System of co-ordinates, Distance between two points, Section formulae Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. બિંદુઓ $A(a, b)$ અને $B(c, d)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(OA)^2 = a^2 + b^2$
$(OB)^2 = c^2 + d^2$
$(AB)^2 = (a - c)^2 + (b - d)^2$
$\triangle AOB$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos \theta = \frac{(OA)^2 + (OB)^2 - (AB)^2}{2(OA)(OB)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) - [(a - c)^2 + (b - d)^2]}{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2}}$
$\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - (a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2)}{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2}}$
$\cos \theta = \frac{2ac + 2bd}{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2}}$
$\cos \theta = \frac{ac + bd}{\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ બિંદુ $P(0, 1)$ છે અને બીજું બિંદુ $Q(x, -3)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $5$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$5 = \sqrt{(x - 0)^2 + (-3 - 1)^2}$.
$5 = \sqrt{x^2 + (-4)^2}$.
$5 = \sqrt{x^2 + 16}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 = x^2 + 16$.
$x^2 = 25 - 16 = 9$.
$x = \pm 3$.
તેથી,બીજા બિંદુનો ભુજ $\pm 3$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,સમતલના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(x, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$x$-અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,$x$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પરના દરેક બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય છે.
આમ,સામાન્ય ગુણધર્મ $y = 0$ છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(a, 2)$ અને $(3, 4)$ છે અને અંતર $d = 8$ છે.
તેથી,$\sqrt{(3 - a)^2 + (4 - 2)^2} = 8$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3 - a)^2 + (2)^2 = 8^2$ મળે.
$(3 - a)^2 + 4 = 64$.
$(3 - a)^2 = 60$.
$3 - a = \pm \sqrt{60} = \pm 2\sqrt{15}$.
$a = 3 \pm 2\sqrt{15}$.

(A) આપેલ છે કે $AB = BC$,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $\sqrt{(6-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (8-3)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5)^2 + (-4)^2 = (x-1)^2 + (5)^2$.
$25 + 16 = (x-1)^2 + 25$.
$16 = (x-1)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x-1 = \pm 4$.
કિસ્સો $1$: $x-1 = 4 \Rightarrow x = 5$.
કિસ્સો $2$: $x-1 = -4 \Rightarrow x = -3$.
તેથી,$x = 5, -3$.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ મૂકતા:
$d = \sqrt{(a \cos \beta - a \cos \alpha)^2 + (a \sin \beta - a \sin \alpha)^2}$
$d = a \sqrt{(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$d = a \sqrt{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}$
$d = a \sqrt{2(1 - \cos(\alpha - \beta))}$
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = 2a \left| \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \right|$

(B) $y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(0, y)$ ધારો.
$P$ એ $A(3, 2)$ અને $B(-1, 3)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$ થાય.
$(0 - 3)^2 + (y - 2)^2 = (0 - (-1))^2 + (y - 3)^2$
$9 + y^2 - 4y + 4 = 1 + y^2 - 6y + 9$
$13 - 4y = 10 - 6y$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(0, -\frac{3}{2})$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\cos \alpha, \sin \alpha)$ અને $B(-\sin \alpha, \cos \alpha)$ છે.
અંતર $OA$ નો વર્ગ $OA^2 = (\cos \alpha - 0)^2 + (\sin \alpha - 0)^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ છે.
અંતર $OB$ નો વર્ગ $OB^2 = (-\sin \alpha - 0)^2 + (\cos \alpha - 0)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ છે.
તેથી,$OA^2 + OB^2 = 1 + 1 = 2$.

