Arithmetic progression Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
પદો $x = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$,$y = \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}$,અને $z = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ લો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{c - b}$,$y = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{a - c}$,$z = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$.
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,ધારો કે $c - b = b - a = d$. તેથી $a - c = -2d$.
$x = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{d}$,$y = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{-2d}$,$z = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{d}$.
સમાંતર શ્રેણી માટે $2y = x + z$ થવું જોઈએ.
$x + z = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b} + \sqrt{b} - \sqrt{a}}{d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$.
$2y = 2 \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{-2d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$.
$2y = x + z$ હોવાથી,આ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) અહીં $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 2n^2 + 5n$ આપેલ છે.
$n$ મું પદ $t_n$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $t_n = S_n - S_{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)]$
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5]$
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5]$
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2n^2 + n - 3]$
$t_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$t_n = 4n + 3$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3 - 1 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$a = 1$ અને $d = 2$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2n]$
$S_n = n^2$.

(D) શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ હોવા માટે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ એ $An^2 + Bn$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
વિધાન-$I$ માં,$S_n = 6n^2 + 3n + 1$. અહીં અચળ પદ $(1)$ હોવાથી,આ $AP$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ માં,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ વાળી સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{d}{2}n^2 + (a - \frac{d}{2})n$ થાય છે. આ સ્પષ્ટપણે $an^2 + bn$ સ્વરૂપમાં છે. તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.
આમ,વિધાન-$I$ ખોટું છે અને વિધાન-$II$ સાચું છે.

(C) સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર: $t_n = a + (n - 1)d$.
$11$ માં પદ માટે: $t_{11} = a + 10d$.
$21$ માં પદ માટે: $t_{21} = a + 20d$.
પ્રશ્ન મુજબ: $2t_{11} = 7t_{21}$.
$2(a + 10d) = 7(a + 20d)$.
$2a + 20d = 7a + 140d$.
$5a + 120d = 0$.
$5$ વડે ભાગતા: $a + 24d = 0$.
હવે,$25$ મું પદ $t_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$ થાય.
આમ,$a + 24d = 0$ હોવાથી,$t_{25} = 0$ મળે.

(D) ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{n}{2}(a + \ell)$ છે.
આથી,$n = \frac{2S}{a + \ell}$ મળે.
અંતિમ પદનું સૂત્ર $\ell = a + (n - 1)d$ છે.
તેથી,$d = \frac{\ell - a}{n - 1}$ થાય.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$d = \frac{\ell - a}{\frac{2S}{a + \ell} - 1} = \frac{(\ell - a)(a + \ell)}{2S - a - \ell} = \frac{\ell^2 - a^2}{2S - a - \ell}$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચો નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 5 = 3$ છે.
આપણે $n$ મું પદ શોધવાનું છે જ્યાં $a_n = 320$ હોય.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $320 = 5 + (n - 1)3$.
$320 - 5 = (n - 1)3$.
$315 = (n - 1)3$.
$n - 1 = \frac{315}{3} = 105$.
$n = 105 + 1 = 106$.
તેથી,શ્રેણીનું $106$ મું પદ $320$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીમાં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
તેમનો સરવાળો $33$ આપેલ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
તેમનો ગુણાકાર $792$ આપેલ છે:
$(11 - d) \times 11 \times (11 + d) = 792$
$(11 - d)(11 + d) = \frac{792}{11}$
$121 - d^2 = 72$
$d^2 = 121 - 72$
$d^2 = 49$
$d = 7$ (શ્રેણી માટે ધન કિંમત લેતા)
તેથી સંખ્યાઓ $(11 - 7)$,$11$,અને $(11 + 7)$ એટલે કે $4$,$11$,અને $18$ છે.
સૌથી નાની સંખ્યા $4$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $T_m = a + (m - 1)d = n$ (સમીકરણ $1$)
આપેલ છે $T_n = a + (n - 1)d = m$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(a + (m - 1)d) - (a + (n - 1)d) = n - m$
$(m - 1 - n + 1)d = n - m$
$(m - n)d = -(m - n)$
$d = -1$
$d = -1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + (m - 1)(-1) = n$
$a - m + 1 = n$
$a = m + n - 1$
હવે,$T_p$ શોધો:
$T_p = a + (p - 1)d$
$T_p = (m + n - 1) + (p - 1)(-1)$
$T_p = m + n - 1 - p + 1$
$T_p = m + n - p$

