Mix Examples-Straight Line Questions in Gujarati

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય જો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોય.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(1, 1)$,$(0, \sec^2 \theta)$ અને $(\csc^2 \theta, 0)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |1(\sec^2 \theta - 0) + 0(0 - 1) + \csc^2 \theta(1 - \sec^2 \theta)| = 0$
$\sec^2 \theta + \csc^2 \theta - \csc^2 \theta \sec^2 \theta = 0$
$\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
$\frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 0$
આ નિત્યસમ $0 = 0$ એ તમામ $\theta$ માટે સાચું છે જ્યાં $\sec \theta$ અને $\csc \theta$ વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$\theta = \frac{n\pi}{2}$ સિવાયના તમામ $\theta$ માટે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $M(1, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y - 5}{\sin \theta} = r$ છે.
રેખાખંડ $M(1, 5)$ પર દુભાગે છે,તેથી અંતિમ બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $M$ થી $r = d$ અને $r = -d$ અંતરે છે.
બિંદુ $A$ એ $(1 + d \cos \theta, 5 + d \sin \theta)$ છે અને તે $5x - y - 4 = 0$ પર આવેલું છે.
$A$ ને પ્રથમ રેખામાં મૂકતા: $5(1 + d \cos \theta) - (5 + d \sin \theta) - 4 = 0 \implies 5d \cos \theta - d \sin \theta = 4$.
બિંદુ $B$ એ $(1 - d \cos \theta, 5 - d \sin \theta)$ છે અને તે $3x + 4y - 4 = 0$ પર આવેલું છે.
$B$ ને બીજી રેખામાં મૂકતા: $3(1 - d \cos \theta) + 4(5 - d \sin \theta) - 4 = 0 \implies 3d \cos \theta + 4d \sin \theta = 19$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $d \cos \theta = \frac{35}{23}$ અને $d \sin \theta = \frac{83}{23}$ મળે છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{83}{35}$ છે.
બિંદુ $(1, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1)$ એટલે કે $83x - 35y + 92 = 0$ છે.

(A) મધ્યગા શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે,જે રેખાઓ $px + qy - 1 = 0$ અને $qx + py - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ બે રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $(px + qy - 1) + \lambda(qx + py - 1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એક અચળાંક છે.
મધ્યગા પાયા $BC$ ના મધ્યબિંદુ $(p, q)$ માંથી પણ પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ બિંદુને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(p(p) + q(q) - 1) + \lambda(q(p) + p(q) - 1) = 0$
$(p^2 + q^2 - 1) + \lambda(2pq - 1) = 0$
$\lambda = -\frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}$.
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(px + qy - 1) - \frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}(qx + py - 1) = 0$
$(2pq - 1)(px + qy - 1) = (p^2 + q^2 - 1)(qx + py - 1)$.

(C) આપેલી રેખાઓ $L_1: 2x + y + 6 = 0$ અને $L_2: 4x + 2y - 9 = 0$ છે. આ રેખાઓ સમાંતર છે.
આ રેખાઓને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x - 2y = 0$ થશે કારણ કે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
રેખા $x - 2y = 0$ અને $2x + y + 6 = 0$ નું છેદબિંદુ $P = (-12/5, -6/5)$ છે.
રેખા $x - 2y = 0$ અને $4x + 2y - 9 = 0$ નું છેદબિંદુ $Q = (9/5, 9/10)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ રેખાખંડ $PQ$ ને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે તેમ ધારતા,વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$0 = \frac{\lambda(9/5) + 1(-12/5)}{\lambda + 1}$ $\Rightarrow 9\lambda = 12$ $\Rightarrow \lambda = 4/3$.
તેથી,ગુણોત્તર $4 : 3$ છે.

(C) રેખા $2x + 3y = 12$ એ $y$-અક્ષને $B$ પર મળે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $B = (0, 4)$.
રેખા $2x + 3y = 12$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે.
$AB$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ છે.
$(5, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{3}{2}(x - 5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2y = 5$ થાય છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $C$ પર મળે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $3x = 5 \implies C = (\frac{5}{3}, 0)$.
$E$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ:
$2x + 3y = 12$ $(i)$
$3x - 2y = 5$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $4x + 6y = 24$ અને $9x - 6y = 15$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $13x = 39 \implies x = 3$ મળે છે. $(i)$ માં $x=3$ મૂકતા,$6 + 3y = 12 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. તેથી $E = (3, 2)$.
ચતુષ્કોણ $OCEB$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta OCE$ અને $\Delta OEB$ માં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે.
$\Delta OCE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_C - y_E) + x_C(y_E - y_O) + x_E(y_O - y_C)| = \frac{1}{2} |0 + \frac{5}{3}(2 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{5}{3}$.
$\Delta OEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_E - y_B) + x_E(y_B - y_O) + x_B(y_O - y_E)| = \frac{1}{2} |0 + 3(4 - 0) + 0| = 6$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{5}{3} + 6 = \frac{23}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $y = mx + 1$ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પહેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $5$ ના ભાજકો $\pm 1$ અને $\pm 5$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (પૂર્ણાંક છે).
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (પૂર્ણાંક છે).
$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-1$ અને $-2$ છે. આમ,આવા $2$ મૂલ્યો મળે.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકો પરિકેન્દ્ર $O$ માં છેદે છે.
$x - y + 5 = 0$ અને $x + 2y = 0$ ને ઉકેલતા,પરિકેન્દ્ર $O = (-\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ મળે છે.
બિંદુ $A(1, -2)$ નું રેખા $x - y + 5 = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $B(-7, 6)$ મળે છે.
બિંદુ $A(1, -2)$ નું રેખા $x + 2y = 0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $C(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ મળે છે.
બિંદુઓ $B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $14x + 23y - 40 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A(-1, 2)$ છે અને પાયો $BC$ નું સમીકરણ $2x - y - 1 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ પરનો વેધ $AD$ એ $A$ થી રેખા $2x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$AD = \left| \frac{2(-1) - (2) - 1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{-2 - 2 - 1}{\sqrt{5}} \right| = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ $AD$ અને બાજુની લંબાઈ $s$ વચ્ચેનો સંબંધ $AD = s \sin(60^o) = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{5} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow s = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 \times 5}{3}} = \sqrt{\frac{20}{3}}$.

