Arithmetic geometric progression,Method of difference Questions in Gujarati

(B) આપેલ શ્રેણી એ અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $S = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \dots \infty$.
અહીં,અંકગણિતીય ભાગ $1, 3, 5, 7, \dots$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
ભૌમિતિક ભાગ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ છે જ્યાં સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{2 \times \frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2} = 2 + \frac{1}{\frac{1}{4}} = 2 + 4 = 6$.

(D) ધારો કે અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણીનો અનંત સુધીનો સરવાળો $S = 1 + 4 \cdot \frac{1}{5} + 7 \cdot \frac{1}{5^2} + 10 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$ છે.
$\frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5^2} + 7 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(1 - \frac{1}{5})S = 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5^2} + 3 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots \right)$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{1}{5}$ અને $r = \frac{1}{5}$ છે:
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1/5}{1 - 1/5} \right) = 1 + 3 \left( \frac{1/5}{4/5} \right) = 1 + 3 \left( \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$S = \frac{7}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{35}{16}$.

(A) ધારો કે $S_n$ એ આપેલી શ્રેણીનો $n$ પદો સુધીનો સરવાળો છે:
$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n - 1}$ $(i)$
$x$ વડે ગુણતા:
$xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n - 1)x^{n - 1} + nx^n$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(1 - x)S_n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n - 1} - nx^n$
ભૌમિતિક શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1 - x)}{1 - x}$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n + 1}}{1 - x}$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{1 - x}$
તેથી,$S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}$.

(A) ધારો કે સરવાળો $S_n = 1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^3} + \dots + \frac{n}{5^{n-1}}$ છે.
$\frac{1}{5}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{5}S_n = \frac{1}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} + \dots + \frac{n}{5^n}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(1 - \frac{1}{5})S_n = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^{n-1}} - \frac{n}{5^n}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{5}{4}(1 - \frac{1}{5^n})$ થાય.
$\frac{4}{5}S_n = \frac{5}{4}(1 - \frac{1}{5^n}) - \frac{n}{5^n}$.
સાદુરૂપ આપતા $S_n = \frac{25}{16} - \frac{4n + 5}{16 \times 5^{n-1}}$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(A.G.P.)$ છે.
અંશના પદો $1, 4, 7, 10, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
આ $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)3 = 3n - 2$ છે.
છેદના પદો $1, 5, 5^2, 5^3, \dots$ છે,જે સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 5$ છે.
આ $G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $G_n = ar^{n-1} = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$ છે.
તેથી,શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $\frac{3n - 2}{5^{n - 1}}$ થાય.

(C) ધારો કે $t = 1 + \frac{1}{n}$. આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n k t^{k-1} = 1 + 2t + 3t^2 + \dots + nt^{n-1}$ છે.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
અનંત શ્રેણી માટે,$\sum_{k=1}^{\infty} k t^{k-1} = (1-t)^{-2}$.
$t = 1 + \frac{1}{n}$ મૂકતા,આપણને $1-t = 1 - (1 + \frac{1}{n}) = -\frac{1}{n}$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $(-\frac{1}{n})^{-2} = n^2$ થાય છે.

(A) શ્રેણી $S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n-1} \dots (1)$
$x$ વડે ગુણતા: $xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n-1)x^{n-1} + nx^n \dots (2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં:
$(1 - x)S_n = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + \dots + (nx^{n-1} - (n-1)x^{n-1}) - nx^n$
$(1 - x)S_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n$
ભૌમિતિક શ્રેણી $1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}$ નો સરવાળો $\frac{1 - x^n}{1 - x}$ થાય.
તેથી,$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1 - x)}{1 - x}$
$S_n = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}$
$S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}$

(C) અહીં $r$-મું પદ $T_r = (2r + 1)2^{-r} = \frac{2r + 1}{2^r}$ છે.
અનંત પદોનો સરવાળો $S_{\infty} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{2^r} + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{2^r}$ છે.
ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \frac{9}{16} + \dots$
આ એક સમાંતર-સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેને $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + \dots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) + (\frac{7}{8} - \frac{5}{8}) + \dots$
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \dots$
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = \frac{1}{4}$ અને $r = \frac{1}{2}$ છે,તેથી તેનો સરવાળો $\frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ થાય.
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
તેથી,$S = 5$.

