Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $A = (-2, -5)$,$B = (2, -2)$,અને $C = (8, a)$.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ = $BC$ નો ઢાળ થાય.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{-2 - (-5)}{2 - (-2)} = \frac{3}{4}$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{a - (-2)}{8 - 2} = \frac{a + 2}{6}$.
બંને ઢાળ સરખાવતા: $\frac{3}{4} = \frac{a + 2}{6}$.
$18 = 4(a + 2) \Rightarrow 18 = 4a + 8$.
$4a = 10 \Rightarrow a = 2.5$.

(A) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{6 - 3}{7 - 3} = \frac{3}{4}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - 3 = \frac{3}{4}(x - 3)$ છે.
$4y - 12 = 3x - 9 \Rightarrow 3x - 4y + 3 = 0$.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,સમીકરણને $\frac{x}{-1} + \frac{y}{3/4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અંતઃખંડો $(-1, 0)$ અને $(0, 3/4)$ છે.
અક્ષો વચ્ચે કપાયેલા રેખાખંડની લંબાઈ $\sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 3/4)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ થાય.

(C) આપેલ રેખા $2x + 3y = 5$ છે.
તેને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$3y = -2x + 5$,એટલે કે $y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$ મળે.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -\frac{2}{3}$ મળે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના ઢાળ સમાન હોય.
તેથી,$m = -\frac{2}{3}$ અને $c$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(3x - y + 5) + \lambda (2x - 3y - 4) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા:
$(3 + 2\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (5 - 4\lambda) = 0$.
રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોય જો $y$ નો સહગુણક $0$ હોય અને $x$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોય.
$y$ ના સહગુણકને $0$ લેતા:
$-1 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 1$
$\lambda = -1/3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $y = m_r x$ અને $x + y = 1$ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{1}{1 + m_r}$ અને $y = \frac{m_r}{1 + m_r}$ મળે છે.
આમ,છેદિકા પરની ત્રણ રેખાઓના છેદબિંદુઓ $P_r = \left( \frac{1}{1 + m_r}, \frac{m_r}{1 + m_r} \right)$ છે,જ્યાં $r = 1, 2, 3$.
ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેના અંતઃખંડ સમાન હોવાથી,$P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનું અંતર $P_2$ અને $P_3$ વચ્ચેના અંતર જેટલું થાય.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સમાન અંતઃખંડની શરત $\frac{1}{1 + m_1} - \frac{1}{1 + m_2} = \frac{1}{1 + m_2} - \frac{1}{1 + m_3}$ માં પરિણમે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2}{1 + m_2} = \frac{1}{1 + m_1} + \frac{1}{1 + m_3}$.
તેથી,$1 + m_1, 1 + m_2, 1 + m_3$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^2 + 2x$ છે.
$x_1 = 1$ માટે,$y_1 = (1)^2 + 2(1) = 3$. તેથી,પ્રથમ બિંદુ $(1, 3)$ છે.
$x_2 = 3$ માટે,$y_2 = (3)^2 + 2(3) = 15$. તેથી,બીજું બિંદુ $(3, 15)$ છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$m = \frac{15 - 3}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6$.

(C) પ્રથમ રેખા $ax + by + c = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{a}{b}$ છે.
બીજી રેખા પ્રાચલિત સ્વરૂપમાં $x = \alpha t + \beta$ અને $y = \gamma t + \delta$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{\gamma}{\alpha}$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $m_1 = m_2$.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,આપણને $-\frac{a}{b} = \frac{\gamma}{\alpha}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$-a\alpha = b\gamma$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a\alpha + b\gamma = 0$ થાય છે.

(C) અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ $a$ કાપતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = a$ થાય છે.
આ રેખા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$1 + (-2) = a$
$a = -1$.
હવે $a = -1$ ને $x + y = a$ માં મૂકતા,આપણને $x + y = -1$ મળે છે,એટલે કે $x + y + 1 = 0$.

(C) $y$-અંતઃખંડ $c = -1$ અને ઢાળ $m$ વાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
રેખાઓ અક્ષો સાથે સમાન નતિ ધરાવે છે,તેથી નતિનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$ થાય.
આથી,ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ મળે.
કિસ્સો $1$: $m = 1$ અને $c = -1$ માટે,સમીકરણ $y = 1x - 1$ એટલે કે $x - y - 1 = 0$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m = -1$ અને $c = -1$ માટે,સમીકરણ $y = -1x - 1$ એટલે કે $x + y + 1 = 0$ મળે.
તેથી,માંગેલ સમીકરણો $x - y - 1 = 0$ અને $x + y + 1 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખા $5x - y = 1$ છે.
$5x - y = 1$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $x + 5y = k$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{k} + \frac{y}{k/5} = 1$.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = k$ અને $b = k/5$ છે.
રેખા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} |k \cdot \frac{k}{5}| = 5$.
$|k^2| = 50$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$.
તેથી,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ છે.

