Concurrency of three lines Questions in Gujarati

(D) આપેલ રેખાઓ:
$ax + by = 1$ ... $(i)$
$bx + ay = 1$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $a$ વડે અને (ii) ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2x + aby = a$
$b^2x + aby = b$
બંનેની બાદબાકી કરતા:
$(a^2 - b^2)x = a - b$
$x(a - b)(a + b) = a - b$
$a \neq b$ હોવાથી,$x = \frac{1}{a + b}$.
તે જ રીતે,$y = \frac{1}{a + b}$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(\frac{1}{a + b}, \frac{1}{a + b})$ છે.
અહીં $x$-યામ અને $y$-યામ સમાન હોવાથી,તે રેખા $x = y$ પર આવેલું છે.

(D) પગલું $1$: પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલીને સંગામી બિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધો:
$x+y=2$ $(i)$
$3x-4y=-1$ (ii)
$(i)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $4x+4y=8$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $7x=7 \implies x=1$.
$x=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $1+y=2 \implies y=1$.
તેથી,સંગામી બિંદુ $(1, 1)$ છે.
પગલું $2$: ત્રીજી રેખા $5x+ky-7=0$ એ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે તેમ લઈને $k$ શોધો:
$5(1)+k(1)-7=0 \implies 5+k-7=0 \implies k=2$.
પગલું $3$: $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $kx+y-k=0$ (એટલે કે $2x+y-2=0$) ને લંબ રેખાનું સમીકરણ શોધો:
$2x+y-2=0$ નો ઢાળ $m_1 = -2$ છે.
જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ થશે.
પગલું $4$: બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y-y_1 = m_2(x-x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y-1 = \frac{1}{2}(x-1) \implies 2y-2 = x-1 \implies x-2y = -1$.

(D) જો રેખાઓ સંગામી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -k \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(-k - 2) + 1(-4k - 2) + 1(4 - 1) = 0$
$-2k - 4 - 4k - 2 + 3 = 0$
$-6k - 3 = 0$
$-6k = 3$
$k = -\frac{1}{2}$

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$3x + 4y - 5 = 0$ ... $(i)$
$2x + 3y - 4 = 0$ ... $(ii)$
$px + 4y - 6 = 0$ ... $(iii)$
રેખાઓ $(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6x + 8y - 10 = 0$ ... $(iv)$
$6x + 9y - 12 = 0$ ... $(v)$
સમીકરણ $(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3x + 4(2) - 5 = 0$ $\Rightarrow 3x + 3 = 0$ $\Rightarrow x = -1$
છેદબિંદુ $(-1, 2)$ છે.
ત્રણેય રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(-1, 2)$ સમીકરણ $(iii)$ નું સમાધાન કરશે:
$p(-1) + 4(2) - 6 = 0$
$-p + 2 = 0 \Rightarrow p = 2$

(B) ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
આપેલી રેખાઓ $3x + y - 2 = 0$,$px + 2y - 3 = 0$ અને $2x - y - 3 = 0$ છે.
સંગામી હોવાની શરત:
$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ p & 2 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(2(-3) - (-1)(-3)) - 1(p(-3) - 2(-3)) - 2(p(-1) - 2(2)) = 0$
$3(-6 - 3) - 1(-3p + 6) - 2(-p - 4) = 0$
$3(-9) + 3p - 6 + 2p + 8 = 0$
$-27 + 3p - 6 + 2p + 8 = 0$
$5p - 25 = 0$
$5p = 25$
$p = 5$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ: $ax + by + c = 0$.
શરત $3a + 5b + 6c = 0$ પરથી,$c = -\frac{3a + 5b}{6}$ મળે.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $ax + by - \frac{3a + 5b}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $6ax + 6by - 3a - 5b = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $a(6x - 3) + b(6y - 5) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવાથી,$6x - 3 = 0$ અને $6y - 5 = 0$ થાય.
તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{5}{6}$ મળે.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{6}\right)$ છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોય તે માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & 3 & -3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2[-6 + 6] - 1[-9 + 2k] - 1[9 - 2k] = 0$
$0 = 0$
આમ,'$k$' ની કોઈપણ કિંમત માટે રેખાઓ સંગામી છે,તેથી '$k$' ના મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે.

