Arithmetic progression Questions in Gujarati

(D) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = px^2 + qx + r$ છે.
આપેલ છે કે $f(1) = f(-1)$,તેથી $p(1)^2 + q(1) + r = p(-1)^2 + q(-1) + r$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $p + q + r = p - q + r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2q = 0$,એટલે કે $q = 0$.
તેથી,વિધેય $f(x) = px^2 + r$ છે.
તેનું વિકલન $f'(x) = 2px$ થાય છે.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી સામાન્ય તફાવત $d$ માટે $b = a + d$ અને $c = a + 2d$ થાય.
તેથી $f'(a) = 2pa$,$f'(b) = 2p(a + d) = 2pa + 2pd$,અને $f'(c) = 2p(a + 2d) = 2pa + 4pd$ મળે.
અહીં $f'(b) - f'(a) = 2pd$ અને $f'(c) - f'(b) = 2pd$ હોવાથી,પદો $f'(a), f'(b), f'(c)$ નો સામાન્ય તફાવત $2pd$ છે.
તેથી,$f'(a), f'(b), f'(c)$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે $a + 2b + 3c = 6$. આપણે $abc^2$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
આપણે તેને $a + 2b + \frac{3c}{2} + \frac{3c}{2} = 6$ તરીકે લખી શકીએ.
ચાર ધન પદો માટે $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a + 2b + \frac{3c}{2} + \frac{3c}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{3c}{2} \cdot \frac{3c}{2}}$
$\frac{6}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{9c^2}{4}}$
$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{18}{4} abc^2}$
$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{9}{2} abc^2}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(\frac{3}{2})^4 \geq \frac{9}{2} abc^2$
$\frac{81}{16} \geq \frac{9}{2} abc^2$
$abc^2 \leq \frac{81}{16} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9}{8}$.

(C) $6$ વડે ભાગતા $4$ શેષ વધતી હોય તેવી બે અંકની સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આ સંખ્યાઓ $6n + 4$ સ્વરૂપમાં છે.
સૌથી નાની બે અંકની સંખ્યા $10$ $(6 \times 1 + 4)$ છે અને સૌથી મોટી સંખ્યા $94$ $(6 \times 15 + 4)$ છે.
આમ,શ્રેણી $10, 16, 22, \ldots, 94$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 10$,અંતિમ પદ $l = 94$,અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$.
$94 = 10 + (n - 1)6$
$84 = (n - 1)6$
$n - 1 = 14$
$n = 15$.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
$S_{15} = \frac{15}{2}(10 + 94) = \frac{15}{2}(104) = 15 \times 52 = 780$.

(D) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - px^2 + qx - r = 0$ ના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $x^2$ ના સહગુણક જેટલો થાય છે.
$(a - d) + a + (a + d) = 9$
$3a = 9 \implies a = 3$.
અહીં $a = 3$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે $x^3 - 9x^2 + \alpha x - 15 = 0$ નું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$(3)^3 - 9(3)^2 + \alpha(3) - 15 = 0$
$27 - 81 + 3\alpha - 15 = 0$
$3\alpha - 69 = 0$
$3\alpha = 69$
$\alpha = 23$.

(B) $A.P.$ માં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ રહે છે.
$a_1 + a_{16} = a_4 + a_{13} = a_7 + a_{10} = \dots = \lambda$.
આપેલ સરવાળો $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 147$ છે.
આને $3(a_1 + a_{16}) = 147$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $a_1 + a_{16} = 49$.
આપણે $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $a_1 + a_{16} = a_6 + a_{11} = 49$,તેથી $S = (a_1 + a_{16}) + (a_6 + a_{11}) = 49 + 49 = 98$.

(C) આપેલ છે કે બે $A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{s_n}{S_n} = \frac{3n - 13}{7n + 13}$ છે.
ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $s_n = k(3n^2 - 13n)$ અને $S_n = k(7n^2 + 13n)$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
બીજી $A.P.$ માટે $2n$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S_n$ ના સૂત્રમાં $n$ ની જગ્યાએ $2n$ મૂકીશું:
$S_{2n} = k(7(2n)^2 + 13(2n)) = k(7(4n^2) + 26n) = k(28n^2 + 26n)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{s_n}{S_{2n}} = \frac{k(3n^2 - 13n)}{k(28n^2 + 26n)} = \frac{3n^2 - 13n}{28n^2 + 26n} = \frac{n(3n - 13)}{n(28n + 26)} = \frac{3n - 13}{28n + 26}$.