(A) ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ એ $G$.$P$. માં હોવાથી,${x_2} = {x_1}r$ અને ${x_3} = {x_1}r^2$ મળે.
તે જ રીતે,${y_1}, {y_2}, {y_3}$ એ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G$.$P$. માં હોવાથી,${y_2} = {y_1}r$ અને ${y_3} = {y_1}r^2$ મળે.
બિંદુઓ $P_1 = ({x_1}, {y_1})$,$P_2 = ({x_1}r, {y_1}r)$,અને $P_3 = ({x_1}r^2, {y_1}r^2)$ છે.
અહીં તમામ બિંદુઓ માટે $y$-યામ અને $x$-યામનો ગુણોત્તર અચળ છે: $\frac{{y_1}}{{x_1}} = \frac{{y_1}r}{{x_1}r} = \frac{{y_1}r^2}{{x_1}r^2} = m$ (જ્યાં $m = \frac{{y_1}}{{x_1}}$).
આ દર્શાવે છે કે ત્રણેય બિંદુઓ $y = mx$ સમીકરણનું પાલન કરે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(A) $AB$ અને $BC$ ના ઢાળ અનુક્રમે $-4$ અને $\frac{3}{4}$ છે. ધારો કે $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો,$\tan \alpha = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$AB = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ છે,તેથી $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$. આમ,રેખા $AC$ પણ રેખા $BC$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. ધારો કે $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $A(2, -7)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y + 7 = m(x - 2)$ છે.
$\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m - 3}{4 + 3m} = \pm \frac{19}{8}$.
કિસ્સો $1$: $m = -4$ (આ $AB$ નો ઢાળ છે).
કિસ્સો $2$: $m = -\frac{52}{89}$.
$m = -\frac{52}{89}$ લેતા,$y + 7 = -\frac{52}{89}(x - 2)$ $\Rightarrow 89y + 623 = -52x + 104$ $\Rightarrow 52x + 89y + 519 = 0$.

(B) રેખાઓ $ax + by + p = 0$ અને $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 4$ છે.
તેથી,$\tan(\pi / 4) = \left| \frac{(-a/b) - (-\cos \alpha / \sin \alpha)}{1 + (-a/b)(-\cos \alpha / \sin \alpha)} \right| = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $|-a \sin \alpha + b \cos \alpha| = |b \sin \alpha + a \cos \alpha|$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 \sin^2 \alpha + b^2 \cos^2 \alpha - 2ab \sin \alpha \cos \alpha = b^2 \sin^2 \alpha + a^2 \cos^2 \alpha + 2ab \sin \alpha \cos \alpha$.
ગોઠવતા $(a^2 - b^2)(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 4ab \sin \alpha \cos \alpha$ મળે છે.
રેખાઓ $x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ સાથે સંગામી હોવાથી,નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a & b & p \\ \cos \alpha & \sin \alpha & -p \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-ap \cos \alpha - bp \sin \alpha - p = 0 \implies a \cos \alpha + b \sin \alpha = -1$.
આનો વર્ગ કરતા: $a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha + 2ab \sin \alpha \cos \alpha = 1$.
શરતોનો ઉપયોગ કરતા,$a^2 + b^2 = 2$ મળે છે.

(A) પ્રથમ,રેખાઓ $4x + y - 1 = 0$ અને $7x - 3y - 35 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $12x + 3y - 3 = 0$ મળે છે.
આને $7x - 3y - 35 = 0$ માં ઉમેરતા,આપણને $19x - 38 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 2$.
$x = 2$ ને $4x + y - 1 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $4(2) + y - 1 = 0$ મળે છે,તેથી $y = -7$.
છેદબિંદુ $(2, -7)$ છે.
$(3, 5)$ અને $(2, -7)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-7 - 5}{2 - 3} = \frac{-12}{-1} = 12$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = 12(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $12x - y - 31 = 0$ થાય છે.
આ રેખાનું $(0, 0)$ થી અંતર $d_1 = \frac{|12(0) - 0 - 31|}{\sqrt{12^2 + (-1)^2}} = \frac{31}{\sqrt{145}}$ છે.
આ રેખાનું $(8, 34)$ થી અંતર $d_2 = \frac{|12(8) - 34 - 31|}{\sqrt{12^2 + (-1)^2}} = \frac{|96 - 65|}{\sqrt{145}} = \frac{31}{\sqrt{145}}$ છે.
$d_1 = d_2$ હોવાથી,વિધાન સાચું છે.