(A) ધારો કે અનંત સમાંતર-સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = 1 + 4 \cdot \frac{1}{5} + 7 \cdot \frac{1}{5^2} + 10 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$ છે.
$\frac{1}{5}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5^2} + 7 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{5}S = 1 + (4-1) \cdot \frac{1}{5} + (7-4) \cdot \frac{1}{5^2} + (10-7) \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5^2} + 3 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં $a = \frac{1}{5}$ અને $r = \frac{1}{5}$ છે:
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4}$
તેથી,$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$S = \frac{7}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{35}{16}$

(C) ધારો કે $S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + 100 \cdot 2^{99} \quad \dots(1)$
$2$ વડે ગુણતા:
$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 99 \cdot 2^{99} + 100 \cdot 2^{100} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$2S - S = 100 \cdot 2^{100} - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99})$
$S = 100 \cdot 2^{100} - \frac{1(2^{100} - 1)}{2 - 1}$
$S = 100 \cdot 2^{100} - 2^{100} + 1$
$S = 99 \cdot 2^{100} + 1$

(D) ધારો કે શ્રેણી $S_n = 12 + 16 + 24 + 40 + \dots + T_n$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $4, 8, 16, \dots$ છે,જે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
$n$-મું પદ $T_n$ તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (T_{k+1} - T_k) = 12 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+1} = 12 + (4 + 8 + 16 + \dots + 2^n)$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = 12 + \frac{4(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 12 + 2^{n+1} - 4 = 2^{n+1} + 8$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (2^{k+1} + 8)$.
$S_n = (2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1}) + (8 + 8 + \dots + 8)$.
$S_n = \frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} + 8n = 4(2^n - 1) + 8n$.

(A) ધારો કે $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$.
બંને બાજુ $10^9$ વડે ભાગતા:
$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$ ......$(i)$
ધારો કે $x = \frac{11}{10}$. તેથી $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$.
$x$ વડે ગુણતા:
$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$ ......$(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$k(1-x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$
$k(1-x) = \frac{1(x^{10}-1)}{x-1} - 10x^{10}$
અહીં $x = \frac{11}{10}$ હોવાથી,$1-x = -\frac{1}{10}$ અને $x-1 = \frac{1}{10}$.
$k(-\frac{1}{10}) = \frac{(\frac{11}{10})^{10}-1}{\frac{1}{10}} - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10((\frac{11}{10})^{10}-1) - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10(\frac{11}{10})^{10} - 10 - 10(\frac{11}{10})^{10} = -10$
તેથી $k = 100$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = (1 - \cos \theta)$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે,અને તેનો સરવાળો $|x| < 1$ માટે $S = (1 - x)^{-2}$ થાય છે.
$x = 1 - \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $S = (1 - (1 - \cos \theta))^{-2} = (\cos \theta)^{-2} = \sec^2 \theta$ મળે છે.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = 1 + \tan^2 \theta$ મળે.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$,તેથી $\tan^2 \theta = \frac{3}{2}$.
તેથી,$S = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) આપેલ શ્રેણી એ અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \sin^n x$.
$|\sin x| < 1$ માટે,સરવાળો $f(x) = \frac{\sin x}{(1 - \sin x)^2}$ છે.
$f(x) = 2$ લેતા,$\frac{\sin x}{(1 - \sin x)^2} = 2$.
$\sin x = 2(1 - 2\sin x + \sin^2 x) = 2 - 4\sin x + 2\sin^2 x$.
$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$.
$(2\sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
$\sin x = 2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin x = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $x \in [-\pi, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$ પર મળે છે.
બંને કિંમતો પ્રદેશ $[-\pi, \pi] - \{\pm \frac{\pi}{2}\}$ માં છે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(D) કારણ કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $\ln x, \ln y, \ln z$ એ $A.P.$ માં છે.
આપેલ પદો $\frac{1 + \ln x}{2}, \frac{1 + \ln y}{4}, \frac{1 + \ln z}{8}$ એ $A.G.P.$ (અંકગણિત-ભૌમિતિક શ્રેણી) માં છે.

