Geometric progression Questions in Gujarati

(A) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{a}{1 - r}$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે $S = \frac{4}{3}$ અને $a = \frac{3}{4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{3} = \frac{3/4}{1 - r}$
$1 - r = \frac{3/4}{4/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
$r = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.

(B) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી: $A = 1 + r^z + r^{2z} + r^{3z} + \dots \infty$
આને આ રીતે લખી શકાય: $A = 1 + [r^z + r^{2z} + r^{3z} + \dots \infty]$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r_{ratio}}$ છે,જ્યાં $|r_{ratio}| < 1$. અહીં પ્રથમ પદ $a = r^z$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^z$ છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$A = 1 + \frac{r^z}{1 - r^z}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$A = \frac{1 - r^z + r^z}{1 - r^z}$
$A = \frac{1}{1 - r^z}$
$r^z$ માટે ઉકેલતા:
$1 - r^z = \frac{1}{A}$
$r^z = 1 - \frac{1}{A}$
$r^z = \frac{A - 1}{A}$
બંને બાજુ $z$-મું મૂળ લેતા:
$r = \left( \frac{A - 1}{A} \right)^{1/z}$

(A) આપેલ શ્રેણીઓ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે.
$x = 1 + a + a^2 + \dots \infty$ માટે,સરવાળો $x = \frac{1}{1 - a}$ થાય.
તેથી $a = \frac{x - 1}{x}$ મળે.
તે જ રીતે,$y = 1 + b + b^2 + \dots \infty$ માટે,$b = \frac{y - 1}{y}$ મળે.
હવે,શ્રેણી $S = 1 + ab + a^2b^2 + \dots \infty$ એ પણ $G.P.$ છે,જેનો સરવાળો $S = \frac{1}{1 - ab}$ થાય.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})(\frac{y - 1}{y})} = \frac{xy}{xy - (xy - x - y + 1)} = \frac{xy}{x + y - 1}$.

(C) આપેલ છે કે બીજું પદ $ar = 2$ અને અનંત પદ સુધીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 8$ છે.
$ar = 2$ પરથી,આપણને $a = \frac{2}{r}$ મળે છે.
આ કિંમતને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2/r}{1-r} = 8$.
$\Rightarrow \frac{2}{r(1-r)} = 8$.
$\Rightarrow 1 = 4r(1-r)$.
$\Rightarrow 4r^2 - 4r + 1 = 0$.
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ $(2r - 1)^2 = 0$ છે,જે $r = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$r = \frac{1}{2}$ ને $a = \frac{2}{r}$ માં મૂકતા,આપણને $a = \frac{2}{1/2} = 4$ મળે છે.
આમ,પ્રથમ પદ $4$ છે.

(D) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી: $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \infty$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|r| < 1$.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1 + x}$ મળે છે.
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$y(1 + x) = x$
$y + xy = x$
$y = x - xy$
$y = x(1 - y)$
$x = \frac{y}{1 - y}$.

(B) આપેલ છે $x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}} = \frac{1}{{1 - a}}$.
$\Rightarrow 1 - a = \frac{1}{x}$ $\Rightarrow a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$.
તે જ રીતે,$y = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{b^n}} = \frac{1}{{1 - b}} \Rightarrow b = \frac{y - 1}{y}$.
અને $z = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{(ab)}^n}} = \frac{1}{{1 - ab}}$ $\Rightarrow 1 - ab = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow ab = 1 - \frac{1}{z} = \frac{z - 1}{z}$.
$ab$ માટેના સમીકરણમાં $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{x - 1}{x} \right) \left( \frac{y - 1}{y} \right) = \frac{z - 1}{z}$.
$\frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{z - 1}{z}$.
$z(xy - x - y + 1) = xy(z - 1)$.
$xyz - xz - yz + z = xyz - xy$.
$-xz - yz + z = -xy$.
$xy + z = xz + yz$.

