Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો:
$x + y = 2$ $(i)$
$2x + 2y = 3$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$2(x + y) = 3$
$x + y = \frac{3}{2} = 1.5$
હવે,આની સરખામણી સમીકરણ $(i)$ સાથે કરતા:
$x + y = 2$ અને $x + y = 1.5$
અહીં $2 \neq 1.5$ હોવાથી,આ બંને રેખાઓ સમાંતર છે અને ક્યારેય છેદતી નથી.
તેથી,આ સમીકરણ સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 1)$ છે,જે $mx - y - m = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = m, B = -1, C = -m$ અને $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{|-m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{m^2}{m^2 + 1} = \frac{3}{4}$.
$4m^2 = 3m^2 + 3 \implies m^2 = 3 \implies m = \pm \sqrt{3}$.
$m = \sqrt{3}$ માટે,સમીકરણ $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$ મળે છે.
$m = -\sqrt{3}$ માટે,સમીકરણ $-\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$ એટલે કે $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(C) $(0, a)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - a = m(x - 0)$ એટલે કે $mx - y + a = 0$ છે ... $(i)$.
બિંદુ $(2a, 2a)$ થી રેખા $(i)$ નું લંબ અંતર $a$ આપેલ છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $a = \frac{|m(2a) - (2a) + a|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
$a = \frac{|2am - a|}{\sqrt{m^2 + 1}} \Rightarrow a\sqrt{m^2 + 1} = |a(2m - 1)|$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$\sqrt{m^2 + 1} = |2m - 1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m^2 + 1 = (2m - 1)^2 \Rightarrow m^2 + 1 = 4m^2 - 4m + 1$.
$3m^2 - 4m = 0 \Rightarrow m(3m - 4) = 0$.
તેથી,$m = 0$ અથવા $m = \frac{4}{3}$.
$m = 0$ માટે,સમીકરણ $y - a = 0$ મળે છે.
$m = \frac{4}{3}$ માટે,સમીકરણ $y - a = \frac{4}{3}x$ $\Rightarrow 3y - 3a = 4x$ $\Rightarrow 4x - 3y + 3a = 0$ મળે છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણો $y - a = 0$ અને $4x - 3y + 3a = 0$ છે.

(C) પ્રથમ,$x - y + 1 = 0$ અને $2x - 3y + 5 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો. ઉકેલતા,આપણને $x = 2$ અને $y = 3$ મળે છે. છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.
$(2, 3)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 2)$ છે,જે $mx - y + (3 - 2m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનું બિંદુ $(3, 2)$ થી અંતર $\frac{7}{5}$ આપેલું છે. લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|m(3) - 2 + 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{7}{5}$
$\frac{|m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{7}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25(m^2 + 2m + 1) = 49(m^2 + 1)$
$24m^2 - 50m + 24 = 0$
$(3m - 4)(4m - 3) = 0$
તેથી,$m = \frac{4}{3}$ અથવા $m = \frac{3}{4}$.
$m = \frac{4}{3}$ માટે,રેખા $4x - 3y + 1 = 0$ મળે છે.
$m = \frac{3}{4}$ માટે,રેખા $3x - 4y + 6 = 0$ મળે છે.

(A) $BC$ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-3 - (-1)}{-1 - (-3)} = -1$ છે.
$BC$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x + y + \lambda = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાનું અંતર $\frac{|\lambda|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$|\lambda| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
રેખા $OB$ અને $OC$ ને છેદે તે માટે,તે ઉગમબિંદુ અને $BC$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,સમીકરણ $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ મળે,જે $2x + 2y + \sqrt{2} = 0$ થાય છે.

