambda, \lambda - 1)$ છે.
$1$. $PP'$ નું મધ્યબિંદુ રેખા $3x + y - 6k = 0$ પર હોવું જોઈએ.
મધ્યબિંદુ $M = (\frac{\lambda^2 + \lambda + 1}{2}, \frac{2\lambda - 1}{2})$.
રેખાના સમીકરણમાં $M$ મૂકતા: $3(\frac{\lambda^2 + \lambda + 1}{2}) + (\frac{2\lambda - 1}{2}) = 6k \implies 3\lambda^2 + 5\lambda + 2 = 12k$.
$2$. રેખા $PP'$ એ રેખા $3x + y - 6k = 0$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
$PP'$ નો ઢાળ $m_{PP'} = \frac{1}{\lambda^2 - \lambda + 1}$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m_L = -3$ છે.
$m_{PP'} \times m_L = -1 \implies \lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 2$ અથવા $\lambda = -1$.
$3$. દરેક $\lambda$ માટે $k$ ની કિંમત:
$\lambda = 2$ માટે $12k = 24 \implies k = 2$.
$\lambda = -1$ માટે $12k = 0 \implies k = 0$.
$k$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો = $2 + 0 = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(\lambda + 2)x + (\lambda - 1)y - (8\lambda + 1) = 0$ છે.
તેને $(2x - y - 1) + \lambda(x + y - 8) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાઓનો પરિવાર બિંદુ $(3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $y = x$ માં બિંદુ $(3, 5)$ નું પ્રતિબિંબ $(5, 3)$ છે.
તેથી,નવો રેખાઓનો પરિવાર $(\mu + 1)x - (2\mu + 1)y + \mu - 2 = 0$ થશે.

(B) ધારો કે $B$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $L: y = x$ છે.
શિરોબિંદુ $A(3, 5)$ નું રેખા $y = x$ પરનું પ્રતિબિંબ રેખા $BC$ પર આવશે.
રેખા $y = x$ પર બિંદુ $(x_0, y_0)$ નું પ્રતિબિંબ $(x', y')$ શોધવા માટે,આપણે યામોની અદલાબદલી કરીએ છીએ: $(x', y') = (y_0, x_0)$.
આમ,$A(3, 5)$ નું પ્રતિબિંબ $(5, 3)$ છે.
તેથી,બિંદુ $(5, 3)$ રેખા $BC$ પર હોવું જોઈએ.

(D) બિંદુઓના યામ નીચે મુજબ છે:
$P(\alpha, \beta)$,$Q(\beta, \alpha)$,$R(-\beta, \alpha)$,$S(-\beta, -\alpha)$,અને $T(\beta, -\alpha)$.
પંચકોણ $PQRST$ ને $(-\beta, \alpha), (\beta, \alpha), (\beta, -\alpha), (-\beta, -\alpha)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા લંબચોરસ અને $(\beta, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, -\alpha)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(2\beta) \times (2\alpha) = 4\alpha\beta$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2\alpha) \times (\alpha - \beta) = \alpha(\alpha - \beta)$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4\alpha\beta + \alpha^2 - \alpha\beta = \alpha^2 + 3\alpha\beta = \alpha(\alpha + 3\beta) = 187$.
$187 = 11 \times 17$ હોવાથી,$\alpha = 11$ અને $\alpha + 3\beta = 17$ મળે.
$\alpha = 11$ મૂકતા,$11 + 3\beta = 17$,તેથી $3\beta = 6$,જે $\beta = 2$ આપે છે.
આપણે $\alpha + \beta^2 = 11 + 2^2 = 11 + 4 = 15$ શોધવાનું છે.

(A) ધારો કે $P(1, 2)$ એ બિંદુ છે જ્યાંથી કિરણ ઉદભવે છે અને $Q(5, 3)$ એ બિંદુ છે જેમાંથી પરાવર્તિત કિરણ પસાર થાય છે.
કિરણ $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $A$ પર પરાવર્તિત થાય છે,તેથી આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન છે.
ધારો કે $R$ એ બિંદુ $P(1, 2)$ નું $x$-અક્ષ પરનું પ્રતિબિંબ છે. $R$ ના યામ $(1, -2)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $A$ અને $Q$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,બિંદુઓ $R, A$ અને $Q$ સમરેખ છે.
$R(1, -2)$ અને $Q(5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-2) = \frac{3 - (-2)}{5 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = \frac{5}{4}(x - 1)$
$4y + 8 = 5x - 5$
$5x - 4y - 13 = 0$
બિંદુ $A$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો $y$-યામ $0$ છે. સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$5x - 4(0) - 13 = 0$
$5x = 13$
$x = \frac{13}{5}$
આમ,બિંદુ $A$ ના યામ $\left( \frac{13}{5}, 0 \right)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (a, a - 1)$ અને તેનું રેખા $3x + y - 6a = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $Q = (a^2 + 1, a)$ છે.
$1$. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $L$ એ રેખા $3x + y = 6a$ પર હોવું જોઈએ.
મધ્યબિંદુ $L = \left( \frac{a + a^2 + 1}{2}, \frac{a - 1 + a}{2} \right) = \left( \frac{a^2 + a + 1}{2}, \frac{2a - 1}{2} \right)$.
રેખાના સમીકરણમાં $L$ મૂકતા: $3\left( \frac{a^2 + a + 1}{2} \right) + \left( \frac{2a - 1}{2} \right) = 6a$.
$3a^2 + 3a + 3 + 2a - 1 = 12a \Rightarrow 3a^2 - 7a + 2 = 0$.
$(3a - 1)(a - 2) = 0 \Rightarrow a = 2$ અથવા $a = 1/3$.
$2$. રેખા $PQ$ એ અરીસાની રેખા $3x + y = 6a$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
$PQ$ નો ઢાળ = $\frac{a - (a - 1)}{a^2 + 1 - a} = \frac{1}{a^2 - a + 1}$.
અરીસાની રેખાનો ઢાળ $-3$ છે.
$PQ \perp \text{અરીસો}$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય: $\left( \frac{1}{a^2 - a + 1} \right) \times (-3) = -1$.
$a^2 - a + 1 = 3 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$.
$(a - 2)(a + 1) = 0 \Rightarrow a = 2$ અથવા $a = -1$.
બંને શરતોને સરખાવતા,સામાન્ય કિંમત $a = 2$ મળે છે.

