Points related to triangle Questions in Gujarati

(A) શિરોબિંદુ $C$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $C$ ને સામેની બાજુ $AB$ ના મધ્યબિંદુ સાથે જોડે છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = (2, 2)$.
મધ્યગાની લંબાઈ એ $C(2, 1)$ અને $M(2, 2)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, b - c)$,$(b, c - a)$ અને $(c, a - b)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રનો $x$-યામ $x = \frac{a + b + c}{3}$ છે.
મધ્યકેન્દ્રનો $y$-યામ $y = \frac{(b - c) + (c - a) + (a - b)}{3} = \frac{0}{3} = 0$ છે.
$y$-યામ $0$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, 1), (b, 3)$ અને $(4, c)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રનો $y$-યામ $\frac{1 + 3 + c}{3}$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોય તો તેનો $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{4 + c}{3} = 0$.
આમ,$4 + c = 0$ અથવા $c = -4$ મળે.

(B) સૌ પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મેળવો:
$1$. $y = x$ અને $y = 2x$ નું છેદબિંદુ: $x = 2x \Rightarrow x = 0, y = 0$. શિરોબિંદુ $A = (0, 0)$.
$2$. $y = x$ અને $y = 3x + 4$ નું છેદબિંદુ: $x = 3x + 4$ $\Rightarrow -2x = 4$ $\Rightarrow x = -2, y = -2$. શિરોબિંદુ $B = (-2, -2)$.
$3$. $y = 2x$ અને $y = 3x + 4$ નું છેદબિંદુ: $2x = 3x + 4 \Rightarrow x = -4, y = -8$. શિરોબિંદુ $C = (-4, -8)$.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = h^2 + k^2$.
$OB^2 = (h + 2)^2 + (k + 2)^2 = h^2 + k^2 + 4h + 4k + 8$.
$OA^2 = OB^2$ સરખાવતા: $4h + 4k + 8 = 0 \Rightarrow h + k = -2$.
$OC^2 = (h + 4)^2 + (k + 8)^2 = h^2 + k^2 + 8h + 16k + 80$.
$OA^2 = OC^2$ સરખાવતા: $8h + 16k + 80 = 0 \Rightarrow h + 2k = -10$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $k = -8$.
$h + k = -2$ માં $k = -8$ મૂકતા: $h = 6$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(6, -8)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(5, 6)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{5 - 2 + x}{3}$ અને $6 = \frac{4 + 4 + y}{3}$.
$x$-યામ માટે: $15 = 3 + x \Rightarrow x = 12$.
$y$-યામ માટે: $18 = 8 + y \Rightarrow y = 10$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(12, 10)$ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ અને $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(4, -3)$,$B(3, -2)$ અને $C(2, 8)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{4 + 3 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{-3 - 2 + 8}{3} = \frac{3}{3} = 1$
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $(3, 1)$ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(2, 1)$,$(5, 2)$ અને $(3, 4)$ છે.
$x$-યામની ગણતરી: $x = \frac{2 + 5 + 3}{3} = \frac{10}{3}$.
$y$-યામની ગણતરી: $y = \frac{1 + 2 + 4}{3} = \frac{7}{3}$.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{10}{3}, \frac{7}{3} \right)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(5, 12)$,અને $C(16, 12)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$a = BC = 11$
$b = AC = 20$
$c = AB = 13$
અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ ના યામ $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \left( \frac{11(0) + 20(5) + 13(16)}{44}, \frac{11(0) + 20(12) + 13(12)}{44} \right) = (7, 9)$.

(A) પ્રથમ,બાજુઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધો:
$1$. $x - y + 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = 1$ ને $x - y + 1 = 0$ માં મૂકતા $x = 0$ મળે. શિરોબિંદુ $A = (0, 1)$.
$2$. $x + y - 5 = 0$ અને $y - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = 1$ ને $x + y - 5 = 0$ માં મૂકતા $x = 4$ મળે. શિરોબિંદુ $B = (4, 1)$.
$3$. $x + y - 5 = 0$ અને $x - y + 1 = 0$ નું છેદબિંદુ: સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2x - 4 = 0$,તેથી $x = 2$. $x = 2$ ને $x + y - 5 = 0$ માં મૂકતા $y = 3$ મળે. શિરોબિંદુ $C = (2, 3)$.