(D) પ્રથમ,$L_1: 2x + 3y + 6 = 0$ અને $L_2: 3x - y - 13 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
$L_2$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9x - 3y - 39 = 0$.
$L_1$ માં ઉમેરતા: $(2x + 3y + 6) + (9x - 3y - 39) = 0$ $\Rightarrow 11x - 33 = 0$ $\Rightarrow x = 3$.
$x = 3$ ને $L_2$ માં મૂકતા: $3(3) - y - 13 = 0$ $\Rightarrow 9 - y - 13 = 0$ $\Rightarrow y = -4$.
છેદબિંદુ $(3, -4)$ છે.
$3x - 4y + 5 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $3x - 4y + k = 0$ છે.
આ રેખા $(3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી યામ મૂકતા:
$3(3) - 4(-4) + k = 0$ $\Rightarrow 9 + 16 + k = 0$ $\Rightarrow 25 + k = 0$ $\Rightarrow k = -25$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $3x - 4y - 25 = 0$ છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_2x+b_2y+c_2=0$,અને $a_3x+b_3y+c_3=0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય: $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
આપેલ રેખાઓ $x+ay+a=0$,$bx+y+b=0$,અને $cx+cy+1=0$ છે.
સંગામી હોવાની શરત $\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 0$.
$1 - bc - ab + abc + abc - ac = 0$,જેનું સાદું રૂપ $ab+bc+ca - 2abc = 1$ થાય છે.
ધારો કે $S = \frac{a}{a-1} + \frac{b}{b-1} + \frac{c}{c-1}$.
$S = \frac{a(b-1)(c-1) + b(a-1)(c-1) + c(a-1)(b-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc-b-c+1) + b(ac-a-c+1) + c(ab-a-b+1) = 3abc - 2(ab+bc+ca) + (a+b+c)$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(ab-a-b+1)(c-1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 = abc - (ab+bc+ca) + (a+b+c) - 1$.
$ab+bc+ca = 1+2abc$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $3abc - 2(1+2abc) + (a+b+c) = -abc + (a+b+c) - 2$ બને છે.
છેદ $abc - (1+2abc) + (a+b+c) - 1 = -abc + (a+b+c) - 2$ બને છે.
આમ,$S = \frac{-abc + (a+b+c) - 2}{-abc + (a+b+c) - 2} = 1$.

(A) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & -3 & -23 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(-23) - (-2)(-3)) - 1(3(-23) - (-2)(k)) - 3(3(-3) - 2(k)) = 0$
$2(-46 - 6) - 1(-69 + 2k) - 3(-9 - 2k) = 0$
$-104 + 96 + 4k = 0$
$4k = 8 \implies k = 2$
$k = 2$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^2 - 7x + k = 0$ માં મૂકતા:
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
$(2x - 1)(3x - 2) = 0$
તેથી બીજ $x = 1/2$ અને $x = 2/3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{1}{b} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ મળે છે.
રેખાનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{2}{c} = 0$ છે.
આને હાર્મોનિક શ્રેણીની શરત સાથે સરખાવતા,આપણે રેખાના સમીકરણને $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{b}(y) + \frac{1}{c}(-2) = 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
જો આપણે $x = 1$ અને $y = -2$ લઈએ,તો સમીકરણ $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ બને છે,જે હાર્મોનિક શ્રેણીની શરત છે.
આમ,રેખાઓ $(1, -2)$ બિંદુએ સંગામી છે.