(A) $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(h, 0)$ ધારો.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $P(h, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $a$ આપેલ છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{|bh + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}}$
$a\sqrt{a^2 + b^2} = |bh - ab|$
$bh - ab = \pm a\sqrt{a^2 + b^2}$
$bh = ab \pm a\sqrt{a^2 + b^2}$
$h = \frac{a}{b}(b \pm \sqrt{a^2 + b^2})$
આમ,બિંદુઓ $\left( \frac{a}{b}(b \pm \sqrt{a^2 + b^2}), 0 \right)$ છે.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} - 1 = 0$ છે.
$ab$ વડે ગુણતા,$bx - ay - ab = 0$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (b, a)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|b(b) - a(a) - ab|}{\sqrt{b^2 + (-a)^2}} = \frac{|b^2 - a^2 - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
આમ,લંબાઈ $\left| \frac{b^2 - ab - a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણીને બંને સમીકરણોને સમાન સ્વરૂપમાં લખતા:
$6x + 8y = 18$ અને $6x + 8y = 15$.
આ સમાંતર રેખાઓ $ax + by = c_1$ અને $ax + by = c_2$ સ્વરૂપમાં છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$,$b = 8$,$c_1 = 18$,અને $c_2 = 15$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|18 - 15|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{3}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10}$.

(A) પગલું $1$: રેખાઓ $2x - 3y = -5$ અને $3x + 4y = 0$ ના છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$8x - 12y = -20$
$9x + 12y = 0$
સરવાળો કરતા,$17x = -20$,તેથી $x = -\frac{20}{17}$.
$x$ ની કિંમત $3x + 4y = 0$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{20}{17}) + 4y = 0 \implies 4y = \frac{60}{17} \implies y = \frac{15}{17}$.
છેદબિંદુ $(-\frac{20}{17}, \frac{15}{17})$ છે.
પગલું $2$: બિંદુ $(x_1, y_1) = (-\frac{20}{17}, \frac{15}{17})$ થી રેખા $5x - 2y = 0$ નું લંબ અંતર શોધો.
સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$d = \frac{|5(-\frac{20}{17}) - 2(\frac{15}{17})|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{|-\frac{100}{17} - \frac{30}{17}|}{\sqrt{29}} = \frac{130}{17\sqrt{29}}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ છે. તે રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,$h + k = 4$ અથવા $k = 4 - h$ $(i)$.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $4x + 3y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4h + 3k - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 1$ છે.
તેથી,$|4h + 3k - 10| = 5$,જેનો અર્થ છે કે $4h + 3k - 10 = 5$ અથવા $4h + 3k - 10 = -5$.
કિસ્સો $1$: $4h + 3k = 15$. $k = 4 - h$ મૂકતા,$4h + 3(4 - h) = 15 \Rightarrow h = 3$. તેથી $k = 1$. બિંદુ $(3, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $4h + 3k = 5$. $k = 4 - h$ મૂકતા,$4h + 3(4 - h) = 5 \Rightarrow h = -7$. તેથી $k = 11$. બિંદુ $(-7, 11)$ મળે છે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ છે.

(D) અને $b$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખા પરના લંબની લંબાઈ $p = \frac{|\frac{1}{a}(0) + \frac{1}{b}(0) - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}}$ છે.
આથી $p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$.

(B) $(x', y')$ અને $(x'', y'')$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$(y - y') = \frac{y'' - y'}{x'' - x'}(x - x')$
$x(y'' - y') - y(x'' - x') + (x'y'' - y'x'') = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં $A = (y'' - y')$,$B = -(x'' - x')$,અને $C = (x'y'' - y'x'')$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈ $\frac{|x'y'' - y'x''|}{\sqrt{(x'' - x')^2 + (y'' - y')^2}}$ થાય.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x \sec \alpha + y \csc \alpha - k = 0$ નું અંતર $p = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha}} = |k \sin \alpha \cos \alpha|$ છે.
તેથી,$p^2 = k^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x \cos \alpha - y \sin \alpha - k \cos 2\alpha = 0$ નું અંતર $p' = \frac{|-k \cos 2\alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |k \cos 2\alpha|$ છે.
તેથી,$p'^2 = k^2 \cos^2 2\alpha$.
હવે,$4p^2 + p'^2 = 4k^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + k^2 \cos^2 2\alpha$.
$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 2\alpha$ મળે.
તેથી,$4p^2 + p'^2 = k^2 \sin^2 2\alpha + k^2 \cos^2 2\alpha = k^2(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) = k^2$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં બિંદુ $(3, 1)$ અને રેખા $4x + 3y + 20 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A = 4$,$B = 3$,$C = 20$,$x_1 = 3$,અને $y_1 = 1$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|4(3) + 3(1) + 20|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$
$d = \frac{|12 + 3 + 20|}{\sqrt{16 + 9}}$
$d = \frac{|35|}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{35}{5} = 7$.
આમ,લંબની લંબાઈ $7$ છે.

