Locus of Point Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, x)$ છે કારણ કે abscissa અને ordinate સમાન છે.
આપેલ છે કે $P$ એ $A(1, 0)$ અને $B(0, 3)$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી $PA^2 = PB^2$.
$(x - 1)^2 + (x - 0)^2 = (x - 0)^2 + (x - 3)^2$
$(x - 1)^2 + x^2 = x^2 + (x - 3)^2$
$x^2 - 2x + 1 + x^2 = x^2 + x^2 - 6x + 9$
$-2x + 1 = -6x + 9$
$4x = 8$
$x = 2$
તેથી,બિંદુ $(2, 2)$ છે.

(D) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $P(a + b, b - a)$ અને $Q(a - b, a + b)$ છે. બિંદુ $(x, y)$ એ $P$ અને $Q$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી $dist(P, (x, y))^2 = dist(Q, (x, y))^2$.
$(x - (a + b))^2 + (y - (b - a))^2 = (x - (a - b))^2 + (y - (a + b))^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x(a + b) + (a + b)^2 + y^2 - 2y(b - a) + (b - a)^2 = x^2 - 2x(a - b) + (a - b)^2 + y^2 - 2y(a + b) + (a + b)^2$
બંને બાજુથી $x^2, y^2, (a + b)^2$ ને દૂર કરતા:
$-2ax - 2bx + (b - a)^2 - 2by + 2ay = -2ax + 2bx + (a - b)^2 - 2ay - 2by$
કારણ કે $(b - a)^2 = (a - b)^2$,આ પદો પણ દૂર થશે:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay$
$4ay = 4bx$
$bx - ay = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $P$ થી $(2, 0)$ નું અંતર એ $P$ થી $(0, 2)$ ના અંતર જેટલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-2)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-2)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$.
સાદુરૂપ આપતા: $-4x = -4y$,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(2, 2)$ એ $x = y$ નું પાલન કરે છે અને તે $(2, 0)$ તથા $(0, 2)$ થી સમાન અંતરે છે.

(A) બિંદુઓ $A(3, 4)$,$B(7, 7)$,અને $C(a, b)$ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{7 - 4}{7 - 3} = \frac{3}{4}$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{b - 7}{a - 7} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $3a - 4b = -7$.
$AC = 10$ આપેલ હોવાથી,$(a - 3)^2 + (b - 4)^2 = 100$.
સમીકરણ ઉકેલતા,$a = 11$ અને $b = 10$ મળે છે.
તેથી સાચો વિકલ્પ $(11, 10)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ હોવાથી,રેખાખંડ $OP$ નો ઢાળ $m = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $\sqrt{3}$ છે,તેથી $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $y = \sqrt{3}x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3}x - y = 0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી બિંદુપથ $\sqrt{3}x - y = 0$ છે.

(A) ધારો કે ગતિશીલ બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ અને $B(6, 0)$ છે.
$\Delta POA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(4 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 4)| = 2|x|$.
$\Delta POB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - y) + 6(y - 0) + x(0 - 0)| = 3|y|$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\Delta POA$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \Delta POB$ નું ક્ષેત્રફળ.
તેથી,$2|x| = 2 \times 3|y|$.
$|x| = 3|y|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 9y^2$,જેનો અર્થ છે $x^2 - 9y^2 = 0$.
આને $(x - 3y)(x + 3y) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0,0)$ છે અને બિંદુ $A$ એ $(3,4)$ છે.
રેખાખંડ $OP$ એ $OA$ ને સમાંતર હોવાથી અને બંને બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,બિંદુઓ $O, A$ અને $P$ સમરેખ હોવા જોઈએ.
રેખા $OA$ નો ઢાળ $m = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ છે.
બિંદુ $P(x,y)$ એ $O(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા પર હોવાથી,બિંદુપથનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{4}{3}(x - 0)$ થાય.
આથી,$3y = 4x$ અથવા $4x - 3y = 0$ મળે.

