Geometric progression Questions in Hindi

(A) अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S = \frac{a}{1 - r}$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दिया गया है $S = \frac{4}{3}$ और $a = \frac{3}{4}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{3/4}{1 - r}$
$1 - r = \frac{3/4}{4/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
$r = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.

(B) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी: $A = 1 + r^z + r^{2z} + r^{3z} + \dots \infty$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $A = 1 + [r^z + r^{2z} + r^{3z} + \dots \infty]$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r_{ratio}}$ होता है,जहाँ $|r_{ratio}| < 1$ है। यहाँ प्रथम पद $a = r^z$ और सार्व अनुपात $r^z$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$A = 1 + \frac{r^z}{1 - r^z}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$A = \frac{1 - r^z + r^z}{1 - r^z}$
$A = \frac{1}{1 - r^z}$
$r^z$ के लिए हल करने पर:
$1 - r^z = \frac{1}{A}$
$r^z = 1 - \frac{1}{A}$
$r^z = \frac{A - 1}{A}$
दोनों पक्षों का $z$-वाँ मूल लेने पर:
$r = \left( \frac{A - 1}{A} \right)^{1/z}$

(A) दी गई श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ $(G.P.)$ हैं।
$x = 1 + a + a^2 + \dots \infty$ के लिए,योग $x = \frac{1}{1 - a}$ है।
अतः $a = \frac{x - 1}{x}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = 1 + b + b^2 + \dots \infty$ के लिए,$b = \frac{y - 1}{y}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रेणी $S = 1 + ab + a^2b^2 + \dots \infty$ भी एक $G.P.$ है,जिसका योग $S = \frac{1}{1 - ab}$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$S = \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})(\frac{y - 1}{y})} = \frac{xy}{xy - (xy - x - y + 1)} = \frac{xy}{x + y - 1}$.

(C) दिया गया है कि दूसरा पद $ar = 2$ है और अनंत तक का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 8$ है।
$ar = 2$ से,हमें $a = \frac{2}{r}$ प्राप्त होता है।
इसे योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2/r}{1-r} = 8$.
$\Rightarrow \frac{2}{r(1-r)} = 8$.
$\Rightarrow 1 = 4r(1-r)$.
$\Rightarrow 4r^2 - 4r + 1 = 0$.
यह एक द्विघात समीकरण $(2r - 1)^2 = 0$ है,जिससे $r = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{1}{2}$ को $a = \frac{2}{r}$ में रखने पर,हमें $a = \frac{2}{1/2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम पद $4$ है।

(D) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी: $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \infty$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
मान रखने पर,$y = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$y(1 + x) = x$
$y + xy = x$
$y = x - xy$
$y = x(1 - y)$
$x = \frac{y}{1 - y}$.

(B) दिया गया है $x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}} = \frac{1}{{1 - a}}$.
$\Rightarrow 1 - a = \frac{1}{x}$ $\Rightarrow a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$.
इसी प्रकार,$y = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{b^n}} = \frac{1}{{1 - b}} \Rightarrow b = \frac{y - 1}{y}$.
और $z = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{(ab)}^n}} = \frac{1}{{1 - ab}}$ $\Rightarrow 1 - ab = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow ab = 1 - \frac{1}{z} = \frac{z - 1}{z}$.
$ab$ के व्यंजक में $a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\left( \frac{x - 1}{x} \right) \left( \frac{y - 1}{y} \right) = \frac{z - 1}{z}$.
$\frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{z - 1}{z}$.
$z(xy - x - y + 1) = xy(z - 1)$.
$xyz - xz - yz + z = xyz - xy$.
$-xz - yz + z = -xy$.
$xy + z = xz + yz$.

