Transformation, Pedal points Questions in Gujarati

(B) પગલું $1$: બિંદુ $(x, y)$ નું રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષે પરાવર્તન $(y, x)$ બિંદુ આપે છે.
આને $(4, 1)$ બિંદુ પર લાગુ કરતા,આપણને $(1, 4)$ મળે છે.
પગલું $2$: બિંદુ $(x, y)$ નું ધન $x$-અક્ષની દિશામાં $d$ અંતરનું સ્થાનાંતર $(x + d, y)$ બિંદુ આપે છે.
આને $(1, 4)$ બિંદુ પર $d = 2$ સાથે લાગુ કરતા,આપણને $(1 + 2, 4) = (3, 4)$ મળે છે.
આમ,બિંદુના અંતિમ યામ $(3, 4)$ છે.

(C) પગલું $1$: $(4, 1)$ નું $y = x$ ની સાપેક્ષે પરાવર્તન $(1, 4)$ આપે છે.
પગલું $2$: $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમનું સ્થાનાંતર: $(1 + 2, 4) = (3, 4)$.
પગલું $3$: $(3, 4)$ નું ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે $\theta = \pi/4$ ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ.
નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે:
$x' = 3 \cos(\pi/4) - 4 \sin(\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y' = 3 \sin(\pi/4) + 4 \cos(\pi/4) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
આમ,અંતિમ સ્થિતિ $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}} \right)$ છે.

(C) ધારો કે $ABC$ ત્રિકોણ છે અને $D(20, 25)$,$E(8, 16)$,$F(8, 9)$ એ અનુક્રમે $A, B, C$ માંથી દોરેલા લંબના પાદબિંદુઓ છે. તો $DEF$ એ $\Delta ABC$ નો પેડલ ત્રિકોણ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta ABC$ નું લંબકેન્દ્ર એ તેના પેડલ ત્રિકોણ $DEF$ નું અંતઃકેન્દ્ર છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્રના યામ $O(h, k)$ છે.
પ્રથમ,$\Delta DEF$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$DE = \sqrt{(20-8)^2 + (25-16)^2} = 15$
$EF = \sqrt{(8-8)^2 + (16-9)^2} = 7$
$FD = \sqrt{(20-8)^2 + (25-9)^2} = 20$
અંતઃકેન્દ્રના સૂત્ર $I = \frac{aA + bB + cC}{a+b+c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{7(20) + 20(8) + 15(8)}{7 + 20 + 15} = \frac{420}{42} = 10$
$k = \frac{7(25) + 20(16) + 15(9)}{7 + 20 + 15} = \frac{630}{42} = 15$
આમ,લંબકેન્દ્ર $(10, 15)$ છે.

(D) રેખા $L$ નું સમીકરણ $x - y = 4$ છે,જેનો ઢાળ $m = 1$ છે.
બિંદુ $P(2, 1)$ ને $L$ ને સમાંતર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,તેથી નવું બિંદુ $Q(x, y)$ એ $L$ ને સમાંતર રેખા પર આવેલું છે.
$P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $1$ છે.
$P(2, 1)$ અને $Q(x, y)$ વચ્ચેનું અંતર $2\sqrt{3}$ છે.
રેખાના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ $(2 \pm 2\sqrt{3} \cos \theta, 1 \pm 2\sqrt{3} \sin \theta)$ મળે,જ્યાં $\tan \theta = 1$,તેથી $\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$Q = (2 \pm \sqrt{6}, 1 \pm \sqrt{6})$.
$Q$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,બંને યામ ઋણ હોવા જોઈએ.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $Q = (2 - \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6})$.
$Q$ માંથી પસાર થતી અને $L$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m' = -1$ છે.
સમીકરણ: $y - (1 - \sqrt{6}) = -1(x - (2 - \sqrt{6}))$.
$y - 1 + \sqrt{6} = -x + 2 - \sqrt{6}$.
$x + y = 3 - 2\sqrt{6}$.

(A) બિંદુ $P(a, b)$ નું રેખા $y=x$ પર પરાવર્તન $(b, a)$ મળે છે.
આ બિંદુને $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ ખસેડતા $(b+2, a)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુની આસપાસ $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરતા,નવા યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે:
$x' = \frac{b+2-a}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{b+2+a}{\sqrt{2}}$
અંતિમ સ્થાન $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ આપેલ હોવાથી:
$b-a = -3$ (સમીકરણ $1$)
$b+a = 5$ (સમીકરણ $2$)
બંને સમીકરણો ઉકેલતા $b=1$ અને $a=4$ મળે છે.
તેથી,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1) = (2, 0)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2) = (3, 1)$ છે.
$AB$ ની લંબાઈ $r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
$AB$ ધન $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{1-0}{3-2} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $45^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta'$ એ $\theta + 45^{\circ} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે $B$ ના નવા યામ $(x', y')$ છે.
પરિભ્રમણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x' = x_1 + r \cos \theta'$ અને $y' = y_1 + r \sin \theta'$.
$x' = 2 + \sqrt{2} \cos 90^{\circ} = 2 + \sqrt{2}(0) = 2$.
$y' = 0 + \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = 0 + \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
આમ,નવા યામ $(2, \sqrt{2})$ છે.

(A) ધારો કે $A = (2, 0)$ અને $B = (6, 4)$.
સદિશ $\vec{AB} = (4, 4)$ છે.
લંબાઈ $r = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ છે.
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
ઋણ દિશામાં $45^{\circ}$ પરિભ્રમણ પછી નવો ખૂણો $\theta' = 45^{\circ} - 45^{\circ} = 0^{\circ}$ થાય.
નવા યામ $(x', y') = (2 + r \cos(0^{\circ}), 0 + r \sin(0^{\circ})) = (2 + 4\sqrt{2}, 0)$ મળે.

(C) પગલું $1$: $(4,1)$ નું રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે પરાવર્તન $(1,4)$ આપે છે.
પગલું $2$: $(1,4)$ નું ધન $X$-દિશામાં $2$ એકમ સ્થાનાંતર $(1+2, 4) = (3,4)$ આપે છે.
પગલું $3$: $(x,y) = (3,4)$ નું ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(C) આપેલ બિંદુ $(3, 2)$ છે.
$(i)$ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(3, 2)$ નું પરાવર્તન $(2, 3)$ મળે છે.
(ii) $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $1$ એકમનું સ્થાનાંતર કરતા $(2+1, 3) = (3, 3)$ મળે છે.
(iii) બિંદુ $(3, 3)$ નું ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ:
$X = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) - 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = 0$
$Y = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) + 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{18}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $(0, \sqrt{18})$ છે.