(D) આપેલ છે કે રેખાઓ $x+3y-9=0$,$4x+by-2=0$ અને $2x-y-4=0$ સંગામી છે.
સંગામી હોવાની શરત મુજબ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -9 \\ 4 & b & -2 \\ 2 & -1 & -4 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(-4b - 2) - 3(-16 + 4) - 9(-4 - 2b) = 0$
$-4b - 2 + 36 + 36 + 18b = 0$
$14b + 70 = 0$ $\Rightarrow 14b = -70$ $\Rightarrow b = -5$
હવે,$x+3y-9=0$ અને $2x-y-4=0$ ને ઉકેલીને સંગામી બિંદુ શોધીએ:
$2x-y-4=0$ પરથી,$y = 2x-4$ મળે.
$x+3y-9=0$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 3(2x-4) - 9 = 0$ $\Rightarrow x + 6x - 12 - 9 = 0$ $\Rightarrow 7x = 21$ $\Rightarrow x = 3$.
તેથી $y = 2(3) - 4 = 2$. સંગામી બિંદુ $(3, 2)$ છે.
માંગેલ રેખા $(b, 0) = (-5, 0)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ: $y - 0 = \frac{2-0}{3 - (-5)}(x - (-5))$
$y = \frac{2}{8}(x+5)$ $\Rightarrow y = \frac{1}{4}(x+5)$ $\Rightarrow 4y = x+5$ $\Rightarrow x - 4y + 5 = 0$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+2ay+a=0$,$L_2: x+3by+b=0$,અને $L_3: x+4cy+c=0$ છે.
આ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ સ્તંભ મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$.
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$.
$-ab - bc + 2ac = 0$.
$2ac = ab + bc$.
$abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(B) પ્રથમ,$x-y+2=0$ અને $2x+y+3=0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x-y+2) + (2x+y+3) = 0 \implies 3x+5=0 \implies x = -\frac{5}{3}$. $x$ ની કિંમત $x-y+2=0$ માં મૂકતા: $-\frac{5}{3} - y + 2 = 0 \implies y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$. સંગામી બિંદુ $P(-\frac{5}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
$L_1$ રેખા માટે,ઢાળ $m_1 = 2$: $y - \frac{1}{3} = 2(x + \frac{5}{3}) \implies y = 2x + \frac{11}{3} \implies 2x - y + \frac{11}{3} = 0$. અંતઃખંડો $x = -\frac{11}{6}$ અને $y = \frac{11}{3}$ છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો: $|-\frac{11}{6}| + |\frac{11}{3}| = \frac{11}{6} + \frac{22}{6} = 5.5$.
$L_2$ રેખા માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$: $y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}(x + \frac{5}{3}) \implies x + 2y + 1 = 0$. અંતઃખંડો $x = -1$ અને $y = -\frac{1}{2}$ છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો: $|-1| + |-\frac{1}{2}| = 1.5$.
કુલ સરવાળો $5.5 + 1.5 = 7$ થાય.

(C) રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોવાની શરત એ છે કે તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ $a, b, c$ ના હરાત્મક શ્રેણીમાં હોવાની શરત છે.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,ત્રણેય રેખાઓ એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ અથવા સંગામી હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલો:
$2x + y = 5$ $(1)$
$x - 2y = -1$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4x + 2y = 10$ $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5x = 9 \implies x = \frac{9}{5}$
$x$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{9}{5}) + y = 5 \implies y = 5 - \frac{18}{5} = \frac{7}{5}$
સિસ્ટમ સુસંગત હોવાથી,બિંદુ $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ એ ત્રીજા સમીકરણ $2x - 14y - a = 0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$2(\frac{9}{5}) - 14(\frac{7}{5}) - a = 0$
$\frac{18}{5} - \frac{98}{5} = a$
$a = -\frac{80}{5} = -16$

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(2, -1)$,$C(-1, 0)$ અને $D(2, 0)$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $ છે.
રેખા $AB$ માટે જે $(1, 2)$ અને $(2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(y - 2) = \frac{-1 - 2}{2 - 1}(x - 1) \Rightarrow (y - 2) = -3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + y = 5$.
રેખા $CD$ માટે જે $(-1, 0)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
અહીં $y$-યામ બંને બિંદુઓ માટે $0$ હોવાથી,રેખા $x$-અક્ષ છે,એટલે કે $y = 0$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = 0$ ને સમીકરણ $3x + y = 5$ માં મૂકતા:
$3x + 0 = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(\frac{5}{3}, 0)$ છે,જે સદિશ સ્વરૂપમાં $\frac{5}{3} \hat{i}$ થાય છે.

(C) રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x-y-2=0$ ...$(i)$
$x+y-4=0$ ...(ii)
$x+3y=6$ ...(iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો ઉકેલ મેળવતા:
$(x-y-2) + (x+y-4) = 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3 - y - 2 = 0$
$1 - y = 0 \implies y = 1$
તેથી,$(i)$ અને (ii) નું છેદબિંદુ $(3,1)$ છે.
હવે,તપાસો કે શું $(3,1)$ સમીકરણ (iii) નું સમાધાન કરે છે:
$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$
આમ,બિંદુ $(3,1)$ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી રેખાઓ $(3,1)$ પર સંગામી છે.