હવે,બાજુઓના ઢાળ તપાસો:
$AB$ $(y=1)$ નો ઢાળ $0$ છે.
$AC$ $(x-y+1=0)$ નો ઢાળ $1$ છે.
$BC$ $(x+y-5=0)$ નો ઢાળ $-1$ છે.
$AC$ અને $BC$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $(1) \times (-1) = -1$ હોવાથી,ત્રિકોણ $C(2, 3)$ આગળ કાટકોણ ધરાવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{0+4}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2, 1)$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(6, 4)$ અને $(2, 6)$ છે અને મધ્યકેન્દ્ર $(4, 6)$ છે.
ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $(x_3, y_3)$ છે.
તેથી,$4 = \frac{6 + 2 + x_3}{3}$ $\Rightarrow 12 = 8 + x_3$ $\Rightarrow x_3 = 4$.
અને,$6 = \frac{4 + 6 + y_3}{3}$ $\Rightarrow 18 = 10 + y_3$ $\Rightarrow y_3 = 8$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(4, 8)$ છે.

(A) શિરોબિંદુ $A$ ની સામેના બહિઃકેન્દ્રના યામ $\left( \frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a + b + c}, \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a + b + c} \right)$ છે.
તે જ રીતે,શિરોબિંદુ $B$ ની સામેના બહિઃકેન્દ્રના યામ $\left( \frac{ax_1 - bx_2 + cx_3}{a - b + c}, \frac{ay_1 - by_2 + cy_3}{a - b + c} \right)$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x + y = 1$,$x = 0$ અને $y = 0$ છે.
આ રેખાઓ ત્રિકોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x = 0$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $x = 0$ અને $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$3$. $y = 0$ અને $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ $(1, 0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(0, 1)$ અને $(1, 0)$ છે.
બાજુઓ $x = 0$ ($y$-અક્ષ) અને $y = 0$ ($x$-અક્ષ) પરસ્પર લંબ હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો કાટખૂણો $(0, 0)$ શિરોબિંદુ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર તે શિરોબિંદુ હોય છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A = (1, 1)$ છે. બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1 = (-1, 2)$ અને $M_2 = (3, 2)$ છે.
$M_1$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{A+B}{2} = M_1 \implies B = 2M_1 - A = 2(-1, 2) - (1, 1) = (-3, 3)$.
$M_2$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = M_2 \implies C = 2M_2 - A = 2(3, 2) - (1, 1) = (5, 3)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ થાય.
$G = \left( \frac{1 - 3 + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{7}{3} \right) = \left( 1, \frac{7}{3} \right)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(7, 1)$,$B(-1, 5)$ અને $C(3 + 2\sqrt{3}, 3 + 4\sqrt{3})$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = BC = CA = 4\sqrt{5}$.
આમ,આપેલ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે અંતઃકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર = $\left( \frac{7 - 1 + 3 + 2\sqrt{3}}{3}, \frac{1 + 5 + 3 + 4\sqrt{3}}{3} \right) = \left( 3 + \frac{2}{\sqrt{3}}, 3 + \frac{4}{\sqrt{3}} \right)$.

(C) ધારો કે $A(-2, -6)$,$B(-2, 4)$ અને $C(1, 3)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - 4}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$.
$A$ માંથી પસાર થતા વેધનો ઢાળ $BC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $3$ થશે.
$A(-2, -6)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - (-6) = 3(x - (-2))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y + 6 = 3x + 6$ એટલે કે $y = 3x$ $(i)$ મળે છે.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - (-6)}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3$.
$B$ માંથી પસાર થતા વેધનો ઢાળ $AC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $-\frac{1}{3}$ થશે.
$B(-2, 4)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{1}{3}(x - (-2))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3y - 12 = -x - 2$ એટલે કે $x + 3y = 10$ $(ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા: $x + 3(3x) = 10 \implies 10x = 10 \implies x = 1$.