(B) ના યામ $x=0$ મૂકતા $(0, 12)$ મળે છે અને $B$ ના યામ $y=0$ મૂકતા $(8, 0)$ મળે છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M(4, 6)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $-\frac{3}{2}$ છે,તેથી લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ થાય.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 6 = \frac{2}{3}(x - 4)$ એટલે કે $2x - 3y + 10 = 0$ છે.
$(0, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા $y = -1$ છે.
$y = -1$ ને લંબદ્વિભાજકમાં મૂકતા,$2x - 3(-1) + 10 = 0 \implies x = -\frac{13}{2}$ મળે.
તેથી $C$ ના યામ $\left(-\frac{13}{2}, -1\right)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |0(0 - (-1)) + 8(-1 - 12) + (-\frac{13}{2})(12 - 0)| = 91 \, sq. \, units$ થાય.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = mx$ છે. આ રેખાઓ રેખા $2x + 3y = 6$ (જેનો ઢાળ $m_1 = -2/3$ છે) સાથે $\pm 45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\pm 45^\circ) = \frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)} = \pm 1$
$\frac{3m + 2}{3 - 2m} = \pm 1$
કિસ્સો $1$: $3m + 2 = 3 - 2m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
રેખા $x - 5y = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $3m + 2 = -(3 - 2m) \Rightarrow m = -5$.
રેખા $5x + y = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(\frac{30}{13}, \frac{6}{13})$ અને $(-\frac{6}{13}, \frac{30}{13})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{36}{13}$ મળે છે.

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. આપેલી રેખા $x + y = 2$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 60^\circ = |\frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}|$
$\sqrt{3} = |\frac{m + 1}{1 - m}|$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \sqrt{3} = \frac{m + 1}{1 - m} \Rightarrow m = 2 - \sqrt{3}$
$2) -\sqrt{3} = \frac{m + 1}{1 - m} \Rightarrow m = 2 + \sqrt{3}$
બિંદુ $(2, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 3 = (2 \pm \sqrt{3})(x - 2)$.

(A) રેખાઓ $x - 3y + 1 = 0$ અને $2x + 5y - 9 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $(x - 3y + 1) + \lambda(2x + 5y - 9) = 0$ દ્વારા મળે છે.
તેનું સાદુરૂપ $(1 + 2\lambda)x + (5\lambda - 3)y + (1 - 9\lambda) = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબઅંતર $\sqrt{5}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|1 - 9\lambda|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (5\lambda - 3)^2}} = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(1 - 9\lambda)^2}{(1 + 2\lambda)^2 + (5\lambda - 3)^2} = 5$.
સાદુરૂપ આપતા $64\lambda^2 - 112\lambda + 49 = 0$ મળે છે.
$(8\lambda - 7)^2 = 0$,તેથી $\lambda = \frac{7}{8}$.
$\lambda = \frac{7}{8}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - 3y + 1) + \frac{7}{8}(2x + 5y - 9) = 0$.
$8x - 24y + 8 + 14x + 35y - 63 = 0$.
$22x + 11y - 55 = 0$.
$11$ વડે ભાગતા,$2x + y - 5 = 0$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sec \alpha + y \csc \alpha - 2a = 0$ માટે,$p_1 = \frac{|-2a|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha}} = |a \sin 2\alpha|$.
તેથી,$p_1^2 = a^2 \sin^2 2\alpha$.
બીજી રેખા $x \cos \alpha - y \sin \alpha - a \cos 2\alpha = 0$ માટે,$p_2 = \frac{|-a \cos 2\alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |a \cos 2\alpha|$.
તેથી,$p_2^2 = a^2 \cos^2 2\alpha$.
હવે,$\left( \frac{p_1}{p_2} + \frac{p_2}{p_1} \right)^2 = \frac{(p_1^2 + p_2^2)^2}{p_1^2 p_2^2} = \frac{(a^2 \sin^2 2\alpha + a^2 \cos^2 2\alpha)^2}{a^4 \sin^2 2\alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{1}{\sin^2 2\alpha \cos^2 2\alpha} = \frac{4}{\sin^2 4\alpha} = 4 \csc^2 4\alpha$.

(C) $P(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{\cos\theta} = \frac{y - 1}{\sin\theta} = r$ છે.
$A$ ના યામ $(1 - \cot\theta, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, 1 - \tan\theta)$ મળે છે.
$AB^2 = OP^2$ આપેલ હોવાથી,$(1 - \cot\theta)^2 + (1 - \tan\theta)^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
વિસ્તરણ કરતા: $2 - 2(\cot\theta + \tan\theta) + (\cot^2\theta + \tan^2\theta) = 2$.
ધારો કે $u = \tan\theta + \cot\theta$. તેથી $u^2 - 2 - 2u = 0 \Rightarrow u^2 - 2u - 2 = 0$.
ઉકેલતા: $u = 1 \pm \sqrt{3}$.
$|\tan\theta + \cot\theta| \ge 2$ હોવાથી,$1 - \sqrt{3}$ શક્ય નથી.
આમ,$\tan\theta + \cot\theta = 1 + \sqrt{3}$.