(B) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ યામ $(b \cos \theta, b \sin \theta)$ મૂકતા:
$d = \sqrt{(b \cos \theta)^2 + (b \sin \theta)^2}$
$d = \sqrt{b^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}$
$d = \sqrt{b^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી:
$d = \sqrt{b^2(1)} = b$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(a \sin \theta, 0)$ અને $Q(0, a \cos \theta)$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા,$M = \left( \frac{a \sin \theta + 0}{2}, \frac{0 + a \cos \theta}{2} \right) = \left( \frac{a \sin \theta}{2}, \frac{a \cos \theta}{2} \right)$.
$M$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{\left( \frac{a \sin \theta}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a \cos \theta}{2} - 0 \right)^2}$ છે.
$= \sqrt{\frac{a^2 \sin^2 \theta}{4} + \frac{a^2 \cos^2 \theta}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,અંતર $\sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$ થાય.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(3, 2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \sqrt{(3 - 7)^2 + (2 - 5)^2}$.
$d = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2}$.
$d = \sqrt{16 + 9}$.
$d = \sqrt{25} = 5 \text{ units}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(5, a)$ અને $(b, 7)$ તથા મધ્યબિંદુ $(3, 5)$ માટે:
$\frac{5 + b}{2} = 3 \implies 5 + b = 6 \implies b = 1$.
$\frac{a + 7}{2} = 5 \implies a + 7 = 10 \implies a = 3$.
તેથી,$(a, b) = (3, 1)$.

(B) ધારો કે $x$-અક્ષ બિંદુઓ $A(2, -3)$ અને $B(5, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન કરતા બિંદુનો $y$-યામ $\frac{k(6) + 1(-3)}{k + 1} = 0$ થાય.
$k$ માટે ઉકેલતા: $6k - 3 = 0$ $\Rightarrow 6k = 3$ $\Rightarrow k = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{2} : 1$ એટલે કે $1 : 2$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $x$-અક્ષ દ્વારા વિભાજન ગુણોત્તર $-\frac{y_1}{y_2} = -\frac{-3}{6} = \frac{3}{6} = 1 : 2$ થાય.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$ છે.
અહીં $(x_1, y_1) = (a + b, a - b)$ અને $(x_2, y_2) = (a - b, a + b)$ તથા ગુણોત્તર $m:n = a:b$ છે.
$x$-યામ માટે:
$x = \frac{a(a - b) - b(a + b)}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}$.
$y$-યામ માટે:
$y = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{a - b}$.
આમ,બિંદુ $\left( \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}, \frac{a^2 + b^2}{a - b} \right)$ છે.

(A) ના યામ જે $AB$ ને $l : k$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે તે વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D = \left( \frac{l x_2 + k x_1}{l + k}, \frac{l y_2 + k y_1}{l + k} \right)$
હવે,$P$ એ રેખાખંડ $DC$ ને $m : (k + l)$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$P$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{m x_3 + (k + l) x_D}{m + k + l}, \frac{m y_3 + (k + l) y_D}{m + k + l} \right)$
$D$ ના યામ મૂકતા:
$x_P = \frac{m x_3 + (k + l) \left( \frac{l x_2 + k x_1}{l + k} \right)}{k + l + m} = \frac{m x_3 + l x_2 + k x_1}{k + l + m}$
તે જ રીતે,$y_P = \frac{m y_3 + l y_2 + k y_1}{k + l + m}$
આમ,$P$ ના યામ $\left( \frac{k x_1 + l x_2 + m x_3}{k + l + m}, \frac{k y_1 + l y_2 + m y_3}{k + l + m} \right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $D(9, 12)$ છે. ધારો કે $B$ અને $C$ એ રેખાખંડ $AD$ નું ત્રિભાગ કરતા બિંદુઓ છે.
$(i)$ બિંદુ $B$ એ $AD$ નું $1 : 2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ:
$x = \frac{1(9) + 2(0)}{1 + 2} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{1(12) + 2(0)}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4$
તેથી,$B = (3, 4)$.
$(ii)$ બિંદુ $C$ એ $AD$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ:
$x = \frac{2(9) + 1(0)}{2 + 1} = \frac{18}{3} = 6$
$y = \frac{2(12) + 1(0)}{2 + 1} = \frac{24}{3} = 8$
તેથી,$C = (6, 8)$.
આમ,બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(6, 8)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x + y - 4 = 0$ એ બિંદુઓ $A(-1, 1)$ અને $B(5, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડને $k : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$5k - 1 + 7k + 1 = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-2, 3)$ અને $B(3, -1)$ છે.
ધારો કે $C$ એ $A$ ની નજીકનું ત્રિભાગ બિંદુ છે. તેથી $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{1(3) + 2(-2)}{1 + 2} = \frac{3 - 4}{3} = -\frac{1}{3}$
$y = \frac{1(-1) + 2(3)}{1 + 2} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}$
આમ,$C$ ના યામ $\left( -\frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right)$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, -6)$,$B(2, -5)$,$C(7, 2)$ અને $D(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{-1+7}{2}, \frac{-6+2}{2}) = (3, -2)$ છે.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{2+x}{2}, \frac{-5+y}{2})$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{2+x}{2} = 3$ $\Rightarrow 2+x = 6$ $\Rightarrow x = 4$
$\frac{-5+y}{2} = -2$ $\Rightarrow -5+y = -4$ $\Rightarrow y = 1$
તેથી,ચોથું શિરોબિંદુ $(4, 1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ રેખાખંડ $AB$ ને ત્રણ સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $AP = PQ = QB$.
આનો અર્થ એ છે કે $P$ અને $Q$ એ રેખાખંડ $AB$ ના ત્રિભાજક બિંદુઓ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ સમાન જ થાય છે કારણ કે $P$ અને $Q$ એ $AB$ ના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$AB$ ના મધ્યબિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
બિંદુઓ $A(-2, 5)$ અને $B(3, 1)$ ની કિંમતો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-2 + 3}{2}, \frac{5 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{6}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 3 \right)$.