(D) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -8$,અને $c_2 = -3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|-8 - (-3)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|-8 + 3|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{|-5|}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{5}{5} = 1$.
આમ,રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $1$ એકમ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $4x + 3y = 11$ અને $8x + 6y = 15$ છે.
પ્રથમ,આપણે બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગીને પ્રથમ સમીકરણ જેવા જ $x$ અને $y$ ના સહગુણકો મેળવીએ:
$4x + 3y = \frac{15}{2}$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by = c_1$ અને $ax + by = c_2$ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 4$,$b = 3$,$c_1 = 11$,અને $c_2 = \frac{15}{2}$.
$D = \frac{|11 - \frac{15}{2}|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|\frac{22 - 15}{2}|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{\frac{7}{2}}{5} = \frac{7}{10}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $A(2, -1)$ છે અને પાયો $BC$ છે,જેનું સમીકરણ $x + 2y - 1 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ પરના વેધ $AD$ ની લંબાઈ એ બિંદુ $A$ થી રેખા $x + 2y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$AD = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ $AD$ અને બાજુની લંબાઈ $s$ વચ્ચેનો સંબંધ $AD = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
તેથી,$s \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$s = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$,$L_2: 3x + 4y - 5 = 0$ અને વિભાજક રેખા $L: 3x + 4y + 2 = 0$ છે.
રેખા $L$ અને $L_1$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \left| \frac{2 - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{|-3|}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
રેખા $L$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \left| \frac{2 - (-5)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{|7|}{5} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,રેખા $L$ એ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના અંતરને $d_1 : d_2 = \frac{3}{5} : \frac{7}{5} = 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $2p = \left| \frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} \right|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4p^2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$\frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} = \frac{2}{4p^2} = \frac{1}{2p^2} = \frac{4}{8p^2}$.
આને $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{2}{8p^2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{a^2}, \frac{1}{8p^2}, \frac{1}{b^2}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$a^2, 8p^2, b^2$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $4x - 3y = 12$ મળે,જેને $4x - 3y - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીના લંબ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (0, 0)$,$A = 4$,$B = -3$,અને $C = -12$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|4(0) - 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x - 2y - 1 = 0$ અને $6x - 4y + 9 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 4y - 2 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 6, B = -4, C_1 = -2, C_2 = 9$.
$d = \frac{|-2 - 9|}{\sqrt{6^2 + (-4)^2}} = \frac{|-11|}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{11}{\sqrt{52}}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-2 - 1}{3 - 1} = \frac{-3}{2}$ છે.
$BP \perp AB$ હોવાથી,રેખા $BP$ નો ઢાળ $m_{BP} = \frac{2}{3}$ થાય.
વિકલ્પ $(c)$ ચકાસતા: $BP = \sqrt{(5 - 3)^2 + (7 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax + By + C = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં બિંદુ $(-2, 3)$ અને રેખા $x - y - 5 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A = 1, B = -1, C = -5, x_1 = -2, y_1 = 3$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|(1)(-2) + (-1)(3) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|-2 - 3 - 5|}{\sqrt{1 + 1}}$
$d = \frac{|-10|}{\sqrt{2}}$
$d = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

(A) રેખા $x + y = 1$ નો ઢાળ $m = -1$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષ સાથે $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{\cos 135^\circ} = \frac{y - 1}{\sin 135^\circ} = r$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x - 1}{-1/\sqrt{2}} = \frac{y - 1}{1/\sqrt{2}} = r$ મળે.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 - \frac{r}{\sqrt{2}}, 1 + \frac{r}{\sqrt{2}})$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ રેખા $2x - 3y = 4$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1 - \frac{r}{\sqrt{2}}) - 3(1 + \frac{r}{\sqrt{2}}) = 4$.
$2 - \frac{2r}{\sqrt{2}} - 3 - \frac{3r}{\sqrt{2}} = 4$.
$-1 - \frac{5r}{\sqrt{2}} = 4$.
$-\frac{5r}{\sqrt{2}} = 5$.
$r = -\sqrt{2}$.
અંતર હંમેશા ધન હોવાથી,અંતર $|r| = \sqrt{2}$ થશે.