(C) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $|r| < 1$ है।
दिया है कि अनंत पदों का योग $x = \frac{a}{1-r} \dots (i)$ है।
प्रत्येक पद का वर्ग करने पर श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ प्राप्त होती है,जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
इस नई श्रेणी का योग $y = \frac{a^2}{1-r^2} = \frac{a^2}{(1-r)(1+r)} \dots (ii)$ है।
$(i)$ से,$a = x(1-r)$ है। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{[x(1-r)]^2}{(1-r)(1+r)} = \frac{x^2(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = \frac{x^2(1-r)}{1+r}$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर:
$y(1+r) = x^2(1-r)$
$y + yr = x^2 - x^2r$
$r(x^2 + y) = x^2 - y$
$r = \frac{x^2 - y}{x^2 + y}$।

(B) माना पहली श्रेणी $a + ar + ar^2 + \dots$ है,जहाँ $|r| < 1$ है।
अतः योग $S_1 = \frac{a}{1-r} = 3$ है,जिसका अर्थ है $a = 3(1-r)$।
दूसरी श्रेणी $a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 + \dots$ है,जो स्वयं एक $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
इसका योग $S_2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है।
$a = 3(1-r)$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2$
$r = \frac{1}{2}$।

(B) माना $r$ एक $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
अनंत तक का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ दिया गया है।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - r = \frac{a}{S}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 1 - \frac{a}{S}$।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{a}{1 - r}$ और $r = 1 - \frac{a}{S}$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = S(1 - r^n) = S[1 - (1 - \frac{a}{S})^n]$।

(D) माना $x = 0.14189189189...$
इसे $x = 0.14 + 0.00189189...$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = \frac{14}{100} + \frac{189}{99900}$
$x = \frac{7}{50} + \frac{189}{99900}$
$\frac{189}{99900}$ के अंश और हर को $27$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{7}{3700}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{7}{50} + \frac{7}{3700}$
$x = \frac{7 \times 74 + 7}{3700} = \frac{518 + 7}{3700} = \frac{525}{3700}$
दोनों को $25$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{21}{148}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई श्रेणी $5.05 + 1.212 + 0.29088 + \dots \infty$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 5.05$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{1.212}{5.05} = 0.24$ है।
अनंत श्रेणी के योगफल का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है।
मान रखने पर,$S_{\infty} = \frac{5.05}{1 - 0.24} = \frac{5.05}{0.76} = 6.64474$.

(A) माना $S = {4^{1/3}} \cdot {4^{1/9}} \cdot {4^{1/27}} \cdots \infty$.
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों को जोड़ने पर:
$S = {4^{(1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{\infty} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = {4^{1/2}} = 2$.

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
योग के अभिसरण के लिए,हमें $|x| < 1$ की आवश्यकता है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $y = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{x}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$y(1 - x) = x$
$y - yx = x$
$y = x + yx$
$y = x(1 + y)$
$x = \frac{y}{1 + y}$.

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ .....$(i)$
पदों के वर्ग एक नया $G.P.$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है। इस अनंत $G.P.$ का योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ .....(ii)
(ii) से,$\frac{a^2}{(1-r)(1+r)} = 3$. $(i)$ का उपयोग करने पर,$\frac{a}{1+r} = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1+r$.
$a = 1+r$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{1+r}{1-r} = 3$.
$1+r = 3 - 3r$ $\Rightarrow 4r = 2$ $\Rightarrow r = 1/2$.
$a = 1+r$ का उपयोग करने पर,$a = 1 + 1/2 = 3/2$.
अतः,प्रथम पद $3/2$ और सार्व अनुपात $1/2$ है।

(C) माना अनंत $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है जहाँ $|r| < 1$ है।
दूसरे पद से शुरू होने वाले शेष पदों का योग $S_{\text{remaining}} = ar + ar^2 + ar^3 + \dots = \frac{ar}{1-r}$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रथम पद $a$ शेष पदों के योग का दोगुना है:
$a = 2 \left( \frac{ar}{1-r} \right)$.
$a \neq 0$ मानते हुए,दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{2r}{1-r}$.
दोनों पक्षों को $(1-r)$ से गुणा करने पर:
$1 - r = 2r$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$1 = 3r \Rightarrow r = \frac{1}{3}$.