(C) રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(y, x)$ થાય છે.
આપેલ બિંદુ $A(1, 2)$ નું રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $B(2, 1)$ મળે છે.
$x$-અક્ષ $(y = 0)$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, -y)$ થાય છે.
તેથી,$B(2, 1)$ નું $y = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $(2, -1)$ મળે છે.
આને $(\alpha, \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = -1$ મળે છે.

(A) $1$. રેખા $y = x$ માં બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(y, x)$ છે. તેથી,$A(1, 4)$ માટે,$B = (4, 1)$.
$2$. રેખા $y = -x$ માં બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(-y, -x)$ છે. તેથી,$B(4, 1)$ માટે,$C = (-1, -4)$.
$3$. $x$-અક્ષમાં બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, -y)$ છે. તેથી,$C(-1, -4)$ માટે,$D = (-1, 4)$.
$4$. યામો $A(1, 4)$,$B(4, 1)$,અને $D(-1, 4)$ છે.
$5$. $\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$6$. ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(1 - 4) + 4(4 - 4) + (-1)(4 - 1)| = \frac{1}{2} |-3 - 3| = 3 \, sq. \, units$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P = (\lambda, 2\lambda)$ અને તેનું રેખા $x - y + 2 = 0$ ની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $Q = (\mu, 3\lambda)$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $F$ એ $\left( \frac{\lambda + \mu}{2}, \frac{5\lambda}{2} \right)$ છે.
$F$ એ રેખા $x - y + 2 = 0$ પર હોવાથી,$\frac{\lambda + \mu}{2} - \frac{5\lambda}{2} + 2 = 0$,એટલે કે $\mu - 4\lambda + 4 = 0$ $(1)$.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = -1$ છે,તેથી $\mu = 0$.
$(1)$ માં $\mu = 0$ મૂકતા,$\lambda = 1$ મળે છે.
આમ,$\lambda = 1$ અને $\mu = 0$ માટે $\lambda + \mu = 1$ થાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) રેખા $3x + y = \lambda$ નું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{\lambda/3} + \frac{y}{\lambda} = 1$ લખી શકાય.
આમ,$A$ ના યામ $(\frac{\lambda}{3}, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, \lambda)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબપાદ $P$ ના યામ $(\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2})$ છે.
અહીં,$3x + y - \lambda = 0$,તેથી $a=3, b=1, c=-\lambda$.
$P = (\frac{-3(-\lambda)}{3^2+1^2}, \frac{-1(-\lambda)}{3^2+1^2}) = (\frac{3\lambda}{10}, \frac{\lambda}{10})$.
હવે,અંતર $BP$ અને $PA$ ગણીએ:
$BP^2 = (\frac{3\lambda}{10} - 0)^2 + (\frac{\lambda}{10} - \lambda)^2 = \frac{9\lambda^2}{100} + \frac{81\lambda^2}{100} = \frac{90\lambda^2}{100} = \frac{9\lambda^2}{10}$.
$PA^2 = (\frac{\lambda}{3} - \frac{3\lambda}{10})^2 + (0 - \frac{\lambda}{10})^2 = (\frac{10\lambda - 9\lambda}{30})^2 + \frac{\lambda^2}{100} = \frac{\lambda^2}{900} + \frac{9\lambda^2}{900} = \frac{10\lambda^2}{900} = \frac{\lambda^2}{90}$.
તેથી,$\frac{BP^2}{PA^2} = \frac{9\lambda^2/10}{\lambda^2/90} = \frac{9}{10} \times 90 = 81$.
આમ,$\frac{BP}{PA} = \sqrt{81} = 9$.
તેથી,ગુણોત્તર $BP : PA$ એ $9 : 1$ છે.

(C) ધારો કે આપાત કિરણનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $7x - y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 7$ છે. પરાવર્તિત કિરણ $y + 2x = 1$ નો ઢાળ $m_2 = -2$ છે.
આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોવાથી,આપાત કિરણ અને અરીસાની રેખા વચ્ચેનો ખૂણો,પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસાની રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો થાય.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેના સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{m - 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{7 - (-2)}{1 + 7(-2)} \right| = \left| \frac{9}{1 - 14} \right| = \frac{9}{13}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{9}{13} \Rightarrow m = -2$. રેખાનું સમીકરણ $2x + y - 1 = 0$ મળે (જે પરાવર્તિત કિરણ જ છે).
કિસ્સો $2$: $\frac{m - 7}{1 + 7m} = -\frac{9}{13}$ $\Rightarrow 76m = 82$ $\Rightarrow m = \frac{41}{38}$.
આપાત રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{41}{38}(x - 0) \Rightarrow 41x - 38y + 38 = 0$ મળે.