(B) ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે અંતર $PA = PB$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{(h - a)^2 + (k - 0)^2} = \sqrt{(h - (-a))^2 + (k - 0)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - a)^2 + k^2 = (h + a)^2 + k^2$
$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2ah + a^2 + k^2$
$-2ah = 2ah$
$4ah = 0$
કારણ કે $a \neq 0$,તેથી આપણને $h = 0$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x = 0$ છે,જે $y$-અક્ષ છે.
$y$-અક્ષ એ $A(a, 0)$ અને $B(-a, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA^2 - PB^2 = 2k^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2$ અને $PB^2 = (x + a)^2 + (y - 0)^2$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$((x - a)^2 + y^2) - ((x + a)^2 + y^2) = 2k^2$
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = 2k^2$
$-4ax = 2k^2$
$4ax + 2k^2 = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2ax + k^2 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
$x$-અંતઃખંડ માટે $y = 0$ લેતા,$x = \frac{p}{\cos \alpha}$ મળે. તેથી બિંદુ $A = (\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ માટે $x = 0$ લેતા,$y = \frac{p}{\sin \alpha}$ મળે. તેથી બિંદુ $B = (0, \frac{p}{\sin \alpha})$.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{p}{2 \cos \alpha}$ અને $k = \frac{p}{2 \sin \alpha}$ થાય.
આથી $\cos \alpha = \frac{p}{2h}$ અને $\sin \alpha = \frac{p}{2k}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{p}{2k})^2 + (\frac{p}{2h})^2 = 1$.
$\frac{p^2}{4k^2} + \frac{p^2}{4h^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ છે. $\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ દ્વારા મળે છે.
$P(x, y)$,$A(2, 3)$,અને $B(-4, 5)$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} |x(3 - 5) + 2(5 - y) + (-4)(y - 3)| = 12$
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|-x - 3y + 11| = 12$
આથી $-x - 3y + 11 = 12$ અથવા $-x - 3y + 11 = -12$ મળે.
કિસ્સો $1$: $x + 3y + 1 = 0$.
કિસ્સો $2$: $x + 3y - 23 = 0$.
તેથી,બિંદુપથ $(x + 3y + 1)(x + 3y - 23) = 0$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (a \cos t, a \sin t)$,$(x_2, y_2) = (b \sin t, -b \cos t)$ અને $(x_3, y_3) = (1, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ અને $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$3x = a \cos t + b \sin t + 1$ અને $3y = a \sin t - b \cos t$.
ગોઠવતા,$3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ અને $3y = a \sin t - b \cos t$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$= a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t + 2ab \sin t \cos t + a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t - 2ab \sin t \cos t$.
$= a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t) = a^2 + b^2$.
તેથી,બિંદુપથ $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 + b^2$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA = PB$,તેથી $(PA)^2 = (PB)^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - (a + b))^2 + (y - (a - b))^2 = (x - (a - b))^2 + (y - (a + b))^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x(a + b) + (a + b)^2) + (y^2 - 2y(a - b) + (a - b)^2) = (x^2 - 2x(a - b) + (a - b)^2) + (y^2 - 2y(a + b) + (a + b)^2)$.
બંને બાજુથી $x^2, y^2, (a + b)^2,$ અને $(a - b)^2$ ને દૂર કરતા:
$-2x(a + b) - 2y(a - b) = -2x(a - b) - 2y(a + b)$.
$-2$ વડે ભાગતા:
$x(a + b) + y(a - b) = x(a - b) + y(a + b)$.
$ax + bx + ay - by = ax - bx + ay + by$.
$bx - by = -bx + by$.
$2bx - 2by = 0$.
$x - y = 0$.