(B) $81$ અને $719$ વચ્ચેની $5$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે.
પ્રથમ પદ $a = 85$ અને અંતિમ પદ $l = 715$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$-મા પદના સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$715 = 85 + (n - 1)5$
$630 = (n - 1)5$
$n - 1 = 126$
$n = 127$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{127} = \frac{127}{2}(85 + 715)$
$S_{127} = \frac{127}{2}(800)$
$S_{127} = 127 \times 400 = 50800$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{S_n}{n} = a + \frac{(n-1)d}{2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{S_1}{n_1}(n_2 - n_3) + \frac{S_2}{n_2}(n_3 - n_1) + \frac{S_3}{n_3}(n_1 - n_2)$
$= [a + \frac{(n_1-1)d}{2}](n_2 - n_3) + [a + \frac{(n_2-1)d}{2}](n_3 - n_1) + [a + \frac{(n_3-1)d}{2}](n_1 - n_2)$
$= a(n_2 - n_3 + n_3 - n_1 + n_1 - n_2) + \frac{d}{2}[(n_1-1)(n_2-n_3) + (n_2-1)(n_3-n_1) + (n_3-1)(n_1-n_2)]$
$= a(0) + \frac{d}{2}[n_1n_2 - n_1n_3 - n_2 + n_3 + n_2n_3 - n_2n_1 - n_3 + n_1 + n_3n_1 - n_3n_2 - n_1 + n_2]$
$= 0 + \frac{d}{2}(0) = 0$.

(A) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓનાં પ્રથમ પદો $a_1$ અને $a_2$ છે અને તેમના સામાન્ય તફાવત અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે.
આપેલ છે કે $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર: $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m$ મું પદ $t_m = a + (m-1)d$ થાય.
$m$ મા પદોનો ગુણોત્તર $\frac{t_m}{t'_m} = \frac{a_1 + (m-1)d_1}{a_2 + (m-1)d_2}$ થાય.
$13$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે $m-1 = 12$ લઈએ,તેથી $m = 13$.
આપણે સરવાળાના ગુણોત્તરના સૂત્રમાં $n = 2m - 1 = 2(13) - 1 = 25$ મૂકીએ.
$\frac{t_{13}}{t'_{13}} = \frac{a_1 + 12d_1}{a_2 + 12d_2} = \frac{2(25) + 3}{6(25) + 5}$.
$\frac{t_{13}}{t'_{13}} = \frac{50 + 3}{150 + 5} = \frac{53}{155}$.

(C) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $(a-d)$,$a$,અને $(a+d)$ છે,જ્યાં $d > 0$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $a^2 - 4ad = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a = 4d$ મળે.
બાજુઓમાં $a = 4d$ મૂકતા: $(4d-d)$,$4d$,$(4d+d)$,જે $3d$,$4d$,$5d$ આપે છે.
આમ,બાજુઓનું પ્રમાણ $3 : 4 : 5$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$9^{th}$ પદ માટે: $a + 8d = 35$ (સમીકરણ $1$).
$19^{th}$ પદ માટે: $a + 18d = 75$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 18d) - (a + 8d) = 75 - 35$.
$10d = 40$,તેથી $d = 4$.
$d = 4$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 8(4) = 35 \implies a + 32 = 35 \implies a = 3$.
$20^{th}$ પદ $a_{20} = a + 19d$ છે.
$a_{20} = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનાં ત્રણ પદ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
તેમનો સરવાળો: $(a - d) + a + (a + d) = 18$.
$3a = 18 \implies a = 6$.
તેમના વર્ગોનો સરવાળો: $(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 158$.
$(6 - d)^2 + 6^2 + (6 + d)^2 = 158$.
$(36 - 12d + d^2) + 36 + (36 + 12d + d^2) = 158$.
$108 + 2d^2 = 158$.
$2d^2 = 50 \implies d^2 = 25 \implies d = \pm 5$.
જો $d = 5$ હોય,તો પદો $1, 6, 11$ મળે.
જો $d = -5$ હોય,તો પદો $11, 6, 1$ મળે.
બંને કિસ્સામાં,સૌથી મોટું પદ $11$ છે.

