Geometric progression Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $GP$ માં ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $155$ છે:
$\frac{a}{r} + a + ar = 155$ $(1)$
વળી,પ્રથમ પદ એ ત્રીજા પદ કરતાં $120$ ઓછું છે:
$ar - \frac{a}{r} = 120$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$a(r - \frac{1}{r}) = 120 \implies a(\frac{r^2 - 1}{r}) = 120$.
$(1)$ પરથી,$a(\frac{1 + r + r^2}{r}) = 155$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{r^2 - 1}{r^2 + r + 1} = \frac{120}{155} = \frac{24}{31}$.
$31r^2 - 31 = 24r^2 + 24r + 24$.
$7r^2 - 24r - 55 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $7r^2 - 35r + 11r - 55 = 0 \implies 7r(r - 5) + 11(r - 5) = 0$.
તેથી,$r = 5$ અથવા $r = -\frac{11}{7}$.
જો $r = 5$ હોય,તો $a(\frac{1}{5} + 1 + 5) = 155 \implies a(\frac{31}{5}) = 155 \implies a = 25$.
પદો $\frac{25}{5}, 25, 25 \times 5$ એટલે કે $5, 25, 125$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
અહીં,પદો $a_1 = a$,$a_2 = b = ar$,$a_3 = c = ar^2$,અને $a_4 = d = ar^3$ છે.
આપણે અંતિમ પદો અને મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર તપાસીએ:
$ad = a \times ar^3 = a^2r^3$
$bc = ar \times ar^2 = a^2r^3$
તેથી,$ad = bc$.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ છે.
$p$ અને $q$ વચ્ચેના બે ગુણોત્તર મધ્યકો $G_1$ અને $G_2$ છે,તેથી $G_1 = p^{2/3}q^{1/3}$ અને $G_2 = p^{1/3}q^{2/3}$ મળે.
હવે,$\frac{G_1^2}{G_2} + \frac{G_2^2}{G_1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{G_1^2}{G_2} = \frac{(p^{2/3}q^{1/3})^2}{p^{1/3}q^{2/3}} = \frac{p^{4/3}q^{2/3}}{p^{1/3}q^{2/3}} = p$.
તે જ રીતે,$\frac{G_2^2}{G_1} = \frac{(p^{1/3}q^{2/3})^2}{p^{2/3}q^{1/3}} = \frac{p^{2/3}q^{4/3}}{p^{2/3}q^{1/3}} = q$.
આમ,$\frac{G_1^2}{G_2} + \frac{G_2^2}{G_1} = p + q$.
સમાંતર મધ્યક $A = \frac{p+q}{2}$ હોવાથી,$p+q = 2A$ થાય.
તેથી,જવાબ $2A$ છે.

(B) ધારો કે $x = 0.125125125 \dots$ (સમીકરણ $1$).
અહીં પુનરાવર્તિત બ્લોક $3$ અંકનો હોવાથી,બંને બાજુ $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 125.125125125 \dots$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 125.125125 \dots - 0.125125 \dots$
$999x = 125$
$x = \frac{125}{999}$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx}$.
પ્રથમ બે પદો માટે યોગ-વિયોગ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(a + bx) + (a - bx)}{(a + bx) - (a - bx)} = \frac{(b + cx) + (b - cx)}{(b + cx) - (b - cx)}$
$\frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} \implies \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \implies b^2 = ac$.
તે જ રીતે,છેલ્લા બે પદો માટે:
$\frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx} \implies \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \implies c^2 = bd$.
અહીં $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$ હોવાથી,$a, b, c, d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ છે કે $G$ એ $x$ અને $y$ નો સમગુણોતર મધ્યક છે,તેથી $G = \sqrt{xy}$,જેનો અર્થ છે કે $G^2 = xy$.
હવે,પદાવલિ $\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2}$ ધ્યાનમાં લો.
$G^2 = xy$ મૂકતા:
$= \frac{1}{xy - x^2} + \frac{1}{xy - y^2}$
$= \frac{1}{x(y - x)} + \frac{1}{y(x - y)}$
$= \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{y - x}{xy} \right)$
$= \frac{1}{xy} = \frac{1}{G^2}$.