(A) રેખાનો ઢાળ $m = 3$ છે અને તે ધન $x$-અક્ષ પર $3$ જેટલો અંતઃખંડ કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખા બિંદુ $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - 0 = 3(x - 3)$
$y = 3x - 9$
આમ,જરૂરી સમીકરણ $y = 3x - 9$ છે.

(B) $AB$ નું મધ્યબિંદુ $E$ એ $\left( \frac{a + a'}{2}, \frac{b + b'}{2} \right)$ છે.
$CD$ નું મધ્યબિંદુ $F$ એ $\left( \frac{-a + a'}{2}, \frac{b - b'}{2} \right)$ છે.
રેખા $EF$ નો ઢાળ $m = \frac{b'}{a}$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - \frac{b + b'}{2} = \frac{b'}{a} \left( x - \frac{a + a'}{2} \right)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$2ay - 2b'x = ab - a'b'$ મળે છે.

(B) આપેલી રેખા $y = x$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
જરૂરી રેખા $y = x$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આમ,$1 \times m_2 = -1$,જે $m_2 = -1$ આપે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (3, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y - 2 = -1(x - 3)$ મળે છે.
$y - 2 = -x + 3$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x + y = 5$ મળે છે.

(B) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $BC$ પર $E(1, 3)$,$CA$ પર $D(5, 7)$ અને $AB$ પર $F(-5, 7)$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
તેથી,બાજુ $AB$ એ રેખાખંડ $ED$ ને સમાંતર છે.
$ED$ નો ઢાળ $= \frac{7 - 3}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1$.
$AB$ એ $ED$ ને સમાંતર હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ પણ $1$ થશે.
બાજુ $AB$ એ મધ્યબિંદુ $F(-5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 7 = 1(x - (-5))$.
$y - 7 = x + 5$.
$x - y + 12 = 0$.

(D) આપેલ રેખા $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx - ay = ab$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા $x$-અક્ષને $y = 0$ હોય ત્યાં છેદે છે. સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$bx = ab$ મળે,તેથી $x = a$. આમ,છેદબિંદુ $(a, 0)$ છે.
આપેલ રેખા $bx - ay = ab$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b}{a}$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{a}{b}$ થાય.
ઢાળ $m_2 = -\frac{a}{b}$ અને બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{a}{b}(x - a)$ છે.
$b$ વડે ગુણતા,$by = -ax + a^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $ax + by = a^2$ થાય.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા,$\frac{ax}{ab} + \frac{by}{ab} = \frac{a^2}{ab}$ મળે,જેનું પરિણામ $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = \frac{a}{b}$ છે.

(B) આપેલ રેખા $x + y + 1 = 0$ છે,જેને $y = -x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = 1(x - 1)$ મળે.
તેનું સાદું રૂપ આપતા,$y - 2 = x - 1$,એટલે કે $y - x - 1 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = 14$,તેથી $a = 14 - b$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a = 14 - b$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{14 - b} + \frac{y}{b} = 1$ મળે છે.
રેખા $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{3}{14 - b} + \frac{4}{b} = 1$.
$b(14 - b)$ વડે ગુણતા,$3b + 4(14 - b) = b(14 - b)$.
$3b + 56 - 4b = 14b - b^2$.
$b^2 - 15b + 56 = 0$.
$(b - 7)(b - 8) = 0$.
તેથી,$b = 7$ અથવા $b = 8$.
જો $b = 7$ હોય,તો $a = 7$. સમીકરણ $x + y = 7$ મળે.
જો $b = 8$ હોય,તો $a = 6$. સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1 \Rightarrow 4x + 3y = 24$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$4x + 3y = 24$ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
કારણ કે $(x_1, y_1)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $x_1 = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$ અને $y_1 = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $a = 2x_1$ અને $b = 2y_1$.
રેખાના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ $2x_1y_1$ વડે ગુણતા,આપણને $x y_1 + y x_1 = 2x_1y_1$ મળે છે.

(B) બિંદુઓ $(1, 3)$ અને $(1, -7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $\left( \frac{1+1}{2}, \frac{3-7}{2} \right) = (1, -2)$ છે.
આપેલી રેખા $2x - 3y = 1$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y = k$ સ્વરૂપમાં હોય.
બિંદુ $(1, -2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2(1) - 3(-2) = k$.
$2 + 6 = k \Rightarrow k = 8$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y = 8$ છે.