(D) રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,$|PA - PB|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $AB$ જેટલું હોય છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $P, A, B$ સમરેખ હોય.
$|PA - PB|$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$P$ એ રેખા $AB$ અને આપેલી રેખા $4x + 3y + 9 = 0$ નું છેદબિંદુ હોવું જોઈએ.
$(0, 1)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $x + 2y = 2$ થાય છે.
આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ:
$4x + 3y = -9$ $(1)$
$x + 2y = 2$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$x = 2 - 2y$. $(1)$ માં મૂકતા:
$4(2 - 2y) + 3y = -9$
$8 - 8y + 3y = -9$
$-5y = -17 \implies y = \frac{17}{5}$.
$y = \frac{17}{5}$ ને $x = 2 - 2y$ માં મૂકતા:
$x = 2 - 2\left(\frac{17}{5}\right) = 2 - \frac{34}{5} = -\frac{24}{5}$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $\left( -\frac{24}{5}, \frac{17}{5} \right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $16a^2 - 40ab + 25b^2 - c^2 = 0$ છે.
આને $(4a - 5b)^2 - c^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(4a - 5b - c)(4a - 5b + c) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4a - 5b - c = 0$ અથવા $4a - 5b + c = 0$.
આને રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા.
કિસ્સો $1$: $4a - 5b + c = 0$ ને $a(4) + b(-5) + c = 0$ તરીકે લખી શકાય. $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $(x, y) = (4, -5)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $4a - 5b - c = 0$ ને $a(-4) + b(5) + c = 0$ તરીકે લખી શકાય. $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $(x, y) = (-4, 5)$ મળે છે.
આમ,રેખા $(4, -5)$ અને $(-4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $x + y = |a|$ અને $ax - y = 1$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$(1 + a)x = |a| + 1$,તેથી $x = \frac{|a| + 1}{a + 1}$.
$x$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,$y = |a| - x = |a| - \frac{|a| + 1}{a + 1} = \frac{a|a| - 1}{a + 1}$.
છેદબિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવા માટે $x > 0$ અને $y > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$x = \frac{|a| + 1}{a + 1} > 0$ હોવાથી,$a + 1 > 0$ એટલે કે $a > -1$.
$y = \frac{a|a| - 1}{a + 1} > 0$ હોવા માટે,$a|a| - 1 > 0$ એટલે કે $a|a| > 1$.
જો $a > 0$ હોય,તો $a^2 > 1$,જેનો અર્થ છે $a > 1$.
તેથી,$a$ ના શક્ય મૂલ્યોનો અંતરાલ $(1, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણી પાસે સંબંધ $2b = a + c$ છે,જેને $a - 2b + c = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સુરેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
આને શરત $a(1) + b(-2) + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા બિંદુ $(x, y) = (1, -2)$ માટે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,રેખા $ax + by + c = 0$ હંમેશા બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ છે.
$m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^\circ$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta' = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m' = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ છે.
રેખા બિંદુ $A(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સમીકરણ $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ થશે.
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે કર્ણની સામેનો શિરોબિંદુ $B(2, 2)$ છે. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયાના ખૂણા $45^\circ$ છે.
$B(2, 2)$ માંથી પસાર થતી એક બાજુનો ઢાળ $m$ ધારો.
આ બાજુનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 2)$ છે.
આ રેખા અને કર્ણ $3x + 4y - 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે.
$\tan 45^\circ = \left| \frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)} \right| = 1$
$\left| \frac{4m + 3}{4 - 3m} \right| = 1$
આના પરથી $m = 1/7$ અથવા $m = -7$ મળે છે.
$m = 1/7$ લેતા,$y - 2 = \frac{1}{7}(x - 2) \Rightarrow x - 7y + 12 = 0$ મળે છે.

