Arithmetic progression Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $3$ પદો $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો $12$ છે:
$(a - d) + (a + d) = 12$
$2a = 12$
$a = 6$
આપેલ છે કે પ્રથમ અને બીજા પદનો ગુણાકાર $24$ છે:
$(a - d) \times a = 24$
$a = 6$ મૂકતા:
$6(6 - d) = 24$
$6 - d = 4$
$d = 2$
પ્રથમ પદ $(a - d) = 6 - 2 = 4$ છે.

(C) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $2, 5, 8, \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 3$ છે. પ્રથમ $2n$ પદોનો સરવાળો $S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n[4 + 6n - 3] = n(6n + 1)$ થાય.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $57, 59, 61, \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = 57$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 2$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = n(56 + n)$ થાય.
આપેલ છે કે $S_{2n} = S_n$,તેથી $n(6n + 1) = n(56 + n)$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$n$ વડે ભાગતા: $6n + 1 = 56 + n$.
$5n = 55$,તેથી $n = 11$.

(D) $250$ અને $1000$ વચ્ચે $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $252, 255, \dots, 999$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 252$,અંતિમ પદ $l = 999$,અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
$n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$
$999 = 252 + (n - 1)3$
$747 = (n - 1)3$
$n - 1 = 249$
$n = 250$.
સરવાળો $S_n$ નું સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
$S_n = \frac{250}{2}(252 + 999)$
$S_n = 125 \times 1251 = 156375$.

(B) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $7^{th}$ પદ $40$ છે.
$a + (7 - 1)d = 40 \implies a + 6d = 40$.
આપણે પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો $S_{13}$ શોધવાનો છે.
પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 13$ માટે,$S_{13} = \frac{13}{2}[2a + (13 - 1)d] = \frac{13}{2}[2a + 12d]$.
$2$ સામાન્ય લેતા,$S_{13} = \frac{13}{2} \times 2(a + 6d) = 13(a + 6d)$.
$a + 6d = 40$ કિંમત મૂકતા,$S_{13} = 13 \times 40 = 520$.

(A) શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ એ $A.P.$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = a_4 - a_3 = \dots = a_{2n} - a_{2n - 1}$ છે.
આપેલ પદાવલિ $S = (a_1^2 - a_2^2) + (a_3^2 - a_4^2) + \dots + (a_{2n - 1}^2 - a_{2n}^2)$ છે.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (a_1 - a_2)(a_1 + a_2) + (a_3 - a_4)(a_3 + a_4) + \dots + (a_{2n - 1} - a_{2n})(a_{2n - 1} + a_{2n})$.
અહીં $a_k - a_{k+1} = -d$ હોવાથી:
$S = -d(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{2n - 1} + a_{2n})$.
$2n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ નો સરવાળો $\frac{2n}{2}(a_1 + a_{2n}) = n(a_1 + a_{2n})$ થાય.
તેથી,$S = -d \cdot n(a_1 + a_{2n})$.
$A.P.$ ના સૂત્ર મુજબ,$a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d$,તેથી $d = \frac{a_{2n} - a_1}{2n - 1}$ મળે.
$-d = \frac{a_1 - a_{2n}}{2n - 1}$ ને $S$ માં મૂકતા:
$S = \frac{a_1 - a_{2n}}{2n - 1} \cdot n(a_1 + a_{2n}) = \frac{n}{2n - 1}(a_1^2 - a_{2n}^2)$.

