Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બાજુઓ $a = 3x + 4y$,$b = 4x + 3y$ અને $c = 5x + 5y$ છે.
$x, y > 0$ હોવાથી,$c = 5x + 5y$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે.
ત્રિકોણ ગુરુકોણ હોવા માટે,સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા કરતાં મોટો હોવો જોઈએ $(c^2 > a^2 + b^2)$.
$a^2 + b^2 = (3x + 4y)^2 + (4x + 3y)^2 = 25x^2 + 48xy + 25y^2$.
$c^2 = (5x + 5y)^2 = 25x^2 + 50xy + 25y^2$.
અહીં $c^2 > a^2 + b^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ ગુરુકોણ છે.

(C) ચોરસના શિરોબિંદુઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને ધન અક્ષો પર $5$ એકમની બાજુની લંબાઈ દ્વારા નક્કી થાય છે.
બાજુઓ ધન $x$ અને $y$ અક્ષ પર હોવાથી,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉગમબિંદુ: $(0, 0)$
$2$. $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ: $(5, 0)$
$3$. $y$-અક્ષ પરનું બિંદુ: $(0, 5)$
$4$. સામેનું શિરોબિંદુ: $(5, 5)$
આ વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$(-5, -5)$ એ ચોરસનું શિરોબિંદુ નથી કારણ કે ચોરસ સંપૂર્ણપણે પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(2, 2\sqrt{3})$ અને $B(a, b)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $l = OA = \sqrt{(2-0)^2 + (2\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$ છે.
તેથી,$OB^2 = a^2 + b^2 = 16$ (સમીકરણ $1$).
વળી,$AB^2 = (a-2)^2 + (b-2\sqrt{3})^2 = 16$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા: $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 4\sqrt{3}b + 12 = 16$.
$a^2 + b^2 = 16$ મુકતા: $16 - 4a - 4\sqrt{3}b + 16 = 16$,એટલે કે $a + \sqrt{3}b = 4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી $a = 4 - \sqrt{3}b$. સમીકરણ $1$ માં મુકતા: $(4 - \sqrt{3}b)^2 + b^2 = 16$.
$16 - 8\sqrt{3}b + 3b^2 + b^2 = 16 \Rightarrow 4b^2 - 8\sqrt{3}b = 0$.
$4b(b - 2\sqrt{3}) = 0$,તેથી $b = 0$ અથવા $b = 2\sqrt{3}$.
જો $b = 0$,તો $a = 4$. જો $b = 2\sqrt{3}$,તો $a = -2$.
$(a, b)$ એ $(2, 2\sqrt{3})$ થી અલગ હોવાથી,ઉકેલ $(4, 0)$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ અને $B(x, y)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$ થાય.
$O(0, 0)$ થી $B(x, y)$ નું અંતર $4$ હોવું જોઈએ,તેથી $x^2 + y^2 = 16$.
$A(4, 0)$ થી $B(x, y)$ નું અંતર પણ $4$ હોવું જોઈએ,તેથી $(x-4)^2 + y^2 = 16$.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 8x + 16 + y^2 = 16$.
$x^2 + y^2 = 16$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $16 - 8x + 16 = 16$,જેનું સાદું રૂપ $8x = 16$ એટલે કે $x = 2$ મળે છે.
$x = 2$ ને $x^2 + y^2 = 16$ માં મૂકતા: $2^2 + y^2 = 16 \implies 4 + y^2 = 16 \implies y^2 = 12 \implies y = \pm 2\sqrt{3}$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(2, \pm 2\sqrt{3})$ છે.