(C) $ABC$ એ $BC$ પાયા વાળો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A(x, y)$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{1 - 2}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, 5 \right)$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{7 - 3}{-2 - 1} = -\frac{4}{3}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = \frac{3}{4}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $6x - 8y + 43 = 0$ મળે છે.
વિકલ્પ $(C)$ ચકાસતા: $6(\frac{5}{6}) - 8(6) + 43 = 5 - 48 + 43 = 0$. તેથી,આ બિંદુ શિરોબિંદુ $A$ માટે શક્ય છે.

(C) ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $l$ છે. ધારો કે છેડાઓ $A$ અને $B$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે,જેથી $A = (a, 0)$ અને $B = (0, b)$ થાય.
સળિયાની લંબાઈ $l$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = l^2$ થાય.
ધારો કે $P(h, k)$ એ સળિયા પરનું બિંદુ છે જે તેને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = l^2$ માં મૂકતા:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2 + 36y^2 = 4l^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર ગતિ કરે છે,તેથી $G$ ના યામ આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$2x + 3(y - 2) = 3$
$2x + 3y - 6 = 3$
$2x + 3y = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો છે. જો $a$ અને $b$ એ ગતિશીલ રેખા દ્વારા યામ અક્ષો પર બનાવેલા અંતઃખંડો હોય,તો રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ..... $(i)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતઃખંડોના વ્યસ્તનો સરવાળો અચળ છે,ધારો કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{k}$,જ્યાં $k$ અચળ છે.
$k$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{k}{a} + \frac{k}{b} = 1$ ..... $(ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(k, k)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા પરના લંબપાદના યામ $(x, y)$ છે.
રેખા $(h, k)$ અને $(x, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \frac{y - k}{x - h}$ છે.
ઉગમબિંદુથી $(x, y)$ સુધીના લંબ રેખાખંડનો ઢાળ $m' = \frac{y}{x}$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{y - k}{x - h}\right) \times \left(\frac{y}{x}\right) = -1$
$y(y - k) = -x(x - h)$
$y^2 - ky = -x^2 + hx$
$x^2 + y^2 - hx - ky = 0$
આમ,માંગેલ બિંદુપથ $x^2 + y^2 - hx - ky = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે .....$(i)$
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{b}{a}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{a}{b}$ છે.
લંબ રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{a}{b}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 0$ થાય .....$(ii)$
ધારો કે $(x, y)$ એ લંબપાદ છે. સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{x}{b} - \frac{y}{a}\right)^2 = 1^2 + 0^2$
$x^2\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) + y^2\left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}\right) = 1$
કારણ કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2)\left(\frac{1}{c^2}\right) = 1$
તેથી,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = c^2$ છે.

(B) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $OX$ અને $OY$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે જેનો બિંદુપથ શોધવાનો છે.
$P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x > 0$ અને $y > 0$ છે.
$P(x, y)$ નું $Y$-અક્ષ $(OY)$ થી અંતર $x$ છે અને $X$-અક્ષ $(OX)$ થી અંતર $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $2$ એકમ છે:
$x + y = 2$
બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,બિંદુપથ એ રેખાખંડ $x + y = 2$ છે જ્યાં $x > 0$ અને $y > 0$ છે.

