Arithmetic progression Questions in Gujarati

(C) શ્રેણી $A.P.$ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ.
પ્રથમ તફાવત: $d_1 = \frac{6}{\sqrt{7}} - \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.
બીજો તફાવત: $d_2 = \sqrt{7} - \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7} \times \sqrt{7}) - 6}{\sqrt{7}} = \frac{7 - 6}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.
અહીં સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{\sqrt{7}}$ સમાન હોવાથી,આ શ્રેણી $A.P.$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $\left( 3 - \frac{1}{n} \right) + \left( 3 - \frac{2}{n} \right) + \left( 3 - \frac{3}{n} \right) + \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \left( 3 - \frac{1}{n} \right)$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \left( 3 - \frac{2}{n} \right) - \left( 3 - \frac{1}{n} \right) = -\frac{1}{n}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $p^{th}$ પદ $T_p = a + (p - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T_p = \left( 3 - \frac{1}{n} \right) + (p - 1)\left( -\frac{1}{n} \right)$
$T_p = 3 - \frac{1}{n} - \frac{p}{n} + \frac{1}{n} = 3 - \frac{p}{n}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 0 + \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2\sqrt{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$8$ માં પદ માટે $(n = 8)$:
$a_8 = 2\sqrt{2} + (8 - 1)(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} + 7(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} - 7\sqrt{2}$
$a_8 = -5\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $9$ મું પદ $a_9 = a + (9 - 1)d = 0$.
$a + 8d = 0 \Rightarrow a = -8d$.
આપણે $29$ માં પદ અને $19$ માં પદનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$\frac{a_{29}}{a_{19}} = \frac{a + 28d}{a + 18d}$.
$a = -8d$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{-8d + 28d}{-8d + 18d} = \frac{20d}{10d} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) શ્રેણી $f(n) = an + b;\, n \in N$ એ $A.P.$ છે.
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ મૂકતા,આપણને શ્રેણી મળે છે:
$(a + b), (2a + b), (3a + b), \dots$
આ એક $A.P.$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $A = (a + b)$ અને સામાન્ય તફાવત $d = a$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$A.P.$ નું $n$-મું પદ હંમેશા $n \in N$ માટે $an + b$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = -8 + 18i$ અને સામાન્ય તફાવત $d = (-6 + 15i) - (-8 + 18i) = 2 - 3i$ છે.
$AP$ નું $n$-મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_n = (-8 + 18i) + (n - 1)(2 - 3i)$
$T_n = -8 + 18i + 2n - 2 - 3ni + 3i$
$T_n = (-10 + 2n) + i(21 - 3n)$
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તે માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$-10 + 2n = 0$
$2n = 10$
$n = 5$
આમ,$5^{th}$ પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(C) આપેલ છે કે $n^{th}$ પદ $T_n = 2n - 1$ છે.
પ્રથમ પદ $a = T_1 = 2(1) - 1 = 1$.
અંતિમ પદ $l = T_n = 2n - 1$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_n = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n^2 + n - n = n^2$.

(B) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે: $101, 99, 97, \dots, 47$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 101$,સામાન્ય તફાવત $d = 99 - 101 = -2$,અને અંતિમ પદ $l = 47$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $T_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $47 = 101 + (n - 1)(-2)$.
બંને બાજુથી $101$ બાદ કરતા: $47 - 101 = (n - 1)(-2)$.
$-54 = (n - 1)(-2)$.
$-2$ વડે ભાગતા: $27 = n - 1$.
તેથી,$n = 28$.

