Geometric progression Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $G_1 = (x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}$ અને $G_2 = (y_1 \times y_2 \times \dots \times y_n)^{1/n}$.
શ્રેણી $\frac{x_i}{y_i}$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $G$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$G = \left( \frac{x_1}{y_1} \times \frac{x_2}{y_2} \times \dots \times \frac{x_n}{y_n} \right)^{1/n}$
$G = \frac{(x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}}{(y_1 \times y_2 \times \dots \times y_n)^{1/n}}$
$G_1$ અને $G_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$G = \frac{G_1}{G_2}$

(C) $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, ..., x_n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ $(x_1 \times x_2 \times ... \times x_n)^{1/n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,ગણ ${1, 2, 3, ..., n}$ છે.
આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $1 \times 2 \times 3 \times ... \times n = n!$ થાય છે.
તેથી,સમગુણોત્તર મધ્યક $(n!)^{1/n}$ છે.

(C) આ શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$.
$n$ પદો $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ $(x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$GM = (a \times ar \times ar^2 \times \dots \times ar^{n-1})^{1/n}$.
$GM = (a^n \times r^{(0+1+2+\dots+(n-1))})^{1/n}$.
પ્રથમ $(n-1)$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $\frac{(n-1)n}{2}$ થાય છે.
$GM = (a^n \times r^{n(n-1)/2})^{1/n}$.
$GM = a \times r^{(n-1)/2} = ar^{(n-1)/2}$.

(D) શ્રેણી $1, 2, 2^2, \dots, 2^n$ છે. કુલ પદોની સંખ્યા $n+1$ છે.
સમગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ એ તમામ પદોના ગુણાકારનું $(n+1)^{th}$ મૂળ છે:
$G.M. = (1 \times 2 \times 2^2 \times \dots \times 2^n)^{\frac{1}{n+1}}$
પદોનો ગુણાકાર $2^{(0+1+2+\dots+n)}$ છે. પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$G.M. = (2^{\frac{n(n+1)}{2}})^{\frac{1}{n+1}}$
ઘાતનું સાદું રૂપ આપતા:
$G.M. = 2^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = 2^{n/2}$

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 2, 4, 8, 16, \ldots, 2^n$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા $n+1$ છે (કારણ કે $2$ ની ઘાત $2^0$ થી $2^n$ સુધી છે).
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1} = \frac{1(2^{n+1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1$ છે.
સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ એટલે પદોનો સરવાળો ભાગ્યા પદોની કુલ સંખ્યા.
તેથી,$A.M. = \frac{S}{n+1} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}$.

(B) $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ અવલોકનો $2, 4, 8, 16, 32, 64$ માટે,આપણે તેમને $2$ ના ઘાતાંક તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $= (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4 \cdot 2^5 \cdot 2^6)^{1/6}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $= (2^{21})^{1/6} = 2^{21/6} = 2^{7/2}$.

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, \ldots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$a = ar + ar^2$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = a(1 + r) = 12$ $(i)$.
ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $ar^2 + ar^3 = ar^2(1 + r) = 48$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{48}{12}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના પદો વારાફરતી ધન અને ઋણ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$r = -2$.
$r = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a(1 + (-2)) = 12$
$a(-1) = 12$
$a = -12$.
તેથી,પ્રથમ પદ $-12$ છે.

(A) આપેલ છે કે ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ અને ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G$.$P$. માં છે,તેથી:
${x_2} = r{x_1}, {x_3} = {r^2}{x_1}$
${y_2} = r{y_1}, {y_3} = {r^2}{y_1}$
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(ry_1 - r^2y_1) + rx_1(r^2y_1 - y_1) + r^2x_1(y_1 - ry_1)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2) + x_1y_1(r^3 - r) + x_1y_1(r^2 - r^3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2 + r^3 - r + r^2 - r^3)| = 0$
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(A) ધારો કે $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$.
આ $100$ પદો ધરાવતી $G$.$P$. છે જેનું પ્રથમ પદ $ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$\alpha = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
આપેલ છે કે $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$.
આ $100$ પદો ધરાવતી $G$.$P$. છે જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$\beta = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
$\alpha$ ને $\beta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$.
આમ,સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ એ $x^2 - 3x + p = 0$ ના બીજ છે,તેથી $a + b = 3$ અને $ab = p$.
આપેલ છે કે $c, d$ એ $x^2 - 12x + q = 0$ ના બીજ છે,તેથી $c + d = 12$ અને $cd = q$.
$a, b, c, d$ એ વધતી જતી $G$.$P$. માં હોવાથી,પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ લો.
તેથી $a + b = a(1 + r) = 3$ અને $c + d = ar^2(1 + r) = 12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{12}{3} \Rightarrow r^2 = 4$. $G$.$P$. વધતી જતી હોવાથી,$r = 2$.
$r = 2$ ને $a(1 + 2) = 3$ માં મૂકતા,આપણને $3a = 3$ મળે,તેથી $a = 1$.
પદો $1, 2, 4, 8$ છે.
આમ,$p = ab = 1 \times 2 = 2$ અને $q = cd = 4 \times 8 = 32$.
ગુણોત્તર $(q + p) : (q - p) = (32 + 2) : (32 - 2) = 34 : 30 = 17 : 15$.