તેથી $y = 3(1) = 3$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1, 3)$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(3, 0)$ અને $C(0, 4)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોવાથી,બાજુ $AB$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને બાજુ $AC$ એ $y$-અક્ષ પર છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એકબીજાને લંબ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A$ આગળનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,આ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $xy + 2x + 2y + 4 = 0$ અને $x + y + 2 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x(y + 2) + 2(y + 2) = 0 \Rightarrow (x + 2)(y + 2) = 0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x = -2$ અને $y = -2$.
બીજું સમીકરણ $x + y + 2 = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x = -2$ અને $y = -2$ નું છેદબિંદુ $(-2, -2)$ છે.
$2$. $x = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $(-2, 0)$ છે.
$3$. $y = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, -2)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-2, -2)$,$B(-2, 0)$,અને $C(0, -2)$ છે.
આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો શિરોબિંદુ $A(-2, -2)$ પર છે કારણ કે રેખાઓ $x = -2$ અને $y = -2$ પરસ્પર લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ $B(-2, 0)$ અને $C(0, -2)$ ને જોડે છે.
મધ્યબિંદુ $= (\frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}) = (-1, -1)$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(8, 0)$ અને $B(4, 6)$ છે.
બાજુ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{6 - 0}{4 - 8} = -\frac{3}{2}$ છે.
$O(0, 0)$ માંથી $AB$ પરના વેધનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ થશે.
આ વેધનું સમીકરણ $y = \frac{2}{3}x$ છે.
બાજુ $OB$ નો ઢાળ $m_{OB} = \frac{6 - 0}{4 - 0} = \frac{3}{2}$ છે.
$A(8, 0)$ માંથી $OB$ પરના વેધનો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{3}$ થશે.
આ વેધનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 8)$ એટલે કે $3y = -2x + 16$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$x = 4$ અને $y = \frac{8}{3}$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( 4, \frac{8}{3} \right)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ અને $C(3, 4)$ છે.
લંબકેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વેધનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ.
$1$. $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ: $BC$ નો ઢાળ $\frac{4-0}{3-4} = -4$ છે. વેધ $BC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $\frac{1}{4}$ છે. તે $A(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{4}x$ અથવા $x - 4y = 0$ છે.
$2$. $C$ માંથી $AB$ પરનો વેધ: બાજુ $AB$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ પર છે,તેથી $C(3, 4)$ માંથી પસાર થતો વેધ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ છે.
$3$. છેદબિંદુ: $x = 3$ ને $x - 4y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $3 - 4y = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $y = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( 3, \frac{3}{4} \right)$ છે.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓ $L_1: x = 3$,$L_2: y = 4$ અને $L_3: 3x + 4y = 6$ છે.
રેખાઓના છેદબિંદુઓ મેળવતા:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x = 3$ અને $y = 4$ એટલે કે શિરોબિંદુ $A(3, 4)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x = 3$ અને $3(3) + 4y = 6 \implies y = -3/4$. એટલે કે શિરોબિંદુ $B(3, -3/4)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y = 4$ અને $3x + 4(4) = 6 \implies x = -10/3$. એટલે કે શિરોબિંદુ $C(-10/3, 4)$.
અહીં $x = 3$ અને $y = 4$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કાટખૂણો $(3, 4)$ આગળ બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણો બનાવતા શિરોબિંદુ પર જ લંબકેન્દ્ર હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $(3, 4)$ છે.

(A) રેખાઓ $L_1: x + y - 1 = 0$,$L_2: 2x + 3y - 6 = 0$ અને $L_3: 4x - y + 4 = 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ થી $A = (-3, 4)$ મળે છે.
$2$. $L_2$ અને $L_3$ થી $B = (-\frac{3}{7}, \frac{16}{7})$ મળે છે.
$3$. $L_1$ અને $L_3$ થી $C = (-\frac{3}{5}, \frac{8}{5})$ મળે છે.
વેધના સમીકરણો શોધતા:
$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ: $x + 4y = 13$.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ: $7x - 7y = -19$.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા લંબકેન્દ્ર $(\frac{3}{7}, \frac{22}{7})$ મળે છે,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(h, k)$,$B(4, -3)$ અને $C(-2, 5)$ છે. લંબકેન્દ્ર $O(1, 2)$ છે.
$1$. $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{5 - (-3)}{-2 - 4} = -\frac{4}{3}$ છે.
વેધ $AO$ એ $BC$ ને લંબ હોવાથી,$AO$ નો ઢાળ $m_{AO} = \frac{3}{4}$ થાય.