(B) આપેલ છે કે,$p$ મું પદ $T_p = a + (p - 1)d = q$ ..... $(i)$
અને $q$ મું પદ $T_q = a + (q - 1)d = p$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$(p - q)d = q - p$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $d = -1$.
$d = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$a + (p - 1)(-1) = q$,તેથી $a = p + q - 1$.
હવે,$r$ મું પદ $T_r = a + (r - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
$a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા,$T_r = (p + q - 1) + (r - 1)(-1) = p + q - 1 - r + 1 = p + q - r$.
આમ,$r$ મું પદ $p + q - r$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3 \cdot 8 + 6 \cdot 11 + 9 \cdot 14 + 12 \cdot 17 + \dots$ છે.
પ્રથમ અવયવો $3, 6, 9, 12, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને તેનું ${n^{th}}$ પદ $3n$ છે.
બીજા અવયવો $8, 11, 14, 17, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને તેનું ${n^{th}}$ પદ $8 + (n - 1)3 = 3n + 5$ છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીનું ${n^{th}}$ પદ $T_n = 3n(3n + 5)$ થશે.

(B) ધારો કે $S_2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે,$S_5$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે,અને $S_{10}$ એ $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે (એટલે કે $10$ વડે વિભાજ્ય).
$S_2 = 2 + 4 + \dots + 100 = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550$.
$S_5 = 5 + 10 + \dots + 100 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$S_{10} = 10 + 20 + \dots + 100 = \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550$.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંત મુજબ,જરૂરી સરવાળો $S_2 + S_5 - S_{10} = 2550 + 1050 - 550 = 3050$ છે.

(C) પ્રથમ શ્રેણી $63 + 65 + 67 + 69 + \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = 63$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 2$ છે. $m^{th}$ પદ $T_m = a_1 + (m-1)d_1 = 63 + (m-1)2 = 2m + 61$ છે.
બીજી શ્રેણી $3 + 10 + 17 + 24 + \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 7$ છે. $m^{th}$ પદ $T_m = a_2 + (m-1)d_2 = 3 + (m-1)7 = 7m - 4$ છે.
આપેલ છે કે $m^{th}$ પદો સમાન છે:
$2m + 61 = 7m - 4$
$61 + 4 = 7m - 2m$
$65 = 5m$
$m = 13$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} + \dots$ છે.
આને $1\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + \dots$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $n$-મું પદ $a_n = n\sqrt{2}$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} k\sqrt{2} = \sqrt{2} \sum_{k=1}^{n} k$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$n = 24$ માટે,સરવાળો $S_{24} = \sqrt{2} \times \frac{24 \times 25}{2}$ થાય.
$S_{24} = \sqrt{2} \times 12 \times 25 = 300\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે $2x, x + 8, 3x + 1$ એ $A.P.$ માં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ માટે જો તે $A.P.$ માં હોય,તો વચ્ચેનું પદ $b = \frac{a + c}{2}$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$x + 8 = \frac{(2x) + (3x + 1)}{2}$.
$x + 8 = \frac{5x + 1}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2(x + 8) = 5x + 1$.
$2x + 16 = 5x + 1$.
$16 - 1 = 5x - 2x$.
$15 = 3x$.
$x = \frac{15}{3} = 5$.

(D) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = nA + n^2B$ છે.
$A.P.$ ના પદો શોધવા માટે,આપણે $T_n = S_n - S_{n-1}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$n=1$ માટે,$T_1 = S_1 = A(1) + (1)^2B = A + B$.
$n=2$ માટે,$S_2 = A(2) + (2)^2B = 2A + 4B$.
આમ,$T_2 = S_2 - S_1 = (2A + 4B) - (A + B) = A + 3B$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_2 - T_1$ દ્વારા મળે છે.
$d = (A + 3B) - (A + B) = 2B$.
તેથી,સામાન્ય તફાવત $2B$ છે.