(A) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{x}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग परिमित होने के लिए,शर्त $|r| < 1$ संतुष्ट होनी चाहिए।
$|\frac{2}{x}| < 1$
इसका अर्थ है $\frac{2}{|x|} < 1$,जिसका अर्थ है $|x| > 2$।
अतः,$x > 2$ या $x < -2$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही शर्त $x > 2$ है।

(A) दिया गया है कि $(3 + x), (9 + x), (21 + x)$ $G.P.$ में हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के $G.P.$ में होने की शर्त $b^2 = ac$ है।
अतः,$(9 + x)^2 = (3 + x)(21 + x)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$81 + x^2 + 18x = 63 + 21x + 3x + x^2$
$81 + 18x = 63 + 24x$
$81 - 63 = 24x - 18x$
$18 = 6x$
$x = 3$।
सत्यापन: संख्याएँ $3+3=6$,$9+3=12$,और $21+3=24$ हैं। चूँकि $6, 12, 24$ $2$ के सार्व अनुपात के साथ $G.P.$ बनाते हैं,इसलिए $x = 3$ सही है।

(B) अनंत $G.P.$ के योग का सूत्र $s = \frac{a}{1 - r}$ है।
दोनों पक्षों को $(1 - r)$ से गुणा करने पर,हमें $s(1 - r) = a$ प्राप्त होता है।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,$s - sr = a$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$sr = s - a$ प्राप्त होता है।
$s$ से विभाजित करने पर,हमें $r = \frac{s - a}{s}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $a^2 + b^2 + 16c^2 = 6ab + 12bc + 8ac$
यदि $b^2 = ac$ है,तो $a, b, c$ $G.P.$ में हैं।

(A) माना तीन संख्याएँ $a, b, c$ $G.P.$ में हैं।
चूँकि वे $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ होगा।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(b^2) = \log(ac)$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$2 \log b = \log a + \log c$ होता है।
इसे $\log b = \frac{\log a + \log c}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $\log a, \log b, \log c$ $A.P.$ में हैं।

(B) माना $G.P.$ के पद $A, AR, AR^2, \dots$ हैं,जहाँ $a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$,और $c = AR^{r-1}$ है।
लघुगणक लेने पर,$\log a = \log A + (p-1)\log R$,$\log b = \log A + (q-1)\log R$,और $\log c = \log A + (r-1)\log R$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $E = a(b - c)\log a + b(c - a)\log b + c(a - b)\log c$ में मान रखने पर,चक्रीय योग के गुणधर्म के कारण इसका मान $0$ प्राप्त होता है।

(B) माना दी गई संख्याएँ $a = (\sqrt{2} + 1)$,$b = 1$,और $c = (\sqrt{2} - 1)$ हैं।
तीन संख्याओं के $G.P.$ में होने के लिए,मध्य पद का वर्ग अन्य दो पदों के गुणनफल के बराबर होना चाहिए,अर्थात $b^2 = ac$।
प्रथम और तृतीय पद का गुणनफल ज्ञात करने पर:
$ac = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$।
चूँकि $b^2 = (1)^2 = 1$ है,इसलिए $b^2 = ac$ है।
अतः,ये संख्याएँ $G.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx}$।
प्रत्येक पद पर योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) लागू करने पर:
$\frac{(a + bx) + (a - bx)}{(a + bx) - (a - bx)} = \frac{(b + cx) + (b - cx)}{(b + cx) - (b - cx)} = \frac{(c + dx) + (c - dx)}{(c + dx) - (c - dx)}$
$\Rightarrow \frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx}$
$\Rightarrow \frac{a}{bx} = \frac{b}{cx} = \frac{c}{dx}$
चूंकि $x \ne 0$,हम हर से $x$ को हटा सकते हैं:
$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$
यह दर्शाता है कि क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है।
अतः,$a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(B) माना $G.P.$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $512$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512$
$a^3 = 512 = 8^3$
$a = 8$.
दूसरी शर्त के अनुसार,$\frac{a}{r} + 8, a + 6, ar$ $A.P.$ में हैं।
$a = 8$ रखने पर:
$\frac{8}{r} + 8, 8 + 6, 8r$ $A.P.$ में हैं।
$\frac{8}{r} + 8, 14, 8r$ $A.P.$ में हैं।
तीन पदों $x, y, z$ के $A.P.$ में होने के लिए,$2y = x + z$:
$2(14) = (\frac{8}{r} + 8) + 8r$
$28 = \frac{8}{r} + 8 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ से भाग देने पर:
$5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r = 2$ है,तो पद $\frac{8}{2}, 8, 8(2) = 4, 8, 16$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{2}$ है,तो पद $16, 8, 4$ हैं।
अतः,संख्याएँ $4, 8, 16$ या $16, 8, 4$ हैं।

