Geometric progression Questions in Gujarati

(B) દરેક પેઢીમાં પૂર્વજોની સંખ્યા એક સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે: $2, 4, 8, \dots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$,અને પેઢીઓની સંખ્યા $n = 10$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા: $S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $S_{10} = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1}$.
$S_{10} = 2(1024 - 1) = 2 \times 1023 = 2046$.
આમ,પૂર્વજોની કુલ સંખ્યા $2046$ છે.

(A) ધારો કે $1$ અને $256$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંખ્યાઓ $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ છે,જેથી $1, G_{1}, G_{2}, G_{3}, 256$ એ $G.P.$ માં હોય.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને પાંચમું પદ $a_{5} = ar^{4} = 256$ છે.
$a = 1$ મૂકતા,આપણને $r^{4} = 256$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \pm 4$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $G_{1} = 1 \times 4 = 4$,$G_{2} = 1 \times 4^{2} = 16$,અને $G_{3} = 1 \times 4^{3} = 64$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો $r = -4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $G_{1} = 1 \times (-4) = -4$,$G_{2} = 1 \times (-4)^{2} = 16$,અને $G_{3} = 1 \times (-4)^{3} = -64$ થાય.
આમ,ત્રણ સંખ્યાઓ $4, 16, 64$ અથવા $-4, 16, -64$ હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ $G.P.$ $\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{2}$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{5/4}{5/2} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$.
$G.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$20$ માં પદ માટે:
$a_{20} = \frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{20-1} = \frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{19} = \frac{5}{2^1 \times 2^{19}} = \frac{5}{2^{20}}$.
$n$ માં પદ માટે:
$a_n = \frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{2^1 \times 2^{n-1}} = \frac{5}{2^{1+n-1}} = \frac{5}{2^n}$.

(A) આપેલ છે: સામાન્ય ગુણોત્તર,$r = 2$.
ધારો કે $a$ એ $G.P.$ નું પ્રથમ પદ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_8 = 192$ આપેલ છે,તેથી $a r^7 = 192$.
$r = 2$ મૂકતા: $a(2)^7 = 192$.
$a(128) = 192$.
$a = \frac{192}{128} = \frac{3}{2}$.
હવે,$12$ મું પદ શોધો: $a_{12} = a r^{11}$.
$a_{12} = \left(\frac{3}{2}\right) \times (2)^{11} = 3 \times 2^{10}$.
$a_{12} = 3 \times 1024 = 3072$.

(N/A) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$a_{5} = ar^{4} = p$ .........$(1)$
$a_{8} = ar^{7} = q$ .........$(2)$
$a_{11} = ar^{10} = s$ .........$(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^{7}}{ar^{4}} = \frac{q}{p} \Rightarrow r^{3} = \frac{q}{p}$ .........$(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^{10}}{ar^{7}} = \frac{s}{q} \Rightarrow r^{3} = \frac{s}{q}$ .........$(5)$
$(4)$ અને $(5)$ માંથી $r^{3}$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$\frac{q}{p} = \frac{s}{q}$
$\Rightarrow q^{2} = ps$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે,$a = -3$.
$G.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$a_4 = a r^3 = -3 r^3$ અને $a_2 = a r = -3 r$.
આપેલ શરત મુજબ,$a_4 = (a_2)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $-3 r^3 = (-3 r)^2$.
$-3 r^3 = 9 r^2$.
બંને બાજુ $-3 r^2$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને),આપણને $r = -3$ મળે છે.
હવે,$7$ મું પદ $a_7 = a r^6$ છે.
$a_7 = (-3) \times (-3)^6 = (-3)^1 \times (-3)^6 = (-3)^7$.
$a_7 = -2187$.
આમ,$G.P.$ નું $7$ મું પદ $-2187$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $2, 2\sqrt{2}, 4, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ છે.
ધારો કે શ્રેણીનું $n^{\text{મું}}$ પદ $128$ છે.
ભૂમિતિ શ્રેણીના $n^{\text{મા}}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(\sqrt{2})^{n-1} = 128$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$(\sqrt{2})^{n-1} = 64$
$2$ ના આધારમાં લખતા:
$(2^{1/2})^{n-1} = 2^6$
$2^{\frac{n-1}{2}} = 2^6$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{n-1}{2} = 6$
$n-1 = 12$
$n = 13$
આમ,શ્રેણીનું $13^{\text{મું}}$ પદ $128$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \ldots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = 729$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1} = 729$.
આનું સાદું રૂપ $(\sqrt{3})^n = 729$ થાય છે.
કારણ કે $\sqrt{3} = 3^{1/2}$,તેથી $(3^{1/2})^n = 3^6$.
$3^{n/2} = 3^6$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$\frac{n}{2} = 6$,જે $n = 12$ આપે છે.
આમ,શ્રેણીનું $12$ મું પદ $729$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $n$-મું પદ $a_n = \frac{1}{19683}$ છે.
$n$-મા પદનું સૂત્ર $a_n = a r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{19683}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(\frac{1}{3})^n = \frac{1}{19683}$ થાય છે.
કારણ કે $3^9 = 19683$,તેથી $(\frac{1}{3})^n = (\frac{1}{3})^9$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 9$ મળે છે.
આમ,શ્રેણીનું $9$-મું પદ $\frac{1}{19683}$ છે.