(C) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $|r| < 1$.
આપેલ છે કે અનંત પદોનો સરવાળો $x = \frac{a}{1-r} \dots (i)$.
દરેક પદનો વર્ગ કરતા નવી શ્રેણી $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ મળે છે,જેનો પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
આ નવી શ્રેણીનો સરવાળો $y = \frac{a^2}{1-r^2} = \frac{a^2}{(1-r)(1+r)} \dots (ii)$.
$(i)$ પરથી,$a = x(1-r)$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{[x(1-r)]^2}{(1-r)(1+r)} = \frac{x^2(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = \frac{x^2(1-r)}{1+r}$.
$r$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$y(1+r) = x^2(1-r)$
$y + yr = x^2 - x^2r$
$r(x^2 + y) = x^2 - y$
$r = \frac{x^2 - y}{x^2 + y}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ શ્રેણી $a + ar + ar^2 + \dots$ છે,જ્યાં $|r| < 1$ છે.
તેથી સરવાળો $S_1 = \frac{a}{1-r} = 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3(1-r)$.
બીજી શ્રેણી $a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 + \dots$ છે,જે પણ $G.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
તેનો સરવાળો $S_2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે.
$a = 3(1-r)$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2$
$r = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
અનંત સુધીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ આપેલ છે.
$r$ માટે ગોઠવતા,આપણને $1 - r = \frac{a}{S}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 - \frac{a}{S}$.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S = \frac{a}{1 - r}$ અને $r = 1 - \frac{a}{S}$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_n = S(1 - r^n) = S[1 - (1 - \frac{a}{S})^n]$.

(D) ધારો કે $x = 0.14189189189...$
આને $x = 0.14 + 0.00189189...$ તરીકે લખી શકાય.
$x = \frac{14}{100} + \frac{189}{99900}$
$x = \frac{7}{50} + \frac{189}{99900}$
$\frac{189}{99900}$ ને અંશ અને છેદને $27$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{7}{3700}$ મળે છે.
$x = \frac{7}{50} + \frac{7}{3700}$
$x = \frac{7 \times 74 + 7}{3700} = \frac{518 + 7}{3700} = \frac{525}{3700}$
બંનેને $25$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{21}{148}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $5.05 + 1.212 + 0.29088 + \dots \infty$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 5.05$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1.212}{5.05} = 0.24$ છે.
અનંત શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_{\infty} = \frac{5.05}{1 - 0.24} = \frac{5.05}{0.76} = 6.64474$.

(A) ધારો કે $S = {4^{1/3}} \cdot {4^{1/9}} \cdot {4^{1/27}} \cdots \infty$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા:
$S = {4^{(1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/3$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{\infty} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = {4^{1/2}} = 2$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
સરવાળો અભિસારી થવા માટે,આપણે $|x| < 1$ ની જરૂર છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $y = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \frac{x}{1 - x}$ મળે છે.
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$y(1 - x) = x$
$y - yx = x$
$y = x + yx$
$y = x(1 + y)$
$x = \frac{y}{1 + y}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3$ .....$(i)$
પદોના વર્ગો એક નવો $G.P.$ બનાવે છે જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે. આ અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ .....(ii)
(ii) પરથી,$\frac{a^2}{(1-r)(1+r)} = 3$. $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{1+r} = 1$,જેનો અર્થ છે $a = 1+r$.
$a = 1+r$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{1+r}{1-r} = 3$.
$1+r = 3 - 3r$ $\Rightarrow 4r = 2$ $\Rightarrow r = 1/2$.
$a = 1+r$ નો ઉપયોગ કરતા,$a = 1 + 1/2 = 3/2$.
આમ,પ્રથમ પદ $3/2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $1/2$ છે.