(D) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દરેક પદ તેના પછીના બે પદના સરવાળા જેટલું છે:
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
બંને બાજુ $ar^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
આથી દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
શ્રેણીનાં બધાં પદ ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે ધન ઉકેલ લઈશું:
$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1)$

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 + r + r^2 + \dots + r^n = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8)$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,ડાબી બાજુ $\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$ છે.
તેથી,$\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8)$.
બંને બાજુ $(1 - r)$ વડે ગુણતા:
$1 - r^{n+1} = (1 - r)(1 + r)(1 + r^2)(1 + r^4)(1 + r^8)$.
નિત્યસમ $(1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$(1 - r)(1 + r) = 1 - r^2$
$(1 - r^2)(1 + r^2) = 1 - r^4$
$(1 - r^4)(1 + r^4) = 1 - r^8$
$(1 - r^8)(1 + r^8) = 1 - r^{16}$.
આમ,$1 - r^{n+1} = 1 - r^{16}$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$n + 1 = 16$,તેથી $n = 15$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો $T_1 = 1$,$T_2 = r$,અને $T_3 = r^2$ છે.
આપણને પદાવલિ $f(r) = 4T_2 + 5T_3 = 4r + 5r^2$ આપેલ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r$.
$f'(r) = 0$ લેતા,$4 + 10r = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $10r = -4$.
આમ,$r = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
અહીં $f''(r) = 10 > 0$ હોવાથી,વિધેય $r = -\frac{2}{5}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(C) સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે છેલ્લું પદ $l = ar^{n-1} = 243$ અને $r = 3$ છે.
સરવાળાના સૂત્રમાં $ar^n = l \times r = 243 \times 3 = 729$ મૂકતા:
$S_n = \frac{ar^n - a}{r - 1} = 364$
$\frac{729 - a}{3 - 1} = 364$
$729 - a = 364 \times 2$
$729 - a = 728$
$a = 1$
હવે,$ar^{n-1} = 243$ માં $a = 1$ અને $r = 3$ મૂકતા:
$1 \times 3^{n-1} = 243$
$3^{n-1} = 3^5$
$n - 1 = 5$
$n = 6$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. પદો $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $a_3 = a_1^2$,તેથી $ar^2 = a^2$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $r^2 = a$ મળે.
બીજું પદ $a_2 = ar = 8$ આપેલ છે,તેથી $a = r^2$ મૂકતા:
$r^2 \cdot r = 8 \implies r^3 = 8 \implies r = 2$.
હવે,$a$ શોધીએ: $a = r^2 = 2^2 = 4$.
છઠ્ઠું પદ $a_6 = ar^5$ છે.
$a_6 = 4 \times (2)^5 = 4 \times 32 = 128$.

(A) ધારો કે $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2, \dots, G_n$ છે.
તેથી શ્રેણી $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ એ $n+2$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$(n+2)$-મું પદ $T_{n+2} = a \cdot r^{(n+2)-1} = a \cdot r^{n+1}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_{n+2} = b$ હોવાથી,$b = a \cdot r^{n+1}$ થાય.
તેથી,$r^{n+1} = \frac{b}{a}$.
આમ,$r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$.

(B) ધારો કે અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે,જ્યાં $a = 1$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દરેક પદ તેના પછીના તમામ પદોના સરવાળા જેટલું છે.
પ્રથમ પદ માટે: $a = ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
$a = 1$ હોવાથી,$1 = ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{\text{પ્રથમ પદ}}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$1 = \frac{ar}{1 - r}$.
$a = 1$ મૂકતા: $1 = \frac{r}{1 - r}$.
$1 - r = r \implies 2r = 1 \implies r = 1/2$.
ચોથું પદ $T_4 = ar^3$ છે.
$T_4 = 1 \times (1/2)^3 = 1/8$.