(C) આપેલ છે કે $\log _{5} 2, \log _{5}(2^{x}-3)$,અને $\log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$ એ $A.P.$ માં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ માટે $A.P.$ ની શરત $2b = a + c$ છે.
આ શરત લાગુ પાડતા: $2 \log _{5}(2^{x}-3) = \log _{5} 2 + \log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$.
$\log m + \log n = \log(mn)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\log _{5}(2^{x}-3)^{2} = \log _{5}(2 \times (\frac{17}{2}+2^{x-1}))$.
$(2^{x}-3)^{2} = 17 + 2 \times 2^{x-1} = 17 + 2^{x}$.
ધારો કે $2^{x} = y$. તો $(y-3)^{2} = 17 + y$.
$y^{2} - 6y + 9 = 17 + y \Rightarrow y^{2} - 7y - 8 = 0$.
$(y-8)(y+1) = 0$. કારણ કે $y = 2^{x} > 0$,તેથી $y = 8$.
$2^{x} = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3$.

(A) ધારો કે $S_n = x_n + y_n + z_n + w_n$. સમાંતર શ્રેણીઓનો સરવાળો પણ સમાંતર શ્રેણી જ હોય છે,તેથી $S_n$ એ પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
આપેલ છે કે $S_4 = A + 3D = 8$ અને $S_{10} = A + 9D = 20$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(A + 9D) - (A + 3D) = 20 - 8$ $\Rightarrow 6D = 12$ $\Rightarrow D = 2$.
$A + 3D = 8$ માં $D = 2$ મૂકતા: $A + 6 = 8 \Rightarrow A = 2$.
હવે,$S_{20} = A + 19D = 2 + 19(2) = 2 + 38 = 40$.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{x_{20} + y_{20} + z_{20} + w_{20}}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$.
$\frac{40}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ $\Rightarrow 10 \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા,$x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20} \leq 10^4$ મળે.

(C) જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $2b = a + c$ થાય.
$\Rightarrow 2 \log _{10}(2^x - 1) = \log _{10} 2 + \log _{10}(2^x + 3)$
$\Rightarrow \log _{10}(2^x - 1)^2 = \log _{10} [2(2^x + 3)]$
$\Rightarrow (2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$
ધારો કે $2^x = y.$
$\Rightarrow (y - 1)^2 = 2(y + 3)$
$\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$
$\Rightarrow y^2 - 4y - 5 = 0$
$\Rightarrow (y - 5)(y + 1) = 0$
કારણ કે $y = 2^x > 0,$ તેથી $y = 5$ મળે.
$\Rightarrow 2^x = 5$
$\Rightarrow x = \log_2 5.$

(D) આપેલ છે કે $x + y + z = 4$ જ્યાં $x, y, z \in R^+$.
આપણે $xyz^2 = x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2} \cdot 4$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક અસમતા ($AM$-$GM$) મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y, \frac{z}{2}, \frac{z}{2}$ માટે:
$\frac{x + y + \frac{z}{2} + \frac{z}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2}}$
$x + y + z = 4$ મૂકતા:
$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$
$xyz^2 \leq 4$
આમ,મહત્તમ કિંમત $4$ છે.

(C) ધારો કે $z = {\left( {\frac{3}{a} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{b} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c} - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 1} \right)^2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$z = \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) + 4 - 2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right)$ મળે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4} \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) \ge \sqrt[4]{\frac{9}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{c^2} \cdot 9c^2} = \sqrt[4]{81} = 3$.
તેથી,$\frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \ge 12$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{4} \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge \sqrt[4]{\frac{3}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot 3c} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$.
તેથી,$2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge 8\sqrt{3}$.
આમ,$z \ge 12 + 4 - 8\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}$.
$p - q\sqrt{r}$ સાથે સરખાવતા,$p = 16$,$q = 8$,$r = 3$.
$q$ અને $r$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p + q + r = 16 + 8 + 3 = 27$.