(B) પ્રથમ $3$ મહિનામાં કુલ બચત $= 3 \times 200 = 600$ રૂપિયા.
$3$ મહિના પછી,બચત સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $240, 280, 320, \dots$
આ શ્રેણીના પદોનો સરવાળો $11040 - 600 = 10440$ રૂપિયા થવો જોઈએ.
અહીં,$a = 240$ અને $d = 40$.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10440 = \frac{n}{2} [2(240) + (n - 1)40]$
$10440 = n(240 + 20n - 20)$
$10440 = 220n + 20n^2$
$20n^2 + 220n - 10440 = 0$
$20$ વડે ભાગતા: $n^2 + 11n - 522 = 0$
$(n + 29)(n - 18) = 0$
$n > 0$ હોવાથી,$n = 18$.
કુલ મહિના $= 18 + 3 = 21$ મહિના.

(A) સમાંતર શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = a + (r - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_m = 1/n$ અને $T_n = 1/m$,તેથી:
$a + (m - 1)d = 1/n$ --- $(1)$
$a + (n - 1)d = 1/m$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(a + (m - 1)d) - (a + (n - 1)d) = 1/n - 1/m$
$(m - 1 - n + 1)d = (m - n) / (mn)$
$(m - n)d = (m - n) / (mn)$
$m \neq n$ હોવાથી,$(m - n)$ વડે ભાગતા:
$d = 1/(mn)$
હવે,$d = 1/(mn)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (m - 1)(1/(mn)) = 1/n$
$a + 1/n - 1/(mn) = 1/n$
$a = 1/(mn)$
તેથી,$a - d = 1/(mn) - 1/(mn) = 0$.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0$ ના બીજ $a - d$,$a$,અને $a + d$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $(a - d) + a + (a + d) = -(-12)/1 = 12$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$
બીજનો ગુણાકાર: $(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = -(-28)/1 = 28$
$a(a^2 - d^2) = 28$
$a = 4$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(4^2 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 9$
$d = \pm 3$
આમ,સામાન્ય તફાવત $3$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ છે.
આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
આપેલ છે $f(1) = f(-1)$:
$A(1)^2 + B(1) + C = A(-1)^2 + B(-1) + C$
$A + B + C = A - B + C$
$2B = 0 \implies B = 0$.
તેથી,$f(x) = Ax^2 + C$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 2Ax$.
તેથી $f'(a) = 2Aa$,$f'(b) = 2Ab$,અને $f'(c) = 2Ac$.
જેમ કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b - a = c - b$.
$2A$ વડે ગુણતા,$2Ab - 2Aa = 2Ac - 2Ab$,જેનો અર્થ છે કે $f'(b) - f'(a) = f'(c) - f'(b)$.
તેથી,$f'(a), f'(b), f'(c)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$100 \times a_{100} = 50 \times a_{50}$.
$100(a + 99d) = 50(a + 49d)$.
$50$ વડે ભાગતા,$2(a + 99d) = a + 49d$.
$2a + 198d = a + 49d$.
$a = 49d - 198d = -149d$.
$150$ મું પદ $a_{150} = a + 149d$ છે.
$a = -149d$ મૂકતા,$a_{150} = -149d + 149d = 0$.

(A) ધારો કે ચાર ક્રમિક પૂર્ણાકો $x, x+1, x+2, x+3$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.
$x+3 = x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2$ લેતા,
$x+3 = 3x^2 + 6x + 5$
$3x^2 + 5x + 2 = 0$
$(3x+2)(x+1) = 0$
તેથી $x = -1$ મળે છે.
સંખ્યાઓ $-1, 0, 1, 2$ છે.
તેમનો સરવાળો $(-1) + 0 + 1 + 2 = 2$ થાય છે.

(D) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદો $a_1, a_2$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1, d_2$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{7n+1}{4n+17}$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ છે.
$n$ માં પદોનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે સરવાળાના સૂત્રમાં $(n-1)$ ને $(2n-2)$ વડે બદલીએ છીએ.
$n$ માં પદોનો ગુણોત્તર = $\frac{a_1 + (n-1)d_1}{a_2 + (n-1)d_2} = \frac{14n-6}{8n+13}$ થાય.
આ $7:4$ નથી. તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ એ શ્રેણીનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે,જે સાચું છે.
તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે અને વિધાન-$II$ સાચું છે.