(B) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ત્રણ પદ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = a^3 = 216 = (6)^3$,તેથી $a = 6$.
બે-બે પદોના ગુણાકારનો સરવાળો $(\frac{a}{r} \times a) + (a \times ar) + (ar \times \frac{a}{r}) = 156$ છે.
$a = 6$ મૂકતા: $\frac{36}{r} + 36r + 36 = 156$.
$\frac{36}{r} + 36r = 120$.
$12$ વડે ભાગતા: $\frac{3}{r} + 3r = 10$.
$3r^2 - 10r + 3 = 0$.
$(3r - 1)(r - 3) = 0$.
તેથી,$r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$.
$a = 6$ અને $r = 3$ માટે,પદો $\frac{6}{3}, 6, 6 \times 3$ એટલે કે $2, 6, 18$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમગુણોતર શ્રેણીના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.
$S = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$.
$P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \cdot \dots \cdot (ar^{n-1}) = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$.
$R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}} = \frac{r^{n-1} + r^{n-2} + \dots + 1}{ar^{n-1}} = \frac{1}{ar^{n-1}} \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$.
હવે,$\frac{S}{R} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \cdot \frac{ar^{n-1}(r - 1)}{r^n - 1} = a^2 r^{n-1}$.
તેથી,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$.
આમ,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ મળે છે.

(C) $n$ પદો $a_1, a_2, \dots, a_n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n)^{1/n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પદો $3^1, 3^2, 3^3, \dots, 3^n$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = 3^1 \times 3^2 \times 3^3 \times \dots \times 3^n = 3^{(1+2+3+\dots+n)}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
તેથી,$P = 3^{n(n+1)/2}$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $P^{1/n} = (3^{n(n+1)/2})^{1/n} = 3^{(n+1)/2}$ છે.

(A) સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $a r^{n-1} = 486$ છે.
અહીં $r = 3$ હોવાથી,$a(3)^{n-1} = 486$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot 3^n = 3 \times 486 = 1458$ (સમીકરણ $i$).
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 728$ છે.
$r = 3$ મૂકતા,$\frac{a(3^n - 1)}{3 - 1} = 728$,જેનું સાદું રૂપ $a \cdot 3^n - a = 728 \times 2 = 1456$ થાય છે (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ માંથી $a \cdot 3^n$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$1458 - a = 1456$.
તેથી,$a = 1458 - 1456 = 2$.

(D) આપેલ છે કે $x, 2x + 2$ અને $3x + 3$ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે,મધ્યમ પદનો વર્ગ એ પ્રથમ અને ત્રીજા પદના ગુણાકાર જેટલો હોય છે: $(2x + 2)^2 = x(3x + 3)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$4x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 3x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 5x + 4 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(x + 1)(x + 4) = 0$ મળે છે,તેથી $x = -1$ અથવા $x = -4$.
જો $x = -1$ લઈએ,તો પદો $-1, 0, 0$ મળે છે,જે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવી શકે નહીં.
જો $x = -4$ લઈએ,તો પદો $-4, -6, -9$ મળે છે. સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-6}{-4} = 1.5$ છે.
ચોથું પદ $t_4 = a \times r^3 = -4 \times (1.5)^3$.
$t_4 = -4 \times 3.375 = -13.5$.

(A) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 0.9 = \frac{9}{10}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{0.09}{0.9} = 0.1 = \frac{1}{10}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = a \left( \frac{1 - r^n}{1 - r} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 100$ માટે:
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{1 - \frac{1}{10}} \right)$
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{\frac{9}{10}} \right)$
$S_{100} = 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{100}$.

(C) આપેલ છે કે $y = x^{1/3} \cdot x^{1/9} \cdot x^{1/27} \cdot \dots \infty$.
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = x^{(1/3 + 1/9 + 1/27 + \dots \infty)}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/3$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = 1/2$.
તેથી,$y = x^{1/2}$.

(C) $x, y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$y^2 = xz$ થાય.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = \lambda$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$x \log a = y \log b = z \log c = \log \lambda$.
તેથી,$x = \frac{\log \lambda}{\log a}$,$y = \frac{\log \lambda}{\log b}$,અને $z = \frac{\log \lambda}{\log c}$.
આ કિંમતો $y^2 = xz$ માં મૂકતા:
$(\frac{\log \lambda}{\log b})^2 = (\frac{\log \lambda}{\log a}) \times (\frac{\log \lambda}{\log c})$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(\log b)^2 = \log a \cdot \log c$ મળે.
બંને બાજુ $\log a \cdot \log b$ વડે ભાગતા,$\frac{\log b}{\log a} = \frac{\log c}{\log b}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\log_a b = \log_b c$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{\log_b c}$,એટલે કે $\log_b a = \log_c b$.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
$\therefore b^2 = ac$
બંને બાજુ લઘુગુણક લેતા:
$\log(b^2) = \log(ac)$
$2 \log b = \log a + \log c$
$\log b = \frac{\log a + \log c}{2}$
આ શરત દર્શાવે છે કે લઘુગુણક $\log a, \log b$ અને $\log c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ અસમતા $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \leq 0$ છે.
આને $(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \leq 0$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અઋણ હોય છે,તેથી સરવાળો $\leq 0$ થવા માટે દરેક પદ $0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,અને $cp - d = 0$.
આથી $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c, d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(C) અહીં $25, x - 6$ અને $x - 12$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તો $b^2 = ac$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(x - 6)^2 = 25(x - 12)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 12x + 36 = 25x - 300$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ફેરવતા: $x^2 - 37x + 336 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 16)(x - 21) = 0$.
આમ,$x = 16$ અથવા $x = 21$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $x = 16$ છે.

