Geometric progression Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $G$.$P$. ના પદો $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, ar^{4}$ છે.
આપેલ છે કે $3a_{2} + a_{3} = 2a_{4}$,તેથી $3ar + ar^{2} = 2ar^{3}$.
$a_{1} > 0$ હોવાથી $a \neq 0$,તેથી $3 + r = 2r^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2r^{2} - r - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2r - 3)(r + 1) = 0$,તેથી $r = \frac{3}{2}$ અથવા $r = -1$.
આપેલ છે કે $a_{2} + a_{4} = 2a_{3} + 1$,તેથી $ar + ar^{3} = 2ar^{2} + 1$,અથવા $a(r + r^{3} - 2r^{2}) = 1$.
જો $r = -1$,તો $a(-1 - 1 - 2) = 1 \implies -4a = 1 \implies a = -\frac{1}{4}$. $a_{1} > 0$ હોવાથી,આ શક્ય નથી.
જો $r = \frac{3}{2}$,તો $a(\frac{3}{2} + \frac{27}{8} - 2(\frac{9}{4})) = 1 \implies a(\frac{12 + 27 - 36}{8}) = 1 \implies a(\frac{3}{8}) = 1 \implies a = \frac{8}{3}$.
હવે,$a_{2} + a_{4} + 2a_{5} = ar + ar^{3} + 2ar^{4} = a(r + r^{3} + 2r^{4})$.
$a = \frac{8}{3}$ અને $r = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$= \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + 2 \times \frac{81}{16}) = \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + \frac{81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{12 + 27 + 81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{120}{8}) = \frac{8}{3} \times 15 = 40$.

(C) ધારો કે ભૂમિતિ શ્રેણી $a, ar, ar^2, \ldots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
આપેલ છે કે $A_{1} A_{3} A_{5} A_{7} = \frac{1}{1296}$.
પદો મૂકતા: $a \cdot (ar^2) \cdot (ar^4) \cdot (ar^6) = a^4 r^{12} = (ar^3)^4 = (A_{4})^4 = \frac{1}{1296}$.
તેથી,$A_{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{1296}} = \frac{1}{6}$.
આપેલ છે કે $A_{2} + A_{4} = \frac{7}{36}$,તેથી $ar + ar^3 = \frac{7}{36}$.
$A_{4} = ar^3 = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$ar + \frac{1}{6} = \frac{7}{36}$,તેથી $ar = \frac{1}{36}$.
હવે,$r^2 = \frac{ar^3}{ar} = \frac{1/6}{1/36} = 6$,તેથી $r = \sqrt{6}$.
આપણે $A_{6} + A_{8} + A_{10} = ar^5 + ar^7 + ar^9 = ar^5(1 + r^2 + r^4)$ શોધવાનું છે.
$ar^5 = (ar) \cdot r^4 = \frac{1}{36} \cdot (6)^2 = 1$.
$A_{6} + A_{8} + A_{10} = 1 \cdot (1 + 6 + 36) = 43$.

(C) પ્રથમ $G$.$P$. ના પદોનો ગુણાકાર $P_1 = 2^{1+2+\dots+60} = 2^{1830}$ છે.
બીજા $G$.$P$. ના પદોનો ગુણાકાર $P_2 = 4^{1+2+\dots+n} = 2^{n(n+1)}$ છે.
તમામ $60+n$ પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક $(P_1 \times P_2)^{\frac{1}{60+n}} = 2^{\frac{225}{8}}$ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{n^2+n+1830}{60+n} = \frac{225}{8}$.
સમીકરણ ઉકેલતા $n=20$ મળે છે.
$\sum_{k=1}^{n} k(n-k) = \frac{n(n^2-1)}{6}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n=20$ માટે: $\frac{20(399)}{6} = 1330$.

(D) ધારો કે $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \dots + \frac{10 \cdot 2^{10}}{3}$.
શ્રેણીને આ રીતે લખી શકાય: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \dots + \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right)$.
કૌંસમાં રહેલ પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 1$,$r = \frac{2}{3}$,અને $n = 11$ પદો છે.
સરવાળો $= \frac{1(1 - (2/3)^{11})}{1 - 2/3} = 3 \left( 1 - \frac{2^{11}}{3^{11}} \right) = 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}}$.
આ કિંમત મૂકતા: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}} \right) = \frac{6}{3^{12}} + \frac{30}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{96}{3^{12}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{32}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}}$.
$2^n \cdot m$ ના સ્વરૂપમાં જોતા,$n = 12$ અને $m = 1$ મળે છે,તેથી $m \cdot n = 12$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ છે.
આ $7$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને $(x-2)(x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^7 - 2^7 = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x^7 = 128$.
આ સમીકરણના બીજ $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
જોકે,મૂળ સમીકરણ એ $x=2$ સિવાયના પદોનો સરવાળો છે (કારણ કે $x=2$ મૂકતા સરવાળો $448 \neq 0$ થાય છે).
આમ,બીજ $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
આ તમામ બીજ માટે,$|x_k| = |2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2 |e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2(1) = 2$.
તેથી,$i$ ના તમામ મૂલ્યો માટે $|x_i|=2$ છે.