(D) ચાર ધન સંખ્યાઓ $x, y, \frac{z}{2}, \frac{z}{2}$ માટે સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x + y + \frac{z}{2} + \frac{z}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2}}$
આપેલ છે કે $x + y + z = 4$,તેથી:
$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$
$xyz^2 \leq 4$
આમ,મહત્તમ કિંમત $4$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી $S_{n+1} - S_n = d$.
આપેલ સરવાળો $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{S_n S_{n+1}} = \frac{1}{d} (\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_{101}}) = \frac{1}{d} (\frac{S_{101} - S_1}{S_1 S_{101}}) = \frac{1}{6}$.
$S_{101} - S_1 = 100d$ હોવાથી,$\frac{100}{S_1 S_{101}} = \frac{1}{6}$,એટલે કે $S_1 S_{101} = 600$.
$S_1 + S_{101} = 50$ આપેલ છે.
$|S_1 - S_{101}| = \sqrt{(S_1 + S_{101})^2 - 4 S_1 S_{101}} = \sqrt{50^2 - 4(600)} = \sqrt{2500 - 2400} = \sqrt{100} = 10$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = cn(n-1) = cn^2 - cn$.
$n$-મું પદ $t_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$t_n = [cn^2 - cn] - [c(n-1)^2 - c(n-1)] = 2c(n-1)$.
આપણે આ પદોના વર્ગોનો સરવાળો શોધવો છે,એટલે કે $\sum_{k=1}^{n} (t_k)^2$.
$t_k^2 = [2c(k-1)]^2 = 4c^2(k^2 - 2k + 1)$.
સરવાળો $= \sum_{k=1}^{n} 4c^2(k^2 - 2k + 1) = 4c^2 [\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1]$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= 4c^2 [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n] = \frac{2}{3}c^2n(n-1)(2n-1)$.

(A) $S_1$ માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 5$ છે. સામાન્ય પદ $T_n = 5n - 4$ છે.
$S_2$ માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 4$ છે. સામાન્ય પદ $T_m = 4m - 1$ છે.
સામાન્ય પદો માટે,$5n - 4 = 4m - 1$ એટલે કે $5n = 4m + 3$.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે.
નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $LCM(5, 4) = 20$ છે.
આમ,સામાન્ય પદોની શ્રેણી $11, 31, 51, .....$ છે,જ્યાં $A = 11$ અને $D = 20$.
$25$ મું સામાન્ય પદ $A_{25} = 11 + 24 \times 20 = 491$ થાય.

(D) સરવાળો મહત્તમ મેળવવા માટે,આપણે પદો જ્યાં સુધી અ-ઋણ રહે ત્યાં સુધી ગણીશું. સામાન્ય તફાવત $d = -2$ હોવાથી,જ્યાં સુધી પદો ધન છે ત્યાં સુધી સરવાળો વધશે.
$T_n \geq 0$ લેતા:
$a + (n - 1)d \geq 0$
$50 + (n - 1)(-2) \geq 0$
$52 \geq 2n \Rightarrow n \leq 26$.
આમ,પ્રથમ $26$ પદોનો સરવાળો મહત્તમ થશે.
$S_{26} = \frac{26}{2} [2(50) + (26 - 1)(-2)]$
$S_{26} = 13 [100 - 50]$
$S_{26} = 13 \times 50 = 650$.

(D) ધારો કે ચતુષ્કોણના ચાર ખૂણાઓ $A.P.$ માં $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
આ શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $2d = 10^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $d = 5^{\circ}$.
ચતુષ્કોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$
$4a = 360^{\circ} \Rightarrow a = 90^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $a-3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ છે.

(B) $A.P.$ માં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ રહે છે,એટલે કે $a_1 + a_{21} = a_3 + a_{19} = a_5 + a_{17} = 2a_{11}$.
આપેલ છે કે $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$.
સંબંધો મૂકતા,આપણને મળે છે $(a_3 + a_{19}) + (a_5 + a_{17}) + a_{11} = 10$.
કારણ કે $a_3 + a_{19} = 2a_{11}$ અને $a_5 + a_{17} = 2a_{11}$,સમીકરણ $2a_{11} + 2a_{11} + a_{11} = 10$ બને છે.
$5a_{11} = 10 \Rightarrow a_{11} = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_1 + a_{21} = 2a_{11} = 2(2) = 4$.
પ્રથમ $21$ પદોનો સરવાળો $S_{21} = \frac{21}{2}(a_1 + a_{21})$ દ્વારા મળે છે.
$S_{21} = \frac{21}{2}(4) = 21 \times 2 = 42$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $n^{th}$ પદ $T_n = a + (n-1)d$ છે.
આપેલ છે $T_9 = 5T_2$ $\Rightarrow a + 8d = 5(a + d)$ $\Rightarrow a + 8d = 5a + 5d$ $\Rightarrow 4a - 3d = 0$ $\Rightarrow d = \frac{4a}{3}$.
આપેલ છે $T_{13} = 2T_6 + 5$ $\Rightarrow a + 12d = 2(a + 5d) + 5$ $\Rightarrow a + 12d = 2a + 10d + 5$ $\Rightarrow 2d - a = 5$.
બીજા સમીકરણમાં $d = \frac{4a}{3}$ મૂકતા: $2(\frac{4a}{3}) - a = 5$.
$\frac{8a}{3} - a = 5$ $\Rightarrow \frac{5a}{3} = 5$ $\Rightarrow a = 3$.