(D) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી: $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \infty$
અહીં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1 + x}$
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$y(1 + x) = x$
$y + xy = x$
$y = x - xy$
$y = x(1 - y)$
$x = \frac{y}{1 - y}$

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
ત્રીજું પદ $a_3 = 1 \cdot r^{3-1} = r^2$ છે.
પાંચમું પદ $a_5 = 1 \cdot r^{5-1} = r^4$ છે.
આપેલ છે કે $a_3 + a_5 = 90$,તેથી $r^2 + r^4 = 90$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $r^4 + r^2 - 90 = 0$.
ધારો કે $x = r^2$,તો $x^2 + x - 90 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 10)(x - 9) = 0$.
આથી $x = -10$ અથવા $x = 9$.
$x = r^2$ હોવાથી,$r^2 = -10$ (વાસ્તવિક $r$ માટે શક્ય નથી) અથવા $r^2 = 9$.
તેથી,$r = \pm 3$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3$ છે.
આથી $a = 3(1-r)$.
પદોના વર્ગોની નવી શ્રેણી: $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$
આ શ્રેણીનો સરવાળો $S' = \frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $a = 3(1-r)$ મૂકતા:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.
હવે,$a = 3(1 - \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
આમ,પ્રથમ પદ $\frac{3}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે બે ગુણોત્તર મધ્યક $a$ અને $b$ છે,જેથી $1, a, b, 64$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ માટે,$a = 1 \times r$ અને $b = 1 \times r^2$,જ્યાં $64 = 1 \times r^3$ છે.
$r^3 = 64$ પરથી,આપણને $r = \sqrt[3]{64} = 4$ મળે છે.
આમ,$a = 1 \times 4 = 4$ અને $b = 1 \times 4^2 = 16$ થાય.
તેથી,$1$ અને $64$ વચ્ચેના બે ગુણોત્તર મધ્યક $4$ અને $16$ છે.

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $k^{th}$ પદ $T_k = ar^{k-1}$ છે.
આપેલ છે કે $T_{m+n} = ar^{m+n-1} = 9$ અને $T_{m-n} = ar^{m-n-1} = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે,$m^{th}$ પદ એ $(m+n)^{th}$ અને $(m-n)^{th}$ પદનો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.
$T_m = \sqrt{T_{m+n} \times T_{m-n}}$
$T_m = \sqrt{9 \times 4}$
$T_m = \sqrt{36}$
$T_m = 6$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે $(p + q)^{th}$ મું પદ $m = a r^{p + q - 1}$ અને $(p - q)^{th}$ મું પદ $n = a r^{p - q - 1}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{m}{n} = \frac{a r^{p + q - 1}}{a r^{p - q - 1}} = r^{(p + q - 1) - (p - q - 1)} = r^{2q}$.
આમ,$r^{2q} = \frac{m}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $r = (\frac{m}{n})^{1/(2q)}$.
$p^{th}$ મું પદ $T_p = a r^{p - 1}$ છે.
નોંધો કે $m \times n = (a r^{p + q - 1}) \times (a r^{p - q - 1}) = a^2 r^{2p - 2} = (a r^{p - 1})^2$.
તેથી,$(T_p)^2 = mn$,જે આપે છે $T_p = \sqrt{mn}$.