(B) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_9 = a + 8d = 35$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $T_{19} = a + 18d = 75$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 18d) - (a + 8d) = 75 - 35$
$10d = 40$
$d = 4$.
$d = 4$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 8(4) = 35$
$a + 32 = 35$
$a = 3$.
$20$ મું પદ $T_{20} = a + 19d$ છે.
$T_{20} = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{a + c}{2}$.
આ કિંમતને પદાવલિ $\frac{(a - c)^2}{(b^2 - ac)}$ માં મૂકતા:
$\frac{(a - c)^2}{(\frac{a + c}{2})^2 - ac} = \frac{(a - c)^2}{\frac{a^2 + c^2 + 2ac}{4} - ac}$
$= \frac{(a - c)^2}{\frac{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac}{4}} = \frac{4(a - c)^2}{a^2 + c^2 - 2ac}$
$= \frac{4(a - c)^2}{(a - c)^2} = 4$.
વૈકલ્પિક રીતે,ધારો કે $a = 1, b = 2, c = 3$. આ $A.P.$ માં છે.
પદાવલિની કિંમત $\frac{(1 - 3)^2}{(2^2 - 1 \times 3)} = \frac{(-2)^2}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ અને $\log_3(2^x - \frac{7}{2})$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$2b = a + c$:
$2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - \frac{7}{2})$
$\log$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(2^x - 5)^2 = 2(2^x - \frac{7}{2})$
$2^x = y$ લેતા,$(y - 5)^2 = 2y - 7$
$y^2 - 12y + 32 = 0$
$(y - 8)(y - 4) = 0$
તેથી,$y = 8$ અથવા $y = 4$.
જો $2^x = 8$,તો $x = 3$.
જો $2^x = 4$,તો $x = 2$.
લોગેરિધમિક પદોની વ્યાખ્યા મુજબ,$x = 2$ શક્ય નથી કારણ કે $\log_3(-1)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$x = 3$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
$p^{th}$ પદ $A + (p - 1)D = a$ $(i)$
$q^{th}$ પદ $A + (q - 1)D = b$ $(ii)$
$r^{th}$ પદ $A + (r - 1)D = c$ $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$a - b = (p - q)D$
$b - c = (q - r)D$
$c - a = (r - p)D$
હવે,પદાવલિ $E = a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$ લઈએ.
કિંમતો મૂકતા:
$E = a\left(\frac{b - c}{D}\right) + b\left(\frac{c - a}{D}\right) + c\left(\frac{a - b}{D}\right)$
$E = \frac{1}{D} [ab - ac + bc - ab + ca - bc] = 0$.

(A) ધારો કે બે $A.P.$ ના $n^{th}$ પદો $a_n = 3n + 8$ અને $b_n = 7n + 15$ છે.
$12^{th}$ પદ માટે,બંને સમીકરણોમાં $n = 12$ મૂકો.
$a_{12} = 3(12) + 8 = 36 + 8 = 44$.
$b_{12} = 7(12) + 15 = 84 + 15 = 99$.
તેમના $12^{th}$ પદોનો ગુણોત્તર $\frac{a_{12}}{b_{12}} = \frac{44}{99}$ છે.
અંશ અને છેદને $11$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{44 \div 11}{99 \div 11} = \frac{4}{9}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $D$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,પદો $a, a+D, a+2D, a+3D, a+4D$ છે.
આ કિંમતોને $a - 4b + 6c - 4d + e$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a - 4(a + D) + 6(a + 2D) - 4(a + 3D) + (a + 4D)$
$= a - 4a - 4D + 6a + 12D - 4a - 12D + a + 4D$
$= (a - 4a + 6a - 4a + a) + (-4D + 12D - 12D + 4D)$
$= 0a + 0D = 0$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ છે: $p \cdot T_p = q \cdot T_q$
$p\{a + (p - 1)d\} = q\{a + (q - 1)d\}$
$ap + p(p - 1)d = aq + q(q - 1)d$
$a(p - q) + d\{p^2 - p - q^2 + q\} = 0$
$a(p - q) + d\{(p^2 - q^2) - (p - q)\} = 0$
$a(p - q) + d\{(p - q)(p + q) - (p - q)\} = 0$
$p \neq q$ હોવાથી,આપણે $(p - q)$ વડે ભાગી શકીએ:
$a + d(p + q - 1) = 0$
આ પદ $(p + q)$ માં પદ $T_{p+q} = a + (p + q - 1)d$ ને દર્શાવે છે.
તેથી,$T_{p+q} = 0$.