(C) ધારો કે અનંત $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે જ્યાં $|r| < 1$ છે.
બીજા પદથી શરૂ થતા બાકીના પદોનો સરવાળો $S_{\text{remaining}} = ar + ar^2 + ar^3 + \dots = \frac{ar}{1-r}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ પદ $a$ એ બાકીના પદોના સરવાળાના બમણા જેટલું છે:
$a = 2 \left( \frac{ar}{1-r} \right)$.
$a \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{2r}{1-r}$.
બંને બાજુ $(1-r)$ વડે ગુણતા:
$1 - r = 2r$.
$r$ માટે ઉકેલતા:
$1 = 3r \Rightarrow r = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ શ્રેણી એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{x}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો શાંત હોવા માટે,શરત $|r| < 1$ સંતોષાવી જોઈએ.
$|\frac{2}{x}| < 1$
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{2}{|x|} < 1$,જેનો અર્થ છે $|x| > 2$.
આમ,$x > 2$ અથવા $x < -2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચી શરત $x > 2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $(3 + x), (9 + x), (21 + x)$ એ $G.P.$ માં છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે $G.P.$ માં હોવાની શરત $b^2 = ac$ છે.
તેથી,$(9 + x)^2 = (3 + x)(21 + x)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$81 + x^2 + 18x = 63 + 21x + 3x + x^2$
$81 + 18x = 63 + 24x$
$81 - 63 = 24x - 18x$
$18 = 6x$
$x = 3$.
ચકાસણી: સંખ્યાઓ $3+3=6$,$9+3=12$,અને $21+3=24$ છે. $6, 12, 24$ એ $2$ ના સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે $G.P.$ બનાવે છે,તેથી $x = 3$ સાચું છે.

(B) અનંત $G.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $s = \frac{a}{1 - r}$ છે.
બંને બાજુ $(1 - r)$ વડે ગુણતા,આપણને $s(1 - r) = a$ મળે છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$s - sr = a$ મળે છે.
$r$ માટે પદોને ગોઠવતા,$sr = s - a$ મળે છે.
$s$ વડે ભાગતા,આપણને $r = \frac{s - a}{s}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a^2 + b^2 + 16c^2 = 6ab + 12bc + 8ac$
જો $b^2 = ac$ હોય,તો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$b^2 = ac$ થાય.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(b^2) = \log(ac)$ મળે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$2 \log b = \log a + \log c$ થાય.
આને $\log b = \frac{\log a + \log c}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ શરત દર્શાવે છે કે $\log a, \log b, \log c$ એ $A.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના પદો $A, AR, AR^2, \dots$ છે,જેથી $a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$,અને $c = AR^{r-1}$.
લઘુગણક લેતા,$\log a = \log A + (p-1)\log R$,$\log b = \log A + (q-1)\log R$,અને $\log c = \log A + (r-1)\log R$.
પદાવલિ $E = a(b - c)\log a + b(c - a)\log b + c(a - b)\log c$ લો.
$\log a, \log b, \log c$ ની કિંમતો મૂકતા,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા તે $0$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલી સંખ્યાઓ $a = (\sqrt{2} + 1)$,$b = 1$,અને $c = (\sqrt{2} - 1)$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $G.P.$ માં હોવા માટે,વચ્ચેના પદનો વર્ગ બાકીની બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^2 = ac$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો ગુણાકાર કરતા:
$ac = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
અહીં $b^2 = (1)^2 = 1$ હોવાથી,$b^2 = ac$ થાય છે.
તેથી,આ સંખ્યાઓ $G.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx}$.
દરેક પદ માટે યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) નો નિયમ વાપરતા:
$\frac{(a + bx) + (a - bx)}{(a + bx) - (a - bx)} = \frac{(b + cx) + (b - cx)}{(b + cx) - (b - cx)} = \frac{(c + dx) + (c - dx)}{(c + dx) - (c - dx)}$
$\Rightarrow \frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx}$
$\Rightarrow \frac{a}{bx} = \frac{b}{cx} = \frac{c}{dx}$
કારણ કે $x \ne 0$,આપણે છેદમાંથી $x$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$
આ દર્શાવે છે કે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર સમાન છે.
તેથી,$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $512$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512$
$a^3 = 512 = 8^3$
$a = 8$.
બીજી શરત મુજબ,$\frac{a}{r} + 8, a + 6, ar$ એ $A.P.$ માં છે.
$a = 8$ મૂકતા:
$\frac{8}{r} + 8, 8 + 6, 8r$ એ $A.P.$ માં છે.
$\frac{8}{r} + 8, 14, 8r$ એ $A.P.$ માં છે.
ત્રણ પદો $x, y, z$ માટે $A.P.$ માં હોવાની શરત $2y = x + z$ છે:
$2(14) = (\frac{8}{r} + 8) + 8r$
$28 = \frac{8}{r} + 8 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ વડે ભાગતા:
$5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r = 2$ હોય,તો પદો $\frac{8}{2}, 8, 8(2) = 4, 8, 16$ છે.
જો $r = \frac{1}{2}$ હોય,તો પદો $16, 8, 4$ છે.
આમ,સંખ્યાઓ $4, 8, 16$ અથવા $16, 8, 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $q^2 = pr$ $(i)$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા,આપણને $q^2 b^2 = (pr)(ac)$ મળે છે.
આને $(bq)^2 = (cp)(ar)$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે મધ્યમ પદનો વર્ગ એ પ્રથમ અને ત્રીજા પદના ગુણાકાર જેટલો છે,તેથી શ્રેણી $cp, bq, ar$ એ $G.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે $x_n$ એ ચોરસ $S_n$ ની બાજુની લંબાઈ છે. આપેલ છે કે $S_n$ ની બાજુ એ $S_{n+1}$ ના વિકર્ણ જેટલી છે,તેથી $x_n = x_{n+1} \sqrt{2}$.
આથી $x_{n+1} = \frac{x_n}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x_n = x_1 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$.
$S_n$ નું ક્ષેત્રફળ $A_n = x_n^2 = x_1^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{100}{2^{n-1}}$ થાય.
આપણે $A_n < 1$ જોઈએ છે,તેથી $\frac{100}{2^{n-1}} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $2^{n-1} > 100$.
$2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$ હોવાથી,$n-1 \ge 7$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $n \ge 8$.
તેથી,$n = 8, 9, 10, \dots$ માટે ક્ષેત્રફળ $1 \ cm^2$ કરતા ઓછું થાય છે.