(B) ધારો કે $b = ar, c = ar^2, d = ar^3$.
તેથી,$(a^3 + b^3)^{-1} = \frac{1}{a^3(1 + r^3)}$.
$(b^3 + c^3)^{-1} = \frac{1}{a^3r^3(1 + r^3)}$.
$(c^3 + d^3)^{-1} = \frac{1}{a^3r^6(1 + r^3)}$.
ધારો કે $T_1 = \frac{1}{a^3(1 + r^3)}$,$T_2 = \frac{1}{a^3r^3(1 + r^3)}$,અને $T_3 = \frac{1}{a^3r^6(1 + r^3)}$.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{r^3}$ અને $\frac{T_3}{T_2} = \frac{1}{r^3}$.
ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,આ પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(D) અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $|r| < 1$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું બીજું પદ $ar = 3/4$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$a = \frac{3}{4r}$.
આ કિંમતને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{3/4r}{1 - r} = 4$.
$\frac{3}{4r(1 - r)} = 4$
$3 = 16r(1 - r)$
$3 = 16r - 16r^2$
$16r^2 - 16r + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $16r^2 - 12r - 4r + 3 = 0$
$4r(4r - 3) - 1(4r - 3) = 0$
$(4r - 1)(4r - 3) = 0$.
તેથી,$r = 1/4$ અથવા $r = 3/4$.
જો $r = 1/4$ હોય,તો $a = \frac{3}{4(1/4)} = 3$.
જો $r = 3/4$ હોય,તો $a = \frac{3}{4(3/4)} = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,જોડી $(a = 3, r = 1/4)$ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે,જ્યાં $|r| < 1$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ પછીના તમામ પદોનો સરવાળો $S = ar + ar^2 + ar^3 + \dots = \frac{ar}{1-r}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ પદ એ પછીના પદોના સરવાળા કરતાં બમણું છે:
$a = 2 \times \left( \frac{ar}{1-r} \right)$.
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને):
$1 = \frac{2r}{1-r}$.
$1 - r = 2r$.
$1 = 3r$.
$r = 1/3$.

(B) અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક $a$ છે,તેથી $a = \frac{b+c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $b+c = 2a$.
આપેલ છે કે $g_1$ અને $g_2$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેના બે સમગુણોત્તર મધ્યકો છે,તેથી શ્રેણી $b, g_1, g_2, c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તેથી $c = b r^3$,એટલે કે $r^3 = \frac{c}{b}$.
$g_1 = br$ અને $g_2 = br^2$.
હવે,$g_1^3 + g_2^3 = (br)^3 + (br^2)^3 = b^3 r^3 + b^3 r^6$.
$r^3 = \frac{c}{b}$ મૂકતા:
$g_1^3 + g_2^3 = b^3 \left( \frac{c}{b} \right) + b^3 \left( \frac{c}{b} \right)^2 = b^2 c + b^3 \left( \frac{c^2}{b^2} \right) = b^2 c + bc^2 = bc(b+c)$.
કારણ કે $b+c = 2a$,તેથી $g_1^3 + g_2^3 = bc(2a) = 2abc$.
આને $kabc$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$,જ્યાં $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
પદોનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{b^2} = r^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2, b^2, c^2$ પણ $r^2$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.
સમાંતર મધ્યક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \frac{a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}}{n} = \frac{a(r^n - 1)}{n(r - 1)}$.
સ્વરિત મધ્યક $H$ નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{n}{\frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}} = \frac{n a r^{n-1} (r - 1)}{r^n - 1}$.
$A$ અને $H$ નો ગુણાકાર કરતા:
$A \cdot H = \left( \frac{a(r^n - 1)}{n(r - 1)} \right) \cdot \left( \frac{n a r^{n-1} (r - 1)}{r^n - 1} \right) = a^2 r^{n-1}$.

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે: $a_{10} = ar^9 = 9$ અને $a_4 = ar^3 = 4$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^9}{ar^3} = \frac{9}{4} \implies r^6 = \frac{9}{4}$.
$7$ મું પદ $a_7 = ar^6$ છે.
$ar^3 = 4$ હોવાથી,$a = \frac{4}{r^3}$ મળે.
$r^6 = \frac{9}{4}$ પરથી,$r^3 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ મળે.
તેથી,$a = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3}$.
આમ,$a_7 = ar^6 = \left(\frac{8}{3}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) = 6$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$S_1 = a + ar + ar^2 + \dots + ar^9 = a\frac{r^{10}-1}{r-1}$.
$S_2 = ar^{10} + ar^{11} + \dots + ar^{19} = ar^{10}(1 + r + r^2 + \dots + r^9) = ar^{10}\frac{r^{10}-1}{r-1}$.
$S_2$ ને $S_1$ વડે ભાગતા:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{ar^{10}(\frac{r^{10}-1}{r-1})}{a(\frac{r^{10}-1}{r-1})} = r^{10}$.
તેથી,$r^{10} = \frac{S_2}{S_1}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \pm \sqrt[10]{\frac{S_2}{S_1}}$.

