nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Gujarati

(B) આપેલ શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = r[(r + 1) - \omega][(r + 1) - \omega^2]$ છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
$T_r = r[(r + 1)^2 - (\omega + \omega^2)(r + 1) + \omega^3] = r[(r + 1)^2 + (r + 1) + 1] = r(r^2 + 3r + 3) = r^3 + 3r^2 + 3r$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$ છે.
$S = [\frac{(n-1)n}{2}]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$S = \frac{1}{4}(n-1)n(n^2 + 3n + 4)$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ છે.
દરેક પદના પ્રથમ અવયવો જુઓ: $1, 3, 5, 7, \dots$
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $a_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1$ છે.
દરેક પદના બીજા અવયવો જુઓ: $3, 5, 7, 9, \dots$
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $b_n = 3 + (n - 1)2 = 2n + 1$ છે.
તેથી,શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ આ બે શ્રેણીઓના $n^{th}$ પદોનો ગુણાકાર છે:
$T_n = (2n - 1)(2n + 1)$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + (-1)^{n-1}n$ છે.
કિસ્સો $I$: જો $n$ બેકી હોય,તો $n = 2k$ લો.
સરવાળો $(1-2) + (3-4) + \dots + ((2k-1) - 2k) = (-1) + (-1) + \dots + (-1)$ ($k$ વખત) થાય.
સરવાળો $= -k = -\frac{n}{2}$.
કિસ્સો $II$: જો $n$ એકી હોય,તો $n = 2k+1$ લો.
સરવાળો $(1-2) + (3-4) + \dots + ((2k-1) - 2k) + (2k+1) = -k + (2k+1) = k+1$ થાય.
કારણ કે $n = 2k+1$,તેથી $k = \frac{n-1}{2}$,તેથી સરવાળો $\frac{n-1}{2} + 1 = \frac{n+1}{2}$ થાય.
આમ,જો $n$ બેકી હોય તો સરવાળો $-\frac{n}{2}$ અને જો $n$ એકી હોય તો $\frac{n+1}{2}$ થાય.

(A) $n^{th}$ પદ $T_n = \frac{n}{x} + y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S_r = \sum_{n=1}^{r} T_n = \sum_{n=1}^{r} \left( \frac{n}{x} + y \right)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$S_r = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{r} n + \sum_{n=1}^{r} y$.
પ્રથમ $r$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{r} n = \frac{r(r + 1)}{2}$.
$S_r = \frac{1}{x} \left( \frac{r(r + 1)}{2} \right) + ry$.
$S_r = \left\{ \frac{r(r + 1)}{2x} \right\} + ry$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 5n^2 + 2n$ છે.
બીજું પદ $T_2$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $T_2 = S_2 - S_1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$S_1 = 5(1)^2 + 2(1) = 5 + 2 = 7$ ગણો.
ત્યારબાદ,$S_2 = 5(2)^2 + 2(2) = 5(4) + 4 = 20 + 4 = 24$ ગણો.
તેથી,$T_2 = S_2 - S_1 = 24 - 7 = 17$.

(B) આપેલ શ્રેણી $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ છે.
$n^{th}$ પદ $T_n$ ને $2, 4, 6, \dots$ ના $n^{th}$ પદ અને $4, 6, 8, \dots$ ના $n^{th}$ પદના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય.
$2, 4, 6, \dots$ નું $n^{th}$ પદ $2n$ છે.
$4, 6, 8, \dots$ નું $n^{th}$ પદ $2(n + 1)$ છે.
તેથી,$T_n = 2n \times 2(n + 1) = 4n(n + 1)$.
$20^{th}$ પદ માટે,$n = 20$ મૂકતા:
$T_{20} = 4 \times 20 \times (20 + 1) = 80 \times 21 = 1680$.

(B) ધારો કે $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 6(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ પદો})$
$S_n = \frac{6}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ પદો})$
$S_n = \frac{2}{3}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1))$
$S_n = \frac{2}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ વખત}))$
ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right)$
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(C) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \sum_{k=1}^{n} (1 - x^k) = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(B) ધારો કે $S_n = 3 + 33 + 333 + \dots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 3(1 + 11 + 111 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી})$
$S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી})$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી})]$
ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right]$
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right]$
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right]$
$S_n = \frac{1}{27}(10^{n+1} - 9n - 10)$.