(C) दिया गया है कि $p, q, r$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $q^2 = pr$ $(i)$ है।
दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ $(ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर,हमें $q^2 b^2 = (pr)(ac)$ प्राप्त होता है।
इसे $(bq)^2 = (cp)(ar)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर है,इसलिए अनुक्रम $cp, bq, ar$ एक $G.P.$ में है।

(D) मान लीजिए $x_n$ वर्ग $S_n$ की भुजा की लंबाई है। दिया गया है कि $S_n$ की भुजा $S_{n+1}$ के विकर्ण के बराबर है,इसलिए $x_n = x_{n+1} \sqrt{2}$।
इसका अर्थ है $x_{n+1} = \frac{x_n}{\sqrt{2}}$।
अतः,$x_n = x_1 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$।
$S_n$ का क्षेत्रफल $A_n = x_n^2 = x_1^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{100}{2^{n-1}}$ है।
हमें $A_n < 1$ चाहिए,इसलिए $\frac{100}{2^{n-1}} < 1$,जिसका अर्थ है $2^{n-1} > 100$।
चूंकि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ है,इसलिए $n-1 \ge 7$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $n \ge 8$।
अतः,$n = 8, 9, 10, \dots$ के लिए क्षेत्रफल $1 \ cm^2$ से कम है।

(A) दिया गया है कि प्रथम पद $a_1 = 1$ और सार्व अनुपात $r$ है।
अतः,पद $a_1 = 1$,$a_2 = r$,और $a_3 = r^2$ हैं।
हमें व्यंजक $f(r) = 4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2$ को न्यूनतम करना है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$r$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखने पर:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r$.
$f'(r) = 0$ रखने पर,$4 + 10r = 0$,जिसका अर्थ है $10r = -4$.
इसलिए,$r = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $f''(r) = 10 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $r = -\frac{2}{5}$ पर न्यूनतम है।

(D) माना $G.P.$ के $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।
योग $S = a + ar + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ है।
गुणनफल $P = a \cdot ar \cdot ar^2 \dots ar^{n-1} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ है।
अतः,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ है।
व्युत्क्रमों का योग $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}} = \frac{1}{a} \left( 1 + \frac{1}{r} + \dots + \frac{1}{r^{n-1}} \right) = \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)}$ है।
अब,$\frac{S}{R} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \div \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)} = a^2 r^{n-1}$ है।
इसलिए,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)} = P^2$ है।

(C) गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को विभाजित करता है,इसलिए $\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ प्राप्त होता है।
यदि $m = 64$ है,तो व्यंजक $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^{64} + 1)} = \frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ हो जाता है,जो हमेशा एक पूर्णांक है।
अतः,सबसे बड़ा पूर्णांक $m = 64$ है।

(C) माना $G.P.$ में $2n$ पद हैं,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
सभी $2n$ पदों का योग $S_{2n} = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r - 1}$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पद $a, ar^2, ar^4, \dots, ar^{2n-2}$ हैं। यह $n$ पदों वाली एक $G.P.$ है,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_{odd} = \frac{a((r^2)^n - 1)}{r^2 - 1} = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r^2 - 1}$ है।
दिया गया है कि $S_{2n} = 5 \times S_{odd}$,इसलिए:
$\frac{a(r^{2n} - 1)}{r - 1} = 5 \times \frac{a(r^{2n} - 1)}{r^2 - 1}$.
चूंकि $r \neq 1$ और $r^{2n} \neq 1$,हम दोनों पक्षों से $\frac{a(r^{2n} - 1)}{r - 1}$ को काट सकते हैं:
$1 = \frac{5}{r + 1}$.
$r + 1 = 5 \Rightarrow r = 4$.