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ત્રણ પદ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $\frac{a}{r} \times a \times ar = a^3 = 216$ થાય.
તેથી,$a = \sqrt[3]{216} = 6$.
ત્રણ પદનો સરવાળો $\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$ છે.
બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતાં,$\frac{6}{r} + 6r = 13$ મળે.
$r$ વડે ગુણતા,$6 + 6r^2 = 13r$ મળે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $6r^2 - 13r + 6 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0 \implies 3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$.
આથી $(3r - 2)(2r - 3) = 0$ મળે.
તેથી,$r = \frac{2}{3}$ અથવા $r = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
અહીં,$a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$ અને $c = AR^{r-1}$ આપેલ છે.
હવે,$a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}$ ની કિંમત મેળવતા:
$= (AR^{p-1})^{q-r} \cdot (AR^{q-1})^{r-p} \cdot (AR^{r-1})^{p-q}$
$= A^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$= A^0 \cdot R^{(pq - pr - q + r) + (qr - qp - r + p) + (rp - rq - p + q)}$
$= 1 \cdot R^0 = 1$.

(B) આપેલ છે કે $p, q, r$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $q^2 = pr$.
તે જ રીતે,$a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = ac$.
આપણે તપાસવું છે કે $cp, bq, ar$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે કે નહીં.
$cp, bq, ar$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવા માટે,શરત $(bq)^2 = (cp)(ar)$ સાચી હોવી જોઈએ.
$b^2 = ac$ અને $q^2 = pr$ હોવાથી,$b^2q^2 = (ac)(pr) = (cp)(ar)$ થાય છે.
આમ,$(bq)^2 = (cp)(ar)$,જે સાબિત કરે છે કે $cp, bq, ar$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે ત્રણ પદો $\frac{b}{r}, b, br$ છે,જ્યાં $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$a$ અને $b$ નો સ્વરિત મધ્યક $12$ છે:
$\frac{2ab}{a+b} = 12 \implies \frac{2(\frac{b}{r})b}{\frac{b}{r}+b} = 12 \implies \frac{2b}{1+r} = 12 \implies b = 6(1+r) \dots (1)$
$b$ અને $c$ નો સ્વરિત મધ્યક $36$ છે:
$\frac{2bc}{b+c} = 36 \implies \frac{2b(br)}{b+br} = 36 \implies \frac{2br}{1+r} = 36 \implies br = 18(1+r) \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{br}{b} = \frac{18(1+r)}{6(1+r)} \implies r = 3$
$r=3$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$b = 6(1+3) = 24$
તેથી $a = \frac{b}{r} = \frac{24}{3} = 8$.

(A) $n$ પદો $a_1, a_2, \dots, a_n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n)^{\frac{1}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી $7, 7^2, 7^3, \dots, 7^n$ માટે,સમગુણોત્તર મધ્યક $(7^1 \times 7^2 \times 7^3 \times \dots \times 7^n)^{\frac{1}{n}}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ $(7^{1+2+3+\dots+n})^{\frac{1}{n}}$ થાય છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
તેથી,પદાવલિ $(7^{\frac{n(n+1)}{2}})^{\frac{1}{n}}$ બને છે.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $7^{\frac{n(n+1)}{2n}} = 7^{\frac{n+1}{2}}$ મળે છે.