(D) $\Delta ABC$ માં,શિરોબિંદુઓ $A \equiv (-3, 0)$,$B \equiv (4, -1)$,અને $C \equiv (5, 2)$ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પાયા $BC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$BC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
ત્યારબાદ,યામ ભૂમિતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= \frac{1}{2} |(-3)(-1 - 2) + 4(2 - 0) + 5(0 - (-1))|$
$= \frac{1}{2} |(-3)(-3) + 4(2) + 5(1)|$
$= \frac{1}{2} |9 + 8 + 5| = \frac{1}{2} |22| = 11$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ હોવાથી:
$11 = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \text{વેધ}$
$\text{વેધ} = \frac{22}{\sqrt{10}}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(-1, -1)$ અને $C(-\sqrt{3}, k)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ.
$AB^2 = (-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 = 8$.
$AC^2 = (-\sqrt{3} - 1)^2 + (k - 1)^2 = 4 + 2\sqrt{3} + (k - 1)^2$.
$AB^2 = AC^2$ હોવાથી,$8 = 4 + 2\sqrt{3} + (k - 1)^2$.
$(k - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$.
તેથી,$k - 1 = \pm(\sqrt{3} - 1)$.
$k = \sqrt{3}$ અથવા $k = 2 - \sqrt{3}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $k = \sqrt{3}$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $(2, 1)$,$(-1, -3)$ અને $(4, 5)$ છે.
$x$-યામ માટે: $\frac{x_1 + x_2}{2} = 2$,$\frac{x_2 + x_3}{2} = -1$,$\frac{x_3 + x_1}{2} = 4$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x_1 + x_2 + x_3 = 5$.
દરેક સમીકરણ બાદ કરતા: $x_3 = 1$,$x_1 = 7$,$x_2 = -3$.
$y$-યામ માટે: $\frac{y_1 + y_2}{2} = 1$,$\frac{y_2 + y_3}{2} = -3$,$\frac{y_3 + y_1}{2} = 5$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $y_1 + y_2 + y_3 = 3$.
દરેક સમીકરણ બાદ કરતા: $y_3 = 1$,$y_1 = 9$,$y_2 = -7$.
તેથી શિરોબિંદુઓ $(7, 9), (-3, -7)$ અને $(1, 1)$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(2, -2)$,$B(8, 4)$,$C(5, 7)$ અને $D(x, y)$ છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{2 + 5}{2}, \frac{-2 + 7}{2}) = (3.5, 2.5)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{8 + x}{2}, \frac{4 + y}{2})$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{8 + x}{2} = 3.5$ $\Rightarrow 8 + x = 7$ $\Rightarrow x = -1$.
$\frac{4 + y}{2} = 2.5$ $\Rightarrow 4 + y = 5$ $\Rightarrow y = 1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $(-1, 1)$ છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને તેમના મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ $M_1$ છે અને વિકર્ણ $QS$ નું મધ્યબિંદુ $M_2$ છે.
$M_1 = M_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{1+5}{2}, \frac{2+7}{2}) = (3, 4.5)$
$QS$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{4+a}{2}, \frac{6+b}{2})$
યામોને સરખાવતા:
$\frac{4+a}{2} = 3$ $\Rightarrow 4+a = 6$ $\Rightarrow a = 2$
$\frac{6+b}{2} = 4.5$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$
આમ,$a = 2$ અને $b = 3$.