(A) આપણી પાસે $S_n = An^2 + Bn$ છે.
$S_{n - 1} = A(n - 1)^2 + B(n - 1)$
$= A(n^2 - 2n + 1) + B(n - 1)$
$= An^2 - 2An + A + Bn - B$
$n$-મું પદ $a_n = S_n - S_{n - 1} = (An^2 + Bn) - (An^2 - 2An + A + Bn - B)$
$= An^2 + Bn - An^2 + 2An - A - Bn + B$
$= 2An + B - A$
હવે,$a_{n - 1} = 2A(n - 1) + B - A = 2An - 2A + B - A = 2An + B - 3A$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_n - a_{n - 1} = (2An + B - A) - (2An + B - 3A) = 2A$.
તફાવત $d = 2A$ એ $n$ થી સ્વતંત્ર અચળ હોવાથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d$ છે,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
અહીં,$c = a+2d$ અને $e = a+4d$ છે.
તેથી,$e - c = (a+4d) - (a+2d) = 2d$.
હવે,વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $2(d - c) = 2((a+3d) - (a+2d)) = 2(d) = 2d$.
આમ,$e - c = 2(d - c)$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $p$ પદોનો સરવાળો = $q$ પદોનો સરવાળો:
$\frac{p}{2}[2a + (p - 1)d] = \frac{q}{2}[2a + (q - 1)d]$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$p[2a + (p - 1)d] = q[2a + (q - 1)d]$
$2ap + p(p - 1)d = 2aq + q(q - 1)d$
પદોને ગોઠવતા:
$2a(p - q) + d[p^2 - p - q^2 + q] = 0$
$2a(p - q) + d[(p^2 - q^2) - (p - q)] = 0$
$(p - q)$ સામાન્ય લેતા:
$(p - q)[2a + d(p + q - 1)] = 0$
અહીં $p \neq q$ હોવાથી:
$2a + (p + q - 1)d = 0$
$(p + q)$ પદોનો સરવાળો:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2}[2a + (p + q - 1)d]$
$2a + (p + q - 1)d = 0$ કિંમત મૂકતા:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \times 0 = 0$

(B) $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m$-મું પદ $T_m = S_m - S_{m-1}$ થાય.
આપેલ છે કે $T_m = 164$,તેથી $164 = (3m^2 + 5m) - [3(m-1)^2 + 5(m-1)]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $164 = (3m^2 + 5m) - [3(m^2 - 2m + 1) + 5m - 5]$.
$164 = 3m^2 + 5m - (3m^2 - 6m + 3 + 5m - 5)$.
$164 = 3m^2 + 5m - 3m^2 + m + 2$.
$164 = 6m + 2$.
$6m = 162$.
$m = 27$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $n$ મું પદ $t_n = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે $p \cdot t_p = q \cdot t_q$.
$p[a + (p - 1)d] = q[a + (q - 1)d]$
$ap + p(p - 1)d = aq + q(q - 1)d$
$a(p - q) + [p^2 - p - q^2 + q]d = 0$
$a(p - q) + [(p^2 - q^2) - (p - q)]d = 0$
$a(p - q) + [(p - q)(p + q) - (p - q)]d = 0$
$(p - q)$ વડે ભાગતા:
$a + (p + q - 1)d = 0$
$(p + q)$ મું પદ $t_{p+q} = a + (p + q - 1)d$ હોવાથી,આપણને $t_{p+q} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\log 2$,$\log (2^x - 1)$ અને $\log (2^x + 3)$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
$AP$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$2 \times \text{મધ્યમ પદ} = \text{પ્રથમ પદ} + \text{ત્રીજું પદ}$.
$2 \log (2^x - 1) = \log 2 + \log (2^x + 3)$
$\log a + \log b = \log (ab)$ અને $n \log a = \log (a^n)$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log (2^x - 1)^2 = \log [2(2^x + 3)]$
$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$
ધારો કે $2^x = y$. તો $(y - 1)^2 = 2(y + 3)$
$y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$
$y^2 - 4y - 5 = 0$
$(y - 5)(y + 1) = 0$
કારણ કે $y = 2^x > 0$,તેથી $y = 5$.
$2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5$.

(A) ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = Pn + Qn^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ પદ $a = S_1 = P(1) + Q(1)^2 = P + Q$ થાય.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_2 = P(2) + Q(2)^2 = 2P + 4Q$ થાય.
બીજું પદ $a_2 = S_2 - S_1 = (2P + 4Q) - (P + Q) = P + 3Q$ થાય.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a = (P + 3Q) - (P + Q) = 2Q$ થાય.
આમ,સામાન્ય તફાવત $2Q$ છે.