(C) આપેલી રેખાઓ $5x + 3y - 7 = 0$ $(i)$ અને $15x + 9y + 14 = 0$ $(ii)$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરીએ.
સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ભાગતા: $5x + 3y + \frac{14}{3} = 0$.
હવે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = 3$,$c_1 = -7$,અને $c_2 = \frac{14}{3}$.
$d = \frac{|-7 - \frac{14}{3}|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{|-\frac{21}{3} - \frac{14}{3}|}{\sqrt{25 + 9}} = \frac{|-\frac{35}{3}|}{\sqrt{34}} = \frac{35}{3\sqrt{34}}$.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = 7$,અને $c_2 = -5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|7 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|7 + 5|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{12}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{12}{5}$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 4 = 0$ અને $L_2: 6x + 9y + 8 = 0$ છે.
બિંદુ $(8, -9)$ ને $L_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L_1(8, -9) = 2(8) + 3(-9) - 4 = 16 - 27 - 4 = -15$.
બિંદુ $(8, -9)$ ને $L_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L_2(8, -9) = 6(8) + 9(-9) + 8 = 48 - 81 + 8 = -25$.
અહીં $L_1(8, -9)$ અને $L_2(8, -9)$ બંનેની નિશાની સમાન (ઋણ) હોવાથી,બિંદુ $(8, -9)$ બંને રેખાઓની એક જ બાજુએ આવેલું છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $y = x \tan \alpha + c$ છે,જેને $x \tan \alpha - y + c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$\cos \alpha$ વડે ગુણતા,આપણને $x \sin \alpha - y \cos \alpha + c \cos \alpha = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
બિંદુ $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ અને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{|(a \cos \alpha) \sin \alpha - (a \sin \alpha) \cos \alpha + c \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}}$
$p = |c \cos \alpha|$.
$c > 0$ હોવાથી,લંબની લંબાઈ $c \cos \alpha$ થાય.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax + By + C = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં બિંદુ $(-2, 3)$ અને રેખા $x - y - 5 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A = 1, B = -1, C = -5, x_1 = -2, y_1 = 3$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:
$d = \frac{|(1)(-2) + (-1)(3) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|-2 - 3 - 5|}{\sqrt{1 + 1}}$
$d = \frac{|-10|}{\sqrt{2}}$
$d = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

(C) આપેલ સમાંતર રેખાઓના સમીકરણો $2x - y + 7 = 0$ અને $2x - y + 5 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = 2$,$B = -1$,$C_1 = 7$,અને $C_2 = 5$ મળે છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$ મળે.
$d = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(A) રેખા $Ax + By + C = 0$ નું બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં રેખા $12x + 5y - 7 = 0$ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આપેલ છે,તેથી $A = 12$,$B = 5$,$C = -7$,$x_1 = 0$ અને $y_1 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|12(0) + 5(0) - 7|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}$
$d = \frac{|-7|}{\sqrt{144 + 25}}$
$d = \frac{7}{\sqrt{169}}$
$d = \frac{7}{13}$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(0, 0)$ માટે:
$1$. $4x + 3y + 10 = 0$ થી અંતર $d_1 = \frac{|4(0) + 3(0) + 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{10}{5} = 2$.
$2$. $5x - 12y + 26 = 0$ થી અંતર $d_2 = \frac{|5(0) - 12(0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
$3$. $7x + 24y - 50 = 0$ થી અંતર $d_3 = \frac{|7(0) + 24(0) - 50|}{\sqrt{7^2 + 24^2}} = \frac{50}{25} = 2$.
આમ,$d_1 = d_2 = d_3 = 2$ હોવાથી,બિંદુ $(0, 0)$ ત્રણેય રેખાઓથી સમાન અંતરે છે.