(B) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m$-મું પદ $T_m = S_m - S_{m-1}$.
$T_m = (3m^2 + 5m) - [3(m-1)^2 + 5(m-1)]$
$T_m = (3m^2 + 5m) - [3(m^2 - 2m + 1) + 5m - 5]$
$T_m = 3m^2 + 5m - [3m^2 - 6m + 3 + 5m - 5]$
$T_m = 3m^2 + 5m - 3m^2 + m + 2$
$T_m = 6m + 2$.
$T_m = 164$ આપેલ હોવાથી,$6m + 2 = 164$.
$6m = 162$.
$m = 27$.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાના પ્રમાણિત સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$S_n = n \cdot a + \frac{n(n - 1)}{2} \cdot d$.
પદોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = P$ અને $d = Q$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સામાન્ય તફાવત $d = S_2 - 2S_1$ દ્વારા ગણી શકાય છે.
$S_1 = P(1) + \frac{1}{2}(1)(0)Q = P$.
$S_2 = P(2) + \frac{1}{2}(2)(1)Q = 2P + Q$.
$d = (2P + Q) - 2(P) = Q$.

(B) આપેલ છે કે $S_{2n} = 3S_n$.
$A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = 3 \times \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$.
$2[2a + (2n-1)d] = 3[2a + (n-1)d]$.
$4a + 4nd - 2d = 6a + 3nd - 3d$.
$nd + d = 2a$,જેનો અર્થ છે કે $2a = (n+1)d$.
હવે,આપણે $\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{\frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]}$ શોધવાનું છે.
$= 3 \times \frac{2a + (3n-1)d}{2a + (n-1)d}$.
$2a = (n+1)d$ મૂકતા:
$= 3 \times \frac{(n+1)d + (3n-1)d}{(n+1)d + (n-1)d} = 3 \times \frac{4nd}{2nd} = 3 \times 2 = 6$.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોની છે,તેથી સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
પ્રથમ પદ $a = {p^2} + 1$.
પદોની સંખ્યા $n = 2p + 1$.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} \{ 2a + (n - 1)d \}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{2p+1} = \frac{2p+1}{2} \{ 2({p^2} + 1) + (2p + 1 - 1)(1) \}$
$S_{2p+1} = \frac{2p+1}{2} \{ 2{p^2} + 2 + 2p \}$
$S_{2p+1} = (2p + 1)({p^2} + p + 1)$
આ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2p + 1)({p^2} + p + 1) = 2{p^3} + 3{p^2} + 3p + 1$
હવે,${p^3} + {(p + 1)^3}$ પદાવલિ તપાસતા:
${p^3} + ({p^3} + 3{p^2} + 3p + 1) = 2{p^3} + 3{p^2} + 3p + 1$.
આમ,સરવાળો ${p^3} + {(p + 1)^3}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 11$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો: $a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 56$.
$a = 11$ મૂકતા: $11 + (11 + d) + (11 + 2d) + (11 + 3d) = 56$.
$44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. છેલ્લા ચાર પદો $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ છે.
તેઓ $(11 + (n-4)2), (11 + (n-3)2), (11 + (n-2)2), (11 + (n-1)2)$ છે.
આ પદોનો સરવાળો $112$ છે:
$44 + 2(n-4 + n-3 + n-2 + n-1) = 112$.
$44 + 2(4n - 10) = 112$.
$44 + 8n - 20 = 112$.
$8n + 24 = 112$.
$8n = 88 \Rightarrow n = 11$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$d = 4$,અને $S_n = 406$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $406 = \frac{n}{2}[2(3) + (n - 1)4]$.
$406 = \frac{n}{2}[6 + 4n - 4]$.
$406 = \frac{n}{2}[4n + 2]$.
$406 = n(2n + 1)$.
$2n^2 + n - 406 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-406)}}{2(2)}$.
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3248}}{4}$.
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{3249}}{4}$.
$n = \frac{-1 \pm 57}{4}$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = \frac{56}{4} = 14$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 5$,પદોની સંખ્યા $n = 15$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_{15} = 390$,તેથી $\frac{15}{2}[2(5) + (15 - 1)d] = 390$.
$\frac{15}{2}[10 + 14d] = 390$.
$15(5 + 7d) = 390$.
$5 + 7d = \frac{390}{15} = 26$.
$7d = 21$,તેથી $d = 3$.
$15$ પદોમાં મધ્યમ પદ $\frac{15+1}{2} = 8$ મું પદ છે.
$n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$a_8 = 5 + (8 - 1)3 = 5 + 7(3) = 5 + 21 = 26$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $S_{10} = 4 \times S_5$,તેથી:
$\frac{10}{2}[2a + (10-1)d] = 4 \times \frac{5}{2}[2a + (5-1)d]$
$5(2a + 9d) = 10(2a + 4d)$
$2a + 9d = 2(2a + 4d)$
$2a + 9d = 4a + 8d$
$d = 2a$
તેથી,$\frac{a}{d} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $18$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 18$
$3a = 18 \implies a = 6$.
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $158$ છે:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 158$
$(6 - d)^2 + 6^2 + (6 + d)^2 = 158$
$(36 - 12d + d^2) + 36 + (36 + 12d + d^2) = 158$
$108 + 2d^2 = 158$
$2d^2 = 50$
$d^2 = 25 \implies d = \pm 5$.
જો $d = 5$ હોય,તો સંખ્યાઓ $1, 6, 11$ છે.
જો $d = -5$ હોય,તો સંખ્યાઓ $11, 6, 1$ છે.
બંને કિસ્સામાં,સૌથી મોટી સંખ્યા $11$ છે.