(A) ધારો કે વધતી સમાંતર શ્રેણીના ચાર પૂર્ણાંકો $x, x+k, x+2k, x+3k$ છે,જ્યાં $k > 0$.
શરત મુજબ,સૌથી મોટી સંખ્યા બાકીની ત્રણ સંખ્યાઓના વર્ગના સરવાળા જેટલી છે: $x+3k = x^2 + (x+k)^2 + (x+2k)^2$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $3x^2 + (6k-1)x + (5k^2-3k) = 0$ મળે છે.
$k=1$ લેતા,$3x^2 + 5x + 2 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $x = -1$ અને $x = -2/3$ છે.
પૂર્ણાંક $x = -1$ માટે,શ્રેણી $-1, 0, 1, 2$ મળે છે.
અહીં સામાન્ય તફાવત $0 - (-1) = 1$ છે.

(B) સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_n = S_n - S_{n - 1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_n = 3n^2 + 5n$.
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3(n - 1)^2 + 5(n - 1))$.
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5)$.
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5)$.
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - n - 2)$.
$t_n = 6n + 2$.
આપેલ છે કે $t_n = 164$,તેથી $6n + 2 = 164$.
$6n = 162$.
$n = \frac{162}{6} = 27$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{p}{2}[2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2}[2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$
$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{a_1 + \frac{(p-1)}{2}d}{a_1 + \frac{(q-1)}{2}d} = \frac{p}{q} \dots (1)$
આપણે $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d}$ શોધવાનું છે.
સમીકરણ $(1)$ સાથે સરખાવતા,$\frac{p-1}{2} = 5 \Rightarrow p = 11$ અને $\frac{q-1}{2} = 20 \Rightarrow q = 41$.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{11}{41}$ મળે છે.

(A) ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે $A.M. \ge G.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a + b + c}{3} \ge (abc)^{1/3} \implies a + b + c \ge 3(abc)^{1/3}$
તે જ રીતે,$1/a, 1/b, 1/c$ માટે:
$\frac{1/a + 1/b + 1/c}{3} \ge \left(\frac{1}{abc}\right)^{1/3} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\left(\frac{1}{abc}\right)^{1/3}$
આ બંને અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા:
$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 3(abc)^{1/3} \times 3\left(\frac{1}{abc}\right)^{1/3}$
$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$
લઘુત્તમ મૂલ્ય $9$ છે,જે $a = b = c$ હોય ત્યારે મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે,$t_p = a + (p - 1)d = q$ --- $(1)$
અને,$t_q = a + (q - 1)d = p$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(p - q)d = q - p$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
હવે,$r$-મું પદ $t_r = a + (r - 1)d$
$t_r = (p + q - 1) + (r - 1)(-1)$
$t_r = p + q - 1 - r + 1$
$t_r = p + q - r$

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{p+q}, \frac{1}{r+p}$ અને $\frac{1}{q+r}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,સામાન્ય તફાવત સમાન થાય:
$\frac{1}{r+p} - \frac{1}{p+q} = \frac{1}{q+r} - \frac{1}{r+p}$
અપૂર્ણાંકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{(p+q) - (r+p)}{(r+p)(p+q)} = \frac{(r+p) - (q+r)}{(q+r)(r+p)}$
$\frac{q-r}{p+q} = \frac{p-q}{q+r}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(q-r)(q+r) = (p-q)(p+q)$
$q^2 - r^2 = p^2 - q^2$
પદોને ગોઠવતા:
$2q^2 = p^2 + r^2$
આ શરત સૂચવે છે કે $p^2, q^2, r^2$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) $x, y, z$ સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે,તેથી $\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \text{ અને } \frac{z}{x}$ બધા ધન છે.
આ ત્રણ ધન સંખ્યાઓ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતા લાગુ પાડતા:
$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{1}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3$
આમ,મૂલ્ય $[3, +\infty)$ અંતરાલમાં રહેલું છે.

(B) શ્રેણી $a, (a+d), (a+2d), \dots, (a+2nd)$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણીમાં $2n+1$ પદો છે.
સમાંતર શ્રેણીનો મધ્યક એ પ્રથમ અને અંતિમ પદની સરેરાશ છે.
સમાંતર મધ્યક $= \frac{\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ}}{2}$
સમાંતર મધ્યક $= \frac{a + (a + 2nd)}{2}$
સમાંતર મધ્યક $= \frac{2a + 2nd}{2} = a + nd$.

(B) ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો $S_p = \frac{p}{2}[2a_1 + (p-1)d]$ છે.
$m = 5n$ આપેલ હોવાથી,$\frac{S_m}{S_n} = \frac{\frac{5n}{2}[2a_1 + (5n-1)d]}{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]} = 5 \times \frac{2a_1 - d + 5nd}{2a_1 - d + nd}$.
ગુણોત્તર $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$(2a_1 - d) = 0$ હોવું જોઈએ.
$2a_1 - d = 0$ લેતા,આપણને $d = 2a_1$ મળે છે.
$a_1 = 3$ આપેલ હોવાથી,$d = 2(3) = 6$.
તેથી,$a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9$.