(C) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $s_1 = 1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots = \frac{1}{1 + \alpha}$ અને $s_2 = 1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots = \frac{1}{1 + \beta}$ છે.
તેથી,$1 + \alpha = \frac{1}{s_1} \implies \alpha = \frac{1}{s_1} - 1$ અને $1 + \beta = \frac{1}{s_2} \implies \beta = \frac{1}{s_2} - 1$.
ધારો કે $s = 1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots = \frac{1}{1 + \alpha\beta}$.
$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{1}{1 + (\frac{1}{s_1} - 1)(\frac{1}{s_2} - 1)} = \frac{s_1s_2}{1 - s_1 - s_2 + 2s_1s_2}$.

(B) આપેલ અસમતા: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ $(i)$
ડાબી બાજુના પદને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bcp + c^2) + (c^2p^2 - 2cdp + d^2) \le 0$
આનું સાદું રૂપ:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ $(ii)$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી સરવાળો $0$ કે તેથી ઓછો ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક વર્ગનું પદ $0$ હોય:
$(ap - b)^2 = 0, (bp - c)^2 = 0, (cp - d)^2 = 0$
આથી:
$ap = b, bp = c, cp = d$
તેથી:
$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$
ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર અચળ $(p)$ હોવાથી,શ્રેણી $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે $r > 1$ એ $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
તેથી $\beta = r\alpha, \gamma = r^2\alpha, \delta = r^3\alpha$.
પ્રથમ સમીકરણ માટે બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \alpha(1 + r) = 3$ $(i)$.
પ્રથમ સમીકરણ માટે બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \alpha^2r = a$ $(ii)$.
બીજા સમીકરણ માટે બીજનો સરવાળો: $\gamma + \delta = \alpha r^2(1 + r) = 12$ $(iii)$.
બીજા સમીકરણ માટે બીજનો ગુણાકાર: $\gamma\delta = \alpha^2r^5 = b$ $(iv)$.
$(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા: $\frac{\alpha r^2(1 + r)}{\alpha(1 + r)} = \frac{12}{3} \Rightarrow r^2 = 4$. $G.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$r = 2$.
$r = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\alpha(1 + 2) = 3$ $\Rightarrow 3\alpha = 3$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
હવે,$a = \alpha^2r = (1)^2(2) = 2$.
અને $b = \alpha^2r^5 = (1)^2(2^5) = 32$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 32$.

(B) આપેલ છે કે $x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$.
આપેલ છે કે $y = 1 + \sin^2\phi + \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \sin^2\phi} = \frac{1}{\cos^2\phi}$.
આપેલ છે કે $z = 1 + \cos^2\phi \sin^2\phi + \cos^4\phi \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}$.
હવે,$xy = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}$.
તેથી $xy + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi} = \frac{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi + \sin^2\phi \cos^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$.
વળી,$xyz = \left(\frac{1}{\sin^2\phi}\right) \left(\frac{1}{\cos^2\phi}\right) \left(\frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}\right) = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$.
આમ,$xyz = xy + z$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x$ છે.
શ્રેણીના અભિસરણ માટે $|r| < 1$ હોવું જરૂરી છે,એટલે કે $|x| < 1$.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1 + x}$.
આથી $x^2 + x - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$|x| < 1$ હોવાથી,$x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.
તેથી,$x = 2 \sin 18^\circ$.