(A) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a_1 = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી,પદો $a_1 = 1$,$a_2 = r$,અને $a_3 = r^2$ છે.
આપણે પદાવલિ $f(r) = 4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવી છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r$.
$f'(r) = 0$ લેતા,$4 + 10r = 0$,જેનો અર્થ છે કે $10r = -4$.
તેથી,$r = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(r) = 10 > 0$ હોવાથી,વિધેય $r = -\frac{2}{5}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.
સરવાળો $S = a + ar + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$.
ગુણાકાર $P = a \cdot ar \cdot ar^2 \dots ar^{n-1} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
તેથી,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$.
વ્યસ્તનો સરવાળો $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}} = \frac{1}{a} \left( 1 + \frac{1}{r} + \dots + \frac{1}{r^{n-1}} \right) = \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)}$.
હવે,$\frac{S}{R} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \div \frac{1-r^n}{a r^{n-1} (1-r)} = a^2 r^{n-1}$.
તેથી,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)} = P^2$.

(C) ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $(n^m + 1)$ એ $S$ ને ભાગે છે,તેથી $\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ એક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ મળે છે.
જો $m = 64$ હોય,તો પદ $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^{64} + 1)} = \frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ થાય,જે હંમેશા પૂર્ણાંક છે.
આમ,સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $m = 64$ છે.

(C) ધારો કે $G.P.$ માં $2n$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તમામ $2n$ પદોનો સરવાળો $S_{2n} = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r - 1}$ છે.
એકી સ્થાને રહેલા પદો $a, ar^2, ar^4, \dots, ar^{2n-2}$ છે. આ $n$ પદો ધરાવતી $G.P.$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
એકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_{odd} = \frac{a((r^2)^n - 1)}{r^2 - 1} = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r^2 - 1}$ છે.
આપેલ છે કે $S_{2n} = 5 \times S_{odd}$,તેથી:
$\frac{a(r^{2n} - 1)}{r - 1} = 5 \times \frac{a(r^{2n} - 1)}{r^2 - 1}$.
$r \neq 1$ અને $r^{2n} \neq 1$ હોવાથી,બંને બાજુથી $\frac{a(r^{2n} - 1)}{r - 1}$ ને દૂર કરતા:
$1 = \frac{5}{r + 1}$.
$r + 1 = 5 \Rightarrow r = 4$.