(A) અંશ એ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 2$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2(3) + (n - 1)2] = n(n + 2)$ થાય.
છેદ એ $a_2 = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 3$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2}[2(5) + (10 - 1)3] = 185$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{n(n + 2)}{185} = 7$ પરથી,$n^2 + 2n = 1295$ મળે.
$n^2 + 2n - 1295 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n = 35$ મળે છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $\frac{1}{3}, A_1, A_2, \frac{1}{24}$ એ $A.P.$ માં છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને ચોથું પદ $b = \frac{1}{24}$ છે.
$n$ સમાંતર મધ્યકો ધરાવતી $A.P.$ માં,સામાન્ય તફાવત $d = \frac{b - a}{n + 1}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 2$,તેથી $d = \frac{\frac{1}{24} - \frac{1}{3}}{2 + 1} = \frac{\frac{1 - 8}{24}}{3} = \frac{-7/24}{3} = -\frac{7}{72}$.
હવે,$A_1 = a + d = \frac{1}{3} - \frac{7}{72} = \frac{24 - 7}{72} = \frac{17}{72}$.
અને $A_2 = a + 2d = \frac{1}{3} + 2\left(-\frac{7}{72}\right) = \frac{1}{3} - \frac{7}{36} = \frac{12 - 7}{36} = \frac{5}{36}$.
આમ,કિંમતો $\frac{17}{72}$ અને $\frac{5}{36}$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2}$ છે.
ધારો કે $A_1, A_2, \dots, A_n$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકો છે.
તેથી $a, A_1, A_2, \dots, A_n, b$ એ $n+2$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આ $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં,$a$ અને $b$ વચ્ચે દાખલ કરેલા $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના એક સમાંતર મધ્યક કરતા $n$ ગણો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$S = \sum_{i=1}^{n} A_i = n \left( \frac{a+b}{2} \right) = nA$.
તેથી,$S = nA$.

(A) ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_n$ છે.
આ પદો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $b$ એ $(n+2)$-મું પદ છે.
$n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો એ $a$ અને $b$ ના સમાંતર મધ્યકના $n$ ગણા જેટલો હોય છે.
તેથી,$S = n \times \left(\frac{a + b}{2}\right) = \frac{n(a + b)}{2}$.

(B) પરિણામી શ્રેણીમાં $n + 2$ પદો હશે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને અંતિમ પદ $l = 38$ છે.
$N$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_N = \frac{N}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$N = n + 2$,$a = 2$,અને $l = 38$ છે.
તેથી,સરવાળો $S = \frac{n + 2}{2}(2 + 38) = \frac{n + 2}{2}(40) = 20(n + 2)$ થાય.
આપેલ છે કે સરવાળો $200$ છે,તેથી $20(n + 2) = 200$.
$20$ વડે ભાગતા,$n + 2 = 10$ મળે.
તેથી,$n = 8$.