(A) ધારો કે અંતઃખંડો $a$ અને $-a$ છે. રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{-a} = 1$ છે.
આ સમીકરણ $x - y = a$ માં પરિણમે છે.
રેખા $(-3, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-3 - 2 = a \Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ ને $x - y = a$ માં મૂકતા,આપણને $x - y = -5$ મળે છે,જે $x - y + 5 = 0$ છે.

(A) રેખાના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a$ એ $x$-અક્ષનો અંતઃખંડ છે અને $b$ એ $y$-અક્ષનો અંતઃખંડ છે.
અહીં $x$-અક્ષનો અંતઃખંડ $a = 3$ અને $y$-અક્ષનો અંતઃખંડ $b = -2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1$
જેનું સાદું રૂપ:
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$

(D) આપેલ રેખા $3x + 4y = 5$ છે,જેને $y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = \frac{4}{3}$ મળે.
$(x_1, y_1) = (3, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$y + 4 = \frac{4}{3}(x - 3)$ મળે છે.

(C) આપેલી રેખા $y = 3x - 1$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,રેખાનો ઢાળ $m = 3$ છે.
સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ $m = 3$ જ રહેશે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ અને $m = 3$ મૂકતા,આપણને $(y - 2) = 3(x - 1)$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખા $2x + 3y + 4 = 0$ છે,જેને $3y = -2x - 4$ અથવા $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.
$(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = \frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 1 = \frac{3}{2}(x - (-1))$,જેનું સાદું રૂપ $y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1)$ થાય છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(y - 1) = 3(x + 1)$ મળે છે.

(C) $x = 0$ ($y$-અક્ષ) અને $y = 0$ ($x$-અક્ષ) રેખાઓનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
આપણે બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y - 0 = 1(x - 0)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.

(B) $(a, 0)$ અને $(-a, 0)$ ને જોડતી રેખા એ $x$-અક્ષ છે,જેનો ઢાળ $0$ છે.
માંગેલ રેખા $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી,તે શિરોલંબ રેખા હોવી જોઈએ.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x = 0$ છે.

(B) સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ $ax + by + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે,તેને $y = mx + c$ (ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ) અથવા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (અંતઃખંડ સ્વરૂપ) તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ તમામ પ્રમાણિત સ્વરૂપોમાં,બરાબર $2$ સ્વતંત્ર અચળાંકો (પરિમાણો) હોય છે જે રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
તેથી,સીધી રેખાને નિર્દિષ્ટ કરવા માટે $2$ ભૌમિતિક પરિમાણોની જરૂર પડે છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ છે. બિંદુઓ $A (1, 3)$ અને $C (5, 1)$ સામસામેના શિરોબિંદુઓ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3, 2)$ છે.
$M$ એ લંબચોરસનું કેન્દ્ર હોવાથી,તે અન્ય બે શિરોબિંદુઓ ($B$ અને $D$) ને જોડતા વિકર્ણ $BD$ પર પણ આવેલું હશે.
અન્ય બે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = 2$ છે.
બિંદુ $M (3, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2$ ઢાળ ધરાવતી રેખા માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 2 = 2(x - 3)$
$y - 2 = 2x - 6$
$2x - y - 4 = 0$.

(A) ધારો કે $x$-અંતઃખંડ $a$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $2a$ છે.
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ છે.
રેખા $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \implies a = 2$.
$a = 2$ ને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + y = 4$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: બિંદુઓ $(2, -19)$ અને $(6, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ શોધો.
મધ્યબિંદુ $= (\frac{2+6}{2}, \frac{-19+1}{2}) = (4, -9)$.
પગલું $2$: બિંદુઓ $(-1, 3)$ અને $(5, -1)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ શોધો.
ઢાળ $(m_1) = \frac{-1-3}{5-(-1)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
પગલું $3$: માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $(m_2) = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ થશે.
પગલું $4$: બિંદુ $(4, -9)$ અને ઢાળ $\frac{3}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ માં કિંમત મૂકો.
$y - (-9) = \frac{3}{2}(x - 4)$
$2(y + 9) = 3(x - 4)$
$2y + 18 = 3x - 12$
$3x - 2y = 30$.