(B) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \alpha$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $|r| < 1$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{3}{1 - \alpha} = \frac{45}{8}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{1 - \alpha} = \frac{15}{8}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$1 - \alpha = \frac{8}{15}$.
તેથી,$\alpha = 1 - \frac{8}{15} = \frac{15 - 8}{15} = \frac{7}{15}$.

(D) અનંત $G.P.$ નો સરવાળો સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ એ શરત $|r| < 1$ નું પાલન કરે,જેનો અર્થ છે $-1 < r < 1$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3$ છે,તેથી $a = 3(1-r) \dots (i)$.
પદોના વર્ગથી બનતી શ્રેણી $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ છે,જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે. તેનો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે.
$a = 3(1-r)$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{9(1-r)^2}{1-r^2} = 3$.
$1-r^2 = (1-r)(1+r)$ હોવાથી,$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$ થાય છે.
$r$ માટે ઉકેલતા: $3 - 3r = 1 + r$,તેથી $4r = 2$,એટલે કે $r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $a = 3(1 - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
શ્રેણી $\frac{3}{2}, \frac{3}{2}(\frac{1}{2}), \frac{3}{2}(\frac{1}{2})^2, \dots$ એટલે કે $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \dots$ છે.

(D) અનંત $G.P.$ માટે,સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 4$ અને બીજું પદ $ar = \frac{3}{4}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a = 4(1-r)$.
$a$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $4(1-r)r = \frac{3}{4}$.
$r(1-r) = \frac{3}{16} \implies r - r^2 = \frac{3}{16} \implies 16r^2 - 16r + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4r - 3)(4r - 1) = 0$.
આથી $r = \frac{3}{4}$ અથવા $r = \frac{1}{4}$ મળે.
જો $r = \frac{1}{4}$ હોય,તો $a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
જો $r = \frac{3}{4}$ હોય,તો $a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$.
શક્ય જોડીઓ $(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ અને $(1, \frac{3}{4})$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ સાચું છે.

(A) આપેલ ભૂમિતિ શ્રેણી $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}, \frac{1}{2}, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ગણતરી કરતા,$S = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 20 \quad (i)$ છે.
પદોના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 100 \quad (ii)$ છે.
આપણે $(ii)$ ને $\frac{a}{1-r} \times \frac{a}{1+r} = 100$ તરીકે લખી શકીએ.
$(i)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $20 \times \frac{a}{1+r} = 100$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{a}{1+r} = 5 \quad (iii)$ થાય છે.
$(i)$ પરથી,$a = 20(1-r)$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$\frac{20(1-r)}{1+r} = 5$
$4(1-r) = 1+r$
$4 - 4r = 1 + r$
$3 = 5r$
$r = 3/5$.

(D) ધારો કે $x = 0.037037037...$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{37}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{1000}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{37/1000}{1 - 1/1000} = \frac{37/1000}{999/1000} = \frac{37}{999}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{37}{999} = \frac{1}{27}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ (અથવા $B$) છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $9 - 3 + 1 - \frac{1}{3} + \dots$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$ છે.
$G.P.$ ના અનંત પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$.
કિંમતો મૂકતા,$S_{\infty} = \frac{9}{1 - (-1/3)} = \frac{9}{1 + 1/3} = \frac{9}{4/3} = \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{4}$.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = (32)(32)^{1/6}(32)^{1/36} \dots \infty$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = (32)^{1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} + \dots \infty}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{6}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/6} = \frac{1}{5/6} = \frac{6}{5}$.
તેથી,$P = (32)^{6/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $P = (2^5)^{6/5} = 2^{5 \times (6/5)} = 2^6$.
$P = 64$.