(C) ધારો કે $p$ એ શિરોબિંદુ $(2, -1)$ થી પાયા $x + y - 2 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના લંબ અંતરનું સૂત્ર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,વેધ $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) ધારો કે $f(x, y) = x + y - 1$.
બિંદુ $(3, 2)$ માટે $f(3, 2) = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$.
તેથી,$(\sin \theta, \cos \theta)$ માટે $\sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$ થવું જોઈએ.
$\sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) > 1$
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
આથી,$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(D) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 8y - 7 = 0$ છે. જો $L(x_1, y_1)$ અને $L(x_2, y_2)$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ રેખાની એક જ બાજુએ આવેલા છે.
વિકલ્પ $D$ માટે:
$L(-1, -1) = 3(-1) - 8(-1) - 7 = -3 + 8 - 7 = -2 < 0$
$L(3, 7) = 3(3) - 8(7) - 7 = 9 - 56 - 7 = -54 < 0$
બંને કિંમતો ઋણ હોવાથી,બિંદુઓ $(-1, -1)$ અને $(3, 7)$ રેખાની એક જ બાજુએ આવેલા છે.

(A) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી માટે: $-x + y - 2 = 0$ અને $x - y - 2 = 0$. પ્રથમ સમીકરણને $x - y + 2 = 0$ તરીકે લખતા,અંતર $\alpha = \frac{|2 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
બીજી જોડી માટે: $4x - 3y - 5 = 0$ અને $8x - 6y + 1 = 0$. બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x - 3y + 0.5 = 0$ મળે છે. અંતર $\beta = \frac{|-5 - 0.5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{5.5}{5} = 1.1 = \frac{11}{10}$.
હવે,ગુણોત્તર ગણતા: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2\sqrt{2}}{11/10} = \frac{20\sqrt{2}}{11}$.
આમ,$11\alpha = 20\sqrt{2}\beta$.

(A) ધારો કે $L(x, y) = 2x + 3y - 4 = 0$ અને $L'(x, y) = 6x + 9y + 8 = 0$.
બિંદુ $(-6, 2)$ માટે,$L(-6, 2) = 2(-6) + 3(2) - 4 = -12 + 6 - 4 = -10 < 0$.
બિંદુ $(-6, 2)$ માટે,$L'(-6, 2) = 6(-6) + 9(2) + 8 = -36 + 18 + 8 = -10 < 0$.
બંને રેખાઓ માટે અભિવ્યક્તિની કિંમત ઋણ હોવાથી,બિંદુ $(-6, 2)$ બંને રેખાઓની નીચે આવેલું છે.

(B) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ માટે,$L(3, 4) = 3(3) - 4(4) - 8 = 9 - 16 - 8 = -15$ મળે છે.
$L(3, 4) < 0$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 4)$ રેખાની એક બાજુ પર છે.
બિંદુ $(2, -6)$ માટે,$L(2, -6) = 3(2) - 4(-6) - 8 = 6 + 24 - 8 = 22$ મળે છે.
$L(2, -6) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(2, -6)$ રેખાની બીજી બાજુ પર છે.
આમ,બંને બિંદુઓ રેખાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $(x_1, y_1) = (3, 4)$ અને રેખા $3x + 4y + 10 = 0$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|3(3) + 4(4) + 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|9 + 16 + 10|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{35}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{35}{5} = 7$.

(A) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ રેખાની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા હોય,તો $L(x_1, y_1)$ અને $L(x_2, y_2)$ ના મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ,એટલે કે $L(x_1, y_1) \times L(x_2, y_2) < 0$.
બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = 3 - 10 + a = a - 7$.
$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = 9 - 20 + a = a - 11$.
આમ,$(a - 7)(a - 11) < 0$.
આ અસમતા $7 < a < 11$ માટે સાચી છે.