(A) સમાંતર મધ્યક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \frac{9 + 99 + 999 + \dots + 999999999}{9}$
દરેક પદને $9$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A = 1 + 11 + 111 + \dots + 111111111$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$1 = 1$
$1 + 11 = 12$
$1 + 11 + 111 = 123$
આ પેટર્નને $9$ પદો સુધી અનુસરતા,આપણને મળે છે:
$A = 123456789$
સંખ્યા $N = 123456789$ એ $1$ થી $9$ અંકો ધરાવે છે. તેમાં $0$ અંકનો સમાવેશ થતો નથી.

(D) સરવાળો મહત્તમ થાય તે માટે,આપણે પદો જ્યાં સુધી અ-ઋણ રહે ત્યાં સુધી ગણીએ છીએ.
ધારો કે $n$-મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ છે.
અહીં,$a = 50$ અને $d = -2$.
$T_n = 50 + (n-1)(-2) = 52 - 2n$.
$T_n \geq 0$ લેતા,$52 - 2n \geq 0 \Rightarrow n \leq 26$.
આમ,$n = 26$ માટે સરવાળો મહત્તમ છે.
$S_{26} = \frac{26}{2} [2(50) + (26-1)(-2)] = 13 [100 - 50] = 650$.

(A) ધારો કે $A.P.$ $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો સામાન્ય તફાવત $d_1$ છે.
$x_8 - x_3 = 5d_1 = 20 - 8 = 12$ હોવાથી,$d_1 = \frac{12}{5} = 2.4$ મળે.
તેથી $x_5 = x_3 + 2d_1 = 8 + 2(2.4) = 12.8$.
ધારો કે $A.P.$ $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ નો સામાન્ય તફાવત $d_2$ છે.
$\frac{1}{h_7} - \frac{1}{h_2} = 5d_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = -\frac{3}{40}$ હોવાથી,$d_2 = -\frac{3}{200}$ મળે.
હવે,$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_7} + 3d_2 = \frac{1}{20} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$ મળે,તેથી $h_{10} = 200$.
આમ,$x_5 \cdot h_{10} = 12.8 \times 200 = 2560$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $a = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{4}$ અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આપણને $\frac{1}{x_{21}} = \frac{1}{20}$ આપેલ છે.
$A.P.$ ના સૂત્ર મુજબ $\frac{1}{x_{21}} = a + 20d$,તેથી $\frac{1}{20} = \frac{1}{4} + 20d$.
$20d = \frac{1}{20} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{5}$,તેથી $d = -\frac{1}{100}$.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $\frac{1}{x_n} = a + (n-1)d = \frac{1}{4} - \frac{n-1}{100} = \frac{26 - n}{100}$ છે.
તેથી $x_n = \frac{100}{26 - n}$.
$x_n > 50$ હોવાથી,$\frac{100}{26 - n} > 50$,જેનો અર્થ છે કે $n > 24$.
સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 25$ છે.
હવે,$\sum_{i=1}^{25} \frac{1}{x_i} = \frac{25}{2} \left[ 2a + (25-1)d \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{24}{100} \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{6}{25} \right] = \frac{13}{4}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 13\sqrt{3} + \dots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt{3}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4\sqrt{3}$ છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$435\sqrt{3} = \frac{n}{2}[2\sqrt{3} + (n-1)4\sqrt{3}]$
$\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,$435 = \frac{n}{2}[2 + 4n - 4] = n(2n-1)$
$2n^2 - n - 435 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{1 \pm 59}{4}$
તેથી,$n = 15$.

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,આપણે $a = b - d$ અને $c = b + d$ લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $abc = 8$,તેથી $(b - d)b(b + d) = 8$.
$b(b^2 - d^2) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 - d^2 = \frac{8}{b}$.
$d^2 \ge 0$ હોવાથી,$b^2 - \frac{8}{b} \ge 0$.
$b^3 - 8 \ge 0$,તેથી $b^3 \ge 8$,જેનો અર્થ છે કે $b \ge 2$.
$b$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $d = 0$ હોય (એટલે કે $a = b = c = 2$).