(C) ધારો કે $A(3, -2)$ અને $B(-3, -4)$ રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ છે અને $C$ તથા $D$ ત્રિભાગ બિંદુઓ છે.
$C$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ:
$\left( \frac{1(-3) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(-2)}{1+2} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{-8}{3} \right) = \left( 1, - \frac{8}{3} \right)$.
$D$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ ના યામ:
$\left( \frac{2(-3) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(-4) + 1(-2)}{2+1} \right) = \left( \frac{-3}{3}, \frac{-10}{3} \right) = \left( -1, - \frac{10}{3} \right)$.

(C) અંતઃવિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (4, -2)$,$(x_2, y_2) = (8, 6)$,$m = 7$,અને $n = 5$.
$x = \frac{7(8) + 5(4)}{7 + 5} = \frac{56 + 20}{12} = \frac{76}{12} = \frac{19}{3}$.
$y = \frac{7(6) + 5(-2)}{7 + 5} = \frac{42 - 10}{12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$.
આમ,બિંદુના યામ $\left( \frac{19}{3}, \frac{8}{3} \right)$ છે.

(C) ધારો કે $y$-અક્ષ બિંદુઓ $A(-3, -4)$ અને $B(1, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P(0, y)$ પર વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ નો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
બિંદુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે:
$0 = \frac{k(1) + 1(-3)}{k + 1}$
$0 = k - 3$
$k = 3$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $3 : 1$ છે.

(A) ધારો કે $y$-અક્ષ બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, -3)$ અને $(x_2, y_2) = (-5, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આ બિંદુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે.
તેથી,$\frac{k(-5) + 2}{k+1} = 0$.
$-5k + 2 = 0 \implies 5k = 2 \implies k = \frac{2}{5}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2 : 5$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 3)$ અને $B(6, -3)$ છે. ત્રિભાગ બિંદુઓ $C$ અને $D$ રેખાખંડ $AB$ નું અનુક્રમે $1:2$ અને $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ:
$C = \left( \frac{1 \times 6 + 2 \times 0}{1 + 2}, \frac{1 \times (-3) + 2 \times 3}{1 + 2} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3} \right) = (2, 1)$
$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{2 \times 6 + 1 \times 0}{2 + 1}, \frac{2 \times (-3) + 1 \times 3}{2 + 1} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{-3}{3} \right) = (4, -1)$
આમ,ત્રિભાગ બિંદુઓ $(2, 1)$ અને $(4, -1)$ છે.