(B) રેખાઓનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}|x| + 2$ છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x \ge 0$ માટે $y = \sqrt{3}x + 2$ અને $x < 0$ માટે $y = -\sqrt{3}x + 2$.
છેદબિંદુ $A$ એ $(0, 2)$ છે.
રેખાઓ અને $y$-અક્ષ (જે ખૂણાનો દ્વિભાજક છે) વચ્ચેનો ખૂણો ઢાળ પરથી શોધી શકાય છે. $y = \sqrt{3}x + 2$ માટે,ઢાળ $\sqrt{3}$ છે,તેથી $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $60^\circ$ છે. $y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ છે.
ધારો કે $P$ એ રેખા પરનું બિંદુ છે જે $AP = 5$ અંતરે છે.
$P$ માંથી $y$-અક્ષ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $M$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલો છે.
અંતર $AM = AP \cos(30^\circ) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.
$A$ એ $(0, 2)$ પર હોવાથી અને રેખાઓ ઉપરની તરફ વિસ્તરેલી હોવાથી,$M$ નો $y$-યામ $2 + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{2}$ થાય.
આમ,$M$ ના યામ $\left(0, \frac{4 + 5\sqrt{3}}{2}\right)$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B$,અને $C$ છે.
બાજુ $OA$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના યામ $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ છે.
વિકર્ણ $OB$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha + \frac{\pi}{4}$ ખૂણો બનાવે છે.
$OB$ નો ઢાળ $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4})$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $OB$ ને લંબ છે.
$AC$ નો ઢાળ $-\cot(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ છે.
$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ:
$y - a \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} (x - a \cos \alpha)$
સાથે ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે:
$y(\cos \alpha + \sin \alpha) - x(\sin \alpha - \cos \alpha) = a$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(0, 21)$ અને $(21, 0)$ છે.
અંદરના બિંદુઓ $(x, y)$ માટે $x > 0$,$y > 0$ અને $x + y < 21$ શરતોનું પાલન થવું જોઈએ.
નિશ્ચિત $x$ માટે,$y$ એ $1$ થી $21 - x - 1 = 20 - x$ સુધીની પૂર્ણાંક કિંમતો લઈ શકે છે.
$y > 0$ હોવાથી,$20 - x \geq 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $x$ ની કિંમત $1$ થી $19$ સુધી હોઈ શકે.
દરેક $x \in \{1, 2, \dots, 19\}$ માટે,$y$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા $20 - x$ છે.
પૂર્ણાંક બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $\sum_{x=1}^{19} (20 - x) = 19 + 18 + \dots + 1$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $\frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,$n = 19$ માટે,આપણને $\frac{19 \times 20}{2} = 190$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $y - mx = 0$,$y - mx - 1 = 0$,$y - nx = 0$ અને $y - nx - 1 = 0$ છે.
આ રેખાઓ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_1x + b_1y + c_2 = 0$,$a_2x + b_2y + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$
અહીં,સમીકરણો છે:
$mx - y + 0 = 0$
$mx - y + 1 = 0$
$nx - y + 0 = 0$
$nx - y + 1 = 0$
સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $c_1 = 0, c_2 = 1, d_1 = 0, d_2 = 1, a_1 = m, b_1 = -1, a_2 = n, b_2 = -1$.
$\text{Area} = \left| \frac{(0 - 1)(0 - 1)}{m(-1) - n(-1)} \right| = \left| \frac{(-1)(-1)}{-m + n} \right| = \left| \frac{1}{n - m} \right| = \frac{1}{|m - n|}$.

(B) આપેલ રેખાઓનો પરિવાર $2x + y + 4 = 0$ અને $x - 2y - 3 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $2(2x + y + 4) + (x - 2y - 3) = 0$ $\Rightarrow 5x + 5 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $2x + y + 4 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $y = -2$ મળે છે.
આમ,પરિવારની તમામ રેખાઓ નિશ્ચિત બિંદુ $P(-1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $P(-1, -2)$ અને $M(2, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $PM = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા જેનું $M$ થી અંતર $d$ હોય,તે $d \le PM$ નું પાલન કરે છે. અહીં જરૂરી અંતર બરાબર $\sqrt{10} = PM$ હોવાથી,આ અંતરે આવેલી માત્ર એક જ રેખા છે જે બિંદુ $P$ આગળ રેખાખંડ $PM$ ને લંબ હોય.
તેથી,આવી માત્ર $1$ રેખા છે.

(D) બે સમાંતર રેખાઓ $L_1: x + 2y + 3 = 0$ અને $L_2: x + 2y - 7 = 0$ છે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|3 - (-7)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$ છે.
આ રેખાઓ ચોરસની બે બાજુઓ બનાવે છે,તેથી અન્ય બે સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર પણ $d = \frac{10}{\sqrt{5}}$ હોવું જોઈએ.
ત્રીજી બાજુ $L_3: 2x - y - 4 = 0$ છે. ચોથી બાજુ $L_4$ એ $L_3$ ને સમાંતર હોવી જોઈએ,તેથી ધારો કે $L_4: 2x - y + \lambda = 0$.
$L_3$ અને $L_4$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{5}}$ છે.
અંતરને સરખાવતા: $\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda + 4| = 10$.
આથી $\lambda = 6$ અથવા $\lambda = -14$.
ચોથી બાજુઓના સમીકરણો $2x - y + 6 = 0$ અને $2x - y - 14 = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y + \sqrt{3} |x| = 2$ છે. આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: y + \sqrt{3}x = 2$ ($x \ge 0$ માટે) અને $L_2: y - \sqrt{3}x = 2$ ($x < 0$ માટે).
બંને રેખાઓ બિંદુ $P(0, 2)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y=2$ છે.
બિંદુ $A$ એ રેખાઓ પર $P(0, 2)$ થી $d = \frac{4}{\sqrt{3}}$ અંતરે આવેલું છે.
$L_1$ માટે,ઢાળ $m = -\sqrt{3}$ છે,તેથી $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $120^\circ$ છે. $A$ ના યામ $(0 + d \cos 120^\circ, 2 + d \sin 120^\circ) = \left( -\frac{2}{\sqrt{3}}, 4 \right)$ મળે છે.
આમ,$A$ માંથી ખૂણાના દ્વિભાજક $x=0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(0, 4)$ છે.