(C) ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ માં હોય,તો તેની શરત $b^2 = ac$ છે.
અહીં,$a = \frac{2}{7}$,$b = x$,અને $c = -\frac{7}{2}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$x^2 = \left(\frac{2}{7}\right) \times \left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^2 = -1$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં,કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં. તેથી,એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી જે આ શરતનું પાલન કરે.
જો પ્રશ્નમાં શ્રેણી $\frac{2}{7}, x, \frac{7}{2}$ (જ્યાં $c = \frac{7}{2}$) લેવામાં આવે,તો $x^2 = \left(\frac{2}{7}\right) \times \left(\frac{7}{2}\right) = 1$ થાય,જેનો ઉકેલ $x = \pm 1$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,એવું જણાય છે કે પ્રશ્નમાં શ્રેણી $\frac{2}{7}, x, \frac{7}{2}$ હોવી જોઈએ.

(A) આપેલ $G.P.$ એ $0.15, 0.015, 0.0015, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 0.15$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{0.015}{0.15} = 0.1$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે,$S_{20} = \frac{0.15[1-(0.1)^{20}]}{1-0.1}$.
$S_{20} = \frac{0.15}{0.9}[1-(0.1)^{20}]$.
$S_{20} = \frac{15}{90}[1-(0.1)^{20}]$.
$S_{20} = \frac{1}{6}[1-(0.1)^{20}]$.

(A) આપેલ $G.P.$ $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \sqrt{7}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{3}$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_{n} = \frac{\sqrt{7}((\sqrt{3})^{n}-1)}{\sqrt{3}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(\sqrt{3}+1)$ વડે ગુણો:
$S_{n} = \frac{\sqrt{7}((\sqrt{3})^{n}-1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
$S_{n} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{\frac{n}{2}}-1)}{3-1}$
$S_{n} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)}{2}\left[(3)^{\frac{n}{2}}-1\right]$.

(A) આપેલ $G.P.$ એ $1, -a, a^{2}, -a^{3}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a_{1} = 1$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-a}{1} = -a$.
$G.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_{n} = \frac{1(1-(-a)^{n})}{1-(-a)}$.
તેથી,$S_{n} = \frac{1-(-a)^{n}}{1+a}$.

(A) આપેલ $G.P.$ એ $x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = x^{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x^{5}}{x^{3}} = x^{2}$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ છે.
$a$ અને $r$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{n} = \frac{x^{3}(1-(x^{2})^{n})}{1-x^{2}}$
$S_{n} = \frac{x^{3}(1-x^{2n})}{1-x^{2}}$

આપણે $\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right)}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right) = } \sum\limits_{k = 1}^{11} {2 + } \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} = 2 \times 11 + \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} = 22 + \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} \quad \dots (1)$
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{11} = \frac{3(3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right) = 22 + \frac{3}{2}(3^{11} - 1)}$.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $1$ છે:
$(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = 1$
$a^3 = 1 \Rightarrow a = 1$.
આપેલ છે કે પદોનો સરવાળો $\frac{39}{10}$ છે:
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{39}{10}$
$a = 1$ મૂકતા:
$\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{39}{10}$
$1 + r + r^2 = \frac{39}{10}r$
$10r^2 + 10r + 10 = 39r$
$10r^2 - 29r + 10 = 0$
$10r^2 - 25r - 4r + 10 = 0$
$5r(2r - 5) - 2(2r - 5) = 0$
$(5r - 2)(2r - 5) = 0$
$r = \frac{2}{5}$ અથવા $r = \frac{5}{2}$.
જો $r = \frac{5}{2}$ હોય,તો પદો $\frac{2}{5}, 1, \frac{5}{2}$ થાય.
જો $r = \frac{2}{5}$ હોય,તો પદો $\frac{5}{2}, 1, \frac{2}{5}$ થાય.