(B) આપેલ છે કે $\log 2, \log (2^n - 1)$ અને $\log (2^n + 3)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$2 \log (2^n - 1) = \log 2 + \log (2^n + 3)$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log (2^n - 1)^2 = \log [2(2^n + 3)]$
$(2^n - 1)^2 = 2(2^n + 3)$
ધારો કે $x = 2^n$. તો $(x - 1)^2 = 2(x + 3)$
$x^2 - 2x + 1 = 2x + 6$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = 5$ અથવા $x = -1$.
કારણ કે $x = 2^n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $2^n = 5$.
માટે,$n = \log_2 5$.

(B) ધારો કે $A.P.$ ના ચાર પદો $(a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d)$ છે.
આપેલ છે કે બે અંતિમ પદોનો સરવાળો $8$ છે:
$(a - 3d) + (a + 3d) = 8$
$2a = 8 \Rightarrow a = 4$
આપેલ છે કે બે મધ્ય પદોનો ગુણાકાર $15$ છે:
$(a - d)(a + d) = 15$
$a^2 - d^2 = 15$
$a = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4^2 - d^2 = 15$
$16 - d^2 = 15$
$d^2 = 1 \Rightarrow d = 1$ (શ્રેણી માટે ધન કિંમત લેતા).
ચાર પદો નીચે મુજબ છે:
$a - 3d = 4 - 3(1) = 1$
$a - d = 4 - 1 = 3$
$a + d = 4 + 1 = 5$
$a + 3d = 4 + 3(1) = 7$
શ્રેણી $1, 3, 5, 7$ છે. સૌથી મોટી સંખ્યા $7$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a - d, a, a + d$ છે,જ્યાં $d > 0$.
કર્ણ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,તે $a + d$ થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(a + d)^2 = a^2 + (a - d)^2$.
બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરતા,$a^2 + d^2 + 2ad = a^2 + a^2 - 2ad + d^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$2ad = a^2 - 2ad$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 4ad$.
$a$ એ બાજુની લંબાઈ હોવાથી $(a \neq 0)$,$a$ વડે ભાગતા $a = 4d$ મળે.
$a = 4d$ ને બાજુઓમાં મૂકતા,$(4d - d) : 4d : (4d + d) = 3d : 4d : 5d$ મળે.
આમ,બાજુઓનું પ્રમાણ $3:4:5$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d), a, (a + d)$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $33$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
આપેલ છે કે ગુણાકાર $792$ છે:
$(a - d) \times a \times (a + d) = 792$
$a(a^2 - d^2) = 792$
$11(11^2 - d^2) = 792$
$121 - d^2 = 72$
$d^2 = 121 - 72 = 49$
$d = \pm 7$
જો $d = 7$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(11 - 7), 11, (11 + 7)$ એટલે કે $4, 11, 18$ છે.
જો $d = -7$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(11 + 7), 11, (11 - 7)$ એટલે કે $18, 11, 4$ છે.
બંને કિસ્સામાં,સૌથી નાની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c, d, e, f$ એ સામાન્ય તફાવત $K$ સાથે $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$d - c = K$ અને $e - d = K$.
તેથી,$e - c = (e - d) + (d - c) = K + K = 2K$.
અહીં $K = d - c$ હોવાથી:
$e - c = 2(d - c)$.
વૈકલ્પિક રીતે,કિંમતો મૂકતા: ધારો કે $a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6$.
તો $e - c = 5 - 3 = 2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$2(d - c) = 2(4 - 3) = 2(1) = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $a - d, a, a + d$ છે.
આપેલ છે કે સંખ્યાઓનો સરવાળો $15$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$