(D) રેખા $x + y = p$ અક્ષોને $A(p, 0)$ અને $B(0, p)$ માં છેદે છે. $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times p \times p = \frac{p^2}{2}$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $AB$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $Q$ ના યામ $\left(\frac{p}{1+\lambda}, \frac{p\lambda}{1+\lambda}\right)$ છે.
$PQ \perp AB$ હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $1$ થાય.
$PQ$ રેખાનું સમીકરણ $y - \frac{p\lambda}{1+\lambda} = 1(x - \frac{p}{1+\lambda})$ છે.
$x = 0$ લેતા,$P$ ના યામ $\left(0, \frac{p(\lambda - 1)}{\lambda + 1}\right)$ મળે.
$\triangle APQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{p^2 \lambda}{2(\lambda + 1)^2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\text{Area}(\triangle APQ)}{\text{Area}(\triangle OAB)} = \frac{3}{8}$,તેથી $\frac{\lambda}{(\lambda + 1)^2} = \frac{3}{8}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\frac{AQ}{BQ} = 3$ અથવા $1/3$ મળે છે.

(B) રેખા $AB$ નું સમીકરણ $2x + 3y = 12$ છે. રેખા $ED$ નો ઢાળ $\frac{3}{2}$ છે.
$(5, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $ED$ નું સમીકરણ $3x - 2y = 5$ છે.
બિંદુ $E$ શોધવા માટે $2x + 3y = 12$ અને $3x - 2y = 5$ નો ઉકેલ મેળવતા $E = (3, 2)$ મળે છે.
બિંદુ $C$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી $C = (\frac{5}{3}, 0)$ અને બિંદુ $B = (0, 4)$ છે.
ચતુષ્કોણ $OCEB$ નું ક્ષેત્રફળ શૂલેસ સૂત્ર દ્વારા ગણતા: $\frac{1}{2} |(0 \times 0 + \frac{5}{3} \times 2 + 3 \times 4 + 0 \times 0) - (0 \times \frac{5}{3} + 0 \times 3 + 2 \times 0 + 4 \times 0)| = \frac{23}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x + y - 5 = 0$ અને $L_2: x - 2y - 3 = 0$ છે.
તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $( -2 ) \times ( 1/2 ) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ધારો કે $A$ એ છેદબિંદુ છે. $AB = AC$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
રેખા $BC$ એ આપેલ રેખાઓ સાથે $45^\circ$ અથવા $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવતી હોવી જોઈએ.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોના ઢાળ $x + 3y - 2 = 0$ અને $3x - y - 8 = 0$ છે.
આ દ્વિભાજકોના ઢાળ $-1/3$ અને $3$ છે.
$BC$ એ ખૂણાના દ્વિભાજકને લંબ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $3$ અથવા $-1/3$ છે.
ઢાળ $m = 3$ અને બિંદુ $(2, 3)$ માટે: $3x - y - 3 = 0$.
ઢાળ $m = -1/3$ અને બિંદુ $(2, 3)$ માટે: $x + 3y - 11 = 0$.
આમ,બંને રેખાઓ શક્ય છે.

(A) રેખા $L_2$ નો ઢાળ $4$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી,$L_1$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{4}$ થાય.
રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $y = -\frac{1}{4}x + k$ લો,જેને $x + 4y = 4k$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $c = 4k$. અંતઃખંડો $(c, 0)$ અને $(0, \frac{c}{4})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને આ અંતઃખંડો દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ $T$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |c| \times |\frac{c}{4}| = 8$ છે.
$|c^2| = 64$,તેથી $c = \pm 8$.
$c = 8$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (8, 0)$ અને $(0, 2)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $8, 2$ અને $\sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68}$ છે.
પરિમિતિ $8 + 2 + \sqrt{68} = 10 + \sqrt{68}$ થાય.

(A) $P(3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ ધારો. રેખાનું સમીકરણ $(y - 1) = m(x - 3)$ એટલે કે $mx - y + (1 - 3m) = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી આ રેખાનું અંતર $d = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
અંતર મહત્તમ હોવા માટે,રેખા $AB$ એ $OP$ ને લંબ હોવી જોઈએ. $OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{1}{3}$ છે. તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m = -3$ થાય.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $(y - 1) = -3(x - 3)$ એટલે કે $3x + y = 10$ છે.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા $x = \frac{10}{3}$ (બિંદુ $A$) અને $x = 0$ લેતા $y = 10$ (બિંદુ $B$) મળે છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10 = \frac{50}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3 - 3x^2 + x + \lambda = 0$ ના બીજ $a, b, c$ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $a + b + c = 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a + b = 3 - c$.
રેખાનું સમીકરણ $x(a + b) + y = 1$ છે,જેને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{1/(a+b)} + \frac{y}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}| = \frac{1}{2} \times \frac{1}{|a+b|} \times 1 = \frac{1}{2|3-c|}$ છે.
$c \in [1, 2]$ હોવાથી,$3 - c \in [1, 2]$ મળે,તેથી $a + b > 0$.
આમ,$A = \frac{1}{2(3-c)}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,છેદ $2(3-c)$ ને મહત્તમ કરવો પડે,જે ત્યારે થાય જ્યારે $c$ અંતરાલ $[1, 2]$ માં તેની મહત્તમ કિંમત પર હોય.
$c = 2$ માટે,$A = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1/2$ ચોરસ એકમ છે.