(B) રેખાઓ $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ અને $\frac{x}{\beta} + \frac{y}{\alpha} = 1$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\left( \frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} - 1 \right) + \lambda \left( \frac{x}{\beta} + \frac{y}{\alpha} - 1 \right) = 0$ છે.
આ રેખા અક્ષોને $A \left( \frac{1 + \lambda}{\frac{1}{\alpha} + \frac{\lambda}{\beta}}, 0 \right)$ અને $B \left( 0, \frac{1 + \lambda}{\frac{1}{\beta} + \frac{\lambda}{\alpha}} \right)$ માં મળે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{1 + \lambda}{2(\frac{1}{\alpha} + \frac{\lambda}{\beta})}$ અને $k = \frac{1 + \lambda}{2(\frac{1}{\beta} + \frac{\lambda}{\alpha})}$.
આ સમીકરણો પરથી $\lambda$ નો લોપ કરતા,આપણને $\alpha \beta (h + k) = 2hk(\alpha + \beta)$ મળે છે.
તેથી $(h, k)$ નો બિંદુપથ $\alpha \beta (x + y) = 2xy(\alpha + \beta)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
બિંદુઓ $(x, y)$,$(1, 5)$ અને $(3, -7)$ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\frac{1}{2} |x(5 - (-7)) + 1(-7 - y) + 3(y - 5)| = 21$
$\frac{1}{2} |12x + 2y - 22| = 21$
$|6x + y - 11| = 21$
આથી,$6x + y - 11 = 21$ અથવા $6x + y - 11 = -21$.
તેથી,$6x + y - 32 = 0$ અથવા $6x + y + 10 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $6x + y - 32 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 1)$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે.
$x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ માટે $(y = 0)$: $-1 = m(x - 1) \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{m}$. તેથી,$A = (1 - \frac{1}{m}, 0)$.
$y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ માટે $(x = 0)$: $y - 1 = m(-1) \Rightarrow y = 1 - m$. તેથી,$B = (0, 1 - m)$.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
તેથી $h = \frac{1 - \frac{1}{m} + 0}{2} = \frac{m - 1}{2m}$ અને $k = \frac{0 + 1 - m}{2} = \frac{1 - m}{2}$.
$k = \frac{1 - m}{2}$ પરથી,$m = 1 - 2k$ મળે.
$h$ ના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા: $2h = \frac{(1 - 2k) - 1}{1 - 2k} = \frac{-2k}{1 - 2k}$.
$2h(1 - 2k) = -2k$ $\Rightarrow 2h - 4hk = -2k$ $\Rightarrow 2h + 2k - 4hk = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$h + k - 2hk = 0$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x + y - 2xy = 0$ થાય.

(C) ધારો કે $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (2, 5)$ અને $B = (4, -11)$. ધારો કે $C = (x, y)$.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $h = \frac{2 + 4 + x}{3}$ અને $k = \frac{5 - 11 + y}{3}$ છે.
તેથી,$x = 3h - 6$ અને $y = 3k + 6$.
$C(x, y)$ એ $9x + 7y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$9(3h - 6) + 7(3k + 6) + 4 = 0$
$27h - 54 + 21k + 42 + 4 = 0$
$27h + 21k - 8 = 0$
આમ,બિંદુપથ $27x + 21y - 8 = 0$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,$9x + 7y - \frac{8}{3} = 0$ મળે,જે $9x + 7y + 4 = 0$ ને સમાંતર છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(a, 0)$ છે.
પ્રકાશનું કિરણ $x$-અક્ષ પર પરાવર્તિત થાય છે,તેથી આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે.
આપાત કિરણનો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - 0}{1 - a} = \frac{2}{1 - a}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનો ઢાળ $m_2 = \frac{3 - 0}{5 - a} = \frac{3}{5 - a}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,$m_1 = -m_2$.
$\frac{2}{1 - a} = -\frac{3}{5 - a}$
$2(5 - a) = -3(1 - a)$
$10 - 2a = -3 + 3a$
$13 = 5a$
$a = \frac{13}{5}$.
આમ,બિંદુ $A$ ના યામ $(\frac{13}{5}, 0)$ છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચિત બિંદુ $P$ એ $(x_1, y_1)$ છે. $P$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જેને $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબનું અંતર $\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$(2, 0)$,$(0, 2)$ અને $(1, 1)$ થી લંબનો સરવાળો:
$\frac{2m - 0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{0 - 2 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{m - 1 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$3m - 3mx_1 + 3y_1 - 3 = 0$
$3(m(1 - x_1) + (y_1 - 1)) = 0$
રેખા ચલ હોવાથી,આ સમીકરણ $m$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવું જોઈએ. તેથી:
$1 - x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$y_1 - 1 = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
આમ,$P$ ના યામ $(1, 1)$ છે.