(A) ધારો કે $P(x) = (x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2^2}) \dots (x - \frac{1}{2^{49}})$.
આ $50$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
$x^{50}$ નો સહગુણક $1$ છે.
$x^{49}$ નો સહગુણક એ દરેક અવયવના અચળ પદોના સરવાળાને $-1$ વડે ગુણવાથી મળે છે,જે $-(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{49}})$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,અને $n = 50$ પદો છે.
સરવાળો $S_{50} = \frac{1(1 - (1/2)^{50})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{50}})$.
તેથી,$x^{49}$ નો સહગુણક $-2(1 - \frac{1}{2^{50}})$ છે.

(C) આપેલ છે $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$.
$a_k = a_1 r^{k-1}$ હોવાથી,ગુણાકાર $a_1^{12} r^{66}$ થાય.
તેથી,$\log_8(a_1^{12} r^{66}) = 2014 \Rightarrow a_1^{12} r^{66} = 8^{2014} = 2^{6042}$.
ધારો કે $a_1 = 2^m$ અને $r = 2^n$ જ્યાં $m, n$ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી $2^{12m + 66n} = 2^{6042}$.
આથી $12m + 66n = 6042$,જેનું સાદું રૂપ $2m + 11n = 1007$ થાય.
શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી $n \ge 1$ અને $a_1 \ge 1$ હોવાથી $m \ge 0$.
$2m = 1007 - 11n$. $m$ પૂર્ણાંક હોવા માટે $1007 - 11n$ બેકી હોવું જોઈએ,તેથી $n$ એકી હોવું જોઈએ.
વળી $m > 0 \Rightarrow n < 91.54$.
તેથી $n \in \{1, 3, 5, \dots, 91\}$.
આવી કુલ સંખ્યા $\frac{91 - 1}{2} + 1 = 46$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx} = k$.
દરેક પદ માટે યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) નો નિયમ વાપરતા:
$\frac{(a + bx) + (a - bx)}{(a + bx) - (a - bx)} = \frac{(b + cx) + (b - cx)}{(b + cx) - (b - cx)} = \frac{(c + dx) + (c - dx)}{(c + dx) - (c - dx)}$.
આનું સાદું રૂપ:
$\frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx}$.
$\frac{2}{x}$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$.
આથી,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.
તેથી,$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1 = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી પદો $a_1 = 1, a_2 = r, a_3 = r^2$ થશે.
આપણે $f(r) = 4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા:
$10r = -4 \Rightarrow r = -\frac{4}{10} = -0.4$.
અહીં $f''(r) = 10 > 0$ હોવાથી,$r = -0.4$ પર વિધેયની કિંમત ન્યૂનતમ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $3^a, 3^b, 3^c$ છે જ્યાં $1 \le a < b < c \le 20$ છે.
તેઓ $G.P.$ બનાવે તે માટેની શરત $(3^b)^2 = 3^a \times 3^c$ છે,જેનો અર્થ છે કે $2b = a + c$.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $c$ સમાન યુગ્મતા (બંને એકી અથવા બંને બેકી) ધરાવતા હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $a$ અને $c$ બંને એકી છે.
ગણ $\{1, 2, \dots, 20\}$ માં $10$ એકી સંખ્યાઓ છે. આ $10$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_2 = 45$ છે.
કિસ્સો $2$: $a$ અને $c$ બંને બેકી છે.
ગણ $\{1, 2, \dots, 20\}$ માં $10$ બેકી સંખ્યાઓ છે. આ $10$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_2 = 45$ છે.
કુલ રીતો = $45 + 45 = 90$.

(A) $n$ બાજુવાળા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n-2) \times 180^\circ$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખૂણાઓ $G.P.$ માં છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1^\circ$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = 1 \times \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.
સરવાળા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2^n - 1 = (n - 2) \times 180$.
$2^n - 1 = 180n - 360$.
$2^n = 180n - 359$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \ge 3$ માટે,$L.H.S.$ $(2^n)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા છે,જ્યારે $R.H.S.$ $(180n - 359)$ હંમેશા એકી સંખ્યા છે.
બેકી સંખ્યા એકી સંખ્યાની બરાબર ન હોઈ શકે,તેથી $n$ માટે કોઈ શક્ય મૂલ્યો નથી.