(D) ધારો કે $S = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots \infty$
$x$ વડે ગુણતા: $xS = x + 3x^2 + 6x^3 + \dots \infty$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1 - x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$
ફરીથી $x$ વડે ગુણતા: $xS(1 - x) = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots \infty$
ફરીથી બાદબાકી કરતા: $S(1 - x) - xS(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \infty$
$S(1 - x)^2 = \frac{1}{1 - x}$
$S = \frac{1}{(1 - x)^3}$

(B) ધારો કે $T_n$ એ $n$-મું પદ છે અને $S_n$ એ $n$ પદો સુધીનો સરવાળો છે.
$S_n = 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots + T_n$
આપણે $n$-મું પદ $T_n = 2^n - 1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} 2^k = 2(2^n - 1) / (2 - 1) = 2^{n+1} - 2$.
તેથી,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

(B) ધારો કે $n$-મું પદ $T_n$ છે. શ્રેણી $2, 4, 7, 11, 16, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 3, 4, 5, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
તેથી,$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 2 + \frac{(n-1)(2 + n)}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.
હવે,સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + k + 2}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum k^2 + \sum k + \sum 2 \right]$.
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + 2n \right]$.
$S_n = \frac{n}{12} \left[ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 12 \right] = \frac{n}{6} (n^2 + 3n + 8)$.

(C) ધારો કે $n^{th}$ પદ $T_n$ છે. શ્રેણી $2, 4, 7, 11, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2, 3, 4, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
તેથી,$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)$
$T_n = 2 + [2 + 3 + 4 + \dots + n]$
$T_n = 1 + [1 + 2 + 3 + \dots + n]$
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$
$T_n = \frac{2 + n^2 + n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.

(C) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) = n - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = n - \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} \right) \right]$
$S_n = n - \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = n - 1 + 2^{-n}$
$n=1$ માટે ચકાસણી: $S_1 = 1 - 1 + 2^{-1} = 1/2$ (સાચું).
$n=2$ માટે ચકાસણી: $S_2 = 2 - 1 + 2^{-2} = 1 + 1/4 = 5/4$ (સાચું).

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = 2^{1/4} \cdot 4^{1/8} \cdot 8^{1/16} \cdot 16^{1/32} \cdots$ છે.
બધા પદોને $2$ ના આધારમાં ફેરવતા:
$P = 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} \cdot (2^3)^{1/16} \cdot (2^4)^{1/32} \cdots$
$P = 2^{1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + \cdots} = 2^S$,જ્યાં $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}$.
$S = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \cdots$ $(i)$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{8} + \frac{2}{16} + \frac{3}{32} + \cdots$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + (\frac{2}{8} - \frac{1}{8}) + (\frac{3}{16} - \frac{2}{16}) + \cdots$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1/4$ અને $r = 1/2$ છે.
$\frac{1}{2}S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$S = 1$.
તેથી,$P = 2^1 = 2$.

(A) ધારો કે $n^{th}$ પદ $T_n$ છે. શ્રેણી $2, 7, 14, 23, 34, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $5, 7, 9, 11, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
ધારો કે $T_n = an^2 + bn + c$.
$n=1$ માટે,$T_1 = a + b + c = 2$
$n=2$ માટે,$T_2 = 4a + 2b + c = 7$
$n=3$ માટે,$T_3 = 9a + 3b + c = 14$
સમીકરણો બાદ કરતા: $3a+b = 5$ અને $5a+b = 7$.
આ પરિણામો બાદ કરતા: $2a = 2 \Rightarrow a = 1$.
$a=1$ ને $3a+b=5$ માં મૂકતા,$b=2$ મળે.
$a=1, b=2$ ને $a+b+c=2$ માં મૂકતા,$c=-1$ મળે.
આમ,$T_n = n^2 + 2n - 1$.
$n=99$ માટે,$T_{99} = (99)^2 + 2(99) - 1 = 9801 + 198 - 1 = 9998$.