(D) પ્રથમ,રેખાઓ $x + 3y - 1 = 0$ અને $x - 2y + 4 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(x + 3y - 1) - (x - 2y + 4) = 0$ $\Rightarrow 5y - 5 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ ને $x + 3y - 1 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x + 3(1) - 1 = 0 \Rightarrow x = -2$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(-2, 1)$ છે.
$3x + 2y = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખા $(-2, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-2) - 3(1) + \lambda = 0$ $\Rightarrow -4 - 3 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = 7$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + 7 = 0$ છે.

(A) રેખાઓ $px + qy + r = 0$,$x \sin \alpha + y \cos \alpha = r$,અને $x \cos \alpha - y \sin \alpha = 0$ બિંદુ $A$ પર સંગામી છે.
સંગામી હોવાની શરત મુજબ નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} p & q & r \\ \sin \alpha & \cos \alpha & -r \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(0 - r \sin \alpha) - q(0 + r \cos \alpha) + r(-\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$
$-pr \sin \alpha - qr \cos \alpha - r = 0$
$r \neq 0$ હોવાથી,$-r$ વડે ભાગતા: $p \sin \alpha + q \cos \alpha + 1 = 0 \Rightarrow p \sin \alpha + q \cos \alpha = -1$ (સમીકરણ $1$).
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 3$ છે.
ઢાળ $m_1 = -p/q$ અને $m_2 = -\tan \alpha$ છે.
$\tan(\pi / 3) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{-p \cos \alpha + q \sin \alpha}{q \cos \alpha + p \sin \alpha} \right|$.
સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરતા,$q \cos \alpha + p \sin \alpha = -1$.
તેથી,$| q \sin \alpha - p \cos \alpha | = \sqrt{3}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$p^2 + q^2 = 1 + 3 = 4$.

(B) આપેલ રેખાઓના પરિવારો છે:
$(x+y+1) + \lambda(5y-3) = 0$ $(i)$
$(2x-3y+3) + \mu(5x+6) = 0$ $(ii)$
પ્રથમ પરિવાર માટે,સંગામી બિંદુ $x+y+1=0$ અને $5y-3=0$ નું છેદબિંદુ છે.
$5y-3=0$ પરથી,$y = \frac{3}{5}$ મળે છે.
$x+y+1=0$ માં કિંમત મૂકતા,$x = -\frac{3}{5} - 1 = -\frac{8}{5}$ મળે છે.
તેથી,પ્રથમ બિંદુ $P_1 = \left(-\frac{8}{5}, \frac{3}{5}\right)$ છે.
બીજા પરિવાર માટે,સંગામી બિંદુ $2x-3y+3=0$ અને $5x+6=0$ નું છેદબિંદુ છે.
$5x+6=0$ પરથી,$x = -\frac{6}{5}$ મળે છે.
$2x-3y+3=0$ માં કિંમત મૂકતા,$3y = 2(-\frac{6}{5}) + 3 = -\frac{12}{5} + 3 = \frac{3}{5}$,તેથી $y = \frac{1}{5}$ મળે છે.
તેથી,બીજું બિંદુ $P_2 = \left(-\frac{6}{5}, \frac{1}{5}\right)$ છે.
$P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{\left(-\frac{6}{5} - (-\frac{8}{5})\right)^2 + (\frac{1}{5} - \frac{3}{5})^2}$ છે.
$= \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{8}{25}} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) આપેલ શરત $\alpha a + \beta b + \gamma c = 0$ છે.
$\gamma \neq 0$ હોવાથી,આપણે $c = -\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને રેખાઓના પરિવારના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા:
$ax + by + (-\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a(x - \frac{\alpha}{\gamma}) + b(y - \frac{\beta}{\gamma}) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ સ્વૈચ્છિક $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવા માટે,$a$ અને $b$ ના સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$x - \frac{\alpha}{\gamma} = 0 \Rightarrow x = \frac{\alpha}{\gamma}$ અને $y - \frac{\beta}{\gamma} = 0 \Rightarrow y = \frac{\beta}{\gamma}$.
આમ,સંગામી બિંદુ $\left(\frac{\alpha}{\gamma}, \frac{\beta}{\gamma}\right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ છે.
$a$ અને $b$ ના આધારે પદોને ગોઠવતા:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$.
$a$ અને $b$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y + 1 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$2x - y + 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0 \implies x = -2$.
$x = -2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$-2 + y + 1 = 0 \implies y = 1$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 1)$ છે.