(D) $BC$ નો ઢાળ $m = \frac{-3 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{-4}{2} = -2$ છે.
રેખા $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $-2$ થશે.
રેખાનું સમીકરણ $y = -2x + c$ અથવા $2x + y - c = 0$ થાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = 1/2$ આપેલ છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|-c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$.
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \implies |c| = \frac{\sqrt{5}}{2} \implies c = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $2x + y \pm \frac{\sqrt{5}}{2} = 0$ એટલે કે $4x + 2y \pm \sqrt{5} = 0$ થાય.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી એકપણ સાચો નથી.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x + 2y + 7 = 0$ અને $L_2: 6x + 4y + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,$L_2$ ને $2$ વડે ભાગીને $ax + by + c_2 = 0$ સ્વરૂપમાં લખો: $3x + 2y + 1.5 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 2$,$c_1 = 7$,અને $c_2 = 1.5$ છે.
$d = \frac{|7 - 1.5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{5.5}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{11/2}{\sqrt{13}} = \frac{11}{2\sqrt{13}}$.

(A) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3$,$B = 4$,$C_1 = 7$,અને $C_2 = 22$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|22 - 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{15}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{15}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{15}{5} = 3$.

(C) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 7x + 5y - 9 = 0$ છે.
પ્રથમ બિંદુ $(3, 4)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $L(3, 4) = 7(3) + 5(4) - 9 = 21 + 20 - 9 = 32$.
અહીં $32 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 4)$ રેખાની ધન બાજુએ છે.
બીજા બિંદુ $(-9, 6)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $L(-9, 6) = 7(-9) + 5(6) - 9 = -63 + 30 - 9 = -42$.
અહીં $-42 < 0$ હોવાથી,બિંદુ $(-9, 6)$ રેખાની ઋણ બાજુએ છે.
બંને કિંમતો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતી હોવાથી,બિંદુઓ રેખાની સામ-સામેની બાજુએ આવેલા છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $L_1: 3x - y - 3 = 0$ અને $L_2: 3x - y + 5 = 0$ છે.
માંગેલ રેખા $L$ આ રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $3x - y + K = 0$ સ્વરૂપમાં હશે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$L_1$ અને $L$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|K - (-3)|}{\sqrt{10}} = \frac{|K + 3|}{\sqrt{10}}$ છે.
$L$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|5 - K|}{\sqrt{10}}$ છે.
ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 3 : 5$ આપેલ હોવાથી,$\frac{K + 3}{5 - K} = \frac{3}{5}$ મળે.
$5(K + 3) = 3(5 - K) \implies 5K + 15 = 15 - 3K$.
$8K = 0 \implies K = 0$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $3x - y = 0$ છે.

(C) રેખા $Ax + By + C = 0$ નું બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી લંબઅંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખા $3x + 4y - 10 = 0$ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|3(0) + 4(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$.
$d = \frac{|-10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$.
આમ,લંબઅંતર $2$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = x \tan \alpha + c$ છે,જેને $x \sin \alpha - y \cos \alpha + c \cos \alpha = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ માંથી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{|(a \cos \alpha)(\sin \alpha) - (a \sin \alpha)(\cos \alpha) + c \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}}$
$p = \frac{|0 + c \cos \alpha|}{\sqrt{1}}$
$c > 0$ અને $\cos \alpha > 0$ લેતા,$p = c \cos \alpha$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા $f(x, y) = 3x - 2y + 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(2, 1)$ માટે,$f(2, 1) = 3(2) - 2(1) + 1 = 6 - 2 + 1 = 5$.
બિંદુ $(-3, 5)$ માટે,$f(-3, 5) = 3(-3) - 2(5) + 1 = -9 - 10 + 1 = -18$.
અહીં $f(2, 1) = 5 > 0$ અને $f(-3, 5) = -18 < 0$ હોવાથી,તેમના ચિહ્નો વિરુદ્ધ છે.
તેથી,બિંદુઓ રેખાની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 4 = 0$ અને $L_2: 6x + 9y + 8 = 0$ છે.
બિંદુ $(8, -9)$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$L_1(8, -9) = 2(8) + 3(-9) - 4 = 16 - 27 - 4 = -15$.
$L_2(8, -9) = 6(8) + 9(-9) + 8 = 48 - 81 + 8 = -25$.
બંને કિંમતો ઋણ હોવાથી,બિંદુ બંને રેખાઓની એક જ બાજુએ આવેલું છે.
તેથી,બિંદુ રેખાઓની બહારના ભાગમાં આવેલું છે.