(C) આપેલ $G.P.$ $3, 3^{2}, 3^{3}, \dots$ છે.
ધારો કે આ $G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $120$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ છે (જ્યાં $r > 1$).
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3^{2}}{3} = 3$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$120 = \frac{3(3^{n}-1)}{3-1}$
$120 = \frac{3(3^{n}-1)}{2}$
$120 \times \frac{2}{3} = 3^{n}-1$
$40 \times 2 = 3^{n}-1$
$80 = 3^{n}-1$
$3^{n} = 81$
$3^{n} = 3^{4}$
તેથી,$n = 4$.
આમ,આપેલ $G.P.$ ના $4$ પદોનો સરવાળો $120$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, ar^{4}, ar^{5}, \dots$ છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$a + ar + ar^{2} = 16$ --- $(1)$
$ar^{3} + ar^{4} + ar^{5} = 128$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી,$a(1 + r + r^{2}) = 16$
$(2)$ પરથી,$ar^{3}(1 + r + r^{2}) = 128$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^{3}(1 + r + r^{2})}{a(1 + r + r^{2})} = \frac{128}{16}$
$r^{3} = 8 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a(1 + 2 + 4) = 16$ $\Rightarrow 7a = 16$ $\Rightarrow a = \frac{16}{7}$
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$ દ્વારા મળે છે.
$S_{n} = \frac{16}{7} \times \frac{(2^{n} - 1)}{2 - 1} = \frac{16}{7}(2^{n} - 1)$

(A) આપેલ છે કે $a=729$ અને $a_{7}=64$.
ધારો કે $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_{n}=a r^{n-1}$.
$a_{7}=a r^{6} = 729 r^{6} = 64$.
$r^{6} = \frac{64}{729} = \left(\frac{2}{3}\right)^{6}$.
તેથી,$r = \frac{2}{3}$.
$G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ દ્વારા મળે છે.
$S_{7}=\frac{729(1-(2/3)^{7})}{1-2/3} = \frac{729(1-(2/3)^{7})}{1/3}$.
$S_{7} = 3 \times 729 \times \left(1 - \frac{2^{7}}{3^{7}}\right) = 3^{7} \times \left(\frac{3^{7}-2^{7}}{3^{7}}\right)$.
$S_{7} = 3^{7} - 2^{7} = 2187 - 128 = 2059$.

ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$a + ar = -4$ .......$(1)$
$ar^4 = 4 \times ar^2$
$a \neq 0$ હોવાથી,$r^2 = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r = 2$ અથવા $r = -2$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 2$ હોય,તો $(1)$ પરથી:
$a + 2a = -4$ $\Rightarrow 3a = -4$ $\Rightarrow a = -\frac{4}{3}$.
$G.P.$ એ $-\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{16}{3}, \dots$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $r = -2$ હોય,તો $(1)$ પરથી:
$a - 2a = -4$ $\Rightarrow -a = -4$ $\Rightarrow a = 4$.
$G.P.$ એ $4, -8, 16, -32, \dots$ છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$a_{4} = ar^{3} = x$ $(1)$
$a_{10} = ar^{9} = y$ $(2)$
$a_{16} = ar^{15} = z$ $(3)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y}{x} = \frac{ar^{9}}{ar^{3}} = r^{6}$
$(3)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{z}{y} = \frac{ar^{15}}{ar^{9}} = r^{6}$
કારણ કે $\frac{y}{x} = \frac{z}{y} = r^{6}$,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો ગુણોત્તર સમાન છે.
તેથી,$x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) જરૂરી સરવાળો એ અનુરૂપ પદોના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
સરવાળો $= (2 \times 128) + (4 \times 32) + (8 \times 8) + (16 \times 2) + (32 \times \frac{1}{2})$
સરવાળો $= 256 + 128 + 64 + 32 + 16$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 256$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_5 = \frac{256(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{256(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = 512 \times \frac{31}{32} = 16 \times 31 = 496$.

(N/A) આપેલ શ્રેણીઓ $a, ar, ar^{2}, \dots, ar^{n-1}$ અને $A, AR, AR^{2}, \dots, AR^{n-1}$ છે.
તેમના અનુરૂપ પદોનો ગુણાકાર $aA, (ar)(AR), (ar^{2})(AR^{2}), \dots, (ar^{n-1})(AR^{n-1})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $aA, (arR), (arR)^{2}, \dots, (arR)^{n-1}$ થાય છે.
આ $G.P.$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર શોધીએ:
$\frac{\text{બીજું પદ}}{\text{પ્રથમ પદ}} = \frac{arAR}{aA} = rR$
$\frac{\text{ત્રીજું પદ}}{\text{બીજું પદ}} = \frac{ar^{2}AR^{2}}{arAR} = rR$
ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર અચળ હોવાથી,આ શ્રેણી $rR$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે $G.P.$ બનાવે છે.

ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
પદો $a_{1}=a, a_{2}=a r, a_{3}=a r^{2}, a_{4}=a r^{3}$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$a_{3} = a_{1} + 9 \Rightarrow a r^{2} = a + 9$ ..........$(1)$
$a_{2} = a_{4} + 18 \Rightarrow a r = a r^{3} + 18$ ..........$(2)$
$(1)$ પરથી,$a(r^{2} - 1) = 9.$ ..........$(3)$
$(2)$ પરથી,$a r(1 - r^{2}) = 18 \Rightarrow -a r(r^{2} - 1) = 18.$ ..........$(4)$
$(4)$ ને $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{-a r(r^{2} - 1)}{a(r^{2} - 1)} = \frac{18}{9}$
$-r = 2 \Rightarrow r = -2.$
$r = -2$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$a((-2)^{2} - 1) = 9$
$a(4 - 1) = 9$
$3a = 9 \Rightarrow a = 3.$
ચાર સંખ્યાઓ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}$ છે.
$a = 3$ અને $r = -2$ મૂકતા:
$3, 3(-2), 3(-2)^{2}, 3(-2)^{3}$
$3, -6, 12, -24.$

(N/A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પદ છે અને $R$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$A R^{p-1} = a$
$A R^{q-1} = b$
$A R^{r-1} = c$
હવે,પદાવલિ $a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$= (A R^{p-1})^{q-r} \cdot (A R^{q-1})^{r-p} \cdot (A R^{r-1})^{p-q}$
$= A^{q-r+r-p+p-q} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$A$ નો ઘાતાંક ગણતા:
$q-r+r-p+p-q = 0$
$R$ નો ઘાતાંક ગણતા:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$= A^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

$G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને $n^{\text{th}}$ પદ $b$ છે.
તેથી,$G.P.$ એ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, \dots, ar^{n-1}$ છે,જ્યાં $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$b = ar^{n-1}$ .........$(1)$
$P = n \text{ પદોનો ગુણાકાર}$
$P = (a)(ar)(ar^{2}) \dots (ar^{n-1})$
$P = (a \times a \times \dots \times a)(r \times r^{2} \times \dots \times r^{n-1})$
$P = a^{n} r^{1 + 2 + \dots + (n-1)}$ .........$(2)$
અહીં,$1, 2, \dots, (n-1)$ એ $A.P.$ છે.
$n-1$ પદોનો સરવાળો $= \frac{(n-1)}{2} [1 + (n-1)] = \frac{n(n-1)}{2}$.
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$P^{2} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} = a^{2n} r^{n(n-1)}$
$P^{2} = (a^{2} r^{n-1})^{n}$
$P^{2} = (a \cdot ar^{n-1})^{n}$
$(1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$P^{2} = (ab)^{n}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(n+1)^{th}$ થી $(2n)^{th}$ પદ સુધીના પદો એક $G.P.$ બનાવે છે જેનું પ્રથમ પદ $a_{n+1} = ar^n$ છે અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
આ પદોનો સરવાળો $S' = \frac{a_{n+1}(1-r^n)}{1-r} = \frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા અને $(n+1)^{th}$ થી $(2n)^{th}$ પદ સુધીના સરવાળાનો ગુણોત્તર:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{\frac{a(1-r^n)}{1-r}}{\frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \times \frac{1-r}{ar^n(1-r^n)} = \frac{1}{r^n}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{r^n}$ છે.

ધારો કે $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b=ar, c=ar^{2}, d=ar^{3}$.
$L.H.S. = (a^{2}+b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}+d^{2})$
$= (a^{2} + a^{2}r^{2} + a^{2}r^{4})(a^{2}r^{2} + a^{2}r^{4} + a^{2}r^{6})$
$= a^{2}(1 + r^{2} + r^{4}) \times a^{2}r^{2}(1 + r^{2} + r^{4})$
$= a^{4}r^{2}(1 + r^{2} + r^{4})^{2}$
$R.H.S. = (ab+bc+cd)^{2}$
$= (a(ar) + (ar)(ar^{2}) + (ar^{2})(ar^{3}))^{2}$
$= (a^{2}r + a^{2}r^{3} + a^{2}r^{5})^{2}$
$= (a^{2}r(1 + r^{2} + r^{4}))^{2}$
$= a^{4}r^{2}(1 + r^{2} + r^{4})^{2}$
આમ,$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે $3$ અને $81$ ની વચ્ચેની બે સંખ્યાઓ $G_{1}$ અને $G_{2}$ છે,જેથી શ્રેણી $3, G_{1}, G_{2}, 81$ એ $G.P.$ બનાવે છે.
ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને ચોથું પદ $a_{4} = 81$ છે.
$G.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a r^{n-1}$ છે.
તેથી,$81 = 3 \times r^{4-1} = 3 r^{3}$.
$r^{3} = \frac{81}{3} = 27$.
$r = \sqrt[3]{27} = 3$.
હવે,$G_{1} = a r = 3 \times 3 = 9$.
$G_{2} = a r^{2} = 3 \times (3)^{2} = 3 \times 9 = 27$.
તેથી,જરૂરી બે સંખ્યાઓ $9$ અને $27$ છે.