(D) પ્રથમ,$(4, -5)$ અને $(-2, 9)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ શોધો.
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 9}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 2)$.
હવે,$(-3, 6)$ અને $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ શોધો.
$m = \frac{2 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$.
$m = \tan \theta$ હોવાથી,$\tan \theta = -1$.
તેથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(-3, -3)$ અને $Q(6, 6)$ છે.
ધારો કે $R$ અને $S$ એ ત્રિભાગ બિંદુઓ છે.
$R$ એ $PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$R$ ના યામ:
$R = \left( \frac{1(6) + 2(-3)}{1+2}, \frac{1(6) + 2(-3)}{1+2} \right) = \left( \frac{6-6}{3}, \frac{6-6}{3} \right) = (0, 0)$.
$S$ એ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S$ ના યામ:
$S = \left( \frac{2(6) + 1(-3)}{2+1}, \frac{2(6) + 1(-3)}{2+1} \right) = \left( \frac{12-3}{3}, \frac{12-3}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3} \right) = (3, 3)$.
આમ,ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ $(0, 0)$ અને $(3, 3)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા પરના બિંદુઓ $P, Q, R, S, T$ છે જેથી $PQ = QR = RS = ST = k$ થાય.
$P$ ના યામ $(a, x)$ અને $T$ ના યામ $(b, y)$ છે.
કુલ લંબાઈ $PT = 4k$ છે.
બિંદુ $L$ ના યામ $\left( \frac{5a + 3b}{8}, \frac{5x + 3y}{8} \right)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PT$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{mb + na}{m+n}, \frac{my + nx}{m+n} \right)$ થાય.
$L$ સાથે સરખાવતા,$\frac{n}{m+n} = \frac{5}{8}$ અને $\frac{m}{m+n} = \frac{3}{8}$ મળે,જે $3:5$ નો ગુણોત્તર આપે છે.
આમ,$L$ એ $PT$ ને $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$PQ = k, QR = k, RS = k, ST = k$ હોવાથી,અંતર $PL = \frac{3}{8} \times 4k = 1.5k$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $L$ એ $Q$ અને $R$ ની વચ્ચે છે જેથી $QL = 0.5k$ અને $LR = 0.5k$ થાય.
તેથી,$L$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(A) ધારો કે ગુણોત્તર $k : 1$ છે. $x$-અક્ષ પરના બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ: $y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2}$.
$y = 0$ લેતા,$0 = \frac{k(6) + 1(-4)}{k + 1}$.
તેથી,$6k - 4 = 0$,એટલે કે $6k = 4$,જેનો અર્થ છે $k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2 : 3$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(x, 2)$ અને $(3, 4)$ છે અને અંતર $d = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{(x - 3)^2 + (2 - 4)^2}$.
$2 = \sqrt{(x - 3)^2 + (-2)^2}$.
$2 = \sqrt{(x - 3)^2 + 4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = (x - 3)^2 + 4$.
$(x - 3)^2 = 0$.
$x - 3 = 0$.
$x = 3$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 2)$ અને $B(3, -4)$ છે. ગુણોત્તર $m : n = 3 : 2$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $R(x, y)$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(3) + 2(-3)}{3 + 2} = \frac{9 - 6}{5} = \frac{3}{5}$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(-4) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{-12 + 4}{5} = -\frac{8}{5}$
આમ,બિંદુના યામ $\left( \frac{3}{5}, - \frac{8}{5} \right)$ છે.

(C) આપેલ કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (\sqrt{3}, 1)$ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ શોધવા માટે,આપણે $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ ગણો.
ત્યારબાદ,$\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ગણો.
$x$ અને $y$ બંને ધન હોવાથી,બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,ધ્રુવીય યામ $(2, \frac{\pi}{6})$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(a, 0)$ અને $(0, a)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(0 - a)^2 + (a - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-a)^2 + (a)^2}$
$d = \sqrt{a^2 + a^2}$
$d = \sqrt{2a^2}$
$d = \sqrt{2}a$