(B) ધારો કે $P = a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty$.
આપેલ છે કે $\sqrt{P} = \frac{8}{27}$,તેથી $P = \frac{64}{729}$.
$P = a^{(\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} + \cdots)} \cdot 2^{(\frac{1}{2a} + \frac{2}{4a} + \frac{3}{8a} + \cdots)}$.
$a$ નો ઘાતાંક $\frac{2}{a}$ છે.
$2$ નો ઘાતાંક $AGP$ શ્રેણી મુજબ $\frac{2}{a}$ થાય છે.
તેથી $P = (2a)^{2/a} = (\frac{2}{3})^6$.
સરખાવતા,$\frac{2}{a} = 6 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{20}{{{2^{20}}}}$
$\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{19}{{{2^{20}}}} + \frac{20}{{{2^{21}}}}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{20}{{{2^{21}}}}$
કૌંસમાં રહેલ પદ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે:
$\frac{1}{2}S = (1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}) - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$
તેથી,$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

(B) આપેલ છે $S = \frac{7}{5} + \frac{9}{5^{2}} + \frac{13}{5^{3}} + \frac{19}{5^{4}} + \ldots$ $(1)$
$\frac{1}{5}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{5} S = \frac{7}{5^{2}} + \frac{9}{5^{3}} + \frac{13}{5^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$
અહીં $T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$ લેતા,
$\frac{4}{5} T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{2}{5^{4}} + \ldots = \frac{1}{10}$
તેથી $T = \frac{1}{8}$
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{1}{8} = \frac{61}{40}$
$S = \frac{61}{32}$
$160 \,S = 160 \times \frac{61}{32} = 305$

(B) ધારો કે $S = 1 \cdot 3^{0} + 2 \cdot 3^{1} + 3 \cdot 3^{2} + \dots + 10 \cdot 3^{9}$.
$3$ વડે ગુણતા,$3S = 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + \dots + 9 \cdot 3^{9} + 10 \cdot 3^{10}$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - 3S = 1 \cdot 3^{0} + (2-1) \cdot 3^{1} + (3-2) \cdot 3^{2} + \dots + (10-9) \cdot 3^{9} - 10 \cdot 3^{10}$.
$-2S = (1 + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{9}) - 10 \cdot 3^{10}$.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ $a=1$,$r=3$ અને $n=10$ પદો ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$-2S = \frac{1(3^{10} - 1)}{3 - 1} - 10 \cdot 3^{10}$.
$-2S = \frac{3^{10} - 1}{2} - 10 \cdot 3^{10}$.
$-2S = \frac{3^{10} - 1 - 20 \cdot 3^{10}}{2} = \frac{-19 \cdot 3^{10} - 1}{2}$.
$S = \frac{19 \cdot 3^{10} + 1}{4}$.

(C) આપેલ છે $S = 2 + \frac{6}{7} + \frac{12}{7^{2}} + \frac{20}{7^{3}} + \frac{30}{7^{4}} + \ldots$ $(1)$
$7$ વડે ભાગતા: $\frac{S}{7} = \frac{2}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{12}{7^{3}} + \frac{20}{7^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$S - \frac{S}{7} = 2 + \left(\frac{6-2}{7}\right) + \left(\frac{12-6}{7^{2}}\right) + \left(\frac{20-12}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{6S}{7} = 2 + \frac{4}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{8}{7^{3}} + \ldots$ $(3)$
$(3)$ ને $7$ વડે ભાગતા: $\frac{6S}{49} = \frac{2}{7} + \frac{4}{7^{2}} + \frac{6}{7^{3}} + \ldots$ $(4)$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$\frac{6S}{7} - \frac{6S}{49} = 2 + \left(\frac{4-2}{7}\right) + \left(\frac{6-4}{7^{2}}\right) + \left(\frac{8-6}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{36S}{49} = 2 + \left(\frac{2/7}{1 - 1/7}\right) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$S = \frac{7}{3} \times \frac{49}{36} = \frac{343}{108}$
$4S = 4 \times \frac{343}{108} = \frac{343}{27} = \left(\frac{7}{3}\right)^{3}$