(B) $|PA - PB|$ મહત્તમ હોય જ્યારે $P, A, B$ સમરેખ હોય. રેખા $AB$ નું સમીકરણ $x + y = 2$ છે.
$x + y = 2$ અને $2x + 3y + 1 = 0$ ને ઉકેલતા $P(7, -5)$ મળે છે.
$|QA - QB|$ ન્યૂનતમ હોય જ્યારે $Q$ એ રેખા $2x + 3y + 1 = 0$ અને $AB$ ના લંબદ્વિભાજકનું છેદબિંદુ હોય.
$AB$ નો લંબદ્વિભાજક $y - x = 0$ છે.
$y = x$ અને $2x + 3y + 1 = 0$ ને ઉકેલતા $5x = -1$ મળે,તેથી $x_2 = -1/5$ અને $y_2 = -1/5$.
આમ,$x_1 - y_1 + x_2 - y_2 = (7 - (-5)) + (-1/5 - (-1/5)) = 12 + 0 = 12$.

(A) વિકલ્પ $(A)$ માટે: ધારો કે રેખા $ax + by + c = 0$ છે. લંબ અંતરનો સરવાળો $\frac{4a+2b+c}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{2a+4b+c}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $6a + 6b + 3c = 0$,અથવા $2a + 2b + c = 0$. આ રેખા $(2,2)$ માંથી પસાર થવાની શરત છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: શરત $Ar(\Delta PAB) + Ar(\Delta PBC) + Ar(\Delta PAC) = Ar(\Delta ABC)$ એ $\Delta ABC$ ની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે સંતોષાય છે,માત્ર લંબકેન્દ્ર માટે જ નહીં. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: રેખાઓની જોડીના ખૂણા દ્વિભાજકો એકબીજાને લંબ હોય છે,તેઓ તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતા નથી. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $A$ અને $B$ ના મધ્યબિંદુનું હાર્મોનિક કોન્જુગેટ અનંત પર હોય છે. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.

(D) $(2, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ લો.
રેખા $(2, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} + \frac{5}{b} = 1$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 24$ છે,તેથી $|ab| = 48$.
કિસ્સો $1$: $ab = 48$. તો $b = \frac{48}{a}$. સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2}{a} + \frac{5a}{48} = 1 \Rightarrow 5a^2 - 48a + 96 = 0$. વિવેચક $D > 0$ હોવાથી $2$ રેખાઓ મળે.
કિસ્સો $2$: $ab = -48$. તો $b = -\frac{48}{a}$. સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2}{a} - \frac{5a}{48} = 1 \Rightarrow 5a^2 + 48a - 96 = 0$. વિવેચક $D > 0$ હોવાથી $2$ રેખાઓ મળે.
કુલ રેખાઓની સંખ્યા $= 2 + 2 = 4$.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $3x + 4y - 11 = 0$ અને $3x + 4y - 1 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|11 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{10}{5} = 2 \text{ units}$ છે.
આપેલ રેખાઓ વચ્ચેનો અંતઃખંડ એ બંને રેખાઓ વચ્ચેના લંબ અંતર જેટલો જ હોવાથી,માંગેલ રેખા આપેલ રેખાઓને લંબ હશે.
આપેલ રેખાઓનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે,તેથી માંગેલ રેખાનો ઢાળ $m' = \frac{4}{3}$ થશે.
$(3, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ: $y - 2 = \frac{4}{3}(x - 3)$.
$3y - 6 = 4x - 12 \implies 3y - 4x + 6 = 0$.

(B) ધારો કે $C$ એ $(\alpha, \beta)$ છે.
$AC = BC$ હોવાથી,$AC^2 = BC^2$.
$(\alpha + 2)^2 + (\beta - 3)^2 = (\alpha - 2)^2 + (\beta - 0)^2$
$\alpha^2 + 4\alpha + 4 + \beta^2 - 6\beta + 9 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2$
$8\alpha - 6\beta + 9 = 0$ ......$(1)$
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - 3}{2 - (-2)} = -\frac{3}{4}$.
$AB$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{3}{4}x + c$ છે.
$y$-અંતઃખંડ $c = \frac{43}{12}$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $y = -\frac{3}{4}x + \frac{43}{12}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $9x + 12y = 43$ છે.
આ રેખા $C(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $9\alpha + 12\beta = 43$ ......$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$(1)$ પરથી,$6\beta = 8\alpha + 9 \Rightarrow 12\beta = 16\alpha + 18$.
$(2)$ માં મૂકતા: $9\alpha + 16\alpha + 18 = 43$ $\Rightarrow 25\alpha = 25$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
તેથી $12\beta = 43 - 9(1) = 34 \Rightarrow \beta = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
આમ,$C = \left(1, \frac{17}{6}\right)$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: 4x + 3y - 10 = 0$ અને $L_2: 8x + 6y + 5 = 0$ છે.
નોંધો કે $L_2$ ને $2(4x + 3y) + 5 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જેનો અર્થ છે કે $4x + 3y = -2.5$.
રેખાઓ $4x + 3y = 10$ અને $4x + 3y = -2.5$ સમાંતર હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા તેમને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં એવી રીતે છેદશે કે જેથી અંતર $OA$ અને $OB$ નો ગુણોત્તર એ ઉગમબિંદુથી આ રેખાઓના લંબ અંતરના ગુણોત્તર જેટલો થાય.
$(0,0)$ થી $4x + 3y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|-10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{10}{5} = 2$ છે.
$(0,0)$ થી $8x + 6y + 5 = 0$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|5|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = \frac{5}{10} = 0.5 = \frac{1}{2}$ છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $OA:OB = d_1:d_2 = 2 : \frac{1}{2} = 4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(A) ધારો કે રેખા $L$ ના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
અંતઃખંડ $P(1, 2)$ આગળ દુભાગે છે,તેથી $\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$ અને $\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + y = 4 \quad (1)$ થાય છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -2$ છે. રેખા $L$ ને લંબ રેખા $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ છે.
$L_1$ એ $(-2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \implies x - 2y = -4 \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$x = \frac{4}{5}$ અને $y = \frac{12}{5}$ મળે છે.
છેદબિંદુ $\left( \frac{4}{5}, \frac{12}{5} \right)$ છે.