(A) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓના પ્રથમ પદો $a_1$ અને $a_2$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d_1$ અને $d_2$ છે.
આપેલ છે કે $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર: $\frac{S_{n_1}}{S_{n_2}} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$
$\frac{a_1 + \frac{n - 1}{2}d_1}{a_2 + \frac{n - 1}{2}d_2} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
$13$ માં પદનો ગુણોત્તર મેળવવા માટે,આપણે $\frac{a_1 + 12d_1}{a_2 + 12d_2}$ સ્વરૂપ જોઈએ.
$\frac{n - 1}{2} = 12$ લેતા,$n - 1 = 24$,તેથી $n = 25$.
$n = 25$ મૂકતા:
$\frac{T_{13_1}}{T_{13_2}} = \frac{2(25) + 3}{6(25) + 5} = \frac{50 + 3}{150 + 5} = \frac{53}{155}$.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ છે અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
$m^{th}$ પદ $a_m = A + (m - 1)D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(m+k)^{th}$ પદ $a_{m+k} = A + (m + k - 1)D$ છે.
$(m-k)^{th}$ પદ $a_{m-k} = A + (m - k - 1)D$ છે.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$a_{m+k} + a_{m-k} = [A + (m + k - 1)D] + [A + (m - k - 1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (m + k - 1 + m - k - 1)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (2m - 2)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2[A + (m - 1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2a_m$
તેથી,$a_m = \frac{a_{m+k} + a_{m-k}}{2}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $T_m = a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ અને $T_n = a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$.
તેથી,$d = \frac{1}{mn}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $d$ ની કિંમત મૂકતા: $a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a = \frac{1}{mn}$.
હવે,$T_{mn} = a + (mn - 1)d = \frac{1}{mn} + (mn - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + mn - 1}{mn} = \frac{mn}{mn} = 1$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $k$ છે.
તેથી,$b = a + k$,$c = a + 2k$,$d = a + 3k$,અને $e = a + 4k$.
આ કિંમતોને $a + b + 4c - 4d + e$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a + (a + k) + 4(a + 2k) - 4(a + 3k) + (a + 4k)$
$= a + a + k + 4a + 8k - 4a - 12k + a + 4k$
$= (a + a + 4a - 4a + a) + (k + 8k - 12k + 4k)$
$= 3a + k$
પરિણામ સામાન્ય તફાવત $k$ પર આધારિત હોવાથી,કિંમતને માત્ર $a$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવી શક્ય નથી.