(C) $2a+b, a-b, a+3b$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$(a-b)^2 = (2a+b)(a+3b)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 7ab + 3b^2$.
પદોને ગોઠવતા: $a^2 + 9ab + 2b^2 = 0$.
$a^2$ વડે ભાગતા $(a \neq 0)$: $2(\frac{b}{a})^2 + 9(\frac{b}{a}) + 1 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{b}{a}$. તો $2x^2 + 9x + 1 = 0$. જેના બીજ $x_1 = \frac{b_1}{a_1}$ અને $x_2 = \frac{b_2}{a_2}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$x_1 + x_2 = -\frac{9}{2}$.
આપણે $2(a_1b_2 + a_2b_1) + 9a_1a_2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદને $a_1a_2$ વડે ભાગતા: $2(\frac{b_2}{a_2} + \frac{b_1}{a_1}) + 9 = 2(x_1 + x_2) + 9$.
કિંમત મૂકતા: $2(-\frac{9}{2}) + 9 = -9 + 9 = 0$.

(A) આપેલ શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{4}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{x}{3}$ છે.
શ્રેણીના સરવાળા માટે $|r| < 1$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $|-\frac{x}{3}| < 1$,એટલે કે $|x| < 3$.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{4/3}{1 - (-x/3)} = \frac{4}{3+x}$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા $x(3+x) = 4$,એટલે કે $x^2 + 3x - 4 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા $(x+4)(x-1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -4$.
શરત $|x| < 3$ મુજબ,માત્ર $x = 1$ શક્ય છે કારણ કે $|-4| > 3$ છે.
તેથી,$x = 1$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે બીજ $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ છે.
બીજનો સરવાળો $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 40$.
વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 10$.
આને $\frac{1}{a} (r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2}) = 10$ તરીકે લખી શકાય.
તેમજ,બીજનો સરવાળો $a(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r} + 1 + r + r^2) = 40$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{a(r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2})}{\frac{1}{a}(r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2})} = \frac{40}{10}$ $\Rightarrow a^2 = 4$ $\Rightarrow a = 2$.
બીજનો ગુણાકાર $s = -(\frac{a}{r^2} \cdot \frac{a}{r} \cdot a \cdot ar \cdot ar^2) = -a^5$ છે.
$a = 2$ હોવાથી,$s = -(2)^5 = -32$.
તેથી,$|s| = |-32| = 32$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/2)^n)}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ થાય.
આપણને શરત $2 - S_n < \frac{1}{100}$ આપેલ છે.
$S_n$ ની કિંમત મૂકતા,$2 - (2 - \frac{1}{2^{n-1}}) < \frac{1}{100}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2^{n-1}} < \frac{1}{100}$ થાય.
આથી $2^{n-1} > 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$.
તેથી,$n - 1 \geq 7$,જેનો અર્થ છે કે $n \geq 8$.
$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $8$ છે.

(B) અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 7 \quad \dots(1)$
$r$ ની એકી ઘાત ધરાવતા પદો $ar, ar^3, ar^5, \dots$ છે,જેનું પ્રથમ પદ $ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{ar}{1-r^2} = 3 \quad \dots(2)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{r}{1+r} = \frac{3}{7}$
$r = \frac{3}{4}$
$r = \frac{3}{4}$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a = \frac{7}{4}$
$(a^2 - r^2) = (\frac{7}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 = \frac{49-9}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$

(B) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \sin x$ છે.
સરવાળો અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$|\sin x| < 1$ હોવું જોઈએ.
અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \sin x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{1 - \sin x} = 4 + 2\sqrt{3}$.
$1 - \sin x = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 < x < \pi$ હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $x = \frac{\pi}{3}$ અથવા $x = \frac{2\pi}{3}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x = \frac{\pi}{3}$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(B) $A_n$ એ પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{3}{4}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $A_n = \frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right]$ થાય.
$B_n > A_n$ માટે $1 - A_n > A_n \implies A_n < \frac{1}{2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right] < \frac{1}{2} \implies \left( \frac{3}{4} \right)^n < \frac{1}{6}$ (જ્યારે $n$ એકી હોય).
લોગ લેતા,$n > 6.23$ મળે છે.
તેથી,સૌથી નાની એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $p = 7$ છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $a, ar, ar^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $1000$ છે:
$a(ar)(ar^2) = 1000$ $\Rightarrow (ar)^3 = 1000$ $\Rightarrow ar = 10$.
$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદનો સરવાળો $60$ છે:
$ar^2 + ar^3 = 60 \Rightarrow ar(r + r^2) = 60$.
$ar = 10$ કિંમત મૂકતા:
$10(r + r^2) = 60 \Rightarrow r^2 + r - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(r + 3)(r - 2) = 0 \Rightarrow r = 2$ અથવા $r = -3$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 2$ હોય,તો $a(2) = 10 \Rightarrow a = 5$.
કિસ્સો $2$: જો $r = -3$ હોય,તો $a(-3) = 10 \Rightarrow a = -10/3$.
પ્રથમ પદ $a$ ધન હોવાથી,આપણે $a = 5$ અને $r = 2$ લઈશું.
$7^{th}$ પદ $T_7 = ar^6 = 5(2)^6 = 5 \times 64 = 320$ થશે.