(D) ધારો કે $p(x) = 1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{34} = \frac{x^{36}-1}{x^2-1}$.
ધારો કે $q(x) = 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{17} = \frac{x^{18}-1}{x-1}$.
તેથી,$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^{18}+1}{x+1}$.
ભાગાકાર કરતા,ભાગફળ $x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{14}+\ldots-1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $r_n$ એ વર્તુળ $C_n$ ની ત્રિજ્યા છે. આપેલ છે કે $r_0 = 1$,તેથી $\text{Area}(C_0) = \pi r_0^2 = \pi$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસનો વિકર્ણ તેના વ્યાસ $2r$ જેટલો હોય છે. જો ચોરસની બાજુ $a$ હોય,તો $a^2 + a^2 = (2r)^2$,જેનો અર્થ છે કે $2a^2 = 4r^2$,તેથી $a^2 = 2r^2$.
$C_{n-1}$ માં અંતર્ગત ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2r_{n-1}^2$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$\text{Area}(C_n) = \pi r_n^2 = 2r_{n-1}^2$.
આમ,$r_n^2 = \frac{2}{\pi} r_{n-1}^2$. આ ક્ષેત્રફળો $A_n = \text{Area}(C_n)$ માટે એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A_0 = \pi$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $k = \frac{2}{\pi}$ છે.
ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{\infty} A_i = A_0 + A_0 k + A_0 k^2 + \dots = \frac{A_0}{1-k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i) = \frac{\pi}{1 - \frac{2}{\pi}} = \frac{\pi}{\frac{\pi-2}{\pi}} = \frac{\pi^2}{\pi-2}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, ar, ar^2$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$1$. $a + ar > ar^2$ $\Rightarrow 1 + r > r^2$ $\Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $r > 0$ હોવાથી,$r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે.
$2$. $ar + ar^2 > a \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$.
$r^2 + r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $r > 0$ હોવાથી,$r > \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ મળે.
આ બંનેને જોડતા,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે સૌથી મોટા ચોરસની બાજુ $a$ છે.
યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots$ છે.
તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $S_1 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{4})^2 + \dots = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} + \dots$ છે.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,$S_1 = \frac{a^2}{1 - 1/4} = \frac{a^2}{3/4} = \frac{4a^2}{3}$.
ત્રાંસા ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{2\sqrt{2}}, \frac{a}{4\sqrt{2}}, \dots$ છે.
તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $S_2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{2\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{4\sqrt{2}})^2 + \dots = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{32} + \dots$ છે.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = \frac{a^2}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,$S_2 = \frac{a^2/2}{1 - 1/4} = \frac{a^2/2}{3/4} = \frac{a^2}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2a^2}{3}$.
તેથી,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4a^2/3}{2a^2/3} = 2$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે $T_4 = ar^3 = 500$,જ્યાં $r = \frac{1}{m}$.
તેથી,$a(\frac{1}{m})^3 = 500 \implies a = 500m^3$.
આપેલ છે $S_6 > S_5 + 1 \implies S_6 - S_5 > 1 \implies T_6 > 1$.
$ar^5 > 1 \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^5 > 1 \implies \frac{500}{m^2} > 1 \implies m^2 < 500$.
આપેલ છે $S_7 < S_6 + \frac{1}{2} \implies S_7 - S_6 < \frac{1}{2} \implies T_7 < \frac{1}{2}$.
$ar^6 < \frac{1}{2} \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^6 < \frac{1}{2} \implies \frac{500}{m^3} < \frac{1}{2} \implies m^3 > 1000 \implies m > 10$.
$m^2 < 500$ અને $m > 10$ ને જોડતા,આપણને $10 < m < \sqrt{500} \approx 22.36$ મળે છે.
$m \in N$ હોવાથી,$m \in \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22\}$.
$m$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ તમામ $x, y \in \mathbb{N}$ માટે અને $f(1)=3$.
આપણે શ્રેણીના પદો શોધી શકીએ છીએ:
$f(1)=3$
$f(2)=f(1+1)=f(1) \cdot f(1)=3^2=9$
$f(3)=f(2+1)=f(2) \cdot f(1)=3^2 \cdot 3=3^3=27$
સામાન્ય રીતે,$f(k)=3^k$.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} 3^k = 3279$ આપેલ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ અને $n$ પદો છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3(3^n-1)}{3-1} = 3279$
$\frac{3(3^n-1)}{2} = 3279$
$3(3^n-1) = 6558$
$3^n-1 = 2186$
$3^n = 2187$
કારણ કે $3^7 = 2187$,તેથી $n=7$ મળે છે.