(A) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, b)$ પર છેદે છે.
અક્ષો વચ્ચેના રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ હોવાથી:
$x_1 = \frac{a+0}{2} \implies a = 2x_1$
$y_1 = \frac{0+b}{2} \implies b = 2y_1$
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,$\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ છે.
તેનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $m = -\frac{a}{b}$ થશે.
$(c, d)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - d = m(x - c)$ છે.
$m = -\frac{a}{b}$ મૂકતા,આપણને $y - d = -\frac{a}{b}(x - c)$ મળે છે.
બંને બાજુ $b$ વડે ગુણતા,$b(y - d) = -a(x - c)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$a(x - c) + b(y - d) = 0$ મળે છે.

(C) આપેલી રેખા $ax + by + c = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{a}{b}$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$m_2 = \frac{b}{a}$ મળે.
$(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = \frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - b = \frac{b}{a}(x - a)$ છે.
$a$ વડે ગુણતા,$a(y - b) = b(x - a)$ મળે.
$ay - ab = bx - ab$.
$bx - ay = 0$.

(A) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(45^\circ) = 1$ છે.
રેખાના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$y - y_1 = m(x - x_1)$,જ્યાં $(x_1, y_1) = (4, -6)$:
$y - (-6) = 1(x - 4)$
$y + 6 = x - 4$
$x - y - 10 = 0$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $y = -\frac{b}{a}x + b$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $m = -\frac{b}{a}$ થશે.
$(a, b)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{b}{a}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - b = m(x - a)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા: $\frac{y}{b} - 1 = -\frac{1}{a}(x - a)$.
$\frac{y}{b} - 1 = -\frac{x}{a} + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(C) ઘડિયાળના કલાક,મિનિટ અને સેકન્ડના કાંટા હંમેશા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે આ કાંટાનો એક છેડો હંમેશા કેન્દ્ર પર હોય છે.
$4$ વાગ્યે,કલાક કાંટો ચોથા ચરણમાં ધન $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખા દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = -30^{\circ}$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ છે.
$m$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{3}y = -x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x + \sqrt{3}y = 0$ થાય છે.

(C) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે રેખા $x$-અક્ષ સાથે $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
આ રેખા પરનો અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ અથવા $120^{\circ} + 90^{\circ} = 210^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$p = 4$ લેતા,સમીકરણો નીચે મુજબ મળે:
$x \cos(30^{\circ}) + y \sin(30^{\circ}) = 4$ $\Rightarrow x(\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(\frac{1}{2}) = 4$ $\Rightarrow x\sqrt{3} + y = 8$.
$x \cos(210^{\circ}) + y \sin(210^{\circ}) = 4$ $\Rightarrow x(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(-\frac{1}{2}) = 4$ $\Rightarrow x\sqrt{3} + y = -8$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x\sqrt{3} + y = 8$ એ વિકલ્પ $C$ છે.