(C) ધારો કે ભૂમિતિ શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
પ્રથમ $5$ પદોનો સરવાળો $S_5 = \frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}$ છે.
વ્યસ્તોનો સરવાળો $S'_5 = \frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{S_5}{S'_5} = 49$ છે:
$\frac{\frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}}{\frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}} = 49$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 49$ $\Rightarrow ar^2 = 7$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો $35$ છે:
$a + ar^2 = 35$.
$ar^2 = 7$ કિંમત મૂકતા:
$a + 7 = 35 \Rightarrow a = 28$.

(C) આપેલ પદાવલિ $1 - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{3^k} < \frac{1}{100}$ છે.
આને $1 - 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = \frac{1}{3}$,$r = \frac{1}{3}$ અને $n-1$ પદો છે.
સરવાળો $S_{n-1} = \frac{a(1-r^{n-1})}{1-r} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$.
કિંમત મૂકતા: $1 - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$.
$1 - 1 + \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$.
$\frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100} \Rightarrow 3^{n-1} > 100$.
$n=5$ માટે,$3^4 = 81$ (જે $100$ થી મોટું નથી).
$n=6$ માટે,$3^5 = 243$ (જે $100$ થી મોટું છે).
તેથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $6$ છે.

(C) ધારો કે $G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$ar^3 - a = 52 \Rightarrow a(r^3 - 1) = 52 \quad ......(1)$
$a + ar + ar^2 = 26 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 26 \quad ......(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(r - 1)(r^2 + r + 1)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{52}{26}$
$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$a(1 + 3 + 9) = 26$ $\Rightarrow 13a = 26$ $\Rightarrow a = 2$.
પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $S_6 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2)(1 + r^3)$ છે.
$S_6 = 26 \times (1 + 3^3) = 26 \times (1 + 27) = 26 \times 28 = 728$.

(D) આપેલ અસમતા $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2p^2 - 2pcd + d^2) \le 0$.
જેનું સાદું રૂપ:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ થાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી આ સરવાળો $\le 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,અને $cp - d = 0$.
આથી $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$ મળે.
તેથી,$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $r \neq 1$ (કારણ કે સંખ્યાઓ ભિન્ન છે).
આપેલ છે કે $a + ar + ar^2 = x(ar)$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$1 + r + r^2 = xr$
$x = \frac{1 + r + r^2}{r} = r + 1 + \frac{1}{r} = (r + \frac{1}{r}) + 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r > 0$ માટે,$r + \frac{1}{r} \geq 2$,તેથી $x \geq 2 + 1 = 3$.
$r < 0$ માટે,ધારો કે $r = -k$ જ્યાં $k > 0$. તો $r + \frac{1}{r} = -(k + \frac{1}{k}) \leq -2$.
તેથી $x \leq -2 + 1 = -1$.
આમ,$x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
સંખ્યાઓ ભિન્ન હોવાથી,$r \neq 1$,તેથી $x \neq 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$x$ એ $(-1, 3)$ અંતરાલની કોઈપણ કિંમત ન હોઈ શકે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2$ એ $(-1, 3)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી $x$ એ $2$ ન હોઈ શકે.