(A) ધારો કે $(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y - b = m(x - a)$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $mx - y + (b - ma) = 0$ થાય.
ધારો કે $(h, k)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખા પરનો લંબપાદ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = -h/k$ થાય.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $x = \tan \theta + \sin \theta$ અને $y = \tan \theta - \sin \theta$.
પગલું $1$: $x + y$ અને $x - y$ ની ગણતરી કરો.
$x + y = 2 \tan \theta$
$x - y = 2 \sin \theta$
પગલું $2$: $\tan \theta$ અને $\sin \theta$ ને $x$ અને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$
$\sin \theta = \frac{x - y}{2}$
પગલું $3$: નિત્યસમ $\frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{1}{\tan^2 \theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $4$: કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{(x - y)^2} - \frac{4}{(x + y)^2} = 1$
$16xy = (x^2 - y^2)^2$.
આમ,બિંદુપથ $(x^2 - y^2)^2 = 16xy$ છે.

(D) જો વક્ર $f(x, y) = 0$ નું સમીકરણ $x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરવા છતાં બદલાતું ન હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે $f(x, y) = f(y, x)$.
આ ગુણધર્મ સૂચવે છે કે વક્ર પરના દરેક બિંદુ $(a, b)$ માટે,બિંદુ $(b, a)$ પણ વક્ર પર જ છે.
બિંદુઓ $(a, b)$ અને $(b, a)$ નો સમૂહ રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં એકબીજાના પ્રતિબિંબ છે.
તેથી,વક્ર રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.

(A) ધારો કે $R$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
આપેલ છે કે $P = (1, 1)$ અને $Q = (3, 2)$.
અંતર $PR + RQ = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 2)^2}$.
$PR + RQ = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 13}$.
$PR + RQ$ ના ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 13}) = 0$.
$\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} + \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}} = 0$.
$\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} = -\frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(x - 1)^2}{x^2 - 2x + 2} = \frac{(x - 3)^2}{x^2 - 6x + 13}$.
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 6x + 13) = (x^2 - 6x + 9)(x^2 - 2x + 2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ અને સાદુંરૂપ આપતા $3x^2 - 2x - 5 = 0$ મળે છે.
$(3x - 5)(x + 1) = 0$,જે $x = \frac{5}{3}$ અથવા $x = -1$ આપે છે.
કારણ કે $R$ એ $x$-અક્ષ પર $P$ અને $Q$ ના પ્રક્ષેપોની વચ્ચે આવેલું છે,તેથી $x$ એ $(1, 3)$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ.
આમ,$x = \frac{5}{3}$.
તેથી,બિંદુ $R = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{a}(x - 1) + \frac{1}{b}(y + 2) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું રહે તે માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$x - 1 = 0 \implies x = 1$ અને $y + 2 = 0 \implies y = -2$.
નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A(2, 3), B(-4, 5)$ અને $P(x, y)$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} |x(3 - 5) + 2(5 - y) + (-4)(y - 3)| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|-x - 3y + 11| = 12$
આથી બે શક્યતાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1: -x - 3y + 11 = 12 \implies x + 3y + 1 = 0$
કિસ્સો $2: -x - 3y + 11 = -12 \implies x + 3y - 23 = 0$
આમ,બિંદુપથ $x + 3y + 1 = 0$ અથવા $x + 3y - 23 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA = PB$,તેથી $(PA)^2 = (PB)^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - (a + b))^2 + (y - (b - a))^2 = (x - (a - b))^2 + (y - (a + b))^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2x(a + b) + (a + b)^2) + (y^2 - 2y(b - a) + (b - a)^2) = (x^2 - 2x(a - b) + (a - b)^2) + (y^2 - 2y(a + b) + (a + b)^2)$.
બંને બાજુથી $x^2, y^2, (a+b)^2$ દૂર કરતા:
$-2x(a + b) - 2y(b - a) + (b - a)^2 = -2x(a - b) - 2y(a + b) + (a - b)^2$.
$(b - a)^2 = (a - b)^2$ હોવાથી,આ પદો પણ દૂર થશે:
$-2ax - 2bx - 2by + 2ay = -2ax + 2bx - 2ay - 2by$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay$.
$4ay - 4bx = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $ay - bx = 0$ મળે છે,જે $bx - ay = 0$ ને સમાન છે.

