$1, 2, 2^2, \dots, 2^n$ શ્રેણીનો સમગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ શોધો.

એક $G.P.$ માં,જો પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $27$ હોય અને તેના પ્રથમ ત્રણ પદોના સરવાળા માટેના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ $\mathbb{R} - (a, b)$ હોય,તો $a^{2} + b^{2}$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ તેના પછીના તમામ પદોના સરવાળા કરતાં બમણું હોય,તો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય?

ધારો કે ચાર ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ એ $G.P.$ માં છે. ધારો કે $b_1=a_1, b_2=b_1+a_2, b_3=b_2+a_3$ અને $b_4=b_3+a_4$.
$STATEMENT-1$ : સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ એ $A.P.$ માં પણ નથી અને $G.P.$ માં પણ નથી.
$STATEMENT-2$ : સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ એ $H.P.$ માં છે.

જો એક $G.P.$ ના $4^{\text{th}}$,$10^{\text{th}}$ અને $16^{\text{th}}$ પદો અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ હોય,તો સાબિત કરો કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે.

ધારો કે $C_0$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. $n \geq 1$ માટે,ધારો કે $C_n$ એવું વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $C_{n-1}$ માં અંતર્ગત ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. તો,$\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i)$ બરાબર શું થાય?