(C) ધારો કે $S_n$ અને $S'_n$ એ બે $A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળા છે,જેના પ્રથમ પદો $a, a'$ અને સામાન્ય તફાવત $d, d'$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{a + \frac{n-1}{2}d}{a' + \frac{n-1}{2}d'} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$ મળે.
$11$ મા પદનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે $\frac{a + 10d}{a' + 10d'}$ મેળવવું પડે.
$\frac{n-1}{2} = 10$ લેતા,$n-1 = 20$,તેથી $n = 21$.
$n = 21$ મૂકતા:
$\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$.
પદોની સંખ્યા $n = 9$.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_9 = \frac{9}{2} [2(\frac{1}{2}) + (9-1)(-\frac{1}{6})]$
$S_9 = \frac{9}{2} [1 + 8(-\frac{1}{6})]$
$S_9 = \frac{9}{2} [1 - \frac{4}{3}]$
$S_9 = \frac{9}{2} [-\frac{1}{3}] = -\frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $n$ છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n - 2) \times 180^o$ થાય.
અહીં ખૂણાઓ $A.P.$ માં છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 120^o$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5^o$ છે,તેથી સરવાળો $\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે.
બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{n}{2}[2(120) + (n - 1)5] = (n - 2)180$
$n[240 + 5n - 5] = 360(n - 2)$
$5n^2 + 235n = 360n - 720$
$5n^2 - 125n + 720 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$n^2 - 25n + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0$
તેથી,$n = 9$ અથવા $n = 16$.
જો $n = 16$ હોય,તો સૌથી મોટો ખૂણો $T_{16} = a + 15d = 120^o + 15(5^o) = 195^o$ થાય.
બહિર્મુખ બહુકોણનો અંતઃકોણ $180^o$ થી ઓછો હોવો જોઈએ,તેથી $n = 16$ શક્ય નથી.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $n = 9$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $p^{th}$ પદ $T_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q}$ $(i)$
અને $q^{th}$ પદ $T_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p}$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(p - q)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
તેથી,$d = \frac{1}{pq}$.
$d$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \implies a = \frac{1}{q} - \frac{p - 1}{pq} = \frac{p - p + 1}{pq} = \frac{1}{pq}$.
$pq$ પદોનો સરવાળો $S_{pq} = \frac{pq}{2} [2a + (pq - 1)d]$.
$S_{pq} = \frac{pq}{2} [\frac{2}{pq} + (pq - 1)\frac{1}{pq}] = \frac{pq}{2} [\frac{2 + pq - 1}{pq}] = \frac{pq + 1}{2}$.

(D) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શ્રેણી $1, 2, 3, 4, \dots, n$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
સૂત્રમાં $a = 1$ અને $d = 1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય તફાવત $d = 4$,અને પદોની સંખ્યા $n = 40$.
$A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(2) + (40 - 1)4]$
$S_{40} = 20[4 + 39 \times 4]$
$S_{40} = 20[4 + 156]$
$S_{40} = 20 \times 160 = 3200$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $A = a$ અને બીજું પદ $A + d = b$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = b - a$ છે.
છેલ્લું પદ $l = 2a$ છે. છેલ્લા પદનું સૂત્ર $l = A + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2a = a + (n - 1)(b - a)$.
$a = (n - 1)(b - a) \implies n - 1 = \frac{a}{b - a} \implies n = \frac{a}{b - a} + 1 = \frac{b}{b - a}$.
$A.P.$ નો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(A + l)$ છે.
$S_n = \frac{b}{2(b - a)}(a + 2a) = \frac{3ab}{2(b - a)}$.

(C) પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાંતર શ્રેણી $2, 4, 6, \dots, 2n$ દ્વારા મળે છે.
સરવાળો $S_{E} = \frac{n}{2}(2 + 2n) = n(n + 1)$.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાંતર શ્રેણી $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ દ્વારા મળે છે.
સરવાળો $S_{O} = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$.
સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{S_{E}}{S_{O}} = \frac{n(n + 1)}{n^2} = \frac{n + 1}{n}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $(n + 1):n$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, ......., a_n$ એ સામાન્ય તફાવત $d = a_{i+1} - a_i$ સાથે $A.P.$ માં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = a_1 + (n - 1)d$,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$.
દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$.
$i = 1$ થી $n-1$ સુધીના પદોનો સરવાળો કરતા:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{1}{d} ((\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ....... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ:
$\frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$.
$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$ મૂકતા:
$= \frac{n - 1}{a_n - a_1} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$.

(B) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5 - 2 = 3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_n = 60100$ આપેલ છે,તેથી:
$60100 = \frac{n}{2} \{2(2) + (n - 1)3\}$
$120200 = n(4 + 3n - 3)$
$120200 = n(3n + 1)$
$3n^2 + n - 120200 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-120200)}}{6}$
$n = \frac{-1 \pm 1201}{6}$
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = \frac{1200}{6} = 200$.
આમ,પદોની સંખ્યા $200$ છે.