(A) ધારો કે નિયત બિંદુઓના યામ $A (a, 0)$ અને $B (-a, 0)$ છે,અને ગતિશીલ બિંદુ $C (h, k)$ છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,ધારો કે $D$ એ $x$-અક્ષ પર $C$ નો પ્રક્ષેપ છે,તેથી $D = (h, 0)$.
$\Delta ADC$ માં,$\cot A = \frac{AD}{CD} = \frac{a - h}{k}$.
$\Delta BDC$ માં,$\cot B = \frac{BD}{CD} = \frac{h - (-a)}{k} = \frac{h + a}{k}$.
આપેલ છે કે $\cot A + \cot B = \lambda$,તેથી:
$\frac{a - h}{k} + \frac{h + a}{k} = \lambda$
$\frac{2a}{k} = \lambda$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{2a}{y} = \lambda$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y\lambda = 2a$ થાય છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
તેથી,$h = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3}$ અને $k = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $3h - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$ અને $3k - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - 1)^2 + (3k - 2)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$.
$(3h - 1)^2 + (3k - 2)^2 = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 + 1 = 2$.
$9h^2 - 6h + 1 + 9k^2 - 12k + 4 = 2$.
$9(h^2 + k^2) - 6h - 12k + 3 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $3(h^2 + k^2) - 2h - 4k + 1 = 0$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $X$ અને $Y$ છે. બિંદુ $P(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ અને $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે.
આપેલ છે કે અંતરનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
જો બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોય,તો $x > 0, y > 0$,તેથી $x + y = 1$.
જો બિંદુ બીજા ચરણમાં હોય,તો $x < 0, y > 0$,તેથી $-x + y = 1$.
જો બિંદુ ત્રીજા ચરણમાં હોય,તો $x < 0, y < 0$,તેથી $-x - y = 1$.
જો બિંદુ ચોથા ચરણમાં હોય,તો $x > 0, y < 0$,તેથી $x - y = 1$.
આ ચાર સમીકરણો $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસની બાજુઓ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $C = (h, k)$.
$\triangle CDA$ માં,$\tan A = \frac{k}{a-h}$.
$\triangle CDB$ માં,$\tan B = \frac{k}{h+a}$.
આપેલ છે કે $\angle A - \angle B = \theta$,તેથી $\tan(A - B) = \tan \theta$.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{\frac{k}{a-h} - \frac{k}{h+a}}{1 + \frac{k}{a-h} \cdot \frac{k}{h+a}} = \tan \theta$.
$\frac{2kh}{a^2 - h^2 + k^2} = \tan \theta$.
$2kh = (a^2 - h^2 + k^2) \tan \theta$.
$2kh \cot \theta = a^2 - h^2 + k^2$.
$h^2 - k^2 + 2hk \cot \theta = a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 - y^2 + 2xy \cot \theta = a^2$ મળે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(x_1, y_1)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{x_1 + 2 - 2}{3}, \frac{y_1 - 3 + 1}{3} \right) = \left( \frac{x_1}{3}, \frac{y_1 - 2}{3} \right)$.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $2x + 3y = 1$ રેખા પર ગતિ કરે છે.
રેખાના સમીકરણમાં $G$ ના યામ મૂકતા:
$2\left( \frac{x_1}{3} \right) + 3\left( \frac{y_1 - 2}{3} \right) = 1$.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$2x_1 + 3(y_1 - 2) = 3$.
$2x_1 + 3y_1 - 6 = 3$.
$2x_1 + 3y_1 = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $C(x_1, y_1)$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x(a + 2b) + y(a + 3b) = a + b$ છે.
$a$ અને $b$ ના પદોને અલગ પાડતા:
$x(a + 2b) + y(a + 3b) - (a + b) = 0$
$ax + 2bx + ay + 3by - a - b = 0$
$a(x + y - 1) + b(2x + 3y - 1) = 0$
$a$ અને $b$ ના તમામ મૂલ્યો માટે આ સમીકરણ સાચું હોવા માટે,$a$ અને $b$ ના સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$ $(i)$
$2x + 3y - 1 = 0 \implies 2x + 3y = 1$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + 2y = 2$ $(iii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
આમ,અચળ બિંદુ $(2, -1)$ છે.