(C) ધારો કે આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0, -1)$ અને $C(0, 3)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(0-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ છે.
ધારો કે અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B(x, y)$ અને $D(x', y')$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે અને સમાન લંબાઈના હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}) = (0, 1)$ છે.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$BD$ નું મધ્યબિંદુ પણ $(0, 1)$ છે.
તેથી,$\frac{x+x'}{2} = 0 \Rightarrow x' = -x$ અને $\frac{y+y'}{2} = 1 \Rightarrow y' = 2-y$.
મધ્યબિંદુ $(0, 1)$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું એટલે કે $2$ છે.
શિરોબિંદુ $B(x, y)$ માટે,$(0, 1)$ થી અંતર $\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2} = 2$,તેથી $x^2 + (y-1)^2 = 4$.
$AC$ શિરોબિંદુઓ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,$BD$ રેખાખંડ $x$-અક્ષને સમાંતર હશે,તેથી $y = 1$.
$y=1$ ને $x^2 + (y-1)^2 = 4$ માં મૂકતા,$x^2 + 0 = 4$,તેથી $x = \pm 2$.
આમ,અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $(2, 1)$ અને $(-2, 1)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, 2)$,$B(8, -2)$ અને $C(-4, -3)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (8 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2 = 10^2 + (-4)^2 = 100 + 16 = 116$
$BC^2 = (-4 - 8)^2 + (-3 - (-2))^2 = (-12)^2 + (-1)^2 = 144 + 1 = 145$
$AC^2 = (-4 - (-2))^2 + (-3 - 2)^2 = (-2)^2 + (-5)^2 = 4 + 25 = 29$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 116 + 29 = 145 = BC^2$ થાય છે.
બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે $A = \left( \frac{a}{\sqrt{3}}, a \right)$,$B = \left( \frac{2a}{\sqrt{3}}, 2a \right)$,અને $C = \left( \frac{a}{\sqrt{3}}, 3a \right)$.
શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરતા:
$AB^2 = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)^2 + (a - 2a)^2 = \frac{a^2}{3} + a^2 = \frac{4a^2}{3}$.
$BC^2 = \left( \frac{2a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 + (2a - 3a)^2 = \frac{a^2}{3} + a^2 = \frac{4a^2}{3}$.
$AC^2 = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 + (a - 3a)^2 = 4a^2$.
અહીં $AB^2 = BC^2 = \frac{4a^2}{3}$ હોવાથી,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,આ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 8/3)$,$B(1, 3)$,અને $C(82, 30)$ છે.
આ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(3 - 30) + 1(30 - 8/3) + 82(8/3 - 3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0 + (90 - 8)/3 + 82(-1/3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |82/3 - 82/3| = 0$
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવતા નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-1, 1)$,$B(0, -3)$,$C(5, 2)$ અને $D(4, 6)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{17}$,$BC = \sqrt{50}$,$CD = \sqrt{17}$,$DA = \sqrt{50}$
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB = CD$ અને $BC = DA$),આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણો તપાસતા:
$AC = \sqrt{37}$ અને $BD = \sqrt{97}$
વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી,તે લંબચોરસ કે ચોરસ નથી.
આમ,ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-4, -1)$,$B(-2, -4)$,$C(4, 0)$,અને $D(2, 3)$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ તપાસીએ:
$AC$ નું મધ્યબિંદુ = $(\frac{-4+4}{2}, \frac{-1+0}{2}) = (0, -0.5)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ = $(\frac{-2+2}{2}, \frac{-4+3}{2}) = (0, -0.5)$.
મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,આ આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,આપણે પાસપાસેની બાજુઓ $AB$ અને $AD$ ના ઢાળ શોધીએ:
$AB$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{-4 - (-1)}{-2 - (-4)} = \frac{-3}{2}$.
$AD$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{3 - (-1)}{2 - (-4)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$m_1 \times m_2 = (\frac{-3}{2}) \times (\frac{2}{3}) = -1$ હોવાથી,પાસપાસેની બાજુઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ આકૃતિ લંબચોરસ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 2)$,$B(1, 0)$ અને $C(3, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
અહીં $AB = BC = \sqrt{5}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
વળી,$(AB)^2 + (BC)^2 = 5 + 5 = 10$ અને $(AC)^2 = 10$.
$(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે $A = (0, 0)$,$B = (a, 0)$,અને $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{a^2} = a$.
$BC = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - a \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.
$AC = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$.
અહીં $AB = BC = AC = a$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
$BC = \sqrt{(7-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
$CD = \sqrt{(4-7)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2} = 5$.
$AD = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસ છે.
વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(7-0)^2 + (7-0)^2} = \sqrt{49+49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
અહીં $AC \neq BD$ હોવાથી,વિકર્ણો સમાન નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, -1), B(2, 1), C(0, 3)$ અને $D(-2, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(0-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$
વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0+16} = 4$
$BD = \sqrt{(-2-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16+0} = 4$
બધી બાજુઓ સમાન $(AB=BC=CD=DA)$ અને વિકર્ણો સમાન $(AC=BD)$ હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(4, 0)$,$B(-1, -1)$,અને $C(3, 5)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$AC = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{52}$.
અહીં $AB = AC = \sqrt{26}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
વળી,$AB^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52$ અને $BC^2 = 52$.
$AB^2 + AC^2 = BC^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ અને કાટકોણ છે.