(A) $n$ મો ગણ $S_n$ એ $n$ પદો ધરાવે છે.
$S_n$ નું પ્રથમ પદ $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$n = 50$ માટે,પ્રથમ પદ $a_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$ છે.
ગણ $S_{50}$ માં $1226$ થી શરૂ થતી $50$ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તેથી $S_{50} = \{1226, 1227, \dots, 1275\}$.
આ $50$ પદોનો સરવાળો સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ: $Sum = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$.
$Sum = \frac{50}{2}(2 \times 1226 + (50-1) \times 1) = 25(2452 + 49) = 25(2501) = 62525$.

(C) ધારો કે $T_k$ એ શ્રેણીનું $k$-મું પદ છે. $k$-મું પદ એ પ્રથમ $k$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $T_k = k^2$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ છે.
આપણે $(n - 1)$ પદોનો સરવાળો શોધવો છે,તેથી $S_n$ ના સૂત્રમાં $n$ ની જગ્યાએ $(n - 1)$ મૂકતા:
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)((n - 1) + 1)(2(n - 1) + 1)}{6}$
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)(n)(2n - 2 + 1)}{6}$
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $1^2, 2 \cdot 2^2, 3^2, 2 \cdot 4^2, 5^2, 2 \cdot 6^2, \dots$ છે.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે સરવાળો $S_n = \frac{n(n + 1)^2}{2}$ છે.
જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $n$-મું પદ $n^2$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = S_{n-1} + a_n$ થાય.
$n$ એકી હોવાથી,$n-1$ બેકી છે. $n-1$ પદો માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
તેથી,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.
ચકાસણી: $n=1$ માટે,$S_1 = 1^2 = 1$. સૂત્ર $(b)$ મુજબ: $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$. જે સાચું છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ છે.
આને $2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
તેથી,સરવાળો $4 \times \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ થાય.

(D) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2}$ છે.
$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2} \right)$.
$S_n = \frac{n(n + 1)}{4} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n + 1)}{4} \left( \frac{2n + 4}{3} \right)$.
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{12} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $n^{th}$ પદ $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1 + 3}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + \dots$ છે,જે $(n - 2)$ પદો સુધી છે.
સામાન્ય પદ $T_k = (k + 2)(k + 5)$ લો,જ્યાં $k = 1, 2, \dots, (n - 2)$.
સરવાળાને $S = \sum_{k=1}^{n} k(k+3) - (1 \cdot 4 + 2 \cdot 5) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k) - 14$ તરીકે લખી શકાય.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 14 = \frac{2n^3 + 12n^2 + 10n - 84}{6}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણને સરવાળો $\sum\limits_{i = 1}^n (3i - 2)$ આપેલ છે.
સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum\limits_{i = 1}^n (3i - 2) = 3\sum\limits_{i = 1}^n i - \sum\limits_{i = 1}^n 2$
$\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ અને $\sum\limits_{i = 1}^n 2 = 2n$ હોવાથી:
$= 3 \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right] - 2n$
$= \frac{3n^2 + 3n - 4n}{2}$
$= \frac{3n^2 - n}{2}$
$= \frac{n(3n - 1)}{2}$.

(B) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n^2(n + 1) = n^3 + n^2$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$S_n = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2 + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
$\frac{n(n + 1)}{2}$ સામાન્ય લેતા,$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left[ \frac{n(n + 1)}{2} + \frac{2n + 1}{3} \right]$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{3n^2 + 3n + 4n + 2}{6} = \frac{3n^2 + 7n + 2}{6}$.
આમ,$S_n = \frac{n(n + 1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$.

(C) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(n + 1)(n + 2)$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ મળે.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k)$ શોધતા:
$S_n = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2 + 3 \left[ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]$.
સાદુરૂપ આપતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4}$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર:
$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
અહીં,$n = 15$ છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{15} = \frac{15^2 \times (15+1)^2}{4} = \frac{225 \times 16^2}{4} = \frac{225 \times 256}{4} = 225 \times 64 = 14400$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\Sigma n = \frac{n(n+1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\Sigma n^2 = \Sigma n + 330$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{2} + 330$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] = 330$.
કૌંસની અંદરનું પદ સાદું રૂપ આપતા: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1-3}{3} \right] = 330$.
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2(n-1)}{3} = 330$.
$n(n+1)(n-1) = 990$.
$n(n^2-1) = 990$.
$n^3 - n - 990 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,$n=10$ માટે: $10^3 - 10 = 1000 - 10 = 990$. તેથી,$n = 10$.