(D) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આપેલ છે કે અંતઃખંડોના સરવાળાનો વ્યસ્ત $1/p$ છે,એટલે કે $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{p}$,જેનો અર્થ છે કે $a+b = p$.
પરંતુ જો પ્રશ્નનો અર્થ અંતઃખંડોના વ્યસ્તોનો સરવાળો $1/p$ હોય,તો $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{p}$ થાય.
તેથી $\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{p} \Rightarrow ab = p(a+b)$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં કિંમત મૂકતા,$bx + ay = ab = p(a+b) = pa + pb$.
$a(x-p) + b(y-p) = 0$.
આ રેખા હંમેશા $(p, p)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m$ છે. રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ છે.
રેખા $X$-અક્ષને $P$ બિંદુએ મળે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $P = (1 - \frac{2}{m}, 0)$.
રેખા $Y$-અક્ષને $Q$ બિંદુએ મળે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $Q = (0, 2 - m)$.
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |(1 - \frac{2}{m})(2 - m)|$.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ માટે $m < 0$ હોવું જોઈએ. $A = \frac{1}{2} |4 - (m + \frac{4}{m})|$.
$m = -k$ $(k > 0)$ લેતા,$A = \frac{1}{2} (4 + k + \frac{4}{k})$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$k + \frac{4}{k} \geq 4$. સમાનતા ત્યારે મળે જ્યારે $k = 2$.
તેથી,ઢાળ $m = -2$ થાય.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad \dots(1)$ છે,જ્યાં $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2} \quad \dots(2)$.
ધારો કે $(h, k)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $(1)$ પરના લંબપાદના યામ છે.
લંબપાદના ગુણધર્મ મુજબ,$h = \frac{a b^2}{a^2+b^2}$ અને $k = \frac{a^2 b}{a^2+b^2}$.
તેથી $h^2 + k^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{1}{c^2} \implies \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} = c^2$.
આમ,$h^2 + k^2 = c^2$. તેથી બિંદુપથ $x^2 + y^2 = c^2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જેનો અર્થ છે કે $a - 2b + c = 0$.
રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં $c = 2b - a$ મૂકતા:
$ax + by + (2b - a) = 0$
$a(x - 1) + b(y + 2) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $(x, y)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
સમાન અંતરની શરત મુજબ,$(x, y)$ થી $(a_1, b_1)$ નું અંતર અને $(x, y)$ થી $(a_2, b_2)$ નું અંતર સમાન છે.
$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ દૂર કરતા:
$-2a_1x - 2b_1y + a_1^2 + b_1^2 = -2a_2x - 2b_2y + a_2^2 + b_2^2$
પદોને $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2(a_1 - a_2)x + 2(b_1 - b_2)y + (a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
આને આપેલ સમીકરણ $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$