(B) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$PQ = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$.
$PR = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
$QR = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (6 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$.
હવે,બાજુઓના વર્ગો તપાસીએ:
$PQ^2 = 68$,$PR^2 = 17$,$QR^2 = 85$.
$PQ^2 + PR^2 = 68 + 17 = 85 = QR^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(-1, -1)$ અને $C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અહીં $AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ત્રિકોણના અંદરના બિંદુઓ કઈ અસમતાનું પાલન કરે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક અસમતા માટે શિરોબિંદુઓ $(1, 3)$,$(5, 0)$ અને $(-1, 2)$ તપાસીએ છીએ.
$3x + 2y \ge 0$ માટે:
$(1, 3) \implies 3(1) + 2(3) = 9 > 0$
$(5, 0) \implies 3(5) + 2(0) = 15 > 0$
$(-1, 2) \implies 3(-1) + 2(2) = 1 > 0$
બધા શિરોબિંદુઓ અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી અંદરના બિંદુઓ પણ તેનું પાલન કરે છે.
$2x + y - 13 \le 0$ માટે:
$(1, 3) \implies 2(1) + 3 - 13 = -8 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) + 0 - 13 = -3 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) + 2 - 13 = -13 \le 0$
બધા શિરોબિંદુઓ અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી અંદરના બિંદુઓ પણ તેનું પાલન કરે છે.
$2x - 3y - 12 \le 0$ માટે:
$(1, 3) \implies 2(1) - 3(3) - 12 = -19 \le 0$
$(5, 0) \implies 2(5) - 3(0) - 12 = -2 \le 0$
$(-1, 2) \implies 2(-1) - 3(2) - 12 = -20 \le 0$
બધા શિરોબિંદુઓ અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી અંદરના બિંદુઓ પણ તેનું પાલન કરે છે.
તેથી,આપેલી તમામ અસમતાઓ સંતોષાય છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીએ છીએ:
$1$. $7x - 2y + 10 = 0$ અને $y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = -2$ મૂકતા,$x = -2$ મળે છે. શિરોબિંદુ: $(-2, -2)$.
$2$. $7x + 2y - 10 = 0$ અને $y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = -2$ મૂકતા,$x = 2$ મળે છે. શિરોબિંદુ: $(2, -2)$.
$3$. $7x - 2y + 10 = 0$ અને $7x + 2y - 10 = 0$ નું છેદબિંદુ: $x = 0$ અને $y = 5$ મળે છે. શિરોબિંદુ: $(0, 5)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-2)(-2 - 5) + 2(5 - (-2)) + 0| = \frac{1}{2} |14 + 14| = 14 \, sq. \, units$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને ઉકેલીએ:
$1$. $y = m_1x + c_1$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, c_1)$ છે.
$2$. $y = m_2x + c_2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, c_2)$ છે.
$3$. $y = m_1x + c_1$ અને $y = m_2x + c_2$ નું છેદબિંદુ $x = \frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2}$ અને $y = \frac{m_1c_2 - m_2c_1}{m_1 - m_2}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{c_2 - c_1}{m_1 - m_2} (c_1 - c_2)| = \frac{1}{2} \frac{(c_1 - c_2)^2}{|m_1 - m_2|}$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |6(5 - (-2)) + (-3)(-2 - 3) + 4(3 - 5)| = 24.5$.
$\Delta PBC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |x(5 - (-2)) + (-3)(-2 - y) + 4(y - 5)| = \frac{7}{2} |x + y - 2|$.
ગુણોત્તર = $\frac{\text{Area}(\Delta PBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \left| \frac{x + y - 2}{7} \right|$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta ABC$ માટે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{49}{2}$.
$\Delta DBC$ માટે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = |14x - 7|$.
આપેલ છે કે $\frac{\text{Area}(\Delta DBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{1}{2}$,તેથી $2 \times |14x - 7| = \frac{49}{2}$.
$|14x - 7| = \frac{49}{4}$.
ઉકેલતા,$x = \frac{11}{8}$ અથવા $x = -\frac{3}{8}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{11}{8}$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $x = 0$ (y-અક્ષ),$y = 0$ (x-અક્ષ) અને $x + 2y + 3 = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x = 0$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $x = 0$ અને $x + 2y + 3 = 0$ નું છેદબિંદુ: $x = 0$ મૂકતા,$2y = -3$,તેથી $y = -1.5$. બિંદુ $(0, -1.5)$ છે.
$3$. $y = 0$ અને $x + 2y + 3 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = 0$ મૂકતા,$x = -3$. બિંદુ $(-3, 0)$ છે.
આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $|-3| = 3$ અને ઊંચાઈ $|-1.5| = 1.5$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1.5 = \frac{4.5}{2} = 2.25$ ચોરસ એકમ.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય જો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય,અથવા કોઈપણ બે બિંદુઓની જોડી વચ્ચેનો ઢાળ સમાન હોય.
ધારો કે બિંદુઓ $P(a, b)$,$Q(a', b')$ અને $R(a - a', b - b')$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b' - b}{a' - a}$ છે.
$QR$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{(b - b') - b'}{(a - a') - a'} = \frac{b - 2b'}{a - 2a'}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$m_1 = m_2$:
$\frac{b' - b}{a' - a} = \frac{b - 2b'}{a - 2a'}$
$(b' - b)(a - 2a') = (b - 2b')(a' - a)$
$ab' - 2a'b' - ab + 2a'b = a'b - ab - 2a'b' + 2ab'$
$ab' + 2a'b = a'b + 2ab'$
$a'b = ab'$
તેથી,$ab' = a'b$.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોવા માટે,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{2} |a(b - 1) + 0(1 - 0) + 1(0 - b)| = 0$
$|ab - a - b| = 0$
$ab - a - b = 0$
$ab = a + b$
બંને બાજુને $ab$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b \neq 0$):
$\frac{ab}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}$
$1 = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$
તેથી,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય તે માટે,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-5, 1), (p, 5)$ અને $(10, 7)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |-5(5 - 7) + p(7 - 1) + 10(1 - 5)| = 0$
$|-5(-2) + p(6) + 10(-4)| = 0$
$|10 + 6p - 40| = 0$
$|6p - 30| = 0$
$6p = 30$
$p = 5$.