(A) $(x_1, y_1) = (3, -1)$ અને $(x_2, y_2) = (3, 4)$ ને $m : n = 2 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં બર્હીવિભાજન કરતા બિંદુના યામનું સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2(3) - 3(3)}{2 - 3} = \frac{6 - 9}{-1} = 3$.
$y = \frac{2(4) - 3(-1)}{2 - 3} = \frac{8 + 3}{-1} = -11$.
આમ,બિંદુના યામ $(3, -11)$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $3x + 4y - 7 = 0$ એ બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(-2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{-2k + 1}{k+1}, \frac{k + 2}{k+1} \right)$ થશે.
આ બિંદુ રેખા $3x + 4y = 7$ પર હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3\left( \frac{-2k + 1}{k+1} \right) + 4\left( \frac{k + 2}{k+1} \right) = 7$
$3(-2k + 1) + 4(k + 2) = 7(k + 1)$
$-6k + 3 + 4k + 8 = 7k + 7$
$-2k + 11 = 7k + 7$
$4 = 9k$
$k = \frac{4}{9}$
આમ,ગુણોત્તર $4:9$ છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(-2, 3)$ અને $Q(4, -1)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2}$
$PQ = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{6^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{36 + 16}$
$PQ = \sqrt{52}$

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(a, b)$ અને $C(b, a)$ છે.
આ સામસામેના શિરોબિંદુઓ હોવાથી,અંતર $AC$ એ ચોરસના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈ છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$d = \sqrt{(b - a)^2 + (a - b)^2} = \sqrt{(a - b)^2 + (a - b)^2} = \sqrt{2(a - b)^2} = |a - b|\sqrt{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણના સ્વરૂપમાં $\text{Area} = \frac{1}{2}d^2$ થાય.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (|a - b|\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (a - b)^2 \times 2 = (a - b)^2$.

(A) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.
$AB = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-3 - 7)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
અહીં $AB + AC = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} = BC$ હોવાથી,બે અંતરનો સરવાળો ત્રીજા અંતર જેટલો થાય છે.
તેથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(A) ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં બે બિંદુઓ $(r_1, \theta_1)$ અને $(r_2, \theta_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}$
અહીં $r_1 = 3, \theta_1 = -\frac{\pi}{6}$ અને $r_2 = 4, \theta_2 = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$PQ = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2(3)(4) \cos\left( -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \right)}$
$PQ = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right)}$
કારણ કે $\cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0$ હોવાથી:
$PQ = \sqrt{25 - 24(0)} = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ છે $P(7, 7)$ અને $Q(3, 4)$.
પ્રથમ,અંતર $PQ = \sqrt{(7-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$ શોધો.
$P, Q, R$ સમરેખ હોવાથી અને $PR = 10$ તથા $PQ = 5$ હોવાથી,$Q$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $R = (h, k)$.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{7+h}{2} = 3$ $\Rightarrow 7+h = 6$ $\Rightarrow h = -1$.
$\frac{7+k}{2} = 4$ $\Rightarrow 7+k = 8$ $\Rightarrow k = 1$.
તેથી,$R$ ના યામ $(-1, 1)$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
આપેલ બિંદુ $P = (-8, 6)$ છે.
અંતર $= \sqrt{(-8)^2 + (6)^2}$
$= \sqrt{64 + 36}$
$= \sqrt{100}$
$= 10$ એકમ.

(A) બાહ્ય વિભાજન માટેનું સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$ છે.
અહીં $m = a$,$n = b$,$(x_1, y_1) = (a + b, a - b)$ અને $(x_2, y_2) = (a - b, a + b)$ છે.
$x$-યામ માટે:
$x = \frac{a(a - b) - b(a + b)}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}$.
$y$-યામ માટે:
$y = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{a - b}$.
આમ,બિંદુના યામ $\left( \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}, \frac{a^2 + b^2}{a - b} \right)$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(k, k)$ છે.
$P$ એ $A(1, 0)$ અને $B(0, 3)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$:
$(k - 1)^2 + (k - 0)^2 = (k - 0)^2 + (k - 3)^2$
$(k^2 - 2k + 1) + k^2 = k^2 + (k^2 - 6k + 9)$
$2k^2 - 2k + 1 = 2k^2 - 6k + 9$
$-2k + 1 = -6k + 9$
$4k = 8$
$k = 2$
આમ,બિંદુ $(2, 2)$ છે.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુ $(3, 5)$ છે,તેથી:
$\frac{5 + b}{2} = 3 \implies 5 + b = 6 \implies b = 1$.
$\frac{a + 7}{2} = 5 \implies a + 7 = 10 \implies a = 3$.
આમ,$(a, b) = (3, 1)$.