(B) રેખાઓ $x-2y+1=0$ અને $2x-3y-1=0$ નું છેદબિંદુ $(5, 3)$ છે.
આ બિંદુ $3x-y+k=0$ માં મૂકતા,$3(5)-3+k=0 \implies k=-12$.
રેખાઓ $3x-y-12=0$ અને $mx-3y+6=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan(45^{\circ}) = |\frac{3-m/3}{1+3(m/3)}| = 1 \implies m=3$.
તેથી $m-k = 3 - (-12) = 15$.

(B) રેખાઓ $x-3y+3=0$ અને $2x+y-8=0$ નું છેદબિંદુ $(a, b)$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=3, y=2$,તેથી $(a, b) = (3, 2)$.
બિંદુ $(3, 2)$ એ $kx+y+k=0$ પર હોવાથી,$3k+2+k=0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
રેખા $L$ એ $3x-2y-1=0$ છે.
ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $p = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
બિંદુ $(2, 3)$ થી $3x-2y-1=0$ નું લંબ અંતર $\frac{|3(2)-2(3)-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = p$ થાય.

(D) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -k \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4(k - 6) - 3(2k - 9) - k(4 - 3) = 0$
$4k - 24 - 6k + 27 - k = 0$
$-3k + 3 = 0 \Rightarrow k = 1$
$k = 1$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$L_1: 4x + 3y - 1 = 0$
$L_2: 2x + y + 3 = 0$
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા:
$L_1 - 2 \times L_2$ $\Rightarrow (4x + 3y - 1) - (4x + 2y + 6) = 0$ $\Rightarrow y - 7 = 0$ $\Rightarrow y = 7$
$y = 7$ ને $L_2$ માં મૂકતા: $2x + 7 + 3 = 0$ $\Rightarrow 2x = -10$ $\Rightarrow x = -5$
સંગમબિંદુ $(-5, 7)$ છે.
$(-5, 7)$ થી $3x + 4y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \left| \frac{3(-5) + 4(7) + 2}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-15 + 28 + 2}{5} \right| = \left| \frac{15}{5} \right| = 3$.

(C) રેખાઓ સંગામી હોવા માટે,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ k & 2 & 1 \\ 4 & 2k & 7\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(14 - 2k) - 1(7k - 4) - 1(2k^2 - 8) = 0$
$14 - 2k - 7k + 4 - 2k^2 + 8 = 0$
$-2k^2 - 9k + 26 = 0$
$2k^2 + 9k - 26 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2k^2 + 13k - 4k - 26 = 0$
$k(2k + 13) - 2(2k + 13) = 0$
$(2k + 13)(k - 2) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = -\frac{13}{2}$.
જો $k = 2$ હોય,તો રેખાઓ $x+y-1=0$,$2x+2y+1=0$ અને $4x+4y+7=0$ બને છે. પ્રથમ બે રેખાઓ સમાંતર છે,તેથી તે સંગામી હોઈ શકે નહીં.
તેથી,માત્ર સાચી કિંમત $k = -\frac{13}{2}$ છે.

(D) રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ k & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$2(2 - 6) - 1(k + 9) + 3(-2k - 6) = 0$
$-8 - k - 9 - 6k - 18 = 0$
$-7k - 35 = 0 \Rightarrow k = -5$
આમ,$L_2 \equiv -5x + 2y - 3 = 0$,અથવા $5x - 2y + 3 = 0$.
$L_2$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{5}{2}$ છે.
રેખા $2x - 5y + 7 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{5}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{5}{2})(\frac{2}{5})} \right| = \left| \frac{\frac{21}{10}}{2} \right| = \frac{21}{20}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{20}{29}$.

(B) આપેલી રેખાઓ:
$L_1: 3x + 6y + 2 = 0$
$L_2: x + y + 1 = 0$
$L_3: 2x - y + 3 = 0$
ચકાસો કે બિંદુ $P\left(\frac{-4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$L_1$ માટે: $3\left(\frac{-4}{3}\right) + 6\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$.
$L_2$ માટે: $\left(\frac{-4}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$.
$L_3$ માટે: $2\left(\frac{-4}{3}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{-8-1+9}{3} = 0$.
આમ,બિંદુ ત્રણેય રેખાઓનું સંગામી બિંદુ છે.