(B) આપેલ છે કે $x + y + z = 12$ અને $x^3y^4z^5 = (0.1)(600)^3$.
ભારિત સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3(\frac{x}{3}) + 4(\frac{y}{4}) + 5(\frac{z}{5})}{3+4+5} \ge ((\frac{x}{3})^3 (\frac{y}{4})^4 (\frac{z}{5})^5)^{1/12}$
$\frac{x+y+z}{12} \ge (\frac{x^3 y^4 z^5}{3^3 4^4 5^5})^{1/12}$
$\frac{12}{12} \ge (\frac{x^3 y^4 z^5}{27 \times 256 \times 3125})^{1/12}$
$1 \ge \frac{x^3 y^4 z^5}{21600000}$
$x^3 y^4 z^5 \le 21600000 = (0.1)(600)^3$.
સમાનતા હોવાથી,$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k$ મળે.
તેથી $x = 3k, y = 4k, z = 5k$.
$3k + 4k + 5k = 12 \implies 12k = 12 \implies k = 1$.
આમ,$x = 3, y = 4, z = 5$.
તેથી,$x^3 + y^3 + z^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.

(A) $A.P.$ માં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે. ખાસ કરીને,$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
આપેલ છે કે $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_3 + a_{15} = a_1 + a_{17}$ અને $a_7 + a_{11} = a_1 + a_{17}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a_1 + a_{17}) + (a_1 + a_{17}) = 72$
$2(a_1 + a_{17}) = 72$
$a_1 + a_{17} = 36$.
પ્રથમ $17$ પદોનો સરવાળો $S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17})$ દ્વારા મળે છે.
$S_{17} = \frac{17}{2} \times 36 = 17 \times 18 = 306$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a_1 = 10$ અને પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $39$ છે.
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39$
$3a_1 + 3d = 39$
$3(10) + 3d = 39$ $\Rightarrow 30 + 3d = 39$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3.$
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. છેલ્લા ચાર પદો $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ છે.
તેમનો સરવાળો $4a_1 + ( (n-4) + (n-3) + (n-2) + (n-1) )d = 178$ છે.
$4(10) + (4n - 10)3 = 178$
$40 + 12n - 30 = 178$ $\Rightarrow 12n + 10 = 178$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14.$
$n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ નો મધ્યસ્થ એ પ્રથમ અને છેલ્લા પદની સરેરાશ છે: $\frac{a_1 + a_n}{2}.$
$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (14-1)3 = 10 + 39 = 49.$
મધ્યસ્થ $= \frac{10 + 49}{2} = \frac{59}{2} = 29.5.$

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
બીજું પદ $a + d = 12$ .....$(1)$
પ્રથમ નવ પદોનો સરવાળો:
${S_9} = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a + 4d)$
આપેલ છે કે $200 < {S_9} < 220$:
$200 < 9(a + 4d) < 220$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a = 12 - d$ ની કિંમત મૂકતા:
$200 < 9(12 - d + 4d) < 220$
$200 < 9(12 + 3d) < 220$
$200 < 108 + 27d < 220$
બધા ભાગમાંથી $108$ બાદ કરતા:
$92 < 27d < 112$
પદો ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. $d$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
જો $d = 4$ હોય,તો $27 \times 4 = 108$ (જે $92 < 108 < 112$ નું પાલન કરે છે).
આમ,$d = 4$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$a + 4 = 12$,તેથી $a = 8$.
$4^{th}$ પદ $a + 3d = 8 + 3(4) = 8 + 12 = 20$ થાય.

(B) પ્રથમ શ્રેણી $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, \dots$ છે,જેનો સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ છે.
બીજી શ્રેણી $1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, \dots$ છે,જેનો સામાન્ય તફાવત $d_2 = 5$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે.
સામાન્ય પદો દ્વારા બનતી નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $LCM(d_1, d_2) = LCM(4, 5) = 20$ થશે.
આમ,સામાન્ય પદો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 11$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 20$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે,$S_{20} = \frac{20}{2}[2(11) + (20 - 1)20]$.
$S_{20} = 10[22 + 19 \times 20] = 10[22 + 380] = 10[402] = 4020$.

(B) ધારો કે કુલ પદોની સંખ્યા $2n$ છે,પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
એકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_o = n[a + (n-1)d] = 24$ --- $(i)$
બેકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_e = n[a + d + (n-1)d] = 30$ --- $(ii)$
$(ii) - (i)$ કરતા,$nd = 6$ --- $(iii)$
છેલ્લું પદ અને પ્રથમ પદનો તફાવત: $(a+(2n-1)d) - a = \frac{21}{2}$
$(2n-1)d = \frac{21}{2} \Rightarrow 2nd - d = \frac{21}{2}$
$nd = 6$ મૂકતા: $12 - d = 10.5 \Rightarrow d = 1.5 = \frac{3}{2}$
$n(\frac{3}{2}) = 6 \Rightarrow n = 4$
કુલ પદોની સંખ્યા $= 2n = 2 \times 4 = 8$.