(C) અને $b$ વચ્ચેનો એક સમગુણોત્તર મધ્યક $G = (ab)^{1/2}$ છે.
જો $G_1, G_2, ..., G_n$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય,તો $a, G_1, G_2, ..., G_n, b$ એ $n+2$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તેથી $b = a \cdot r^{n+1}$,એટલે કે $r = (b/a)^{1/(n+1)}$.
$n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર $P = G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = (ar) \cdot (ar^2) \cdot ... \cdot (ar^n) = a^n \cdot r^{n(n+1)/2}$ થાય.
$r = (b/a)^{1/(n+1)}$ મૂકતા,$P = a^n \cdot (b/a)^{n/2} = (ab)^{n/2}$ મળે.
$G = (ab)^{1/2}$ હોવાથી,$G^n = (ab)^{n/2}$ થાય.
તેથી,$G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = G^n$.

(C) ધારો કે વધતી જતી $G.P.$ એ $k, kr, kr^2, kr^3$ છે જ્યાં $r > 1$ અને $k > 0$.
તેથી $\alpha = k, \beta = kr, \gamma = kr^2, \delta = kr^3$.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - 3x + a = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = k(1 + r) = 3$ અને ગુણાકાર $\alpha \beta = k^2 r = a$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - 12x + b = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\gamma + \delta = kr^2(1 + r) = 12$ અને ગુણાકાર $\gamma \delta = k^2 r^5 = b$ છે.
સરવાળાના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{kr^2(1 + r)}{k(1 + r)} = \frac{12}{3} \implies r^2 = 4$. શ્રેણી વધતી હોવાથી,$r = 2$.
$r = 2$ ને $k(1 + r) = 3$ માં મૂકતા,આપણને $k(3) = 3 \implies k = 1$ મળે છે.
આમ,બીજ $1, 2, 4, 8$ છે.
તેથી $a = \alpha \beta = 1 \times 2 = 2$ અને $b = \gamma \delta = 4 \times 8 = 32$.
તેથી,$(a, b) = (2, 32)$.

(D) આપેલ શ્રેણી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos \alpha$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ હોવાથી:
$\frac{1}{1 - \cos \alpha} = 2 - \sqrt{2}$
$1 - \cos \alpha = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$1 - \cos \alpha = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$
$-\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$0 < \alpha < \pi$ હોવાથી,$\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

(B) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે,જેમાં શરત $|r| < 1$ છે.
આપેલ છે કે $a = x$ અને $S = 5$,તેથી $5 = \frac{x}{1-r}$.
$r$ માટે ગોઠવતા,આપણને $1 - r = \frac{x}{5}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 - \frac{x}{5}$.
કારણ કે $|r| < 1$,આપણી પાસે $|1 - \frac{x}{5}| < 1$ છે.
આ અસમતાને $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
બધા ભાગોમાંથી $1$ બાદ કરતા,આપણને $-2 < -\frac{x}{5} < 0$ મળે છે.
$-5$ વડે ગુણતા (અને અસમતાની નિશાનીઓ ઉલટાવતા),આપણને $10 > x > 0$ અથવા $0 < x < 10$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $2 \ln y = \ln x + \ln z$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,$2 + 2 \ln y = 2 + \ln x + \ln z$ મળે.
આને $2(1 + \ln y) = (1 + \ln x) + (1 + \ln z)$ તરીકે લખી શકાય.
આ સૂચવે છે કે $(1 + \ln x), (1 + \ln y), (1 + \ln z)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ માં રહેલા પદોના વ્યસ્ત $H.P.$ માં હોવાથી,$\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ ના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
અહીં,$A = 8, B = -14, C = 7, D = -1$.
બીજનો ગુણાકાર: $(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = a^3 = -(\frac{-1}{8}) = \frac{1}{8}$.
તેથી,$a^3 = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ એ એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $8(\frac{1}{2})^3 - 14(\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 1 = 8(\frac{1}{8}) - 14(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 1 = 1 - 3.5 + 3.5 - 1 = 0$.
બહુપદીને $(x - \frac{1}{2})$ અથવા $(2x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $4x^2 - 5x + 1 = 0$ મળે છે.
$4x^2 - 5x + 1 = (4x - 1)(x - 1) = 0$ ના અવયવ પાડતા,આપણને $x = 1$ અને $x = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,બીજ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ છે,જે સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ સાથે $G.P.$ માં છે.