(C) और $b$ के बीच एक गुणोत्तर माध्य $G = (ab)^{1/2}$ होता है।
यदि $G_1, G_2, ..., G_n$ $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य हैं,तो $a, G_1, G_2, ..., G_n, b$ $n+2$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं।
माना सार्व अनुपात $r$ है। तब $b = a \cdot r^{n+1}$,जिससे $r = (b/a)^{1/(n+1)}$ प्राप्त होता है।
$n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $P = G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = (ar) \cdot (ar^2) \cdot ... \cdot (ar^n) = a^n \cdot r^{n(n+1)/2}$ है।
$r = (b/a)^{1/(n+1)}$ प्रतिस्थापित करने पर,$P = a^n \cdot (b/a)^{n/2} = (ab)^{n/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $G = (ab)^{1/2}$,इसलिए $G^n = (ab)^{n/2}$ होता है।
अतः,$G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = G^n$।

(C) माना वर्धमान $G.P.$ $k, kr, kr^2, kr^3$ है जहाँ $r > 1$ और $k > 0$ है।
अतः $\alpha = k, \beta = kr, \gamma = kr^2, \delta = kr^3$ है।
प्रथम समीकरण $x^2 - 3x + a = 0$ से,मूलों का योग $\alpha + \beta = k(1 + r) = 3$ और गुणनफल $\alpha \beta = k^2 r = a$ है।
द्वितीय समीकरण $x^2 - 12x + b = 0$ से,मूलों का योग $\gamma + \delta = kr^2(1 + r) = 12$ और गुणनफल $\gamma \delta = k^2 r^5 = b$ है।
योग वाले समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{kr^2(1 + r)}{k(1 + r)} = \frac{12}{3} \implies r^2 = 4$। चूँकि श्रेणी वर्धमान है,$r = 2$ है।
$r = 2$ को $k(1 + r) = 3$ में रखने पर,हमें $k(3) = 3 \implies k = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,मूल $1, 2, 4, 8$ हैं।
अतः $a = \alpha \beta = 1 \times 2 = 2$ और $b = \gamma \delta = 4 \times 8 = 32$ है।
इसलिए,$(a, b) = (2, 32)$।

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos \alpha$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है,इसलिए:
$\frac{1}{1 - \cos \alpha} = 2 - \sqrt{2}$
$1 - \cos \alpha = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$1 - \cos \alpha = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$
$-\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $0 < \alpha < \pi$,इसलिए $\alpha = \frac{3\pi}{4}$।

(B) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है,जिसमें शर्त $|r| < 1$ है।
दिया गया है $a = x$ और $S = 5$,इसलिए $5 = \frac{x}{1-r}$।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - r = \frac{x}{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 1 - \frac{x}{5}$।
चूंकि $|r| < 1$,हमारे पास $|1 - \frac{x}{5}| < 1$ है।
इस असमिका को $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सभी भागों से $1$ घटाने पर,हमें $-2 < -\frac{x}{5} < 0$ प्राप्त होता है।
$-5$ से गुणा करने पर (और असमिका के चिह्नों को उलटने पर),हमें $10 > x > 0$ या $0 < x < 10$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $2 \ln y = \ln x + \ln z$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$2 + 2 \ln y = 2 + \ln x + \ln z$ प्राप्त होता है।
इसे $2(1 + \ln y) = (1 + \ln x) + (1 + \ln z)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दर्शाता है कि $(1 + \ln x), (1 + \ln y), (1 + \ln z)$ एक $A.P.$ में हैं।
चूंकि $A.P.$ के पदों के व्युत्क्रम $H.P.$ में होते हैं,इसलिए $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ एक $H.P.$ में हैं।

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
त्रिघात समीकरण $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
यहाँ,$A = 8, B = -14, C = 7, D = -1$ है।
मूलों का गुणनफल: $(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = a^3 = -(\frac{-1}{8}) = \frac{1}{8}$।
अतः,$a^3 = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{2}$।
चूंकि $a = \frac{1}{2}$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $8(\frac{1}{2})^3 - 14(\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 1 = 8(\frac{1}{8}) - 14(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 1 = 1 - 3.5 + 3.5 - 1 = 0$।
बहुपद को $(x - \frac{1}{2})$ या $(2x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $4x^2 - 5x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$4x^2 - 5x + 1 = (4x - 1)(x - 1) = 0$ का गुणनखंड करने पर,हमें $x = 1$ और $x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होते हैं।
अतः मूल $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ हैं,जो सामान्य अनुपात $r = \frac{1}{2}$ के साथ $G.P.$ में हैं।

