एक गुणोत्तर श्रेणी धनात्मक पदों से बनी है। यद | vedclass

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Question

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है,इसलिए $T_n

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$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है,इसलिए $T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$ है।सामान्य पद का सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ रखने पर,हमें $ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर ($a 
eq 0$ और $r 
eq 0$ होने के कारण),हमें $1 = r + r^2$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $r^2 + r - 1 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

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