(C) ધારો કે ત્રિ-વિભાજન કરતા બિંદુઓ $P_1$ અને $P_2$ છે. $P_1$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અને $P_2$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_1$ માટે (ગુણોત્તર $1:2$): $x = \frac{1(5) + 2(2)}{1+2} = \frac{9}{3} = 3$,$y = \frac{1(3) + 2(1)}{1+2} = \frac{5}{3}$. તેથી,$P_1 = \left( 3, \frac{5}{3} \right)$.
$P_2$ માટે (ગુણોત્તર $2:1$): $x = \frac{2(5) + 1(2)}{2+1} = \frac{12}{3} = 4$,$y = \frac{2(3) + 1(1)}{2+1} = \frac{7}{3}$. તેથી,$P_2 = \left( 4, \frac{7}{3} \right)$.

(A) કાર્તેઝીય યામ $(x, y)$ અને ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે. \\ આપેલ છે કે $r = 2$ અને $\theta = \pi / 3$. \\ કિંમતો મૂકતા: \\ $x = 2 \cos(\pi / 3) = 2 \times (1 / 2) = 1$. \\ $y = 2 \sin(\pi / 3) = 2 \times (\sqrt{3} / 2) = \sqrt{3}$. \\ તેથી,કાર્તેઝીય યામ $(1, \sqrt{3})$ છે.

(C) અંતર $d = \sqrt{(a \cos \alpha - a \cos \beta)^2 (a \sin \alpha - a \sin \beta)^2}$
$d = a \sqrt{(\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha) (\cos^2 \beta \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta)}$
$d = a \sqrt{1 1 - 2 \cos(\alpha - \beta)}$
$d = a \sqrt{2(1 - \cos(\alpha - \beta))}$
$d = a \sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}$
$d = 2a \left| \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right|$

(B) બિંદુ $M(x, y)$ એ $AB$ નું $b:a$ ગુણોત્તરમાં અંત:વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$M$ ના યામ:
$x = \frac{ab(\cos \alpha + \cos \beta)}{a + b}$
$y = \frac{ab(\sin \alpha + \sin \beta)}{a + b}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,પરિણામ $0$ મળે છે.

(D) ધારો કે રેખા $2x + 3y + 7 = 0$ એ $A(3, 4)$ અને $B(7, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન બિંદુના યામ વિભાજન સૂત્ર મુજબ $(\frac{7k + 3}{k + 1}, \frac{8k + 4}{k + 1})$ થશે.
આ બિંદુ રેખા $2x + 3y + 7 = 0$ પર હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(\frac{7k + 3}{k + 1}) + 3(\frac{8k + 4}{k + 1}) + 7 = 0$
$(k + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(7k + 3) + 3(8k + 4) + 7(k + 1) = 0$
$14k + 6 + 24k + 12 + 7k + 7 = 0$
$45k + 25 = 0$
$45k = -25$
$k = -\frac{25}{45} = -\frac{5}{9}$
ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે વિભાજન $5:9$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય રીતે થાય છે.

(D) ધ્રુવીય યામ $(r_1, \theta_1)$ અને $(r_2, \theta_2)$ ધરાવતા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}$
અહીં $r_1 = 2, \theta_1 = 15^{\circ}$ અને $r_2 = 1, \theta_2 = 75^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2^2 + 1^2 - 2(2)(1) \cos(15^{\circ} - 75^{\circ})}$
$d = \sqrt{4 + 1 - 4 \cos(-60^{\circ})}$
કારણ કે $\cos(-60^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$d = \sqrt{5 - 4(0.5)}$
$d = \sqrt{5 - 2}$
$d = \sqrt{3}$