(B) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^3}{q^3}$,તેથી $\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p^2}{q^2}$ મળે.
$p=1, q=2$ લેતા,$\frac{a_1}{a_1+a_2} = \frac{1}{8} \Rightarrow d = 6a_1$ મળે.
તેથી $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d} = \frac{a_1 + 30a_1}{a_1 + 120a_1} = \frac{31}{121}$.

(B) પ્રથમ $A.P.$ માટે,$S_n = 3n^2 + 2n$.
પ્રથમ પદ $a = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_2 = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16$.
બીજું પદ $a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a = 11 - 5 = 6$.
નવા $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a' = a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d' = 2d = 2(6) = 12$.
નવા $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n' = \frac{n}{2} [2a' + (n - 1)d']$ છે.
$S_n' = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)12] = \frac{n}{2} [10 + 12n - 12] = \frac{n}{2} [12n - 2] = 6n^2 - n$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $a_4 - a_7 + a_{10} = m$.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 3d) - (a + 6d) + (a + 9d) = m$
$a + 6d = m$
અહીં $a_7 = a + 6d$ હોવાથી,$a_7 = m$ મળે.
પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો $S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d] = \frac{13}{2} [2a + 12d] = 13(a + 6d)$ છે.
$a + 6d = m$ મૂકતા,આપણને $S_{13} = 13m$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ ના $p^{th}$ અને $q^{th}$ પદોનો $A.M.$ એ $r^{th}$ અને $s^{th}$ પદોના $A.M.$ જેટલો છે:
$\frac{a_p + a_q}{2} = \frac{a_r + a_s}{2}$
$A.P.$ ના $n^{th}$ પદના સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + (p-1)d + a + (q-1)d = a + (r-1)d + a + (s-1)d$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2a + (p + q - 2)d = 2a + (r + s - 2)d$
બંને બાજુથી $2a$ બાદ કરતા:
$(p + q - 2)d = (r + s - 2)d$
જો $d \neq 0$ હોય,તો $d$ વડે ભાગતા:
$p + q - 2 = r + s - 2$
તેથી:
$p + q = r + s$

(A) આપેલ છે $S = \sum_{i=1}^{30} {a_i}$ અને $T = \sum_{i=1}^{15} {a_{2i-1}}$.
ધારો કે $A.P.$ ને ${a_i} = a + (i-1)d$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$S = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \dots + {a_{30}}$
$T = {a_1} + {a_3} + {a_5} + \dots + {a_{29}}$
તેથી $2T = 2{a_1} + 2{a_3} + 2{a_5} + \dots + 2{a_{29}}$.
$S - 2T = ({a_2} - {a_1}) + ({a_4} - {a_3}) + ({a_6} - {a_5}) + \dots + ({a_{30}} - {a_{29}})$.
કારણ કે ${a_{2k}} - {a_{2k-1}} = d$,તેથી $S - 2T = 15d$.
આપેલ છે $S - 2T = 75$,તેથી $15d = 75$,જેનો અર્થ છે $d = 5$.
આપેલ છે ${a_5} = 27$,તેથી $a + 4d = 27$.
$d = 5$ મૂકતા,$a + 4(5) = 27$ $\Rightarrow a + 20 = 27$ $\Rightarrow a = 7$.
આપણે ${a_{10}} = a + 9d$ શોધવાનું છે.
${a_{10}} = 7 + 9(5) = 7 + 45 = 52$.

(D) $7n + 2$ સ્વરૂપની બે અંકની સંખ્યાઓ $16, 23, \dots, 93$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 16$,$l = 93$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે. પદોની સંખ્યા $n_1 = 12$ છે. સરવાળો $S_1 = \frac{12}{2}(16 + 93) = 654$.
$7n + 5$ સ્વરૂપની બે અંકની સંખ્યાઓ $12, 19, \dots, 96$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 12$,$l = 96$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે. પદોની સંખ્યા $n_2 = 13$ છે. સરવાળો $S_2 = \frac{13}{2}(12 + 96) = 702$.
કુલ સરવાળો $S_1 + S_2 = 654 + 702 = 1356$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $t_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $19^{th}$ પદ શૂન્ય છે: $t_{19} = a + 18d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = -18d$.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{t_{49}}{t_{29}}$ શોધવાનો છે.
$t_{49} = a + 48d = -18d + 48d = 30d$.
$t_{29} = a + 28d = -18d + 28d = 10d$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{30d}{10d} = \frac{3}{1}$ એટલે કે $3 : 1$ થાય.