$AO$ રેખાનું સમીકરણ: $\frac{k - 2}{h - 1} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3h - 4k + 5 = 0$ ... $(i)$.
$2$. $AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{k - 5}{h + 2}$ છે.
વેધ $BO$ એ $AC$ ને લંબ હોવાથી,$BO$ નો ઢાળ $m_{BO} = \frac{2 - (-3)}{1 - 4} = -\frac{5}{3}$ થાય.
તેથી,$m_{AC} = \frac{3}{5}$ થાય.
સમીકરણ: $\frac{k - 5}{h + 2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 3h - 5k + 31 = 0$ ... $(ii)$.
$3$. સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $h = 33$ અને $k = 26$ મળે છે.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(33, 26)$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A = \left( 2, \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)$,$B = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)$,અને $C = \left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ છે.
અહીં બાજુ $AC$ શિરોલંબ છે અને બાજુ $BC$ સમક્ષિતિજ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં કાટખૂણો શિરોબિંદુ $C = \left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $\left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(2, -1)$ અને $C(1, 3)$ છે.
$1$. $A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો:
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
વેધ $AD$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $\frac{1}{4}$ થશે.
$A(0, 0)$ માંથી પસાર થતા $AD$ નું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 4y = 0$ થાય ..... $(i)$.
$2$. $B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો:
$AC$ નો ઢાળ = $\frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$.
વેધ $BE$ નો ઢાળ $AC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $-\frac{1}{3}$ થશે.
$B(2, -1)$ માંથી પસાર થતા $BE$ નું સમીકરણ $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(y + 1) = -(x - 2)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y + 1 = 0$ થાય ..... $(ii)$.
$3$. સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો ઉકેલ મેળવો:
$(i)$ પરથી,$x = 4y$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$4y + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 7y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{7}$.
તેથી $x = 4(-\frac{1}{7}) = -\frac{4}{7}$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, a)$,$(2, b)$ અને $(c^2, 3)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{1 + 2 + c^2}{3}, \frac{a + b + 3}{3} \right) = \left( \frac{3 + c^2}{3}, \frac{a + b + 3}{3} \right)$ મળે.
જો મધ્યકેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોય,તો તેનો $x$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{3 + c^2}{3} = 0 \implies 3 + c^2 = 0 \implies c^2 = -3$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $c^2$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x$-યામ ક્યારેય શૂન્ય ન હોઈ શકે.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર ન હોઈ શકે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(6,0)$ અને $C(6,8)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = 6$
$a = BC = 8$
$b = AC = 10$
અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ ના યામ $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \left( \frac{8(0) + 10(6) + 6(6)}{8+10+6}, \frac{8(0) + 10(0) + 6(8)}{8+10+6} \right)$
$I = \left( \frac{96}{24}, \frac{48}{24} \right) = (4, 2)$.

(C) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-2, 3)$,$(x_2, y_2) = (4, -3)$,અને $(x_3, y_3) = (4, 5)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{-2 + 4 + 4}{3}, \frac{3 - 3 + 5}{3} \right)$
$G = \left( \frac{6}{3}, \frac{5}{3} \right)$
$G = \left( 2, \frac{5}{3} \right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2),$ અને $R(x_3, y_3)$ છે,જ્યાં $x_i, y_i \in \mathbb{Q}$.
$1$. મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ દ્વારા મળે છે. સંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ભાગાકાર સંમેય હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર હંમેશા સંમેય બિંદુ છે.
$2$. પરિકેન્દ્ર $(x, y)$ એ સમીકરણો $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$ અને $(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2$ નું સમાધાન કરે છે. આ સમીકરણો સંમેય સહગુણકો સાથેના સુરેખ સમીકરણોમાં પરિણમે છે. તેથી,પરિકેન્દ્ર હંમેશા સંમેય બિંદુ છે.
$3$. અંતઃકેન્દ્ર $\left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a, b, c$ બાજુની લંબાઈ છે. બાજુની લંબાઈમાં વર્ગમૂળ હોવાથી,તે સામાન્ય રીતે અસંમેય હોય છે. તેથી,અંતઃકેન્દ્ર હંમેશા સંમેય બિંદુ હોતું નથી.