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \sin x$ है।
चूंकि अनंत तक योग $4 + 2\sqrt{3}$ है,हम सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हैं:
$\frac{1}{1 - \sin x} = 4 + 2\sqrt{3}$
$1 - \sin x = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$1 - \sin x = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$0 < x < \pi$ के लिए,$x$ के मान $\frac{\pi}{3}$ और $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ हैं।
अतः,$x = \frac{\pi}{3} \text{ या } \frac{2\pi}{3}$।

(D) $n$ संख्याओं $a_1, a_2, ..., a_n$ का $G.M.$ $(a_1 \times a_2 \times ... \times a_n)^{1/n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,संख्याएँ $3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ हैं।
$G.M. = (3^1 \times 3^2 \times 3^3 \times ... \times 3^n)^{1/n}$
$G.M. = (3^{1 + 2 + 3 + ... + n})^{1/n}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$G.M. = (3^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n}$
$G.M. = 3^{\frac{n(n+1)}{2n}}$
$G.M. = 3^{\frac{n+1}{2}}$

(C) गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ होता है।
हमें $S_1 + S_3 + S_5 + \dots + S_{2n-1}$ का योग ज्ञात करना है।
$S_{2k-1}$ का सूत्र रखने पर:
$\sum_{k=1}^{n} S_{2k-1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{a(1 - r^{2k-1})}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} \sum_{k=1}^{n} (1 - r^{2k-1})$.
इसे दो भागों में विभाजित करने पर: $\frac{a}{1 - r} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} r^{2k-1} \right]$.
पहला भाग $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ है।
दूसरा भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $r$ और सार्व अनुपात $r^2$ है: $r + r^3 + r^5 + \dots + r^{2n-1} = \frac{r(1 - r^{2n})}{1 - r^2}$.
अतः,कुल योग $\frac{a}{1 - r} \left[ n - \frac{r(1 - r^{2n})}{1 - r^2} \right]$ होगा।

(C) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $r$ और सार्व अनुपात $r$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a_1}{1 - r_{ratio}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = \frac{r}{1 - r}$ है।
दोनों पक्षों को $(1 - r)$ से गुणा करने पर,$a(1 - r) = r$ प्राप्त होता है।
$a - ar = r$.
$a = r + ar$.
$a = r(1 + a)$.
अतः,$r = \frac{a}{1 + a}$.

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{1}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 9$ के लिए,$S_9 = \frac{1(1 - (-1/2)^9)}{1 - (-1/2)}$.
$S_9 = \frac{1 - (-1/512)}{1 + 1/2} = \frac{1 + 1/512}{3/2} = \frac{513/512}{3/2}$.
$S_9 = \frac{513}{512} \times \frac{2}{3} = \frac{171}{256}$.

(B) माना श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $|r| < 1$ है।
अनंत श्रेणी का योग: $\frac{a}{1 - r} = 20 \quad (i)$.
पदों के वर्गों का योग $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ भी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
वर्गों का योग: $\frac{a^2}{1 - r^2} = 100 \quad (ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $\frac{a}{1 - r} \times \frac{a}{1 + r} = 100$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर: $20 \times \frac{a}{1 + r} = 100$,जिससे $\frac{a}{1 + r} = 5 \quad (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{a/(1 - r)}{a/(1 + r)} = \frac{20}{5} \Rightarrow \frac{1 + r}{1 - r} = 4$.
$1 + r = 4 - 4r$ $\Rightarrow 5r = 3$ $\Rightarrow r = 3/5$.

(A) माना $a = 486$ और $b = \frac{2}{3}$ के बीच $5$ गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ हैं।
अतः $486, G_1, G_2, G_3, G_4, G_5, \frac{2}{3}$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
यहाँ,पदों की कुल संख्या $n = 5 + 2 = 7$ है।
$7$ वाँ पद $ar^{7-1} = ar^6 = \frac{2}{3}$ है।
$a = 486$ रखने पर,$486 \times r^6 = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
$r^6 = \frac{2}{3 \times 486} = \frac{2}{1458} = \frac{1}{729}$।
चूँकि $729 = 3^6$,इसलिए $r^6 = (\frac{1}{3})^6$,अतः $r = \frac{1}{3}$ (धनात्मक सार्व अनुपात लेने पर)।
चौथा गुणोत्तर माध्य $G_4$ श्रेणी का $5$ वाँ पद है।
$G_4 = ar^4 = 486 \times (\frac{1}{3})^4$।
$G_4 = 486 \times \frac{1}{81} = 6$।