(C) ધારો કે $GP$ $a, ar, ar^2, \ldots$ છે.
આપેલ છે કે $a_4 \cdot a_6 = 9$,તેથી $(ar^3)(ar^5) = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 r^8 = 9$,એટલે કે $a_5^2 = 9$. પદો ધન હોવાથી,$a_5 = 3$.
આપેલ છે કે $a_5 + a_7 = 24$,તેથી $a_5 + a_5 r^2 = 24$.
$a_5 = 3$ મૂકતા,આપણને $3(1 + r^2) = 24$ મળે છે,તેથી $1 + r^2 = 8$,જે $r^2 = 7$ આપે છે.
$a_5 = ar^4 = 3$ હોવાથી,$a(7^2) = 3$,એટલે કે $a = \frac{3}{49}$.
હવે,$a_1 a_9 + a_2 a_4 a_9 + a_5 + a_7$ ની કિંમત શોધો:
$a_1 a_9 = a(ar^8) = a^2 r^8 = (ar^4)^2 = a_5^2 = 3^2 = 9$.
$a_2 a_4 a_9 = (ar)(ar^3)(ar^8) = a^3 r^{12} = (ar^4)^3 = a_5^3 = 3^3 = 27$.
$a_5 + a_7 = 24$.
આમ,$9 + 27 + 24 = 60$.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના ચાર ધન ક્રમિક પદો $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ છે,જ્યાં સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^2$ છે.
આપેલ ગુણાકાર: $\frac{a}{r^3} \times \frac{a}{r} \times ar \times ar^3 = a^4 = 1296 \implies a = 6$.
આપેલ સરવાળો: $\frac{a}{r^3} + \frac{a}{r} + ar + ar^3 = 126$.
$a=6$ મૂકતા: $\frac{6}{r^3} + \frac{6}{r} + 6r + 6r^3 = 126 \implies (r^3 + \frac{1}{r^3}) + (r + \frac{1}{r}) = 21$.
ધારો કે $x = r + \frac{1}{r}$. તો $r^3 + \frac{1}{r^3} = x^3 - 3x$.
તેથી,$(x^3 - 3x) + x = 21 \implies x^3 - 2x - 21 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=3$ એ બીજ છે: $27 - 6 - 21 = 0$.
આમ,$r + \frac{1}{r} = 3 \implies r^2 - 3r + 1 = 0$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^2$ છે. $r^2 - 3r + 1 = 0$ પરથી,$r^2 + 1 = 3r$.
$r$ વડે ભાગતા,$r + \frac{1}{r} = 3$. વર્ગ કરતા $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 = 9 \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = 7$.
બે શક્ય સામાન્ય ગુણોત્તરો $t^2 - 7t + 1 = 0$ ના બીજ છે (કારણ કે $R + \frac{1}{R} = 7$).
સામાન્ય ગુણોત્તરોનો સરવાળો $7$ છે.

(A) ગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદો $a, ar, ar^2$ છે.
તેમના વર્ગોનો સરવાળો $33033$ આપેલ છે:
$a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 33033$
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 33033$
$33033$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3 \times 7 \times 11^2 \times 13 = 121 \times 273$ છે.
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 121 \times 273$ ને સરખાવતા,$a^2 = 121 \Rightarrow a = 11$ અને $1 + r^2 + r^4 = 273$ મળે.
$r^4 + r^2 - 272 = 0$
ધારો કે $x = r^2$,તો $x^2 + x - 272 = 0$.
$(x + 17)(x - 16) = 0$.
$r$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$r^2 = 16 \Rightarrow r = 4$.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $a + ar + ar^2 = 11 + 11(4) + 11(4^2) = 11 + 44 + 176 = 231$ થાય.

(D) પદોને $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ તરીકે લો.
મધ્યક $\frac{31}{10}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 5 \times \frac{31}{10} = \frac{31}{2}$.
વ્યસ્તનો મધ્યક $\frac{31}{40}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 5 \times \frac{31}{40} = \frac{31}{8}$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજા વડે ભાગતા,$a^2 = 4$ મળે,તેથી $a = 2$.
$a=2$ મૂકતા,$r=2$ મળે છે. પદો $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{186}{25}$ મળે છે.
તેથી $m=186, n=25$ અને $m+n = 211$.