(D) આપણે એવી તમામ $n$ નો સરવાળો શોધવો છે કે જેથી $100 < n < 200$ અને $H.C.F. (91, n) > 1$ થાય.
$91 = 7 \times 13$ હોવાથી,$H.C.F. (91, n) > 1$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $7$ અથવા $13$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે $S_A$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સંખ્યાઓ $105, 112, \dots, 196$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 105$,$l = 196$,અને $d = 7$ છે.
પદોની સંખ્યા $k = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$.
$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 \times 301 = 2107$.
ધારો કે $S_B$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $13$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સંખ્યાઓ $104, 117, \dots, 195$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 104$,$l = 195$,અને $d = 13$ છે.
પદોની સંખ્યા $m = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$.
$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 \times 299 = 1196$.
ધારો કે $S_C$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $7$ અને $13$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $91$ વડે વિભાજ્ય).
એકમાત્ર સંખ્યા $182$ છે.
$S_C = 182$.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંત મુજબ,જરૂરી સરવાળો $S_A + S_B - S_C = 2107 + 1196 - 182 = 3121$ છે.

(A) આપેલ પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો: $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$.
$n$-મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$T_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A - [50(n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 8)}{2}A]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [n^2 - 7n - (n^2 - 9n + 8)]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [2n - 8] = 50 + A(n - 4)$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_n - T_{n-1} = [50 + A(n - 4)] - [50 + A(n - 5)] = A$.
$a_{50}$ શોધવા માટે,$T_n$ ના સૂત્રમાં $n = 50$ મૂકતા:
$a_{50} = 50 + A(50 - 4) = 50 + 46A$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(d, a_{50})$ એ $(A, 50 + 46A)$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a-d, a, a+d$ છે.
આપેલ છે કે $(a-d) + a + (a+d) = 33$.
$3a = 33 \Rightarrow a = 11$.
વળી,$(a-d)(a)(a+d) = 1155$.
$a(a^2 - d^2) = 1155$.
$11(121 - d^2) = 1155$.
$121 - d^2 = 105$.
$d^2 = 16 \Rightarrow d = \pm 4$.
જો $d = 4$ હોય,તો પ્રથમ પદ $A = a-d = 7$. $11$ મું પદ $T_{11} = A + 10d = 7 + 10(4) = 47$.
જો $d = -4$ હોય,તો પ્રથમ પદ $A = a-d = 15$. $11$ મું પદ $T_{11} = A + 10d = 15 + 10(-4) = -25$.

(A) આપેલ સરવાળો $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 114$ છે.
આ $6$ પદોની સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1$ અને અંતિમ પદ $a_{16}$ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ})$ છે.
તેથી,$\frac{6}{2}(a_1 + a_{16}) = 114$.
$3(a_1 + a_{16}) = 114 \Rightarrow a_1 + a_{16} = 38$.
આપણે $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ પણ $4$ પદોની સમાંતર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1$ અને અંતિમ પદ $a_{16}$ છે.
$S = \frac{4}{2}(a_1 + a_{16}) = 2(38) = 76$.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $a_6 = a + 5d = 2$,તેથી $a = 2 - 5d$.
પદો $a_1 = a = 2 - 5d$,$a_4 = a + 3d = 2 - 2d$,અને $a_5 = a + 4d = 2 - d$ છે.
ધારો કે ગુણાકાર $f(d) = a_1 a_4 a_5 = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $f(d) = (4 - 4d - 10d + 10d^2)(2 - d) = (10d^2 - 14d + 4)(2 - d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,વિકલન $f'(d) = -30d^2 + 68d - 32$ મેળવો.
$f'(d) = 0$ લેતા $\Rightarrow -2(15d^2 - 34d + 16) = 0 \Rightarrow 15d^2 - 34d + 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{30} = \frac{34 \pm 14}{30}$.
તેથી,$d_1 = \frac{8}{5}$ અને $d_2 = \frac{2}{3}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{2}{3}$ માટે,$f''(\frac{2}{3}) = 28 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$d = \frac{8}{5}$ માટે,$f''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,$d = \frac{8}{5}$ પર ગુણાકાર મહત્તમ થાય છે.