(B) ધારો કે ચલિત રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A(2, 0)$,$B(0, 2)$ અને $C(1, 1)$ થી લંબ અંતરનો બીજગણિતીય સરવાળો શૂન્ય છે:
$\frac{2a + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{2b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$\sqrt{a^2 + b^2}$ વડે ગુણતા:
$(2a + c) + (2b + c) + (a + b + c) = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$3a + 3b + 3c = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$a + b + c = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $c = -(a + b)$. આ કિંમતને રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે ત્યારે જ શક્ય છે જો $x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$ અને $y = 1$.
આમ,આવી બધી જ રેખાઓ અચળ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે અને $a + b = 10$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A = (a, 0)$ માં અને $y$-અક્ષને $B = (0, b)$ માં છેદે છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુ $(x, y)$ છે.
તેથી $x = \frac{a + 0}{2} = \frac{a}{2} \implies a = 2x$.
અને $y = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2} \implies b = 2y$.
$a$ અને $b$ ની કિંમત $a + b = 10$ માં મૂકતા:
$2x + 2y = 10$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y = 5$ મળે છે.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x + y = 5$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = (a, 0)$ અને $B = (-a, 0)$.
ધારો કે $P = (x, y)$.
શરત $PA = nPB$ છે.
$n = 1$ માટે,આપણને $PA = PB$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2$.
$(x - a)^2 + y^2 = (x + a)^2 + y^2$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$.
$-2ax = 2ax$.
$4ax = 0$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી $(a \in (-\infty, 0))$,આપણને $x = 0$ મળે છે.
સમીકરણ $x = 0$ એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે,જે એક સુરેખા છે.

(B) ધારો કે $(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - b = m(x - a)$ છે.
બિંદુ $A$ માટે $(y = 0)$: $-b = m(x - a) \implies x = a - \frac{b}{m}$. તેથી,$A = (a - \frac{b}{m}, 0)$.
બિંદુ $B$ માટે $(x = 0)$: $y - b = m(0 - a) \implies y = b - ma$. તેથી,$B = (0, b - ma)$.
યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓના છેદબિંદુને $P(h, k)$ ધારો.
તેથી $h = a - \frac{b}{m}$ અને $k = b - ma$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\frac{b}{m} = a - h \implies m = \frac{b}{a - h}$.
$m$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $k = b - (\frac{b}{a - h})a$.
$k = \frac{b(a - h) - ab}{a - h} = \frac{ab - bh - ab}{a - h} = \frac{-bh}{a - h}$.
$k(a - h) = -bh \implies ak - kh = -bh \implies ak = kh - bh$.
$hka$ વડે ભાગતા: $\frac{ak}{hka} = \frac{kh}{hka} - \frac{bh}{hka} \implies \frac{1}{h} = \frac{1}{a} - \frac{b}{ka}$.
ગોઠવતા $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ મળે છે. $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ છે.

(B) રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$ અને $L_2: 3x - y = 0$ છે.
બિંદુ $(a, a^2)$ ખૂણાની અંદર રહે તે માટે,તેણે રેખાઓ દ્વારા બનતી અસમતાઓનું પાલન કરવું જોઈએ.
$x > 0$ આપેલ હોવાથી,$a > 0$ થાય.
બિંદુ $y = 3x$ ની નીચે રહે તે માટે,$a^2 < 3a$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $a(a - 3) < 0$,તેથી $0 < a < 3$.
બિંદુ $y = \frac{x}{2}$ ની ઉપર રહે તે માટે,$a^2 > \frac{a}{2}$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $a(a - \frac{1}{2}) > 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a > \frac{1}{2}$ મળે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $\frac{1}{2} < a < 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(h, 0)$ અને $Q$ ના યામ $(0, k)$ છે.
લંબચોરસ $OPRQ$ પૂર્ણ થતો હોવાથી,$R$ ના યામ $(h, k)$ થશે.
$P(h, 0)$ અને $Q(0, k)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{2}{h} + \frac{3}{k} = 1$
$R(h, k)$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે $h$ ને $x$ અને $k$ ને $y$ વડે બદલીએ છીએ:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$
બંને બાજુ $xy$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$2y + 3x = xy$
આમ,$R$ નો બિંદુપથ $3x + 2y = xy$ છે.