(B) સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_n = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે $t_7 = 40$,તેથી $a + 6d = 40$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2a + 12d = 80$ મળે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 13$ માટે,$S_{13} = \frac{13}{2}[2a + (13 - 1)d] = \frac{13}{2}[2a + 12d]$.
$2a + 12d = 80$ કિંમત મૂકતા,$S_{13} = \frac{13}{2} \times 80 = 13 \times 40 = 520$.

(C) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી સામાન્ય તફાવત $d = a_{k+1} - a_k$ થાય.
પદ $\sin d \csc a_k \csc a_{k+1} = \frac{\sin(a_{k+1} - a_k)}{\sin a_k \sin a_{k+1}}$ લખી શકાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin a_{k+1} \cos a_k - \cos a_{k+1} \sin a_k}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \cot a_k - \cot a_{k+1}$.
આ શ્રેણીનો સરવાળો કરતા:
$S = (\cot a_1 - \cot a_2) + (\cot a_2 - \cot a_3) + \dots + (\cot a_{n-1} - \cot a_n)$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,તેથી જવાબ $\cot a_1 - \cot a_n$ મળે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનાં ત્રણ પદ $(a - d)$,$a$ અને $(a + d)$ છે.
પ્રથમ અને તૃતીય પદનો સરવાળો $12$ આપેલ છે:
$(a - d) + (a + d) = 12$
$2a = 12$
$a = 6$
પ્રથમ અને દ્વિતીય પદનો ગુણાકાર $24$ આપેલ છે:
$(a - d) \times a = 24$
$(6 - d) \times 6 = 24$
$6 - d = 4$
$d = 2$
તેથી,પ્રથમ પદ $(a - d) = 6 - 2 = 4$ થાય.

(C) પ્રથમ શ્રેણી માટે,$m$ મું પદ $t_m = 63 + (m - 1)2 = 2m + 61$ છે.
દ્વિતીય શ્રેણી માટે,$m$ મું પદ $t'_m = 3 + (m - 1)7 = 7m - 4$ છે.
આપેલ છે કે $m$ માં પદ સમાન છે,તેથી $t_m = t'_m:$
$2m + 61 = 7m - 4$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$5m = 65$
$m = 13$

(C) જો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $2b = a + c$ થાય.
અહીં,$a = 2x$,$b = x + 8$ અને $c = 3x + 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$2(x + 8) = 2x + (3x + 1)$
$2x + 16 = 5x + 1$
$16 - 1 = 5x - 2x$
$15 = 3x$
$x = 5$

(A) જો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો સામાન્ય તફાવત સમાન હોય,તેથી $b - a = c - b$.
આનો અર્થ એ છે કે $2b = a + c$.
આપણે $(a - c)^2$ ની કિંમત શોધવી છે.
નિત્યસમ $(a - c)^2 = (a + c)^2 - 4ac$ નો ઉપયોગ કરતા.
$a + c = 2b$ ને પદમાં મૂકતા:
$(a - c)^2 = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac$.
$4$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(a - c)^2 = 4(b^2 - ac)$ મળે છે.

(C) સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $l$ છેલ્લું પદ છે.
અહીં $a = 10$,$l = 50$,અને $S_n = 300$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $300 = \frac{n}{2}(10 + 50)$.
$300 = \frac{n}{2}(60)$.
$300 = 30n$.
$n = \frac{300}{30} = 10$.

(C) આપેલ $n$ મું પદ $t_n = 3n - 1$ છે.
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ માટે પદો નીચે મુજબ છે:
$t_1 = 3(1) - 1 = 2$
$t_2 = 3(2) - 1 = 5$
$t_3 = 3(3) - 1 = 8$
$t_4 = 3(4) - 1 = 11$
$t_5 = 3(5) - 1 = 14$
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ થાય.

(B) અહીં $S_{2n} = 2S_n$ આપેલ છે.
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = 2 \times \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$2a + (2n-1)d = 2a + (n-1)d$
આના પરથી $nd = 0$ મળે છે,એટલે કે $d = 0$.
જો $d = 0$ હોય,તો $S_n = na$.
તેથી,$S_{3n} / S_n = \frac{3na}{na} = 3$.
પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $6$ છે.