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_4 = 16$ માટે,$\frac{4}{2} \{2a + 3d\} = 16$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3d = 8$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
$S_6 = -48$ માટે,$\frac{6}{2} \{2a + 5d\} = -48$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 5d = -16$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(2a + 5d) - (2a + 3d) = -16 - 8$,તેથી $2d = -24$,જે $d = -12$ આપે છે.
$d = -12$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2a + 3(-12) = 8$,તેથી $2a - 36 = 8$,જે $2a = 44$ આપે છે,તેથી $a = 22$.
હવે,$S_{10} = \frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 5 \{2(22) + 9(-12)\} = 5 \{44 - 108\} = 5 \{-64\} = -320$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 + a_7 + a_{16} = 40$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદના સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + (a + 6d) + (a + 15d) = 40$
$3a + 21d = 40$
$3(a + 7d) = 40$
$a + 7d = \frac{40}{3}$
આપણે પ્રથમ $15$ પદોનો સરવાળો $S_{15}$ શોધવાનો છે.
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + (15-1)d]$
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + 14d]$
$S_{15} = 15(a + 7d)$
$(a + 7d)$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{15} = 15 \times \frac{40}{3} = 5 \times 40 = 200$.

(C) $A.P.$ માં પાંચ સંખ્યાઓ $(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d)$ ધારો.
સરવાળો $25$ આપેલ છે,તેથી $5a = 25$,એટલે કે $a = 5$.
ગુણાકાર $5(25-4d^2)(25-d^2) = 2520$ છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $(25-4d^2)(25-d^2) = 504$ મળે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $4d^4 - 125d^2 + 121 = 0$ મળે,જેના અવયવો $(4d^2 - 121)(d^2 - 1) = 0$ થાય.
તેથી $d^2 = 1$ અથવા $d^2 = \frac{121}{4}$ મળે.
$d^2 = \frac{121}{4}$ લેતા,$d = \pm \frac{11}{2}$ મળે.
શ્રેણી $-6, -0.5, 5, 10.5, 16$ બને છે.
આથી સૌથી મોટી સંખ્યા $16$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $T_{10} = a + 9d = \frac{1}{20} \quad \dots (i)$
આપેલ છે કે $T_{20} = a + 19d = \frac{1}{10} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 19d) - (a + 9d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$10d = \frac{1}{20} \implies d = \frac{1}{200}$
$d$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 9(\frac{1}{200}) = \frac{1}{20} \implies a = \frac{10}{200} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$
હવે,પ્રથમ $200$ પદોનો સરવાળો $S_{200}$:
$S_{200} = \frac{200}{2}[2(\frac{1}{200}) + 199(\frac{1}{200})] = 100[\frac{201}{200}] = \frac{201}{2} = 100 \frac{1}{2}$

(B) આપેલ છે કે $(2^{1+x}+2^{1-x})$,$f(x)$,અને $(3^x+3^{-x})$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$2f(x) = (2^{1+x}+2^{1-x}) + (3^x+3^{-x})$.
$f(x) = \frac{2(2^x+2^{-x}) + (3^x+3^{-x})}{2} = (2^x+2^{-x}) + \frac{1}{2}(3^x+3^{-x})$.
$A.M. \geq G.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a^x + a^{-x} \geq 2$ જ્યાં $a > 0$.
તેથી,$2^x+2^{-x} \geq 2$ અને $3^x+3^{-x} \geq 2$.
આમ,$f(x) \geq 2 + \frac{1}{2}(2) = 2 + 1 = 3$.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $A_1: 3, 7, 11, \ldots, 407$ છે. અહીં,$a_1 = 3$ અને $d_1 = 4$. સામાન્ય પદ $T_n = 4n - 1$ છે.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $A_2: 2, 9, 16, \ldots, 709$ છે. અહીં,$a_2 = 2$ અને $d_2 = 7$. સામાન્ય પદ $T_m = 7m - 5$ છે.
સામાન્ય પદ માટે,$4n - 1 = 7m - 5$,એટલે કે $4n = 7m - 4$. આનો અર્થ એ છે કે $7m$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. તેથી $m = 4k$ લેતા,$n = 7k - 1$ મળે છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $k=1$ માટે $23$ છે.
નવી સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $\text{lcm}(4, 7) = 28$ છે.
સામાન્ય પદો $23, 51, 79, \ldots$ છે. છેલ્લું પદ $\leq 407$ હોવું જોઈએ.
$23 + (N-1)28 \leq 407$
$(N-1)28 \leq 384$
$N \leq 14.71$.
આમ,સામાન્ય પદોની સંખ્યા $N = 14$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણીનું સૂત્ર $a_{n} = 2n + 5$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદો શોધવા માટે,આપણે $n = 1, 2, 3$ સૂત્રમાં મૂકીશું:
$n = 1$ માટે: $a_{1} = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7$
$n = 2$ માટે: $a_{2} = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$
$n = 3$ માટે: $a_{3} = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$
તેથી,પ્રથમ ત્રણ પદો $7, 9, 11$ છે.