(C) બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત નક્કી કરવા માટે આપણે શાંત તફાવત (finite differences) ની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ માટે $p(x)$ ના મૂલ્યો $y_i$ છે:
$x = -2, y = -15$
$x = -1, y = 1$
$x = 0, y = 7$
$x = 1, y = 9$
$x = 2, y = 13$
$x = 3, y = 25$
પ્રથમ તફાવત $(\Delta y)$: $1 - (-15) = 16, 7 - 1 = 6, 9 - 7 = 2, 13 - 9 = 4, 25 - 13 = 12$
બીજો તફાવત $(\Delta^2 y)$: $6 - 16 = -10, 2 - 6 = -4, 4 - 2 = 2, 12 - 4 = 8$
ત્રીજો તફાવત $(\Delta^3 y)$: $-4 - (-10) = 6, 2 - (-4) = 6, 8 - 2 = 6$
અહીં ત્રીજો તફાવત અચળ $(6)$ હોવાથી,બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $n = 3$ છે.
આમ,$n$ ની શક્ય ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(C) ધારો કે $S = (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19}$.
$(20)^{19}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $k = 1 + 2(\frac{21}{20}) + 3(\frac{21}{20})^2 + \ldots + 20(\frac{21}{20})^{19}$.
ધારો કે $x = \frac{21}{20}$. તેથી $k = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + 20x^{19}$.
$x$ વડે ગુણતા,$kx = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 20x^{20}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{19} - 20x^{20}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા: $k(1 - x) = \frac{1 - x^{20}}{1 - x} - 20x^{20}$.
અહીં $1 - x = 1 - \frac{21}{20} = -\frac{1}{20}$,તેથી $k(-\frac{1}{20}) = \frac{1 - x^{20}}{-1/20} - 20x^{20} = -20(1 - x^{20}) - 20x^{20}$.
$k(-\frac{1}{20}) = -20 + 20x^{20} - 20x^{20} = -20$.
તેથી,$k = (-20) \times (-20) = 400$.

(C) અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણીના પદો $(a+nd)r^n$ સ્વરૂપમાં છે. $a=2$ અને $d=1$ લેતા,પદો $\frac{0}{4}, \frac{1}{2}, 2, 6, 16$ મળે છે. તેથી $a_4$ (જે શ્રેણીનું $5$મું પદ છે) $16$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $S = 109 + \frac{108}{5} + \frac{107}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}$.
$\frac{1}{5}$ વડે ગુણતા: $\frac{S}{5} = \frac{109}{5} + \frac{108}{5^2} + \ldots + \frac{2}{5^{108}} + \frac{1}{5^{109}}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{4S}{5} = 109 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$\frac{4S}{5} = 109 - \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$S = \frac{5}{4} [109 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^{108}} - \frac{1}{5^{109}}]$.
$16S = 2180 - 5 + \frac{1}{5^{108}}$.
$(25)^{-54} = \frac{1}{5^{108}}$ હોવાથી,
$16S - (25)^{-54} = 2175$.

(A) ધારો કે $S = 1 + \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 10$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$\frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
ધારો કે $S_1 = \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
તેથી $\frac{S_1}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{8}{k^3} + \frac{13}{k^4} + \ldots$.
આ બાદબાકી કરતા: $S_1(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots = 9(1 - \frac{1}{k})$.
ધારો કે $S_2 = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots$.
તેથી $\frac{S_2}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{4}{k^3} + \frac{5}{k^4} + \ldots$.
આ બાદબાકી કરતા: $S_2(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^3} + \frac{1}{k^4} + \ldots = \frac{4}{k} + \frac{1/k^3}{1 - 1/k} = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$S_2 = 9(1 - \frac{1}{k})$ મૂકતા,$9(1 - \frac{1}{k})^2 = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$9(\frac{k-1}{k})^2 = \frac{4k(k-1) + 1}{k^2(k-1)}$.
$9(k-1)^3 = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2$.
$k=2$ ચકાસતા: $9(2-1)^3 = 9(1) = 9$,અને $(2(2)-1)^2 = 3^2 = 9$.
આમ,$k=2$ એ ઉકેલ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે,જેનું સ્વરૂપ $\sum_{n=0}^{\infty} (a + np)r^n$ છે,જ્યાં $a = 3$,$d = p$,અને $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત $AGP$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} + \frac{p \cdot \frac{1}{4}}{(1 - \frac{1}{4})^2}$
$8 = 4 + \frac{4p}{9}$
$4 = \frac{4p}{9}$
$p = 9$.