(D) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \sin x$ છે.
અનંત પદોનો સરવાળો $4 + 2\sqrt{3}$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{1}{1 - \sin x} = 4 + 2\sqrt{3}$
$1 - \sin x = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$1 - \sin x = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$0 < x < \pi$ માટે,$x$ ની કિંમતો $\frac{\pi}{3}$ અને $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
આમ,$x = \frac{\pi}{3} \text{ અથવા } \frac{2\pi}{3}$.

(D) $n$ સંખ્યાઓ $a_1, a_2, ..., a_n$ નો $G.M.$ $(a_1 \times a_2 \times ... \times a_n)^{1/n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સંખ્યાઓ $3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ છે.
$G.M. = (3^1 \times 3^2 \times 3^3 \times ... \times 3^n)^{1/n}$
$G.M. = (3^{1 + 2 + 3 + ... + n})^{1/n}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$G.M. = (3^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n}$
$G.M. = 3^{\frac{n(n+1)}{2n}}$
$G.M. = 3^{\frac{n+1}{2}}$

(C) સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ છે.
આપણે $S_1 + S_3 + S_5 + \dots + S_{2n-1}$ નો સરવાળો શોધવો છે.
$S_{2k-1}$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{n} S_{2k-1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{a(1 - r^{2k-1})}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} \sum_{k=1}^{n} (1 - r^{2k-1})$.
આને બે ભાગમાં વહેંચતા: $\frac{a}{1 - r} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} r^{2k-1} \right]$.
પ્રથમ ભાગ $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ છે.
બીજો ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $r$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે: $r + r^3 + r^5 + \dots + r^{2n-1} = \frac{r(1 - r^{2n})}{1 - r^2}$.
તેથી,કુલ સરવાળો $\frac{a}{1 - r} \left[ n - \frac{r(1 - r^{2n})}{1 - r^2} \right]$ થાય.

(C) આપેલ શ્રેણી એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $r$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a_1}{1 - r_{ratio}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = \frac{r}{1 - r}$.
બંને બાજુ $(1 - r)$ વડે ગુણતા,$a(1 - r) = r$ મળે.
$a - ar = r$.
$a = r + ar$.
$a = r(1 + a)$.
તેથી,$r = \frac{a}{1 + a}$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{1}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 9$ માટે,$S_9 = \frac{1(1 - (-1/2)^9)}{1 - (-1/2)}$.
$S_9 = \frac{1 - (-1/512)}{1 + 1/2} = \frac{1 + 1/512}{3/2} = \frac{513/512}{3/2}$.
$S_9 = \frac{513}{512} \times \frac{2}{3} = \frac{171}{256}$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $|r| < 1$.
અનંત શ્રેણીનો સરવાળો: $\frac{a}{1 - r} = 20 \quad (i)$.
પદોના વર્ગોનો સરવાળો $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ એ પણ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો: $\frac{a^2}{1 - r^2} = 100 \quad (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $\frac{a}{1 - r} \times \frac{a}{1 + r} = 100$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા: $20 \times \frac{a}{1 + r} = 100$,તેથી $\frac{a}{1 + r} = 5 \quad (iii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા: $\frac{a/(1 - r)}{a/(1 + r)} = \frac{20}{5} \Rightarrow \frac{1 + r}{1 - r} = 4$.
$1 + r = 4 - 4r$ $\Rightarrow 5r = 3$ $\Rightarrow r = 3/5$.

(A) ધારો કે $a = 486$ અને $b = \frac{2}{3}$ વચ્ચેના $5$ સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ છે.
તેથી $486, G_1, G_2, G_3, G_4, G_5, \frac{2}{3}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
અહીં,કુલ પદોની સંખ્યા $n = 5 + 2 = 7$ છે.
$7$ મું પદ $ar^{7-1} = ar^6 = \frac{2}{3}$ થાય.
$a = 486$ મૂકતા,$486 \times r^6 = \frac{2}{3}$ મળે.
$r^6 = \frac{2}{3 \times 486} = \frac{2}{1458} = \frac{1}{729}$.
$729 = 3^6$ હોવાથી,$r^6 = (\frac{1}{3})^6$,તેથી $r = \frac{1}{3}$ (ધન સામાન્ય ગુણોત્તર લેતા).
ચોથો સમગુણોત્તર મધ્યક $G_4$ એ શ્રેણીનું $5$ મું પદ છે.
$G_4 = ar^4 = 486 \times (\frac{1}{3})^4$.
$G_4 = 486 \times \frac{1}{81} = 6$.