(C) $5, 5r, 5r^2$ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવા માટે,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$1) 5 + 5r > 5r^2 \Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$. $r^2 - r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $r > 0$ હોવાથી,$0 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
$2) 5 + 5r^2 > 5r \Rightarrow r^2 - r + 1 > 0$. આ તમામ $r \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે.
$3) 5r + 5r^2 > 5 \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$. $r^2 + r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $r > 0$ હોવાથી,$r > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$.
આમ,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ એટલે કે $0.618 < r < 1.618$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{7}{4} = 1.75$ એ આ મર્યાદાની બહાર છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3$ છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$\frac{a^3}{(1-r)^3} = 27 \quad (1)$.
પદોના ઘનની શ્રેણી $a^3, a^3r^3, a^3r^6, \dots$ છે,જેનું પ્રથમ પદ $a^3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^3$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19} \quad (2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$ મળે.
$1-r^3 = (1-r)(1+r+r^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$ મળે.
$1+r+r^2 = 19(1-2r+r^2) \implies 18r^2 - 39r + 18 = 0$.
$6r^2 - 13r + 6 = 0 \implies (2r-3)(3r-2) = 0$.
$|r| < 1$ હોવાથી,$r = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $a_1, a_2, ..., a_{10}$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી $G.P.$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = a_1 r^{n-1}$.
આપેલ છે કે $\frac{a_3}{a_1} = 25$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_1 r^2}{a_1} = r^2 = 25$.
આપણે $\frac{a_9}{a_5}$ શોધવાનું છે.
$\frac{a_9}{a_5} = \frac{a_1 r^8}{a_1 r^4} = r^4$.
કારણ કે $r^2 = 25$,તેથી $r^4 = (r^2)^2 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.
આમ,જવાબ $5^4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_{1} + a_{2} = 4$ અને $a_{3} + a_{4} = 16$.
$G$.$P$. હોવાથી,$a_{2} = a_{1}r$ અને $a_{3} = a_{1}r^{2}$,$a_{4} = a_{1}r^{3}$.
$a_{1}(1 + r) = 4$ --- $(1)$
$a_{1}r^{2}(1 + r) = 16$ --- $(2)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,$r^{2} = 4$,તેથી $r = 2$ અથવા $r = -2$.
જો $r = 2$ હોય,તો $a_{1}(1 + 2) = 4 \Rightarrow a_{1} = 4/3 > 0$,જે $a_{1} < 0$ ની શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,$r = -2$. $(1)$ માં કિંમત મૂકતા,$a_{1}(1 - 2) = 4$ $\Rightarrow -a_{1} = 4$ $\Rightarrow a_{1} = -4$.
પ્રથમ $9$ પદોનો સરવાળો $S_{9} = a_{1} \frac{r^{9} - 1}{r - 1} = (-4) \frac{(-2)^{9} - 1}{-2 - 1} = (-4) \frac{-512 - 1}{-3} = (-4) \frac{-513}{-3} = (-4) \times 171 = -684$.
આપેલ છે કે $S_{9} = 4 \lambda$,તેથી $4 \lambda = -684 \Rightarrow \lambda = -171$.

(C) આપેલ સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = 1 + 49 + 49^2 + \ldots + 49^{125}$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{49^{126}-1}{49-1} = \frac{49^{126}-1}{48}$.
આપણે $49^{126}-1$ ને $(49^{63})^2 - 1^2 = (49^{63}-1)(49^{63}+1)$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,$S = \frac{(49^{63}-1)(49^{63}+1)}{48}$.
$49^k+1$ એ $S$ નો અવયવ બને તે માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $49^{63}+1$ એ $S$ નો અવયવ છે કારણ કે $48$ એ $(49^{63}-1)$ ને ભાગે છે (કારણ કે $49 \equiv 1 \pmod{48}$,તેથી $49^{63} \equiv 1^{63} \equiv 1 \pmod{48}$,જે સૂચવે છે કે $49^{63}-1$ એ $48$ નો ગુણક છે).
તેથી,સૌથી મોટો ધન પૂર્ણાંક $k = 63$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a_n$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી $G$.$P$. છે.
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$
આ $100$ પદોની $G$.$P$. છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_3 = ar^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 200$
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = 100$
આ $100$ પદોની $G$.$P$. છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_2 = ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેથી,$ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 100$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}}{ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$
આપણે $S = \sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200}$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} + \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{201} = 300$
કારણ કે $a_{k+1} = r a_k$,તેથી $a_2 + a_3 + \dots + a_{201} = r(a_1 + a_2 + \dots + a_{200}) = 300$
$r = 2$ મૂકતા: $2 \sum_{n=1}^{200} a_n = 300 \Rightarrow \sum_{n=1}^{200} a_n = 150$.