(B) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
અહીં $G = (2, 7)$,$(x_1, y_1) = (4, 8)$ અને $(x_2, y_2) = (-2, 6)$ આપેલ છે.
$x$-યામ માટે: $\frac{4 + (-2) + x}{3} = 2$ $\Rightarrow 2 + x = 6$ $\Rightarrow x = 4$.
$y$-યામ માટે: $\frac{8 + 6 + y}{3} = 7$ $\Rightarrow 14 + y = 21$ $\Rightarrow y = 7$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(4, 7)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-1, 6)$,$B(-3, -9)$ અને $C(5, -8)$ છે.
$C$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $C(5, -8)$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{-1 - 3}{2}, \frac{6 - 9}{2} \right) = \left( -2, -\frac{3}{2} \right)$ છે.
$C(5, -8)$ અને $M(-2, -\frac{3}{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $y - (-8) = \frac{-\frac{3}{2} - (-8)}{-2 - 5}(x - 5)$.
$y + 8 = \frac{-\frac{3}{2} + 8}{-7}(x - 5) \Rightarrow y + 8 = \frac{\frac{13}{2}}{-7}(x - 5)$.
$y + 8 = -\frac{13}{14}(x - 5) \Rightarrow 14(y + 8) = -13(x - 5)$.
$14y + 112 = -13x + 65 \Rightarrow 13x + 14y + 47 = 0$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, b)$,$B(0, 0)$ અને $C(a, 0)$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $D = (\frac{a}{2}, 0)$.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$.
મધ્યગા $AD$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{0-b}{a/2 - 0} = -\frac{2b}{a}$ છે.
મધ્યગા $BE$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b/2 - 0}{a/2 - 0} = \frac{b}{a}$ છે.
મધ્યગાઓ લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{2b}{a}) \times (\frac{b}{a}) = -1$.
$-\frac{2b^2}{a^2} = -1$.
$a^2 = 2b^2$.
$a = \pm \sqrt{2}b$.

(A) રેખાઓ $x = 0$ (y-અક્ષ),$y = 0$ (x-અક્ષ) અને $x + y = 1$ છે.
આ રેખાઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$ અને $C(0,1)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
રેખાઓ $x = 0$ અને $y = 0$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,બનતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો કાટખૂણો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
તેથી,ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(0,0)$ છે.

(A) ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(H)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ અને પરિકેન્દ્ર $(O)$ સમરેખ હોય છે,અને મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(x, y)$,મધ્યકેન્દ્ર $G(\alpha, \beta)$ અને પરિકેન્દ્ર $O(\gamma, \delta)$ છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$\alpha = \frac{x + 2\gamma}{3}$ અને $\beta = \frac{y + 2\delta}{3}$.
$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 3\alpha - 2\gamma$ અને $y = 3\beta - 2\delta$ મળે છે.
આમ,જો મધ્યકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર જાણીતા હોય,તો લંબકેન્દ્ર અનન્ય રીતે શોધી શકાય છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(3, 0)$ અને $(0, 4)$ છે.
આ બિંદુઓ યામ અક્ષો પર આવેલા હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો કાટખૂણો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(0, 4)$ ને જોડે છે.
તેથી મધ્યબિંદુ $\left( \frac{3+0}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right)$ થશે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(6, 0)$ અને $C(6, 8)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$c = AB = 6$
$a = BC = 8$
$b = AC = 10$
અંત:કેન્દ્ર $(I)$ નું સૂત્ર $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \left( \frac{8(0) + 10(6) + 6(6)}{8+10+6}, \frac{8(0) + 10(0) + 6(8)}{8+10+6} \right)$
$I = \left( \frac{96}{24}, \frac{48}{24} \right) = (4, 2)$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ મૂકતા:
$x$-યામ $= \frac{a + b + c}{3}$
$y$-યામ $= \frac{(b - c) + (c - a) + (a - b)}{3} = \frac{b - c + c - a + a - b}{3} = \frac{0}{3} = 0$.
અહીં $y$-યામ $0$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(D) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામો $\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(-1, 4)$ અને $(5, 2)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{-1 + 5 + x}{3}, \frac{4 + 2 + y}{3} \right) = \left( \frac{4 + x}{3}, \frac{6 + y}{3} \right)$ થશે.