(A) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{1} + \frac{1 + 2}{2} + \frac{1 + 2 + 3}{3} + \dots$ છે.
શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ નીચે મુજબ મળે છે:
$T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$,આપણને મળે છે:
$T_n = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો વર્ગ નીચે મુજબ છે:
${\left\{ \frac{n(n + 1)}{2} \right\}^2} = {(1 + 2 + \dots + n)^2} = \sum_{r=1}^n {r^2} + 2\sum_{1 \le s < t \le n} {st}$
તેથી,એકસાથે બે સંખ્યાઓ લઈને તેમના ગુણાકારોનો સરવાળો:
$\sum_{1 \le s < t \le n} {st} = \frac{1}{2} \left[ {\left\{ \frac{n(n + 1)}{2} \right\}^2} - \sum_{r=1}^n {r^2} \right]$
વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{r=1}^n {r^2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ મૂકતા:
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n^2(n + 1)^2}{4} - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \right]$
$= \frac{n(n + 1)(n - 1)(3n + 2)}{24}$

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n + 1)^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે.
$20$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
આ કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

(A) પ્રથમ $n$ ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર છે:
$\frac{\sum_{k=1}^{12} k^3}{\sum_{k=1}^{12} k^2} = \frac{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$.
$n = 12$ મૂકતા:
$\frac{3 \times 12 \times 13}{2 \times 25} = \frac{234}{25}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n + 1)(3n + 2)$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,$T_n = 6n^3 + 7n^2 + 2n$ મળે.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6\sum k^3 + 7\sum k^2 + 2\sum k$.
પ્રમાણિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n(n+1) + 7(2n+1) + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{3^n - 1}{3^n} = 1 - (\frac{1}{3})^n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (1 - (\frac{1}{3})^k)$ છે.
$S_n = \sum_{k=1}^n 1 - \sum_{k=1}^n (\frac{1}{3})^k$.
$S_n = n - [ \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} ]$.
$S_n = n - \frac{\frac{1}{3}(1 - 3^{-n})}{\frac{2}{3}} = n - \frac{1}{2}(1 - 3^{-n})$.
$S_n = n + \frac{1}{2}(3^{-n} - 1)$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો નીચે મુજબના પ્રમાણિત સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sum\limits_{m = 1}^n {{m^2}} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$.

(B) સરવાળો $\sum_{n=11}^{20} n^3 = \sum_{n=1}^{20} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^3$ દ્વારા મળે છે.
$\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= \left[ \frac{20(21)}{2} \right]^2 - \left[ \frac{10(11)}{2} \right]^2$
$= (210)^2 - (55)^2$
$= 44100 - 3025 = 41075$.
છેલ્લો અંક $5$ હોવાથી,$41075$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
છેલ્લો અંક $5$ હોવાથી,તે એકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,સરવાળો $5$ વડે વિભાજ્ય એકી પૂર્ણાંક છે.

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(2n + 1)^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે.
સરવાળો $S_n$ શોધવા માટે,$\sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 4k^2 + k)$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 4 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} (6n^2 + 14n + 7)$ મળે છે.

(B) આપેલ $n^{th}$ પદ $T_n = 3 + n(n - 1) = n^2 - n + 3$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k + 3)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 3n$.
સામાન્ય છેદ લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 18n}{6} = \frac{n(2n^2 + 16)}{6} = \frac{n^3 + 8n}{3}$.

(D) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = k(2n - (2k - 1)) = k(2n - 2k + 1) = 2nk - 2k^2 + k$ છે.
$k = 1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$S = \sum_{k=1}^{n} (2nk - 2k^2 + k) = 2n \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2n \frac{n(n+1)}{2} - 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$.
$S = n^2(n+1) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [6n - 2(2n+1) + 3] = \frac{n(n+1)}{6} [6n - 4n - 2 + 3] = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.