(B) રેખાઓ $4x - 3y - 1 = 0$ અને $2x - 5y + 3 = 0$ ના છેદબિંદુને ઉકેલતા:
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,$4x - 10y + 6 = 0$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી આ બાદ કરતા: $(4x - 3y - 1) - (4x - 10y + 6) = 0$,જે $7y - 7 = 0$ આપે છે,તેથી $y = 1$.
$y = 1$ ને $2x - 5(1) + 3 = 0$ માં મૂકતા,$2x - 2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
અક્ષો સાથે સમાન નમેલી રેખાઓનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ હોય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણો $y - 1 = 1(x - 1)$ અને $y - 1 = -1(x - 1)$ મળે છે.
આને $y - 1 = \pm 1(x - 1)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $A(a, 0)$ માં અને $y$-અક્ષને $B(0, b)$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(-4, 3)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $5 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{5(0) + 3(a)}{5 + 3}, \frac{5(b) + 3(0)}{5 + 3} \right) = \left( \frac{3a}{8}, \frac{5b}{8} \right)$.
આને $(-4, 3)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3a}{8} = -4 \Rightarrow a = -\frac{32}{3}$.
$\frac{5b}{8} = 3 \Rightarrow b = \frac{24}{5}$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{(-32/3)} + \frac{y}{(24/5)} = 1$
$-\frac{3x}{32} + \frac{5y}{24} = 1$.
$96$ વડે ગુણતા:
$-9x + 20y = 96$
$9x - 20y + 96 = 0$.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-5, -6)$ અને $(x_2, y_2) = (3, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - (-6)}{3 - (-5)} = \frac{16}{8} = 2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$y - (-6) = 2(x - (-5))$
$y + 6 = 2(x + 5)$
$y + 6 = 2x + 10$
$2x - y + 4 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} = 1$ છે,જ્યાં $a'$ અને $b'$ એ $x$ અને $y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a' = 2a \sec \theta$ અને $b' = 2a \csc \theta$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2a \sec \theta} + \frac{y}{2a \csc \theta} = 1$
$\frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$ અને $\frac{1}{\csc \theta} = \sin \theta$ હોવાથી:
$\frac{x \cos \theta}{2a} + \frac{y \sin \theta}{2a} = 1$
બંને બાજુ $2a$ વડે ગુણતા:
$x \cos \theta + y \sin \theta = 2a$
તેથી,$x \cos \theta + y \sin \theta - 2a = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y = mx + c$ અને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $mx - y + c = 0$ તરીકે લખતા,આપણે તેને $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ સાથે સરખાવી શકીએ.
બંને રેખાઓ સમાન હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{\cos \alpha}{m} = \frac{\sin \alpha}{-1} = \frac{-p}{-c} = k$
આથી,$\cos \alpha = mk$ અને $\sin \alpha = -k$.
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(mk)^2 + (-k)^2 = 1$,જે $k^2(m^2 + 1) = 1$ માં પરિણમે છે,તેથી $k = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}$.
વળી,$\frac{-p}{-c} = k$ પરથી,$\frac{p}{c} = k = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}$.
તેથી,$c = p \sqrt{1 + m^2}$.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $(x_2, y_2) = (2, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 2}{2 - 1} = 3$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$y - 2 = 3(x - 1)$.
તેથી,$y - 2 = 3x - 3$,જેનું સાદું રૂપ $y - 3x + 1 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ રેખા $3x + 4y + 5 = 0$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{4}{3}$ થાય.
$(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ મળે.
$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3(y - 2) = 4(x - 1)$
$3y - 6 = 4x - 4$
$4x - 3y + 2 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $2x + 6y + 7 = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $2x + 6y + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A\left(-\frac{k}{2}, 0\right)$ અને $y$-અક્ષને $B\left(0, -\frac{k}{6}\right)$ માં છેદે છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેના અંતઃખંડની લંબાઈ $AB = 10$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB = \sqrt{\left(-\frac{k}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \left(-\frac{k}{6}\right)\right)^2} = 10$.
$\sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{36}} = 10$.
$\sqrt{\frac{9k^2 + k^2}{36}} = 10 \Rightarrow \sqrt{\frac{10k^2}{36}} = 10$.
$\frac{\sqrt{10}|k|}{6} = 10 \Rightarrow |k| = \frac{60}{\sqrt{10}} = 6\sqrt{10}$.
આમ,$k = \pm 6\sqrt{10}$.
તેથી,આવી $2$ રેખાઓ મળે: $2x + 6y + 6\sqrt{10} = 0$ અને $2x + 6y - 6\sqrt{10} = 0$.

(D) આપેલ રેખા $3x + y = 3$ છે,જેને $y = -3x + 3$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1/m_1 = -1/(-3) = 1/3$ થાય.
$(2, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $1/3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ મળે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y - 6 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y + 4 = 0$ થાય.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $0 - 3y + 4 = 0$,તેથી $3y = 4$ અથવા $y = 4/3$.
આમ,$y$-અંતઃખંડ $4/3$ છે.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડ અનુક્રમે $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a + 0}{2} = 1$ અને $\frac{0 + b}{2} = 2$ મળે.
આથી $a = 2$ અને $b = 4$ મળે છે.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ મળે છે.
$4$ વડે ગુણતા,$2x + y = 4$,અથવા $2x + y - 4 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P(a, b)$ એ $3x + 2y = 13$ પર છે,તેથી:
$3a + 2b = 13$ ..... $(i)$
આપેલ છે કે બિંદુ $Q(b, a)$ એ $4x - y = 5$ પર છે,તેથી:
$4b - a = 5$ અથવા $-a + 4b = 5$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $-3a + 12b = 15$ ..... $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3a + 2b) + (-3a + 12b) = 13 + 15$
$14b = 28 \Rightarrow b = 2$
$b = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$3a + 2(2) = 13$ $\Rightarrow 3a = 9$ $\Rightarrow a = 3$
આમ,$P = (3, 2)$ અને $Q = (2, 3)$.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - 2}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$.
$(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(A) $2x + 3y - 7 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $2x + 3y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા $(1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = 1$ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1) + 3(1) + \lambda = 0$
$2 + 3 + \lambda = 0$
$5 + \lambda = 0$
$\lambda = -5$
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2x + 3y - 5 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $(5, 2)$ આ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{a + 0}{2} = 5 \Rightarrow a = 10$
$\frac{0 + b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{4} = 1$
$20$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + 5y = 20$ મળે છે.