આને આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(0, -3)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4 + x}{3} = 0$ $\Rightarrow 4 + x = 0$ $\Rightarrow x = -4$.
$\frac{6 + y}{3} = -3$ $\Rightarrow 6 + y = -9$ $\Rightarrow y = -15$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -15)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(3, 4)$ અને $C(4, 0)$ છે.
$AC$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ પર હોવાથી,$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ એ $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે. તેથી,આ વેધનું સમીકરણ $x = 3$ છે.
હવે,$A(0, 0)$ માંથી $BC$ પરનો વેધ ધ્યાનમાં લો. $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{0 - 4}{4 - 3} = -4$ છે.
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{4}$ છે.
આ વેધનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x = 4y$ થાય છે.
લંબકેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે $x = 3$ અને $x = 4y$ સમીકરણો ઉકેલીએ.
$x = 3$ ને $x = 4y$ માં મૂકતા,આપણને $3 = 4y$ મળે છે,તેથી $y = \frac{3}{4}$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( 3, \frac{3}{4} \right)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $D(0, 3), E(1, 1)$ અને $F(-1, 2)$ આપેલા છે.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
$\Delta DEF$ નું મધ્યકેન્દ્ર $= \left( \frac{0 + 1 - 1}{3}, \frac{3 + 1 + 2}{3} \right) = \left( \frac{0}{3}, \frac{6}{3} \right) = (0, 2)$.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(0, 2)$ હોવાથી,મૂળ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર પણ $(0, 2)$ થશે.
આમ,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$ અને $C(2, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$c = AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = 2$
$a = BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$
$b = AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = 2$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(a=b=c=2)$,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંત:કેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$.
$G = \left( \frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3} \right) = \left( 1, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, 3)$,$B(4, 5)$ અને $C(-2, 11)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓના ઢાળ તપાસો:
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{5-3}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{11-5}{-2-4} = \frac{6}{-6} = -1$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{11-3}{-2-2} = \frac{8}{-4} = -2$.
અહીં ($AB$ નો ઢાળ) $\times$ ($BC$ નો ઢાળ) $= 1 \times (-1) = -1$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો શિરોબિંદુ $B(4, 5)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $O = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{3 + 11}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{14}{2} \right) = (0, 7)$.
શિરોબિંદુ $B(4, 5)$ અને પરિકેન્દ્ર $O(0, 7)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે:
$d = \sqrt{(4-0)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(D) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$ અને $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ છે.
પ્રથમ,રેખાઓના ઢાળ તપાસો.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 4/7$ છે.
$L_3$ નો ઢાળ $m_3 = -7/4$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_3 = (4/7) \times (-7/4) = -1$,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ એકબીજાને લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
શિરોબિંદુ શોધવા માટે,$L_1$ અને $L_3$ નો ઉકેલ મેળવો:
$4x - 7y = -10$
$7x + 4y = 15$
$L_1$ ને $4$ વડે અને $L_3$ ને $7$ વડે ગુણતા:
$16x - 28y = -40$
$49x + 28y = 105$
સરવાળો કરતા: $65x = 65 \implies x = 1$.
$x = 1$ ને $L_1$ માં મૂકતા: $4(1) - 7y = -10 \implies -7y = -14 \implies y = 2$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.

(A) માંથી દોરેલ મધ્યગા $C(5, -4)$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે.
$D$ ના યામ $\left( \frac{4+2}{2}, \frac{-2+3}{2} \right) = \left( 3, \frac{1}{2} \right)$ છે.
$C(5, -4)$ અને $D(3, 1/2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ બે-બિંદુ સ્વરૂપ મુજબ:
$y - (-4) = \frac{\frac{1}{2} - (-4)}{3 - 5} (x - 5)$
$y + 4 = \frac{4.5}{-2} (x - 5)$
$y + 4 = -2.25 (x - 5)$
$y + 4 = -\frac{9}{4} (x - 5)$
$4(y + 4) = -9(x - 5)$
$4y + 16 = -9x + 45$
$9x + 4y - 29 = 0$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. મધ્યબિંદુઓ પરથી શિરોબિંદુઓ મેળવતા,આપણને $A(-1, 12), B(-1, 0), C(4, 0)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ: $a = BC = 5, b = AC = 13, c = AB = 12$.