(A) રેખાઓ $L_1: x-2y+3=0$ અને $L_2: 2x+y+1=0$ એક બિંદુમાં છેદે છે. આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x-2y = -3$
$2x+y = -1 \implies y = -1-2x$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x-2(-1-2x) = -3 \implies x+2+4x = -3 \implies 5x = -5 \implies x = -1$.
તેથી $y = -1-2(-1) = 1$. છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,$(-1, 1)$ એ $L_3: 3x+y+c=0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$3(-1)+1+c = 0 \implies -3+1+c = 0 \implies c = 2$.
હવે,$L_1$ અને $L_3$ ના ઢાળ $m_1 = 1/2$ અને $m_3 = -3$ છે.
તેમની વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_3}{1+m_1m_3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-3)}{1 + (1/2)(-3)} \right| = \left| \frac{7/2}{1 - 3/2} \right| = \left| \frac{7/2}{-1/2} \right| = |-7| = 7$.

(A) આપેલ છે કે રેખાઓ $x+3y-9=0$,$4x+5y-1=0$,અને $px+qy+10=0$ સંગામી છે,તેથી તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -9 \\ 4 & 5 & -1 \\ p & q & 10 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(50 + q) - 3(40 + p) - 9(4q - 5p) = 0$
$50 + q - 120 - 3p - 36q + 45p = 0$
$42p - 35q - 70 = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$6p - 5q - 10 = 0$
$\Rightarrow 6p - 5q = 10$
રેખા $5x + 6y + 10 = 0$ બિંદુ $(q, -p)$ માંથી પસાર થાય છે જો $5(q) + 6(-p) + 10 = 0$ થાય,જે $5q - 6p + 10 = 0$ અથવા $6p - 5q = 10$ માં પરિણમે છે.
આ આપણી મેળવેલી શરત સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,રેખા $(q, -p)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ત્રણ રેખાઓ ત્રિકોણ ન બનાવે જો તેઓ સંગામી હોય અથવા તેમાંથી કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર હોય.
પ્રથમ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો:
$x+3y=5$ $(i)$
$5x+2y=12$ (ii)
$(i)$ ને $5$ વડે ગુણતા: $5x+15y=25$ (iii)
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા: $13y=13 \Rightarrow y=1$.
$y=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x+3(1)=5 \Rightarrow x=2$.
છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોય તે માટે,આ બિંદુ ત્રીજી રેખા $3x-ky-1=0$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$3(2)-k(1)-1=0$ $\Rightarrow 6-k-1=0$ $\Rightarrow k=5$.
જો કે,વિકલ્પો તપાસતા,આપણે તે કિસ્સો પણ ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ જ્યાં રેખાઓ સમાંતર હોય.
જો $3x-ky-1=0$ એ $5x+2y-12=0$ ને સમાંતર હોય,તો $\frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $k=-\frac{6}{5}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 - m(x - x_1) = 0$ છે,જેને $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબનું અંતર $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે. લંબની લંબાઈનો બેઝિક સરવાળો લેતા,આપણે ચિહ્નિત અંતર $\frac{mx_0 - y_0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ લઈએ છીએ.
$(2, 0)$,$(0, 2)$ અને $(1, 1)$ થી લંબનો સરવાળો:
$\frac{(2m - 0 + y_1 - mx_1) + (0m - 2 + y_1 - mx_1) + (1m - 1 + y_1 - mx_1)}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2m + y_1 - mx_1) + (y_1 - 2 - mx_1) + (m - 1 + y_1 - mx_1) = 0$
$m(2 + 1 - 3x_1) + (3y_1 - 3) = 0$
$m(3 - 3x_1) + 3(y_1 - 1) = 0$
આ સમીકરણ કોઈપણ ઢાળ $m$ માટે સાચું હોવાથી,$m$ ના સહગુણક અને અચળ પદ સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3 - 3x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$3(y_1 - 1) = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
આમ,$(x_1, y_1) = (1, 1)$.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) રેખાઓ $x+2ay+a=0$,$x+3by+b=0$ અને $x+4cy+c=0$ સંગામી છે જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{lll}1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$
$-ab - bc + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં હોવાની શરત છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $2x - 3y + k = 0$,$3x - 4y - 13 = 0$ અને $8x - 11y - 33 = 0$ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & k \\ 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(132 - 143) + 3(-99 + 104) + k(-33 + 32) = 0$
$2(-11) + 3(5) - k = 0$
$-22 + 15 - k = 0$
$-7 - k = 0$
$k = -7$