(B) $1$ અને $100$ ની વચ્ચેની $3$ ના ગુણક ધરાવતી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $3, 6, 9, \dots, 99$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$,અને અંતિમ પદ $l = 99$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$99 = 3 + (n - 1)3$
$96 = (n - 1)3$
$32 = n - 1$
$n = 33$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n$ શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે:
$S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99)$
$S_{33} = \frac{33}{2}(102)$
$S_{33} = 33 \times 51 = 1683$.

(C) આપેલ શ્રેણી $1, 3, 5, 7, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3 - 1 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ છે.
$a = 1$ અને $d = 2$ કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2} \{2(1) + (n - 1)2\}$
$S_n = \frac{n}{2} \{2 + 2n - 2\}$
$S_n = \frac{n}{2} \{2n\}$
$S_n = n^2$.

(A) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 54$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 51 - 54 = -3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_n = 513$ આપેલ છે,તેથી:
$513 = \frac{n}{2} \{2(54) + (n - 1)(-3)\}$
$1026 = n(108 - 3n + 3)$
$1026 = n(111 - 3n)$
$3n^2 - 111n + 1026 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$n^2 - 37n + 342 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
આમ,$n = 18$ અથવા $n = 19$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $S_n = 2n^2 + 5n$.
$n^{th}$ પદ $T_n$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $T_n = S_n - S_{n-1}$ છે ($n > 1$ માટે).
$T_n = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)]$
$T_n = 2n^2 + 5n - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5]$
$T_n = 2n^2 + 5n - [2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5]$
$T_n = 2n^2 + 5n - [2n^2 + n - 3]$
$T_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$T_n = 4n + 3$.
આમ,$n^{th}$ પદ $4n + 3$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = 3n - 1$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદો શોધવા માટે,$n = 1, 2, 3, 4, 5$ મૂકતા:
$T_1 = 3(1) - 1 = 2$
$T_2 = 3(2) - 1 = 5$
$T_3 = 3(3) - 1 = 8$
$T_4 = 3(4) - 1 = 11$
$T_5 = 3(5) - 1 = 14$
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $S_5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$n$ પદોના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k - 1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \frac{n(n+1)}{2} - n$
$n = 5$ માટે:
$S_5 = \frac{3 \times 5 \times 6}{2} - 5 = 45 - 5 = 40$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 10$,અંતિમ પદ $l = 50$ અને સરવાળો $S = 300$ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$300 = \frac{n}{2}(10 + 50)$
$300 = \frac{n}{2}(60)$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$.
તેથી,પદોની સંખ્યા $10$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19\frac{1}{3} - 20 = -\frac{2}{3}$ છે.
શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = a + (n - 1)d = 20 + (n - 1)\left( -\frac{2}{3} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરવાળો મહત્તમ થાય તે માટે,આપણે શ્રેણીના તમામ ધન પદોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,એટલે કે $a_n \ge 0$.
$20 - \frac{2}{3}(n - 1) \ge 0$
$20 \ge \frac{2}{3}(n - 1)$
$30 \ge n - 1$
$n \le 31$.
આમ,પ્રથમ $31$ પદોનો સરવાળો મહત્તમ છે.
$S_{31} = \frac{31}{2} [2a + (31 - 1)d] = \frac{31}{2} [2(20) + 30(-\frac{2}{3})]$
$S_{31} = \frac{31}{2} [40 - 20] = \frac{31}{2} \times 20 = 310$.