અંત:કેન્દ્ર $I = \left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \left( \frac{5(-1) + 13(-1) + 12(4)}{5+13+12}, \frac{5(12) + 13(0) + 12(0)}{5+13+12} \right) = \left( \frac{-5-13+48}{30}, \frac{60}{30} \right) = \left( \frac{30}{30}, 2 \right) = (1, 2)$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $(5, 0)$,$(5, 12)$ અને $(0, 12)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5, \frac{y_1 + y_2}{2} = 0$
$\frac{x_2 + x_3}{2} = 5, \frac{y_2 + y_3}{2} = 12$
$\frac{x_3 + x_1}{2} = 0, \frac{y_3 + y_1}{2} = 12$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x$-યામોનો સરવાળો: $x_1 + x_2 + x_3 = 10$. તેથી,$x_3 = 0, x_1 = 0, x_2 = 10$.
$y$-યામોનો સરવાળો: $y_1 + y_2 + y_3 = 24$. તેથી,$y_3 = 24, y_1 = 0, y_2 = 0$.
શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(10, 0)$ અને $C(0, 24)$ છે.
આ ત્રિકોણ ઉદ્ગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,તેનું લંબકેન્દ્ર કાટખૂણો બનાવતા શિરોબિંદુ પર હોય,જે $(0, 0)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $M_1 = \left( \frac{3}{2}, 0 \right)$,$M_2 = \left( \frac{3}{2}, 6 \right)$ અને $M_3 = (-1, 6)$ આપેલા છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ $M_1(x'_1, y'_1)$,$M_2(x'_2, y'_2)$ અને $M_3(x'_3, y'_3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{x'_1+x'_2+x'_3}{3}, \frac{y'_1+y'_2+y'_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓની કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{\frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$y = \frac{0 + 6 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{2}{3}, 4 \right)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $A(\alpha, \beta)$ છે. $B = (5, -1)$ અને $C = (-2, 3)$. લંબકેન્દ્ર $O = (0, 0)$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$.
$AD \perp BC$ હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $\frac{7}{4}$ થાય.
$AO$ નો ઢાળ $= \frac{\beta}{\alpha}$. તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{7}{4} \Rightarrow 4\beta = 7\alpha$ --- $(1)$.
$BO$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$.
$BE \perp AC$ હોવાથી,$AC$ નો ઢાળ $5$ થાય.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{\beta - 3}{\alpha - (-2)} = 5$ $\Rightarrow \beta - 3 = 5\alpha + 10$ $\Rightarrow \beta - 5\alpha = 13$ --- $(2)$.
$(1)$ પરથી $\beta = \frac{7\alpha}{4}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{7\alpha}{4} - 5\alpha = 13$ $\Rightarrow 7\alpha - 20\alpha = 52$ $\Rightarrow -13\alpha = 52$ $\Rightarrow \alpha = -4$.
તેથી,$\beta = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, \frac{\sqrt{3}-1}{2})$,$B(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ અને $C(2, -\frac{1}{2})$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB^2 = (2 - \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3$.
$BC^2 = (2 - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 = (\frac{3}{2})^2 + 0 = \frac{9}{4}$.
$CA^2 = (2 - 2)^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 = 0 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
અહીં $BC^2 + CA^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3 = AB^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કાટખૂણો શિરોબિંદુ $C(2, -\frac{1}{2})$ પાસે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $C(2, -\frac{1}{2})$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2), R(x_3, y_3)$ છે જ્યાં તમામ $x_i, y_i \in \mathbb{Q}$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે હંમેશા સંમેય હોય છે.
અંત:કેન્દ્ર $(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ બાજુઓની લંબાઈ છે. કારણ કે $a, b, c$ માં સંમેય સંખ્યાઓના વર્ગમૂળનો સમાવેશ થાય છે (દા.ત.,$c = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$),તેથી અંત:કેન્દ્ર હંમેશા સંમેય હોતું નથી.
તે જ રીતે,પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર પણ સંમેય શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે હંમેશા સંમેય બિંદુઓ હોતા નથી.