यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का य | vedclass

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Question

(d) दिया है,$S = \frac{{a({r^n} - 1)}}{{r - 1}} = \frac{{a\,(1 - {r^n})}}{{1 - r}}$......(i)

$P = a(ar)(a{r^2})..........(a{r^{n - 1}}) = {a^n}{r^{

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${\left( {\frac{S}{R}} \right)^n}$

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(d) दिया है,$S = \frac{{a({r^n} - 1)}}{{r - 1}} = \frac{{a\,(1 - {r^n})}}{{1 - r}}$......(i)

$P = a(ar)(a{r^2})..........(a{r^{n - 1}}) = {a^n}{r^{1 + 2 + ......... + (n - 1)}}$

$ = {a^n}{r^{(n - 1)n/2}}$, अर्थात् ${P^2} = {a^{2n}}{r^{n(n - 1)}}$ ......(ii)

एवं $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{{ar}} + \frac{1}{{a{r^2}}} + ..........n$ पदों तक 

$ = \frac{1}{a}\left( {1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{{{r^2}}} + .........\;n} ight)$ पदों तक 

$ = \frac{{\frac{1}{a}\left[ {{{\left( {\frac{1}{r}} ight)}^n} - 1} ight]}}{{\left( {\frac{1}{r} - 1} ight)}}$, $\left( {\because \,\frac{1}{r} > 1} ight.$ यदि $\left. \begin{array}{l}r < 1\\end{array} ight)$

 $ = \frac{{(1 - {r^n})}}{{a{r^{n - 1}}(1 - r)}}$....... (iii)

अत:  $\frac{S}{R} = \frac{{a(1 - {r^n})}}{{1 - r}} 	imes \frac{{a{r^{n - 1}}(1 - r)}}{{(1 - {r^n})}} = {a^2}{r^{n - 1}}$

या ${\left( {\frac{S}{R}} ight)^n} = {({a^2}{r^{n - 1}})^n} = {a^{2n}}{r^{n(n - 1)}} = {P^2}$.

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S$ एवं गुणनफल $P$ है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग $R$ है, तो ${P^2}$ का मान है

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