(D) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, \ldots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
આપેલ છે કે $a_6 + a_8 = 2 \implies ar^5 + ar^7 = 2 \implies ar^5(1 + r^2) = 2$.
આપેલ છે કે $a_3 \times a_5 = \frac{1}{9} \implies (ar^2)(ar^4) = \frac{1}{9} \implies a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies ar^3 = \frac{1}{3}$ (કારણ કે $a, r > 0$).
પ્રથમ સમીકરણને બીજા વડે ભાગતા: $\frac{ar^5(1 + r^2)}{ar^3} = \frac{2}{1/3} \implies r^2(1 + r^2) = 6 \implies r^4 + r^2 - 6 = 0$.
ધારો કે $x = r^2$,તો $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0$. $r^2 > 0$ હોવાથી,$r^2 = 2$.
તેથી $a(2)^{3/2} = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$.
આપણે $6(a_2 + a_4)(a_4 + a_6) = 6(ar + ar^3)(ar^3 + ar^5) = 6(ar(1 + r^2))(ar^3(1 + r^2)) = 6a^2r^4(1 + r^2)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies a^2r^4 = \frac{1}{9r^2} = \frac{1}{18}$ મૂકતા.
અભિવ્યક્તિ $= 6 \times \frac{1}{18} \times (1 + 2)^2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$.

(D) ધારો કે $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots, ar^{63}$ છે.
બધા $64$ પદોનો સરવાળો $S_{64} = \frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ છે.
એકી પદો $a, ar^2, ar^4, \ldots, ar^{62}$ છે. આ $32$ પદોની $G.P.$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
એકી પદોનો સરવાળો $S_{odd} = \frac{a((r^2)^{32}-1)}{r^2-1} = \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$ છે.
આપેલ છે કે $S_{64} = 7 \times S_{odd}$,તેથી:
$\frac{a(r^{64}-1)}{r-1} = 7 \times \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$.
$r \neq 1$ અને $r^{64} \neq 1$ લેતા,બંને બાજુથી $\frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ ને દૂર કરતા:
$1 = \frac{7}{r+1}$.
$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.

(D) ધારો કે ગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક છે:
$a_n = \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{2}$
$2 a r^{n-1} = a r^n + a r^{n+1}$
$a r^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$2 = r + r^2$
$r^2 + r - 2 = 0$
$(r + 2)(r - 1) = 0$
$a_2 \neq a_1$ હોવાથી $r \neq 1$,તેથી $r = -2$.
આપણે $S_{20} - S_{18} = a_{19} + a_{20}$ શોધવાનું છે.
$a_{19} + a_{20} = a r^{18} + a r^{19} = a r^{18}(1 + r)$.
$a = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ અને $r = -2$ મૂકતા:
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (-2)^{18} (1 - 2)$
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (2^{18}) (-1)$
$S_{20} - S_{18} = -2^{15}$.

(C) પ્રથમ $GP$ માટે: સામાન્ય ગુણોત્તર $r_1$ ધારો. આપેલ છે કે $t_1 = a$ અને $t_3 = b = a r_1^2$,તેથી $r_1^2 = \frac{b}{a}$.
$11$મું પદ $t_{11} = a r_1^{10} = a (r_1^2)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^5$ છે.
બીજા $GP$ માટે: સામાન્ય ગુણોત્તર $r_2$ ધારો. આપેલ છે કે $T_1 = a$ અને $T_5 = b = a r_2^4$,તેથી $r_2^4 = \frac{b}{a}$,જેનો અર્થ છે $r_2 = \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4}$.
$p$મું પદ $T_p = a r_2^{p-1} = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$ છે.
$t_{11} = T_p$ આપેલ હોવાથી,$a \left(\frac{b}{a}\right)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$5 = \frac{p-1}{4}$,તેથી $p-1 = 20$,એટલે કે $p = 21$.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
ત્રિકોણની બાજુઓ માટે,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$a + ar > ar^2 \implies 1 + r > r^2 \implies r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
$r > 1$ હોવાથી,$r^2 - r - 1 < 0$ ની શરત મુજબ $1 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$\frac{1 + 2.236}{2} = 1.618$ થાય.
તેથી,$1 < r < 1.618$.
આથી,$[r] = 1$.
$[-r]$ માટે,$1 < r < 1.618$ હોવાથી,$-1.618 < -r < -1$ મળે.
તેથી,$[-r] = -2$.
આમ,$3[r] + [-r] = 3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

(C) ધારો કે ભૂમિતિ શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$.
આપેલ છે કે $T_2 + T_6 = \frac{70}{3}$,તેથી $ar + ar^5 = \frac{70}{3} \implies ar(1 + r^4) = \frac{70}{3}$.
આપેલ છે કે $T_3 \cdot T_5 = 49$,તેથી $(ar^2)(ar^4) = 49 \implies a^2r^6 = 49 \implies ar^3 = 7$ (કારણ કે પદો ધન છે).
આમ,$a = \frac{7}{r^3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{7}{r^3} \cdot r(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{7}{r^2}(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{1 + r^4}{r^2} = \frac{10}{3}$.
ધારો કે $r^2 = t$. તો $\frac{1 + t^2}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(3t - 1)(t - 3) = 0$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$r > 1$,તેથી $r^2 = 3$.
આપણે $T_4 + T_6 + T_8 = ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ શોધવાનું છે.
$ar^3 = 7$ અને $r^2 = 3$ મૂકતા: $7(1 + 3 + 3^2) = 7(1 + 3 + 9) = 7(13) = 91$.