(A) બેક્ટેરિયાની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે,જે એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે જ્યાં શરૂઆતના બેક્ટેરિયા $a = 30$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
$t$ કલાક પછી બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $a_{t+1} = a \times r^{t} = 30 \times 2^{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2^{\text{nd}}$ કલાકના અંતે $(t=2)$: $30 \times 2^{2} = 30 \times 4 = 120$.
$4^{\text{th}}$ કલાકના અંતે $(t=4)$: $30 \times 2^{4} = 30 \times 16 = 480$.
$n^{\text{th}}$ કલાકના અંતે $(t=n)$: $30 \times 2^{n}$.

(A) જમા કરાવેલ મુદ્દલ $P = Rs. 500$ છે.
વાર્ષિક વ્યાજનો દર $r = 10\% = 0.10$ છે.
$n$ વર્ષ પછી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ સાથેની રકમ $A = P(1 + r)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 10$ વર્ષ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = 500(1 + 0.10)^{10}$.
$A = 500(1.1)^{10}$.

આપેલ છે કે $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$ $(1)$
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a^{2}p^{2}-2abp+b^{2})+(b^{2}p^{2}-2bcp+c^{2})+(c^{2}p^{2}-2cdp+d^{2}) \leq 0$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$(ap-b)^{2}+(bp-c)^{2}+(cp-d)^{2} \leq 0$ $(2)$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અઋણ હોવાથી,સરવાળો $\leq 0$ થવા માટે દરેક પદ $0$ હોવું જોઈએ:
$(ap-b)^{2} = 0, (bp-c)^{2} = 0, (cp-d)^{2} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $ap=b, bp=c, cp=d$.
તેથી,$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$.
સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 315$ છે.
$G.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $315 = \frac{5(2^n - 1)}{2 - 1}$.
$315 = 5(2^n - 1)$.
$2^n - 1 = \frac{315}{5} = 63$.
$2^n = 64 = 2^6$.
તેથી,$n = 6$.
$G.P.$ નું છેલ્લું પદ $n^{th}$ પદ છે,જે $a_n = a \cdot r^{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$a_6 = 5 \cdot 2^{6-1} = 5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160$.
આમ,છેલ્લું પદ $160$ છે અને પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે $a = 1$.
ત્રીજું પદ $a_3 = ar^2 = r^2$ અને પાંચમું પદ $a_5 = ar^4 = r^4$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$a_3 + a_5 = 90$.
તેથી,$r^2 + r^4 = 90$,જે સૂચવે છે કે $r^4 + r^2 - 90 = 0$.
ધારો કે $x = r^2$. તો $x^2 + x - 90 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 10)(x - 9) = 0$.
આથી $x = -10$ અથવા $x = 9$ મળે.
કારણ કે વાસ્તવિક $r$ માટે $x = r^2$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $r^2 = 9$.
આમ,$r = \pm 3$.

(B) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots, ar^{2n-1}$ છે.
પદોની સંખ્યા $= 2n$.
બધા પદોનો સરવાળો $S_{2n} = \frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}$.
એકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_{odd} = a + ar^2 + \dots + ar^{2n-2} = \frac{a((r^2)^n - 1)}{r^2 - 1} = \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1}$.
આપેલ છે કે $S_{2n} = 5 \times S_{odd}$.
$\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1} = 5 \times \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1}$.
$r \neq 1$ અને $r^{2n} \neq 1$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુથી $\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ.
$1 = \frac{5}{r+1}$.
$r+1 = 5$.
$r = 4$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(a+bx)(b-cx) = (a-bx)(b+cx)$
$ab - acx + b^2x - bcx^2 = ab + acx - b^2x - bcx^2$
$2b^2x = 2acx$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $b^2 = ac$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \dots (1)$.
તે જ રીતે,$\frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx}$ આપેલ છે.
$(b+cx)(c-dx) = (b-cx)(c+dx)$
$bc - bdx + c^2x - cdx^2 = bc + bdx - c^2x - cdx^2$
$2c^2x = 2bdx$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $c^2 = bd$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c}{b} = \frac{d}{c} \dots (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.
તેથી,$a, b, c$ અને $d$ એ $G.P.$ માં છે.

ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^{2}, \ldots, ar^{n-1}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$S = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
$P = a \cdot (ar) \cdot (ar^{2}) \cdots (ar^{n-1}) = a^{n} r^{1+2+\ldots+(n-1)}$
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
$R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^{2}} + \cdots + \frac{1}{ar^{n-1}}$
$R = \frac{r^{n-1} + r^{n-2} + \cdots + 1}{ar^{n-1}} = \frac{\frac{1(r^{n}-1)}{r-1}}{ar^{n-1}} = \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)}$
હવે,$P^{2} R^{n}$ ધ્યાનમાં લો:
$P^{2} R^{n} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} \times \left( \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = a^{2n} r^{n(n-1)} \times \frac{(r^{n}-1)^{n}}{a^{n} r^{n(n-1)} (r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \frac{a^{n} (r^{n}-1)^{n}}{(r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \left( \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = S^{n}$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $a, b, c,$ અને $d$ એ $G.P.$ માં છે.
$\therefore b^{2}=ac$ ........$(1)$
$c^{2}=bd$ ........$(2)$
$ad=bc$ ........$(3)$
સાબિત કરવાનું છે કે $(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}), (c^{n}+d^{n})$ એ $G.P.$ માં છે,એટલે કે,
$(b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
$L.H.S.$ લો.
$(b^{n}+c^{n})^{2}=b^{2n}+2b^{n}c^{n}+c^{2n}$
$=(b^{2})^{n}+2b^{n}c^{n}+(c^{2})^{n}$
$=(ac)^{n}+2b^{n}c^{n}+(bd)^{n}$ [ $(1)$ અને $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા ]
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}d^{n}$
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+a^{n}d^{n}+b^{n}d^{n}$ [ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $bc=ad$,તેથી $b^{n}c^{n}=a^{n}d^{n}$ ]
$=c^{n}(a^{n}+b^{n})+d^{n}(a^{n}+b^{n})$
$=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n}) = R.H.S.$
$\therefore (b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
આમ,$(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}),$ અને $(c^{n}+d^{n})$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) દરેક સેટમાં મોકલેલા પત્રોની સંખ્યા $G.P.$ બનાવે છે: $4, 4^2, 4^3, \ldots, 4^8$.
પ્રથમ પદ $(a) = 4$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $(r) = 4$.
પદોની સંખ્યા $(n) = 8$.
$G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ દ્વારા મળે છે.
$S_8 = \frac{4(4^8 - 1)}{4 - 1} = \frac{4(65536 - 1)}{3} = \frac{4(65535)}{3} = 4(21845) = 87380$.
એક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ $50$ પૈસા છે,જે $Rs. 0.50$ થાય.
કુલ ખર્ચ $= 87380 \times 0.50 = Rs. 43690$.

(A) મશીનની પ્રારંભિક કિંમત $P = 15625$ છે.
ઘસારાનો દર $r = 20\% = 0.2$ છે.
$5$ વર્ષ પછી મશીનનું મૂલ્ય $V = P(1 - r)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = 15625 \times (1 - 0.2)^5$
$V = 15625 \times (0.8)^5$
$V = 15625 \times \left(\frac{4}{5}\right)^5$
$V = 15625 \times \frac{1024}{3125}$
$V = 5 \times 1024 = 5120$
આમ,$5$ વર્ષના અંતે મશીનનું અંદાજિત મૂલ્ય $Rs. 5120$ છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $27$ છે,તેથી $\frac{a}{r} \times a \times ar = 27$ $\Rightarrow a^3 = 27$ $\Rightarrow a = 3$.
સરવાળો $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3(\frac{1}{r} + r + 1)$.
કિસ્સો $1$: જો $r > 0$ હોય,તો $AM \geq GM$ મુજબ,$\frac{1}{r} + r \geq 2$. તેથી,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \geq 3(2 + 1) = 9$.
કિસ્સો $2$: જો $r < 0$ હોય,તો $r = -k$ લો જ્યાં $k > 0$. તો $\frac{1}{r} + r = -(\frac{1}{k} + k) \leq -2$. તેથી,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \leq 3(-2 + 1) = -3$.
તેથી,$S \in (-\infty, -3] \cup [9, \infty)$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a > 0$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r > 0$ છે.
બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $3$ છે:
$ar + ar^2 + ar^3 = 3$ --- $(1)$
છઠ્ઠા,સાતમા અને આઠમા પદનો સરવાળો $243$ છે:
$ar^5 + ar^6 + ar^7 = 243$
$r^4(ar + ar^2 + ar^3) = 243$
$(1)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$r^4(3) = 243$ $\Rightarrow r^4 = 81$ $\Rightarrow r = 3$ (કારણ કે $r > 0$).
$r = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a(3) + a(9) + a(27) = 3$
$39a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{39} = \frac{1}{13}$.
પ્રથમ $50$ પદોનો સરવાળો $S_{50}$ નીચે મુજબ છે:
$S_{50} = \frac{a(r^{50}-1)}{r-1} = \frac{\frac{1}{13}(3^{50}-1)}{3-1} = \frac{1}{26}(3^{50}-1)$.

