${4^{1/3}} \cdot {4^{1/9}} \cdot {4^{1/27}} \cdots \infty$ का मान है

$G.P.$ $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ के कितने पदों का योग $\frac{3069}{512}$ होगा?

यदि $1+\cos x+\cos ^2 x+\cos ^3 x+\ldots \text{ to } \infty = 4+2 \sqrt{3}$ है,तो $x=$

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो,$(\alpha, \beta)$ है

यदि एक $G.P.$ के तीन पदों का योग $19$ है और उनका गुणनफल $216$ है,तो श्रेणी का सार्व अनुपात क्या है?

मान लीजिए कि एक त्रिभुज की भुजाएँ सामान्य अनुपात $r$ के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं। तो,$r$ किस अंतराल में स्थित है?