(C) दिया गया है कि $a = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{a-1}{a}$.
इसी प्रकार,$b = \sum_{n=0}^\infty y^n = \frac{1}{1-y}$,जिसका अर्थ है $y = \frac{b-1}{b}$.
साथ ही,$c = \sum_{n=0}^\infty (xy)^n = \frac{1}{1-xy}$,जिसका अर्थ है $xy = \frac{c-1}{c}$.
$xy$ के समीकरण में $x$ और $y$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{a-1}{a}\right) \left(\frac{b-1}{b}\right) = \frac{c-1}{c}$
$\frac{ab - a - b + 1}{ab} = \frac{c-1}{c}$
$c(ab - a - b + 1) = ab(c-1)$
$abc - ac - bc + c = abc - ab$
$-ac - bc + c = -ab$
$ab + c = ac + bc$.

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है,इसलिए $T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$ है।
सामान्य पद का सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ रखने पर,हमें $ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ और $r \neq 0$ होने के कारण),हमें $1 = r + r^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $r^2 + r - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(C) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
यहाँ $a = x$ और $S = 5$ दिया गया है,इसलिए $5 = \frac{x}{1-r}$।
$r$ के लिए हल करने पर,$1-r = \frac{x}{5}$,अतः $r = 1 - \frac{x}{5}$।
चूँकि $|r| < 1$ है,इसलिए $|1 - \frac{x}{5}| < 1$ होगा।
इसका अर्थ है $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$।
सभी भागों से $1$ घटाने पर,$-2 < -\frac{x}{5} < 0$ प्राप्त होता है।
$-5$ से गुणा करने पर (और असमानता के चिह्नों को बदलने पर),$10 > x > 0$ प्राप्त होता है,जो $0 < x < 10$ है।

(C) माना कि गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $r$ है।
$n$ वां पद $t_n = Ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $t_4 = Ar^3 = a$,$t_7 = Ar^6 = b$,और $t_{10} = Ar^9 = c$.
अब,गुणनफल $ac = (Ar^3)(Ar^9) = A^2r^{12}$ पर विचार करें।
साथ ही,$b^2 = (Ar^6)^2 = A^2r^{12}$.
अतः,$b^2 = ac$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $9$ पद $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ हैं।
इसका $5$ वां पद $a = 2$ दिया गया है।
इन $9$ पदों का गुणनफल $(\frac{a}{r^4} \times \frac{a}{r^3} \times \frac{a}{r^2} \times \frac{a}{r} \times a \times ar \times ar^2 \times ar^3 \times ar^4) = a^9$ है।
$a = 2$ रखने पर,गुणनफल $2^9 = 512$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं।
दिया गया है कि $a + ar = 12$ और $ar^2 + ar^3 = 48$ है।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $r^2(a + ar) = 48$ प्राप्त होता है।
$a + ar = 12$ का मान रखने पर: $12r^2 = 48$ प्राप्त होता है।
$r^2 = 4$,अतः $r = \pm 2$ है।
चूंकि पद धनात्मक और ऋणात्मक के बीच बदलते हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$r = -2$ है।
$a + ar = 12$ में $r = -2$ रखने पर:
$a + a(-2) = 12$
$a - 2a = 12$
$-a = 12$
$a = -12$.

(A) अनुक्रम $1, 2, 2^2, ..., 2^n$ है। कुल पदों की संख्या $n+1$ है।
गुणोत्तर माध्य $GM$ पदों के गुणनफल का $(n+1)$-वां मूल है:
$GM = (1 \times 2 \times 2^2 \times ... \times 2^n)^{\frac{1}{n+1}}$
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,गुणनफल है:
$1 \times 2^1 \times 2^2 \times ... \times 2^n = 2^{0+1+2+...+n}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है,इसलिए:
$2^{0+1+2+...+n} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$
अब,इस मान को $GM$ के सूत्र में रखने पर:
$GM = (2^{\frac{n(n+1)}{2}})^{\frac{1}{n+1}} = 2^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = 2^{\frac{n}{2}}$