(C) આપેલ સમીકરણ $6 a^2-3 b^2-c^2+7 a b-a c+4 b c=0$ છે.
$a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b^2 - 4bc + c^2) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b - c)(b - c) = 0$.
$(3a - b + c)(2a + 3b - c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $3a - b + c = 0$ અથવા $2a + 3b - c = 0$.
કિસ્સો $1$: $3a - b + c = 0$. $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3, y = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $2a + 3b - c = 0$. $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2, y = -3$ મળે છે.
આમ,રેખાઓ $(3, -1)$ અથવા $(2, -3)$ પર સંગામી છે.

(C) $L = 0$ અને $l = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $L + \lambda l = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેખાઓને મૂકતા:
$(2x + 3y - 5) + \lambda(4x - 5y + 7) = 0$
$(2 + 4\lambda)x + (3 - 5\lambda)y + (7\lambda - 5) = 0$ --- (સમીકરણ $1$)
રેખા $L_1$ એ $(2, 3)$ અને $(1, -1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,વિભાજન બિંદુ $(x, y)$ છે:
$x = \frac{2(1) + 1(2)}{2 + 1} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{2(-1) + 1(3)}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ એ $L_1$ પર હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણ $1$ માં મૂકીએ છીએ:
$(2 + 4\lambda)(\frac{4}{3}) + (3 - 5\lambda)(\frac{1}{3}) + (7\lambda - 5) = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા:
$4(2 + 4\lambda) + (3 - 5\lambda) + 3(7\lambda - 5) = 0$
$8 + 16\lambda + 3 - 5\lambda + 21\lambda - 15 = 0$
$32\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
$\lambda = \frac{1}{8}$ ને સમીકરણ $1$ માં પાછું મૂકતા:
$(2 + 4(\frac{1}{8}))x + (3 - 5(\frac{1}{8}))y + (7(\frac{1}{8}) - 5) = 0$
$2.5x + 2.375y - 4.125 = 0$
$\frac{5}{2}x + \frac{19}{8}y = \frac{33}{8}$
$ax + by = 1$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $\frac{8}{33}$ વડે ગુણતા:
$(\frac{5}{2} \times \frac{8}{33})x + (\frac{19}{8} \times \frac{8}{33})y = 1$
$\frac{20}{33}x + \frac{19}{33}y = 1$
આમ,$a = \frac{20}{33}$ અને $b = \frac{19}{33}$.
તેથી,$33(a - b) = 33(\frac{20}{33} - \frac{19}{33}) = 33(\frac{1}{33}) = 1$.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+y-1=0$,$2x-y-c=0$ અને $bx+2by-c=0$ છે. જો આ રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી હોય,તો તે સંગામી છે. સંગામી હોવાની શરત મુજબ નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -c \\ b & 2b & -c \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(c + 2bc) - 1(-2c + bc) - 1(4b + b) = 0$
$c + 2bc + 2c - bc - 5b = 0$
$3c + bc - 5b = 0$
$c(b+3) = 5b$
$c = \frac{5b}{b+3}$
$c < 1$ માટે:
$\frac{5b}{b+3} < 1 \Rightarrow \frac{5b}{b+3} - 1 < 0$
$\frac{5b - b - 3}{b+3} < 0 \Rightarrow \frac{4b - 3}{b+3} < 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતા $b \in \left(-3, \frac{3}{4}\right)$ માટે સાચી છે.

(D) શરત $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ એ ત્રણ રેખાઓ $a_i x + b_i y + c_i = 0$ $(i = 1, 2, 3)$ ના સંગામી હોવા માટેની આવશ્યક શરત છે.
જો રેખાઓ સમાંતર ન હોય (એટલે કે,$i \neq j$ માટે $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j}$),તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થવાનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,જો $i \neq j$ માટે $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j} \neq \frac{c_i}{c_j}$ હોય,તો રેખાઓ સંગામી છે.