(D) અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$.
આપેલ છે કે $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = 57$,તેથી $\frac{a}{1-r} = 57$ $(I)$.
આપેલ છે કે $\sum_{n=0}^{\infty} a^3 r^{3n} = 9747$,આ એક $G.P.$ છે જેનું પ્રથમ પદ $a^3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^3$ છે.
તેથી,$\frac{a^3}{1-r^3} = 9747$ $(II)$.
$(I)^3$ ને $(II)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^3}{(1-r)^3} \times \frac{1-r^3}{a^3} = \frac{57^3}{9747}$
$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$
$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$
$18r^2 - 39r + 18 = 0$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
$(2r-3)(3r-2) = 0$
$|r| < 1$ હોવાથી,$r = \frac{2}{3}$ લેતા.
$a = 57(1 - \frac{2}{3}) = 19$.
તેથી,$a + 18r = 19 + 18(\frac{2}{3}) = 31$.

(C) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, ar^3$ છે જ્યાં $r \neq 1$ અને $r > 0$.
તેથી $b_1 = a, b_2 = a(1+r), b_3 = a(1+r+r^2), b_4 = a(1+r+r^2+r^3)$.
$b_1, b_2, b_3, b_4$ એ $A.P.$ માં હોવા માટે $b_2-b_1 = b_3-b_2 = b_4-b_3$ હોવું જોઈએ.
$b_2-b_1 = ar$,$b_3-b_2 = ar^2$,$b_4-b_3 = ar^3$.
$r \neq 1$ હોવાથી,$ar \neq ar^2 \neq ar^3$,તેથી તે $A.P.$ માં નથી.
$G.P.$ માટે,$\frac{b_2}{b_1} = 1+r$ અને $\frac{b_3}{b_2} = \frac{1+r+r^2}{1+r}$ સમાન નથી.
$H.P.$ માટે,વ્યસ્ત સંખ્યાઓ $A.P.$ માં હોવી જોઈએ,જે શક્ય નથી.
આમ,$STATEMENT-1$ સાચું છે અને $STATEMENT-2$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2$ લો,જ્યાં $r$ એક પૂર્ણાંક છે કારણ કે $\frac{b}{a} = r$ એક પૂર્ણાંક છે.
$a, b, c$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{a+b+c}{3} = b+2$ છે.
$b = ar$ અને $c = ar^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{a + ar + ar^2}{3} = ar + 2$ મળે છે.
$3$ વડે ગુણતા,$a + ar + ar^2 = 3ar + 6$,જેનું સાદું રૂપ $a + ar^2 = 2ar + 6$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$a(1 - 2r + r^2) = 6$,અથવા $a(r-1)^2 = 6$ મળે છે.
$a$ અને $r$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(r-1)^2$ એ $6$ નો અવયવ હોવો જોઈએ. $6$ ના પૂર્ણવર્ગ અવયવો $1$ છે. તેથી,$(r-1)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $r-1 = 1$ (કારણ કે $a, b, c$ ધન પૂર્ણાંકો હોવા માટે $r$ ધન હોવો જોઈએ),તેથી $r = 2$.
$a(r-1)^2 = 6$ માં $r = 2$ મૂકતા,$a(1)^2 = 6$,તેથી $a = 6$ મળે છે.
હવે,$a = 6$ માટે $\frac{a^2+a-14}{a+1}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\frac{6^2 + 6 - 14}{6 + 1} = \frac{36 + 6 - 14}{7} = \frac{28}{7} = 4$.

(C) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5, \ldots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
આપેલ છે $a_1 a_5 = 28$ $\Rightarrow a(ar^4) = 28$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 28$ $\Rightarrow (ar^2)^2 = 28$ $\Rightarrow ar^2 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
આપેલ છે $a_2 + a_4 = 29$ $\Rightarrow ar + ar^3 = 29$ $\Rightarrow ar(1 + r^2) = 29$.
$ar^2 = \sqrt{28}$ હોવાથી,$a = \frac{\sqrt{28}}{r^2}$ મળે.
બીજા સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\sqrt{28}}{r^2} \cdot r(1 + r^2) = 29 \Rightarrow \frac{\sqrt{28}(1 + r^2)}{r} = 29$.
ધારો કે $x = r + \frac{1}{r}$. તેથી $r^2 + 1 = xr$.
સમીકરણ $\sqrt{28} \cdot x = 29 \Rightarrow x = \frac{29}{\sqrt{28}}$ બને છે.
$r + \frac{1}{r} = \frac{29}{\sqrt{28}}$ હોવાથી,$r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 - \frac{29}{\sqrt{28}}r + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \frac{28}{\sqrt{28}} = \sqrt{28}$ (વધતા પદો માટે $r > 1$).
તેથી $a = \frac{\sqrt{28}}{28} = \frac{1}{\sqrt{28}}$.
અંતે,$a_6 = ar^5 = \frac{1}{\sqrt{28}} \cdot (\sqrt{28})^5 = 28^2 = 784$.