(A) અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે:
$x = \frac{a}{1 - 1/r} = \frac{ar}{r - 1}$
$y = \frac{b}{1 - (-1/r)} = \frac{b}{1 + 1/r} = \frac{br}{r + 1}$
$z = \frac{c}{1 - 1/r^2} = \frac{cr^2}{r^2 - 1}$
હવે,$xy$ નો ગુણાકાર કરતા:
$xy = \left( \frac{ar}{r - 1} \right) \left( \frac{br}{r + 1} \right) = \frac{abr^2}{r^2 - 1}$
હવે,$z$ વડે ભાગતા:
$\frac{xy}{z} = \frac{abr^2}{r^2 - 1} \div \frac{cr^2}{r^2 - 1} = \frac{abr^2}{r^2 - 1} \times \frac{r^2 - 1}{cr^2} = \frac{ab}{c}$

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $\left( \frac{a}{r} \right) \times a \times (ar) = a^3 = 1728$ છે.
$1728 = 12^3$ હોવાથી,$a = 12$ મળે.
તેમનો સરવાળો $\frac{a}{r} + a + ar = 38$ છે.
$a = 12$ મૂકતા,$\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38$ મળે.
$\frac{12}{r} + 12r = 26$.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{6}{r} + 6r = 13$,જેનું સાદુંરૂપ $6r^2 - 13r + 6 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0 \implies 3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$.
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$,તેથી $r = \frac{2}{3}$ અથવા $r = \frac{3}{2}$ મળે.
જો $r = \frac{3}{2}$ લઈએ,તો સંખ્યાઓ $\frac{12}{3/2}, 12, 12(\frac{3}{2}) \implies 8, 12, 18$ મળે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $18$ છે.

(A) આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી $8, 12, 18, 27, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 8$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a \cdot r^{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$9$ માં પદ માટે $(n = 9)$:
$T_9 = 8 \cdot (\frac{3}{2})^{9-1}$
$T_9 = 8 \cdot (\frac{3}{2})^8$
$T_9 = 8 \cdot \frac{6561}{256}$
$T_9 = \frac{6561}{32}$

(C) ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2, \dots, G_n$ છે.
તેથી $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ બનાવે છે.
અહીં,કુલ પદોની સંખ્યા $n+2$ છે.
છેલ્લું પદ $b = a \cdot r^{n+1}$ છે,જ્યાં $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
તેથી,$r^{n+1} = \frac{b}{a}$,એટલે કે $r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$.
$n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર $P = G_1 \cdot G_2 \cdot \dots \cdot G_n$ છે.
$G_k = a \cdot r^k$ હોવાથી,$P = (a \cdot r^1) \cdot (a \cdot r^2) \dots (a \cdot r^n) = a^n \cdot r^{1+2+\dots+n} = a^n \cdot r^{\frac{n(n+1)}{2}}$.
$r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ મૂકતા,$P = a^n \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = a^n \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{n}{2}} = a^n \cdot \frac{b^{n/2}}{a^{n/2}} = a^{n/2} \cdot b^{n/2} = (ab)^{n/2}$.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $y^2 = xz$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(y^2) = \ln(xz)$,જેનું સાદું રૂપ $2 \ln y = \ln x + \ln z$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\ln x, \ln y, \ln z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા,$1 + \ln x, 1 + \ln y, 1 + \ln z$ મળે છે,જે પણ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોના વ્યસ્ત સ્વરિત શ્રેણી બનાવે છે,તેથી $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(D) ધારો કે ગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$a_n = a_{n+1} + a_{n+2}$
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
$ar^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(C) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots, ar^{49}$ છે.
તેથી $a_n = ar^{n-1}$ થાય.
અંશ $a_1 - a_3 + a_5 - \dots + a_{49} = a - ar^2 + ar^4 - \dots + ar^{48}$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = a$,સામાન્ય ગુણોત્તર $R = -r^2$ અને $n = 25$ પદો છે.
તેનો સરવાળો $\frac{a(1 - (-r^2)^{25})}{1 - (-r^2)} = \frac{a(1 + r^{50})}{1 + r^2}$ થાય.
છેદ $a_2 - a_4 + a_6 - \dots + a_{50} = ar - ar^3 + ar^5 - \dots + ar^{49}$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A' = ar$,સામાન્ય ગુણોત્તર $R = -r^2$ અને $n = 25$ પદો છે.
તેનો સરવાળો $\frac{ar(1 - (-r^2)^{25})}{1 - (-r^2)} = \frac{ar(1 + r^{50})}{1 + r^2}$ થાય.
અંશને છેદ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{a(1 + r^{50}) / (1 + r^2)}{ar(1 + r^{50}) / (1 + r^2)} = \frac{a}{ar} = \frac{1}{r} = \frac{a_1}{a_2}$ મળે છે.