(C) ધારો કે છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(ax + 2by + 3b) + \lambda(bx - 2ay - 3a) = 0$ છે.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $0$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણને $(a + \lambda b)x + (2b - 2a\lambda)y + (3b - 3a\lambda) = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવા માટે,$x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $a + \lambda b = 0$,જે $\lambda = -\frac{a}{b}$ આપે છે.
$\lambda = -\frac{a}{b}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ax + 2by + 3b) - \frac{a}{b}(bx - 2ay - 3a) = 0$
$ax + 2by + 3b - ax + \frac{2a^2}{b}y + \frac{3a^2}{b} = 0$
$(2b + \frac{2a^2}{b})y = -(\frac{3a^2}{b} + 3b)$
$2(a^2 + b^2)y = -3(a^2 + b^2)$
$(a, b) \neq (0, 0)$ હોવાથી,$a^2 + b^2 \neq 0$,તેથી $y = -\frac{3}{2}$.
આ $x$-અક્ષની નીચે $\frac{3}{2}$ અંતરે આવેલી $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય તે માટે,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,અથવા $AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-4 - y) - 6(3 - x) + 1(3y - (-4x)) = 0$
$-4 - y - 18 + 6x + 3y + 4x = 0$
$10x + 2y - 22 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$5x + y - 11 = 0$

(A) આપેલ સમીકરણ $4a^2 + 12ab + 9b^2 - c^2 = 0$ છે.
આને $(2a + 3b)^2 - c^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(2a + 3b - c)(2a + 3b + c) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $2a + 3b - c = 0$ અથવા $2a + 3b + c = 0$,જેને $c = \pm(2a + 3b)$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા,$ax + by \pm(2a + 3b) = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$a(x \pm 2) + b(y \pm 3) = 0$ મળે.
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સત્ય હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $x \pm 2 = 0$ અને $y \pm 3 = 0$.
આમ,રેખાઓ $(2, 3)$ અથવા $(-2, -3)$ બિંદુએ સંગામી છે.

(D) રેખાઓ $x+2y-9=0$,$3x+5y-5=0$ અને $ax+by-1=0$ સંગામી હોવાની શરત એ છે કે તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -9 \\ 3 & 5 & -5 \\ a & b & -1\end{array}\right|=0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(-10 + 45) - b(-5 + 27) + (-1)(5 - 6) = 0$
$35a - 22b + 1 = 0$
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે બિંદુ $(a, b)$ એ સમીકરણ $35x - 22y + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તેથી,રેખા $35x - 22y + 1 = 0$ એ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે છેદબિંદુના યામ $(\alpha, -\alpha)$ છે કારણ કે તે $4^{th}$ ચરણમાં છે અને અક્ષોથી સમાન અંતરે છે.
કારણ કે $(\alpha, -\alpha)$ એ $2ax + 4ay + c = 0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2a(\alpha) + 4a(-\alpha) + c = 0$
$-2a\alpha + c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{2a} \quad (i)$
કારણ કે $(\alpha, -\alpha)$ એ $7bx + 3by - d = 0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$7b(\alpha) + 3b(-\alpha) - d = 0$
$4b\alpha - d = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{d}{4b} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{c}{2a} = \frac{d}{4b}$
$4bc = 2ad$
$\frac{ad}{bc} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
તેથી,$ad : bc = 2 : 1$.

(D) આપેલ રેખાઓ નીચે મુજબ છે:
$x - (t + \alpha) = 0$
$y + 16 = 0$
$-\alpha x + y = 0$
આ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -(t+\alpha) \\ 0 & 1 & 16 \\ -\alpha & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - 16) - 0 + (-(t + \alpha))(0 - (-\alpha)) = 0$
$-16 - (t + \alpha)(\alpha) = 0$
$-16 - t\alpha - \alpha^2 = 0$
$\alpha^2 + t\alpha + 16 = 0$
$\alpha$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D$ શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ:
$D = t^2 - 4(1)(16) \geq 0$
$t^2 - 64 \geq 0$
$t^2 \geq 64$
$t$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t \geq 8$.
આમ,$t$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત $8$ છે.