(D) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(k, 3), (2, k)$ અને $(-k, 3)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |k(k - 3) + 2(3 - 3) + (-k)(3 - k)| = 0$
$|k(k - 3) + 0 - k(3 - k)| = 0$
$|k^2 - 3k - 3k + k^2| = 0$
$|2k^2 - 6k| = 0$
$2k(k - 3) = 0$
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = 3$.

(A) ત્રણ બાજુઓના સમીકરણો $L_1: x = 2$,$L_2: y = -1$ અને $L_3: x + 2y = 4$ છે.
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x = 2, y = -1 \implies A(2, -1)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x = 2, 2 + 2y = 4 \implies y = 1 \implies B(2, 1)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y = -1, x - 2 = 4 \implies x = 6 \implies C(6, -1)$.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = OB^2$ લેતા: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 \implies y = 0$.
$OA^2 = OC^2$ માં $y = 0$ મૂકતા: $(x - 2)^2 + 1 = (x - 6)^2 + 1 \implies x = 4$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(4, 0)$ છે.

(B) રેખાઓ $x = 0$,$y = 0$ અને $3x + 4y = 12$ એ $A(0, 0)$,$B(0, 3)$ અને $C(4, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (0, 0)$,$B(x_2, y_2) = (0, 3)$ અને $C(x_3, y_3) = (4, 0)$ છે.
સામેની બાજુઓની લંબાઈ:
$a = BC = 5$,$b = AC = 4$,$c = AB = 3$
અંતઃકેન્દ્ર $(I_x, I_y)$ ના યામ:
$I_x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c} = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5 + 4 + 3} = 1$
$I_y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5 + 4 + 3} = 1$
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$,અને $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ છે.
રેખાઓના ઢાળ તપાસતા:
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ નો ઢાળ $(m_3)$ = $-7/4$.
અહીં $m_1 \times m_3 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં કાટખૂણો $L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુ પર બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
$4x - 7y = -10$ અને $7x + 4y = 15$ ને ઉકેલતા:
$x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$,$B(at_2t_3, a(t_2 + t_3))$,અને $C(at_3t_1, a(t_3 + t_1))$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{1}{t_3}$ છે.
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ $t_3x + y = a(t_1 + t_2 + t_1t_2t_3)$ છે.
તે જ રીતે,$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ $t_1x + y = a(t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$x = -a$ અને $y = a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3)$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(-a, a(t_1 + t_2 + t_3 + t_1t_2t_3))$ છે.