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે ($r > 1$ કારણ કે પદો વધતા ક્રમમાં છે).
$a_3 a_5 = (ar^2)(ar^4) = a^2 r^6 = 729 \Rightarrow ar^3 = 27 \dots (i)$
$a_2 + a_4 = ar + ar^3 = \frac{111}{4} \dots (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$ar + 27 = \frac{111}{4} \Rightarrow ar = \frac{111}{4} - 27 = \frac{111 - 108}{4} = \frac{3}{4} \dots (iii)$
$(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^3}{ar} = \frac{27}{3/4}$ $\Rightarrow r^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$ $\Rightarrow r = 6$ (કારણ કે પદો ધન છે).
$(iii)$ પરથી,$a(6) = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
હવે,$24(a_1 + a_2 + a_3) = 24(a + ar + ar^2) = 24a(1 + r + r^2)$.
$= 24 \times \frac{1}{8} (1 + 6 + 36) = 3(43) = 129$.

(D) ધારો કે $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$.
આપેલ છે કે $ar + ar^3 + ar^5 = 21 \Rightarrow ar(1 + r^2 + r^4) = 21$ $(1)$.
આપેલ છે કે $ar^7 + ar^9 + ar^{11} = 15309 \Rightarrow ar^7(1 + r^2 + r^4) = 15309$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,$\frac{ar^7(1 + r^2 + r^4)}{ar(1 + r^2 + r^4)} = \frac{15309}{21}$.
$r^6 = 729$ $\Rightarrow r^6 = 3^6$ $\Rightarrow r = 3$ (કારણ કે પદો ધન છે).
$r = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $a(3)(1 + 9 + 81) = 21$ $\Rightarrow 3a(91) = 21$ $\Rightarrow a = \frac{21}{273} = \frac{1}{13}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
$n = 9$ માટે,$S_9 = \frac{\frac{1}{13}(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{19683 - 1}{13 \times 2} = \frac{19682}{26} = 757$.

(D) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P(1 + r)^n$ છે, જ્યાં $r$ એ પ્રતિ સમયગાળાનો વ્યાજ દર છે。
આપેલ છે $P = 200$, $A = 400$, અને $n = 6$ વર્ષ:
$400 = 200(1 + r)^6$
$(1 + r)^6 = 2$
$(1 + r) = 2^{\frac{1}{6}}$
હવે, $n = 33$ વર્ષ પછીની રકમ $A$ શોધવી છે:
$A = 200(1 + r)^{33}$
$A = 200(2^{\frac{1}{6}})^{33}$
$A = 200(2^{\frac{33}{6}})$
$A = 200(2^{\frac{11}{2}})$
$A = 200(2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$
$A = 200(32 \sqrt{2})$
$A = 6400 \sqrt{2}$

(A) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $5$ વર્ષ છે.
પ્રારંભિક જથ્થો $(N_0)$ $64$ gms છે.
કુલ સમય $(t)$ $15$ વર્ષ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલો જથ્થો $(N)$ સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ gms.
તેથી,$15$ વર્ષ પછી બાકી રહેલો જથ્થો $8$ gms છે.

(C) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $s_{n} = 7(3^{n} - 1)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{th}$ પદ $t_{n} = s_{n} - s_{n-1}$ ($n > 1$ માટે).
$s_{n-1} = 7(3^{n-1} - 1)$.
$t_{n} = 7(3^{n} - 1) - 7(3^{n-1} - 1)$.
$t_{n} = 7(3^{n} - 1 - 3^{n-1} + 1)$.
$t_{n} = 7(3^{n} - 3^{n-1})$.
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1}(3 - 1)$.
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1} \cdot 2$.
$t_{n} = 14 \cdot 3^{n-1}$.

(C) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ચાર પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
આપેલ છે કે,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = 160$.
પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $160 = \frac{a(3^4 - 1)}{3 - 1}$.
$160 = \frac{a(81 - 1)}{2} = \frac{a(80)}{2} = 40a$.
તેથી,$a = \frac{160}{40} = 4$.
$4^{th}$ પદ $T_4 = ar^3$ છે.
$T_4 = 4 \times (3)^3 = 4 \times 27 = 108$.

(B) ધારો કે $GP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
તેથી,$A = aR^{p-1}$,$B = aR^{q-1}$,અને $C = aR^{r-1}$.
હવે,પદાવલિ $E = A^{q-r} \cdot B^{r-p} \cdot C^{p-q}$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા:
$E = (aR^{p-1})^{q-r} \cdot (aR^{q-1})^{r-p} \cdot (aR^{r-1})^{p-q}$
$E = a^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
કારણ કે $(q-r) + (r-p) + (p-q) = 0$,તેથી $a$ નો ઘાત $0$ થાય છે.
$R$ ના ઘાત માટે:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
આમ,$E = a^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે અનંત $GP$ નો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 9$.
આથી $a = 9(1-r)$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = 5$ છે.
$a = 9(1-r)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$9(1-r)(1+r) = 5$.
$9(1-r^2) = 5$.
$1-r^2 = \frac{5}{9}$.
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$r = \pm \frac{2}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{2}{3}$ છે.