(A) $100$ અને $1000$ ની વચ્ચે $9$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
પ્રથમ પદ $a = 108$ અને અંતિમ પદ $l = 999$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 9$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$999 = 108 + (n - 1)9$
$891 = (n - 1)9$
$n - 1 = 99$
$n = 100$.
સરવાળો $S_n$ સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે:
$S_{100} = \frac{100}{2}(108 + 999)$
$S_{100} = 50 \times 1107 = 55350$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S_m = \frac{m}{2}[2a + (m-1)d]$.
તેથી,$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$.
$\Rightarrow \frac{2a + (m-1)d}{2a + (n-1)d} = \frac{m}{n}$.
ગુણાકાર કરતા,$n[2a + (m-1)d] = m[2a + (n-1)d]$.
$2an + n(m-1)d = 2am + m(n-1)d$.
$2an - 2am = m(n-1)d - n(m-1)d$.
$2a(n-m) = d[mn - m - mn + n] = d(n-m)$.
આમ,$d = 2a$.
$m^{th}$ અને $n^{th}$ પદનો ગુણોત્તર $\frac{T_m}{T_n} = \frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d}$ છે.
$d = 2a$ મૂકતા,આપણને $\frac{a + (m-1)2a}{a + (n-1)2a} = \frac{a(1 + 2m - 2)}{a(1 + 2n - 2)} = \frac{2m-1}{2n-1}$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $\sum\limits_{r = 1}^n {\log \left( {\frac{{{a^r}}}{{{b^{r - 1}}}}} \right)} = \log a + \log \left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) + \log \left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) + \dots + \log \left( {\frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $A = \log a$ અને અંતિમ પદ $L = \log \left( {\frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right)$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(A + L)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_n = \frac{n}{2} \left[ \log a + \log \left( {\frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right) \right]$.
$\log x + \log y = \log(xy)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$S_n = \frac{n}{2} \log \left( a \cdot \frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}} \right) = \frac{n}{2} \log \left( {\frac{{{a^{n + 1}}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right)$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + \dots + (x + 28) = 155$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = x + 1$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને અંતિમ પદ $l = x + 28$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$ માં પદનું સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x + 28 = (x + 1) + (n - 1)3$.
$27 = (n - 1)3$ $\Rightarrow n - 1 = 9$ $\Rightarrow n = 10$.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{2}[(x + 1) + (x + 28)] = 155$.
$5(2x + 29) = 155$.
$2x + 29 = 31$.
$2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

(C) $4$ વડે ભાગતા $1$ શેષ વધતી હોય તેવી બે અંકની સંખ્યાઓ $4k + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આવી સૌથી નાની બે અંકની સંખ્યા $13$ $(4 \times 3 + 1)$ છે અને સૌથી મોટી સંખ્યા $97$ $(4 \times 24 + 1)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 13$,અંતિમ પદ $l = 97$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
$n$-માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$
$97 = 13 + (n - 1)4$
$84 = (n - 1)4$
$n - 1 = 21$
$n = 22$
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{22} = \frac{22}{2}(13 + 97) = 11(110) = 1210$.

(C) સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $S_{2n} - S_n$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$S_{2n} - S_n = \frac{2n}{2}\{2a + (2n - 1)d\} - \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$
$= n\{2a + 2nd - d\} - \frac{n}{2}\{2a + nd - d\}$
$= \frac{n}{2}\{4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d\}$
$= \frac{n}{2}\{2a + 3nd - d\} = \frac{n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$
હવે,$S_{3n} = \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$.
તેથી,$S_{2n} - S_n = \frac{1}{3} \times \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\} = \frac{1}{3}S_{3n}$.

(A) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $k$ પદોનો સરવાળો $S_k = \frac{k}{2} \{2a + (k - 1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_{kn}}{S_n}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{S_{kn}}{S_n} = \frac{\frac{kn}{2} \{2a + (kn - 1)d\}}{\frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}}$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$= k \left\{ \frac{2a + knd - d}{2a + nd - d} \right\} = k \left\{ \frac{(2a - d) + knd}{(2a - d) + nd} \right\}$
આ પદાવલિ $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$(2a - d)$ ની કિંમત $0$ હોવી જોઈએ.
જો $2a - d = 0$ હોય,તો પદાવલિ:
$= k \left\{ \frac{knd}{nd} \right\} = k^2$
કારણ કે $k^2$ એ $n$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી શરત $2a - d = 0$ છે.