(C) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2^{10}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{2}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S' = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S' = 2^{10} \frac{(\frac{3}{2})^{11} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 2^{10} \frac{\frac{3^{11}}{2^{11}} - 1}{\frac{1}{2}} = 2^{11} \left( \frac{3^{11} - 2^{11}}{2^{11}} \right) = 3^{11} - 2^{11}$.
આપેલ છે કે $S' = S - 2^{11}$,તેથી $3^{11} - 2^{11} = S - 2^{11}$.
આમ,$S = 3^{11}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(a^{2}p^{2} - 2abp + b^{2}) + (b^{2}p^{2} - 2bcp + c^{2}) + (c^{2}p^{2} - 2cdp + d^{2}) = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(ap - b)^{2} + (bp - c)^{2} + (cp - d)^{2} = 0$.
$a, b, c, d, p$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$ap - b = 0 \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$bp - c = 0 \Rightarrow p = \frac{c}{b}$
$cp - d = 0 \Rightarrow p = \frac{d}{c}$
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = p$.
આ સૂચવે છે કે $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે $a_{n}$ એ ચોરસ $A_{n}$ ની બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $A_{n}$ ની બાજુની લંબાઈ = $A_{n+1}$ નો વિકર્ણ,તેથી $a_{n} = \sqrt{2} a_{n+1}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{n+1} = \frac{a_{n}}{\sqrt{2}}$.
આ બાજુની લંબાઈ માટે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_{1} = 12$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
બાજુની લંબાઈ $a_{n} = a_{1} \times r^{n-1} = 12 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$ છે.
$A_{n}$ નું ક્ષેત્રફળ $(a_{n})^2 = 144 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{144}{2^{n-1}}$ છે.
આપણે ક્ષેત્રફળ $1$ થી ઓછું જોઈએ છે,તેથી $\frac{144}{2^{n-1}} < 1$.
આનો અર્થ છે કે $2^{n-1} > 144$.
કારણ કે $2^{7} = 128$ અને $2^{8} = 256$,તેથી $n-1 \geq 8$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$n \geq 9$. $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $9$ છે.