(B) $G.P.$ માં,$m^{\text{th}}$ પદ એ તેનાથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક છે.
તેથી,$(T_m)^2 = T_{m+n} \times T_{m-n}$.
આપેલ છે કે $T_{m+n} = p$ અને $T_{m-n} = q$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(T_m)^2 = p \times q$ મળે છે.
આમ,$T_m = \sqrt{pq}$.

(C) આપણને પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 5(2^n - 1)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$-મું પદ $t_n = S_n - S_{n-1}$ થાય,જ્યાં $n > 1$.
$t_n = 5(2^n - 1) - 5(2^{n-1} - 1)$
$t_n = 5(2^n - 1 - 2^{n-1} + 1)$
$t_n = 5(2^n - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2 \times 2^{n-1} - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2^{n-1}(2 - 1))$
$t_n = 5(2^{n-1})$

(B) આપેલ છે $S_n = \frac{4^n - 3^n}{3^n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n > 1$ માટે $t_n = S_n - S_{n-1}$.
$n = 2$ માટે,$t_2 = S_2 - S_1$.
$S_2 = \frac{4^2 - 3^2}{3^2} = \frac{16 - 9}{9} = \frac{7}{9}$ ગણો.
$S_1 = \frac{4^1 - 3^1}{3^1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$ ગણો.
તેથી,$t_2 = \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{7 - 3}{9} = \frac{4}{9}$.

(B) ધારો કે $G$.$P$. નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G$.$P$. નું $n^{\text{th}}$ પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$x = T_4 = ar^3$
$y = T_{10} = ar^9$
$z = T_{16} = ar^{15}$
હવે,$xz$ નો ગુણાકાર ધ્યાનમાં લો:
$xz = (ar^3)(ar^{15}) = a^2r^{18} = (ar^9)^2$
કારણ કે $y = ar^9$,તેથી $xz = y^2$ મળે.
તેથી,$y = \sqrt{xz}$.

(B) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}$ એ પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આપણને $\frac{a_3}{a_1} = 25$ આપેલ છે.
$a_n = ar^{n-1}$ હોવાથી,$a_3 = ar^2$ અને $a_1 = a$ થાય.
તેથી,$\frac{ar^2}{a} = 25$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 25$.
આપણે $\frac{a_9}{a_5}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$n$-માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_9}{a_5} = \frac{ar^8}{ar^4} = r^4$ મળે.
$r^2 = 25$ હોવાથી,$r^4 = (r^2)^2 = (25)^2 = (5^2)^2 = 5^4$ થાય.

(D) ધારો કે $G$.$P$. ના પ્રથમ પાંચ પદો $\frac{a}{r^{2}}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^{2}$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $a = 9$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર $\frac{a}{r^{2}} \times \frac{a}{r} \times a \times ar \times ar^{2} = a^{5}$ થાય.
$a = 9$ મૂકતા,આપણને $9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \sin x$ છે.
સરવાળો $4+2 \sqrt{3}$ હોવાથી,આપણે $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$
$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{(4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3})} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
આમ,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 < x < \pi$ માટે,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{2 \pi}{3}$ છે.

(B) $GP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ છે.
તે જ રીતે,$2n$ પદોનો સરવાળો $S_{2n} = \frac{a(1 - r^{2n})}{1 - r}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \times \frac{1 - r}{a(1 - r^{2n})}$.
નિત્યસમ $1 - r^{2n} = (1 - r^n)(1 + r^n)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1 - r^n}{(1 - r^n)(1 + r^n)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1}{1 + r^n}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$T_{2} = 24$ અને $T_{5} = 3$.
$G$.$P$. માં,$n^{\text{th}}$ પદ $T_{n} = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$ar = 24$ $(1)$ અને $ar^{4} = 3$ $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{ar^{4}}{ar} = \frac{3}{24}$ $\Rightarrow r^{3} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$a \times \frac{1}{2} = 24 \Rightarrow a = 48$.
$G$.$P$. ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ છે.
$n = 6$ માટે,$S_{6} = \frac{48(1-(1/2)^{6})}{1-1/2} = \frac{48(1-1/64)}{1/2} = 96 \times \frac{63}{64} = \frac{3 \times 63}{2} = \frac{189}{2}$.