(A) આપેલ પદાવલિ $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots \infty$ છે.
બધા પદોને આધાર $2$ માં દર્શાવતા:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \dots$
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$P = 2^{(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots)}$
ઘાતાંક એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

(A) આપેલ છે કે શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $a_{n} = 2^{n}$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 1, 2, 3, 4, 5$ મૂકીશું:
$n = 1$ માટે: $a_{1} = 2^{1} = 2$
$n = 2$ માટે: $a_{2} = 2^{2} = 4$
$n = 3$ માટે: $a_{3} = 2^{3} = 8$
$n = 4$ માટે: $a_{4} = 2^{4} = 16$
$n = 5$ માટે: $a_{5} = 2^{5} = 32$
આમ,પ્રથમ પાંચ પદ $2, 4, 8, 16, 32$ છે.

(A) આપેલ $G.P.$ $5, 25, 125, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{25}{5} = 5$ છે.
$G.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ $a_n = a \cdot r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_n = 5 \cdot 5^{n-1} = 5^{1 + n - 1} = 5^n$.
$10^{\text{th}}$ પદ માટે,$n = 10$ લેતા:
$a_{10} = 5^{10}$.

(B) આપેલ $GP$ $2, 8, 32, \ldots$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{8}{2} = 4$ છે.
ધારો કે $131072$ એ $GP$ નું $n^{\text{th}}$ પદ છે.
$n^{\text{th}}$ પદ માટેનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $131072 = 2 \cdot 4^{n-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$65536 = 4^{n-1}$ મળે છે.
કારણ કે $65536 = 4^8$,તેથી $4^8 = 4^{n-1}$ થાય.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$n - 1 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 9$.
તેથી,$131072$ એ $GP$ નું $9^{\text{th}}$ પદ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G.P.$ માં,$n^{th}$ પદ $a_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $a_3 = ar^2 = 24$ $(1)$.
આપેલ છે $a_6 = ar^5 = 192$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{192}{24}$.
$r^3 = 8$,જેનો અર્થ છે $r = 2$.
$(1)$ માં $r = 2$ મૂકતા,આપણને મળે $a(2)^2 = 24$,તેથી $4a = 24$,જે $a = 6$ આપે છે.
$10^{th}$ પદ $a_{10} = ar^9 = 6 \times (2)^9$ છે.
$a_{10} = 6 \times 512 = 3072$.

(A) આપેલ ભૌમિતિક શ્રેણી $1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
$|r| < 1$ હોવાથી,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_n = \frac{1(1 - (2/3)^n)}{1 - 2/3} = \frac{1 - (2/3)^n}{1/3} = 3[1 - (\frac{2}{3})^n]$.
પ્રથમ $5$ પદોના સરવાળા માટે,$n = 5$:
$S_5 = 3[1 - (\frac{2}{3})^5] = 3[1 - \frac{32}{243}] = 3[\frac{243 - 32}{243}] = 3[\frac{211}{243}] = \frac{211}{81}$.

(C) ધારો કે જરૂરી પદોની સંખ્યા $n$ છે. અહીં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{3069}{512} = \frac{3(1 - (\frac{1}{2})^{n})}{1 - \frac{1}{2}}$.
$\frac{3069}{512} = \frac{3(1 - \frac{1}{2^{n}})}{\frac{1}{2}} = 6(1 - \frac{1}{2^{n}})$.
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા,$\frac{3069}{3072} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$.
$\frac{1}{2^{n}} = 1 - \frac{3069}{3072} = \frac{3072 - 3069}{3072} = \frac{3}{3072} = \frac{1}{1024}$.
કારણ કે $1024 = 2^{10}$,તેથી $2^{n} = 2^{10}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.

ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $-1$ છે:
$\left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar) = -1$
$a^3 = -1 \implies a = -1$.
આપેલ છે કે સરવાળો $\frac{13}{12}$ છે:
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{13}{12}$
$a = -1$ મૂકતા:
$-\frac{1}{r} - 1 - r = \frac{13}{12}$
$-\frac{1+r+r^2}{r} = \frac{13}{12}$
$-12 - 12r - 12r^2 = 13r$
$12r^2 + 25r + 12 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$12r^2 + 16r + 9r + 12 = 0$
$4r(3r + 4) + 3(3r + 4) = 0$
$(4r + 3)(3r + 4) = 0$
$r = -\frac{3}{4}$ અથવા $r = -\frac{4}{3}$.
જો $r = -\frac{3}{4}$ હોય,તો પદો $\frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4}$ છે.
જો $r = -\frac{4}{3}$ હોય,તો પદો $\frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3}$ છે.