(A) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0 + (2a)^2} = 2a$.
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$CA = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
અહીં $AB = BC = CA = 2a$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
દરેક સમબાજુ ત્રિકોણ એ લઘુકોણ ત્રિકોણ હોય છે,કારણ કે તેના તમામ ખૂણા $60^\circ$ હોય છે.

(C) ધારો કે આપેલા સામસામેના શિરોબિંદુઓ $A(3, 4)$ અને $C(1, -1)$ છે. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{4-1}{2} \right) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
સદિશ $\vec{AC} = (-2, -5)$ છે. $\vec{BD}$ સદિશ $\vec{AC}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ગણતરી કરતા,અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $\left( \frac{9}{2}, \frac{1}{2} \right)$ અને $\left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right)$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(D) શિરોબિંદુ $O$ એ $4x + 5y = 0$ અને $7x + 2y = 0$ નું છેદબિંદુ છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
વિકર્ણ $11x + 7y = 9$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતું નથી,તેથી તે $OB$ વિકર્ણ હોઈ શકે નહીં. આમ,$11x + 7y = 9$ એ વિકર્ણ $AC$ નું સમીકરણ છે.
બાજુઓ $OA: 4x + 5y = 0$ અને $OC: 7x + 2y = 0$ છે.
$AC$ અને $OA$ ને ઉકેલતા: $A = \left(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3}\right).$
$AC$ અને $OC$ ને ઉકેલતા: $C = \left(-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right).$
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)$ છે.
બીજો વિકર્ણ $OB$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $M\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
$OB$ નો ઢાળ $m = 3$ છે.
$OB$ નું સમીકરણ $y = 3x$ એટલે કે $3x - y = 0$ છે. જે વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા રચાય છે:
$1$. $x=0$ અને $y=0$ એ $B(0,0)$ પર છેદે છે.
$2$. $x=0$ અને $6x+y=3$ એ $A(0,3)$ પર છેદે છે.
$3$. $y=0$ અને $x+y=1$ એ $C(1,0)$ પર છેદે છે.
$4$. $x+y=1$ અને $6x+y=3$ એ $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ પર છેદે છે.
ઉગમબિંદુ $B(0,0)$ માંથી પસાર થતો વિકર્ણ શિરોબિંદુ $D(\frac{2}{5}, \frac{3}{5})$ માંથી પણ પસાર થવો જોઈએ.
$(0,0)$ અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{y_1}{x_1}x$ છે.
$x_1 = \frac{2}{5}$ અને $y_1 = \frac{3}{5}$ મૂકતા:
$y = \frac{3/5}{2/5}x$
$y = \frac{3}{2}x$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$.

(C) ધારો કે આપેલ શિરોબિંદુ $A = (3, 4)$ છે.
પ્રથમ વિકર્ણ $d_1$ નું સમીકરણ $x + 2y = 1$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{2}$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,બીજા વિકર્ણ $d_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ થશે.
બીજો વિકર્ણ શિરોબિંદુ $A(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,બીજા વિકર્ણનું સમીકરણ $y - 4 = 2(x - 3)$ છે.
$y - 4 = 2x - 6$.
$2x - y - 2 = 0$,અથવા $2x - y = 2$.

(B) આપેલ બાજુ $x + y = 2$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે,જે $\theta = 135^\circ$ ના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બાકીની બે બાજુઓ પાયા સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બાકીની બે બાજુઓના ઢાળ $m = \tan(135^\circ \pm 60^\circ)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$m = \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$.
બીજા કિસ્સામાં,$m = \tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને,સમીકરણો $y - 3 = (2 \pm \sqrt{3})(x - 2)$ મળે છે.
આમ,એક સમીકરણ $y - 3 = (2 - \sqrt{3})(x - 2)$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(1, 0)$,$B(2, 2)$ અને $C(1, 2)$ છે.
વિકર્ણો $OB$ અને $AC$ છે.
વિકર્ણ $OB$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{2 - 0}{1 - 1} = \frac{2}{0} = \infty$ (શિરોલંબ રેખા) છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
એક રેખા શિરોલંબ હોવાથી,ખૂણો $|90^\circ - 45^\circ| = 45^\circ$ થશે.
આમ,ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.

