$(x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2^2}) \dots (x - \frac{1}{2^{49}})$ ના વિસ્તરણમાં $x^{49}$ નો સહગુણક કેટલો થાય?

જો $x^3-42x^2+336x-512=0$ ના બીજ વધતી જતી ભૂમિતિ શ્રેણીમાં હોય,તો તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય ($:1$ માં)?

જો $\alpha, \beta$ એ $x^2-3x+a=0$ ના બીજ હોય અને $\gamma, \delta$ એ $x^2-12x+b=0$ ના બીજ હોય અને $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ તે ક્રમમાં સામાન્ય ગુણોત્તર $r>1$ સાથે વધતા ક્રમમાં સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે,તો $a+b=$

એક $GP$ નું $4^{\text{th}}$ પદ $500$ છે અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{m}$ છે,જ્યાં $m \in N$. ધારો કે $S_n$ એ આ $GP$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. જો $S_6 > S_5+1$ અને $S_7 < S_6+\frac{1}{2}$ હોય,તો $m$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $..........$ છે.

એક $G.P.$ ના પદો ધન છે. જો દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું હોય,તો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો:

$G.P.$ $3, 3^{2}, 3^{3}, \dots$ ના કેટલા પદોનો સરવાળો $120$ થાય?