(C) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{p}{r}, p, pr$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \frac{p}{r} + p + pr = a \Rightarrow p(\frac{1}{r} + 1 + r) = a$
$2) \frac{p}{r} \cdot p + p \cdot pr + pr \cdot \frac{p}{r} = b \Rightarrow p^2(\frac{1}{r} + r + 1) = b$
$3) \frac{p}{r} \cdot p \cdot pr = p^3 = c$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{p^2(\frac{1}{r} + r + 1)}{p(\frac{1}{r} + r + 1)} = \frac{b}{a} \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$p = \frac{b}{a}$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$(\frac{b}{a})^3 = c \Rightarrow \frac{b^3}{a^3} = c$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha, \alpha r, \alpha r^2, \alpha r^3$ છે જ્યાં $r > 1$.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2-3x+a=0$ પરથી,$\alpha + \alpha r = 3$ અને $\alpha(\alpha r) = a$ મળે.
બીજા સમીકરણ $x^2-12x+b=0$ પરથી,$\alpha r^2 + \alpha r^3 = 12$ અને $(\alpha r^2)(\alpha r^3) = b$ મળે.
$\alpha(1+r) = 3$ અને $\alpha r^2(1+r) = 12$ નો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\alpha r^2(1+r)}{\alpha(1+r)} = \frac{12}{3}$,જે $r^2 = 4$ આપે છે.
$r > 1$ હોવાથી,$r = 2$ મળે.
$r=2$ ને $\alpha(1+r) = 3$ માં મૂકતા,$\alpha(3) = 3$,તેથી $\alpha = 1$ મળે.
બીજ $1, 2, 4, 8$ છે.
આમ,$a = \alpha(\alpha r) = 1 \times 2 = 2$ અને $b = (\alpha r^2)(\alpha r^3) = 4 \times 8 = 32$.
તેથી,$a+b = 2+32 = 34$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-k x^2+14 x-8=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે જે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a_{coeff}} = -\frac{-8}{1} = 8$ થાય.
તેથી,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
અહીં $a=2$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2)^3 - k(2)^2 + 14(2) - 8 = 0$.
$8 - 4k + 28 - 8 = 0$.
$28 - 4k = 0$.
$4k = 28 \Rightarrow k = 7$.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3-13x^2+Kx-27=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજનો ગુણાકાર લેતા,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -\frac{-27}{1} = 27$.
તેથી,$a^3 = 27$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
$a=3$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $3^3 - 13(3^2) + K(3) - 27 = 0$.
$27 - 117 + 3K - 27 = 0$.
$3K - 117 = 0$.
$3K = 117$.
$K = 39$.

(C) ધારો કે સમીકરણના બીજ $a/r^2, a/r, a, ar, ar^2$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $a^5 = S$ થાય છે.
બીજના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{a/r^2} + \frac{1}{a/r} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = \frac{r^2+r+1+1/r+1/r^2}{a} = 10$ છે.
વળી,બીજનો સરવાળો $a/r^2 + a/r + a + ar + ar^2 = 40$ છે.
$a$ સામાન્ય લેતા,$a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2) = 40$ મળે.
બીજના સરવાળાને વ્યસ્તના સરવાળા વડે ભાગતા: $\frac{a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)}{(1/a)(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)} = \frac{40}{10} = 4$.
આથી $a^2 = 4$,એટલે કે $a = 2$ અથવા $a = -2$.
$a^5 = S$ હોવાથી,$S = 2^5 = 32$ અથવા $S = (-2)^5 = -32$ મળે.
તેથી,$|S| = 32$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3-7x^2+14x-8=0$ છે. ધારો કે બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
બીજનો સરવાળો: $\frac{a}{r} + a + ar = 7$. $a=2$ મૂકતા:
$\frac{2}{r} + 2 + 2r = 7$ $\Rightarrow \frac{2}{r} + 2r = 5$ $\Rightarrow 2 + 2r^2 = 5r$ $\Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $2r^2 - 4r - r + 2 = 0$ $\Rightarrow 2r(r-2) - 1(r-2) = 0$ $\Rightarrow (2r-1)(r-2) = 0$.
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r=2$ હોય,તો બીજ $\frac{2}{2}, 2, 2(2)$ એટલે કે $1, 2, 4$ મળે.
જો $r=\frac{1}{2}$ હોય,તો બીજ $\frac{2}{1/2}, 2, 2(1/2)$ એટલે કે $4, 2, 1$ મળે.
બંને કિસ્સામાં બીજ $1, 2, 4$ છે.
સૌથી મોટું બીજ $4$ અને સૌથી નાનું બીજ $1$ છે.
તફાવત $4 - 1 = 3$ થાય.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-42x^2+336x-512=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-2)(x^2-40x+256)=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-40x+256=0$ ના ઉકેલ મેળવતા $x=8$ અને $x=32$ મળે છે.
આમ,બીજ $2, 8, 32$ છે.
આ વધતી જતી ભૂમિતિ શ્રેણીમાં છે,તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{8}{2} = 4$ એટલે કે $4:1$ છે.