(B) ધારો કે પાયાના શિરોબિંદુઓ $A(2a, 0)$ અને $B(0, a)$ છે.
એક બાજુ $x = 2a$ હોવાથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(2a, t)$ પર હશે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે,$AC = BC$ લેતા $t = \frac{5a}{2}$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{5a^2}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે બાજુઓ $L_1: x - 3y = 0$,$L_2: 4x + 3y = 5$,અને $L_3: 3x + y = 0$ છે.
રેખાઓના ઢાળ તપાસો:
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 1/3$ છે.
$L_3$ નો ઢાળ $m_3 = -3$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_3 = (1/3) \times (-3) = -1$,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
હવે,તપાસો કે શું રેખા $3x - 4y = 0$ એ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
$3(0) - 4(0) = 0 - 0 = 0$.
બિંદુ $(0, 0)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી રેખા લંબકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.

(D) સમાંતર રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_1x + b_1y + d_1 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $p_1 = \frac{|d_1 - c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ અને $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $p_2 = \frac{|d_2 - c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ છે.
બે જોડી સમાંતર રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{p_1 p_2}{\sin \theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin \theta = \frac{|a_1b_2 - a_2b_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $p_1$,$p_2$ અને $\sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{|d_1 - c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} \times \frac{|d_2 - c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \times \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{|a_1b_2 - a_2b_1|} = \frac{|(d_1 - c_1)(d_2 - c_2)|}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$.

(A) બે સમાંતર રેખાઓની જોડી $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0, L_2: a_1x + b_1y + c_2 = 0$ અને $M_1: a_2x + b_2y + d_1 = 0, M_2: a_2x + b_2y + d_2 = 0$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{|c_1 - c_2| |d_1 - d_2|}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં રેખાઓ:
$x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha - q = 0$
$x \cos \beta + y \sin \beta - r = 0$
$x \cos \beta + y \sin \beta - s = 0$
પ્રથમ સમાંતર રેખાઓની જોડી વચ્ચેનું અંતર $d_1 = |p - q|$ છે.
બીજી સમાંતર રેખાઓની જોડી વચ્ચેનું અંતર $d_2 = |r - s|$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \alpha - \beta$ છે.
છેદ $|(\cos \alpha)(\sin \beta) - (\cos \beta)(\sin \alpha)| = |\sin(\beta - \alpha)| = |\sin(\alpha - \beta)|$ થાય.
તેથી,$\text{Area} = \frac{|p - q| |r - s|}{|\sin(\alpha - \beta)|} = |p - q| |r - s| |\csc(\alpha - \beta)|$.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$ax + c = 0 \implies x = -\frac{c}{a}$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$by + c = 0 \implies y = -\frac{c}{b}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(-\frac{c}{a}, 0)$ અને $(0, -\frac{c}{b})$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |-\frac{c}{a}| \times |-\frac{c}{b}|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \left| \frac{c^2}{ab} \right| = \frac{c^2}{2|ab|}$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે.
સમીકરણોની જોડી ઉકેલતા:
$1$) $x + y = 4$ અને $3x + y = 4$: બાદબાકી કરતા $2x = 0 \implies x = 0, y = 4$. શિરોબિંદુ $A(0, 4)$.
$2$) $3x + y = 4$ અને $x + 3y = 4$: ઉકેલતા $x = 1, y = 1$. શિરોબિંદુ $B(1, 1)$.
$3$) $x + y = 4$ અને $x + 3y = 4$: બાદબાકી કરતા $2y = 0 \implies y = 0, x = 4$. શિરોબિંદુ $C(4, 0)$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = 4\sqrt{2}$
અહીં $AB = BC$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.