(D) બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
રેખા $L_1: x + (a - 1)y = 1$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{a - 1}$ છે.
રેખા $L_2: 2x + a^2y = 1$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ છે.
$m_1 m_2 = -1$ હોવાથી,$\left(-\frac{1}{a - 1}\right) \left(-\frac{2}{a^2}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{2}{a^2(a - 1)} = -1$ $\Rightarrow a^3 - a^2 + 2 = 0$.
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a + 1)(a^2 - 2a + 2) = 0$.
અહીં $a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 > 0$ હોવાથી,માત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $a = -1$ મળે છે.
$a = -1$ મુકતા:
$L_1: x - 2y = 1$.
$L_2: 2x + y = 1$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x - 2y = 1$ $(1)$
$2x + y = 1$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 2y = 2$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$.
$x = \frac{3}{5}$ ને $(2)$ માં મુકતા: $y = -\frac{1}{5}$.
છેદબિંદુ $P(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $OP = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(D) આપેલ રેખાઓ:
$5x - y + 4 = 0$ ..... $(1)$
$3x + 4y - 4 = 0$ ..... $(2)$
ધારો કે માંગેલ રેખા રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ ને અનુક્રમે $P(\alpha_{1}, \beta_{1})$ અને $Q(\alpha_{2}, \beta_{2})$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
$P$ એ $(1)$ પર હોવાથી,$\beta_{1} = 5\alpha_{1} + 4$.
$Q$ એ $(2)$ પર હોવાથી,$\beta_{2} = \frac{4 - 3\alpha_{2}}{4}$.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(1, 5)$ છે,તેથી $\frac{\alpha_{1} + \alpha_{2}}{2} = 1$ અને $\frac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2} = 5$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\alpha_{2} = 2 - \alpha_{1}$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(5\alpha_{1} + 4) + \frac{4 - 3(2 - \alpha_{1})}{4}}{2} = 5$.
$20\alpha_{1} + 16 + 4 - 6 + 3\alpha_{1} = 40 \implies 23\alpha_{1} = 26 \implies \alpha_{1} = \frac{26}{23}$.
તેથી $\beta_{1} = 5(\frac{26}{23}) + 4 = \frac{222}{23}$.
રેખા $(1, 5)$ અને $(\frac{26}{23}, \frac{222}{23})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{222}{23} - 5}{\frac{26}{23} - 1} = \frac{107}{3}$.
સમીકરણ $y - 5 = \frac{107}{3}(x - 1) \implies 3y - 15 = 107x - 107$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $107x - 3y - 92 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P \equiv (x_1, mx_1)$ અને $Q \equiv (x_2, mx_2)$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$A_1 = \frac{1}{2} |3(0 - 1) + 2(1 - 4) + (-1)(4 - 0)| = \frac{13}{2}$.
$\Delta PQC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$A_2 = m|x_1 - x_2|$.
$A_1 = 3A_2$ હોવાથી,$|x_1 - x_2| = \frac{13}{6m}$.
રેખા $AC$ નું સમીકરણ $x + 3y = 2$ છે,તેથી $x_1 = \frac{2}{1 + 3m}$.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y = 4x - 8$ છે,તેથી $x_2 = \frac{8}{4 - m}$.
$|x_1 - x_2| = \frac{26m}{(3m + 1)(4 - m)} = \frac{13}{6m}$.
આથી $15m^2 - 11m - 4 = 0$,જેનો ઉકેલ $m = 1$ મળે છે.

(A) પ્રથમ રેખા $x \operatorname{cosec} \alpha - y \sec \alpha = k \cot 2 \alpha$ છે,જેને $\frac{x}{\sin \alpha} - \frac{y}{\cos \alpha} = \frac{k \cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin \alpha \cos \alpha$ વડે ગુણતા,આપણને $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \frac{k}{2} \cos 2 \alpha$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x \cos \alpha - y \sin \alpha - \frac{k}{2} \cos 2 \alpha = 0$ નું લંબ અંતર $p = \left| \frac{k}{2} \cos 2 \alpha \right|$ છે.
તેથી,$2p = |k \cos 2 \alpha|$,જેનો અર્થ છે $4p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \alpha$ $(i)$.
બીજી રેખા $x \sin \alpha + y \cos \alpha = k \sin 2 \alpha$ છે. ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $q = |k \sin 2 \alpha|$ છે.
તેથી,$q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \alpha$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$4p^{2} + q^{2} = k^{2} (\cos^{2} 2 \alpha + \sin^{2} 2 \alpha) = k^{2}$.