(C) આપેલ છે કે $a = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$,જેનો અર્થ છે $x = \frac{a-1}{a}$.
તે જ રીતે,$b = \sum_{n=0}^\infty y^n = \frac{1}{1-y}$,જેનો અર્થ છે $y = \frac{b-1}{b}$.
વળી,$c = \sum_{n=0}^\infty (xy)^n = \frac{1}{1-xy}$,જેનો અર્થ છે $xy = \frac{c-1}{c}$.
$xy$ ના સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{a-1}{a}\right) \left(\frac{b-1}{b}\right) = \frac{c-1}{c}$
$\frac{ab - a - b + 1}{ab} = \frac{c-1}{c}$
$c(ab - a - b + 1) = ab(c-1)$
$abc - ac - bc + c = abc - ab$
$-ac - bc + c = -ab$
$ab + c = ac + bc$.

(C) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે,તેથી $T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$.
સામાન્ય પદનું સૂત્ર $T_n = ar^{n-1}$ મૂકતા,આપણને $ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $ar^{n-1}$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ અને $r \neq 0$ હોવાથી),આપણને $1 = r + r^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $r^2 + r - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(C) અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|r| < 1$.
અહીં $a = x$ અને $S = 5$ આપેલ છે,તેથી $5 = \frac{x}{1-r}$.
$r$ માટે સાદુંરૂપ આપતા,$1-r = \frac{x}{5}$,તેથી $r = 1 - \frac{x}{5}$.
$|r| < 1$ હોવાથી,$|1 - \frac{x}{5}| < 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા,$-2 < -\frac{x}{5} < 0$.
$-5$ વડે ગુણતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા),$10 > x > 0$,એટલે કે $0 < x < 10$.

(C) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$n$ મું પદ $t_n = Ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $t_4 = Ar^3 = a$,$t_7 = Ar^6 = b$,અને $t_{10} = Ar^9 = c$.
હવે,ગુણાકાર $ac = (Ar^3)(Ar^9) = A^2r^{12}$ ધ્યાનમાં લો.
વળી,$b^2 = (Ar^6)^2 = A^2r^{12}$.
તેથી,$b^2 = ac$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $9$ પદ $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
તેનું $5$ મું પદ $a = 2$ આપેલ છે.
આ $9$ પદોનો ગુણાકાર $(\frac{a}{r^4} \times \frac{a}{r^3} \times \frac{a}{r^2} \times \frac{a}{r} \times a \times ar \times ar^2 \times ar^3 \times ar^4) = a^9$ થાય.
$a = 2$ મૂકતા,ગુણાકાર $2^9 = 512$ મળે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $a + ar = 12$ અને $ar^2 + ar^3 = 48$.
બીજા સમીકરણમાંથી સામાન્ય લેતા: $r^2(a + ar) = 48$.
$a + ar = 12$ ની કિંમત મૂકતા: $12r^2 = 48$.
$r^2 = 4$,તેથી $r = \pm 2$.
શ્રેણીના પદો ધન અને ઋણ વારાફરતી આવતા હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$r = -2$.
$a + ar = 12$ માં $r = -2$ મૂકતા:
$a + a(-2) = 12$
$a - 2a = 12$
$-a = 12$
$a = -12$.

(A) શ્રેણી $1, 2, 2^2, ..., 2^n$ છે. કુલ પદોની સંખ્યા $n+1$ છે.
ગુણોત્તર મધ્યક $GM$ એ પદોના ગુણાકારનું $(n+1)$-મું મૂળ છે:
$GM = (1 \times 2 \times 2^2 \times ... \times 2^n)^{\frac{1}{n+1}}$
ઘાતાંકના નિયમ મુજબ,ગુણાકાર:
$1 \times 2^1 \times 2^2 \times ... \times 2^n = 2^{0+1+2+...+n}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય છે,તેથી:
$2^{0+1+2+...+n} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$
હવે,આ કિંમત $GM$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$GM = (2^{\frac{n(n+1)}{2}})^{\frac{1}{n+1}} = 2^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = 2^{\frac{n}{2}}$