(C) ધારો કે $y = 1+x$. તો $S(x) = y + 2y^2 + 3y^3 + \ldots + 60y^{60}$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
$yS = y^2 + 2y^3 + \ldots + 59y^{60} + 60y^{61}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(1-y)S = y + y^2 + y^3 + \ldots + y^{60} - 60y^{61}$.
કારણ કે $y = 1+x$,તેથી $1-y = -x$.
$-xS = \frac{y(y^{60}-1)}{y-1} - 60y^{61} = \frac{(1+x)((1+x)^{60}-1)}{x} - 60(1+x)^{61}$.
$x=60$ માટે,$y=61$:
$-60S(60) = \frac{61(61^{60}-1)}{60} - 60(61)^{61}$.
$-60$ વડે ગુણતા:
$3600 S(60) = (60)^2 S(60) = 60(61)^{61} - 61(61^{60}-1) = 60(61)^{61} - 61^{61} + 61 = 59(61)^{61} + 61$.
$a(b)^b + b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=59$ અને $b=61$ મળે છે.
આમ,$a+b = 59+61 = 120$.

(C) ધારો કે $S = 5 + \frac{1}{7}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
આપેલ છે કે $S = 7$.
બંને બાજુ $\frac{1}{7}$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{7}S = \frac{1}{7}(5) + \frac{1}{7^2}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^3}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{7}S = 5 + [\frac{1}{7}(5 + \alpha - 5) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha - (5 + \alpha)) + \dots \infty]$.
$\frac{6}{7}S = 5 + [\frac{\alpha}{7} + \frac{\alpha}{7^2} + \frac{\alpha}{7^3} + \dots \infty]$.
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{\alpha}{7}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{7}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{\alpha/7}{1 - 1/7} = \frac{\alpha}{6}$.
તેથી,$\frac{6}{7}S = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
$S = 7$ હોવાથી,$\frac{6}{7}(7) = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
$6 = 5 + \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow 1 = \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow \alpha = 6$.

(C) ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર $\Delta$ ને $\Delta u_{n} = u_{n+1} - u_{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ત્રીજા ક્રમના ફોરવર્ડ ડિફરન્સ માટે,આપણે $\Delta^{3} u_{0} = (E-1)^{3} u_{0}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $E$ એ શિફ્ટ ઓપરેટર છે જેથી $E u_{n} = u_{n+1}$ થાય.
ઓપરેટરનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\Delta^{3} u_{0} = (E^{3} - 3E^{2} + 3E - 1) u_{0}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\Delta^{3} u_{0} = u_{3} - 3u_{2} + 3u_{1} - u_{0}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $u_{0}=8, u_{1}=3, u_{2}=12, u_{3}=51$ મૂકતા:
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 3(12) + 3(3) - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 36 + 9 - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 15 + 9 - 8 = 24 - 8 = 16$.

(D) $\Delta^{5} u_{x}$ શોધવા માટે,આપણે ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ટેબલ બનાવીએ છીએ:
ગણતરી મુજબ,$\Delta^{5} u_{0} = 755$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$ છે.
અંશ $1, 3, 5, 7, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ $AP$ નું $n$મું પદ $T_n(AP) = a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ છે.
છેદ $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, \dots$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 7$ છે.
આ $GP$ નું $n$મું પદ $T_n(GP) = ar^{n-1} = 1 \times 7^{n-1} = 7^{n-1}$ છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીનું $n$મું પદ $T_n = \frac{2n-1}{7^{n-1}}$ છે.