(C) ધારો કે ભૌમિતિક શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots$ છે,જ્યાં વધતી જતી શ્રેણી માટે $a > 0$ અને $r > 1$ છે.
આપેલ છે $T_2 + T_6 = \frac{25}{2} \Rightarrow ar(1 + r^4) = \frac{25}{2} \dots (1)$
આપેલ છે $T_3 \cdot T_5 = 25$ $\Rightarrow (ar^2)(ar^4) = 25$ $\Rightarrow a^2r^6 = 25$ $\Rightarrow ar^3 = 5$ ($a, r > 0$ હોવાથી)
$(1)$ પરથી,$ar + ar^5 = \frac{25}{2}$. $a = \frac{5}{r^3}$ મૂકતા:
$\frac{5}{r^3} \cdot r + \frac{5}{r^3} \cdot r^5 = \frac{25}{2} \Rightarrow \frac{5}{r^2} + 5r^2 = \frac{25}{2}$
$5$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{r^2} + r^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2r^4 - 5r^2 + 2 = 0$
$(2r^2 - 1)(r^2 - 2) = 0 \Rightarrow r^2 = 2$ ($r > 1$ હોવાથી)
તેથી $a = \frac{5}{r^3} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
$4^{\text{th}}, 6^{\text{th}}, 8^{\text{th}}$ પદનો સરવાળો $ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ છે.
$= 5(1 + 2 + 4) = 5(7) = 35$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ચાર પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = a\frac{r^4-1}{r-1} = \frac{65}{12} \quad (1)$.
તેમના વ્યસ્તોનો સરવાળો $\frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} + \frac{1}{ar^3} = \frac{1}{a} \frac{r^4-1}{r^3(r-1)} = \frac{65}{18} \quad (2)$.
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,$a^2 r^3 = \frac{65/12}{65/18} = \frac{3}{2}$ મળે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $a^3 r^3 = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $ar = 1$,તેથી $a = \frac{1}{r}$.
$a = \frac{1}{r}$ ને $a^2 r^3 = \frac{3}{2}$ માં મૂકતા,$r = \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,$a = \frac{2}{3}$.
ત્રીજું પદ $\alpha = ar^2 = \frac{2}{3} \times (\frac{3}{2})^2 = \frac{3}{2}$.
તેથી,$2\alpha = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ પ્રથમ પદ $a = -16$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -1/2$ ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$n^{\text{th}}$ પદ $t_{n} = a r^{n-1} = -16(-1/2)^{n-1}$ છે.
$t_{p}$ અને $t_{q}$ નો સમાંતર મધ્યક અને ગુણોત્તર મધ્યક $x_{1}$ અને $x_{2}$ છે. સમીકરણ $4x^{2}-9x+5=0$ ના બીજ $x = 1$ અને $x = 5/4$ છે.
સમાંતર મધ્યક > ગુણોત્તર મધ્યક હોવાથી,$AM = 5/4$ અને $GM = 1$ મળે.
$AM = (t_{p} + t_{q})/2 = 5/4 \Rightarrow t_{p} + t_{q} = 5/2$.
$GM = \sqrt{t_{p} t_{q}} = 1 \Rightarrow t_{p} t_{q} = 1$.
$t_{p} = -16(-1/2)^{p-1}$ અને $t_{q} = -16(-1/2)^{q-1}$ મૂકતા:
$t_{p} t_{q} = 256(-1/2)^{p+q-2} = 1 \Rightarrow (-1/2)^{p+q-2} = 1/256 = (1/2)^{8}$.
$(-1/2)^{p+q-2} = (1/2)^{8}$ હોવાથી,$p+q-2$ એ $8$ ની બરાબર બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$p+q-2 = 8 \Rightarrow p+q = 10$.

(B) અનંત $GP$ નો સરવાળો $\frac{a}{1-r} = 15 \dots (i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોના વર્ગો દ્વારા બનતી શ્રેણી $a^{2}, a^{2}r^{2}, a^{2}r^{4}, \dots$ છે,જે પ્રથમ પદ $a^{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^{2}$ ધરાવતી $GP$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a^{2}}{1-r^{2}} = 150$ છે.
આને આપણે $\frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} = 150$ તરીકે લખી શકીએ.
આ સમીકરણમાં $(i)$ મૂકતા,આપણને $15 \cdot \frac{a}{1+r} = 150$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{1+r} = 10 \dots (ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1+r}{1-r} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
$r$ માટે ઉકેલતા: $2 + 2r = 3 - 3r$ $\Rightarrow 5r = 1$ $\Rightarrow r = \frac{1}{5}$.
$r = \frac{1}{5}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{a}{1 - 1/5} = 15$ $\Rightarrow \frac{a}{4/5} = 15$ $\Rightarrow a = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$.
શ્રેણી $ar^{2}, ar^{4}, ar^{6}, \dots$ એ પ્રથમ પદ $A = ar^{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^{2}$ ધરાવતી $GP$ છે.
સરવાળો $= \frac{ar^{2}}{1-r^{2}} = \frac{12 \cdot (1/5)^{2}}{1 - (1/5)^{2}} = \frac{12 \cdot (1/25)}{1 - 1/25} = \frac{12/25}{24/25} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{2^n \cdot 3^{11-n}} = \frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$.
બંને બાજુ $2^{10} \cdot 3^{10}$ વડે ગુણતા,$K = \sum_{n=1}^{10} 2^{10-n} \cdot 3^{n-1} = 3^0 \cdot 2^9 + 3^1 \cdot 2^8 + \ldots + 3^9 \cdot 2^0$ મળે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2^9$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{2}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
$K = \frac{2^9 ((\frac{3}{2})^{10} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3^{10} - 2^{10}$.
હવે,$K = 3^{10} - 2^{10} = (3^5 - 2^5)(3^5 + 2^5) = (211)(275)$.
$211 \equiv 1 \pmod{6}$ અને $275 \equiv 5 \pmod{6}$.
તેથી,$K \equiv 1 \times 5 \equiv 5 \pmod{6}$.
આમ,શેષ $5$ છે.