આપેલ છે કે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $83$ છે:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 83$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 83$
$3a^2 + 2d^2 = 83$
$a = 5$ કિંમત મૂકતા:
$3(5^2) + 2d^2 = 83$
$3(25) + 2d^2 = 83$
$75 + 2d^2 = 83$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
જો $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $3, 5, 7$ મળે.
જો $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $7, 5, 3$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $3, 5, 7$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,સરવાળો $(a - d) + a + (a + d) = 51$ છે.
$3a = 51 \Rightarrow a = 17$.
પ્રથમ અને છેલ્લા પદનો ગુણાકાર $(a - d)(a + d) = 273$ છે.
$a^2 - d^2 = 273$.
$a = 17$ મૂકતા,આપણને $17^2 - d^2 = 273$ મળે છે.
$289 - d^2 = 273$.
$d^2 = 289 - 273 = 16$.
$d = \pm 4$.
જો $d = 4$ હોય,તો પદો $(17 - 4), 17, (17 + 4)$ એટલે કે $13, 17, 21$ થાય.
જો $d = -4$ હોય,તો પદો $(17 - (-4)), 17, (17 + (-4))$ એટલે કે $21, 17, 13$ થાય.
આમ,સંખ્યાઓ $21, 17, 13$ અથવા $13, 17, 21$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{p + q}, \frac{1}{r + p}, \frac{1}{q + r}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે:
$\frac{1}{r + p} - \frac{1}{p + q} = \frac{1}{q + r} - \frac{1}{r + p}$
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{(p + q) - (r + p)}{(r + p)(p + q)} = \frac{(r + p) - (q + r)}{(q + r)(r + p)}$
$\frac{q - r}{p + q} = \frac{p - q}{q + r}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(q - r)(q + r) = (p - q)(p + q)$
$q^2 - r^2 = p^2 - q^2$
$2q^2 = p^2 + r^2$
આ શરત સૂચવે છે કે $p^2, q^2, r^2$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$\log_{y}x = 1 + d \Rightarrow x = y^{1+d}$
$\log_{z}y = 1 + 2d \Rightarrow y = z^{1+2d}$
$-15\log_{x}z = 1 + 3d$ $\Rightarrow \log_{x}z = -\frac{1+3d}{15}$ $\Rightarrow z = x^{-\frac{1+3d}{15}}$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $x = (z^{1+2d})^{1+d} = z^{(1+2d)(1+d)} = (x^{-\frac{1+3d}{15}})^{(1+2d)(1+d)}$
આ સૂચવે છે કે $1 = -\frac{(1+d)(1+2d)(1+3d)}{15}$
$(1+d)(1+2d)(1+3d) = -15$
$6d^3 + 11d^2 + 6d + 16 = 0$
નિરીક્ષણ દ્વારા,$d = -2$ એક ઉકેલ છે.
$d = -2$ માટે,$\log_{y}x = -1 \Rightarrow x = y^{-1}$
$\log_{z}y = -3 \Rightarrow y = z^{-3}$
તેથી $x = (z^{-3})^{-1} = z^{3}$
આમ,$x = y^{-1}$,$y = z^{-3}$,અને $x = z^{3}$ ત્રણેય સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
$2b = a + c$ ને પદાવલિ $(a + 2b - c)(2b + c - a)(c + a - b)$ માં મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $(a + 2b - c) = (a + (a + c) - c) = 2a$.
બીજું પદ: $(2b + c - a) = ((a + c) + c - a) = 2c$.
ત્રીજું પદ: $(c + a - b) = (2b - b) = b$.
આ પદોનો ગુણાકાર કરતા: $(2a)(2c)(b) = 4abc$.

(D) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર સંખ્યાઓ $A_1, A_2, A_3, A_4$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 + A_4 = 8$ $(i)$ અને $A_2 \times A_3 = 15$ $(ii)$.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે,તેથી $A_2 + A_3 = A_1 + A_4 = 8$ $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$A_2 + \frac{15}{A_2} = 8$,જેનું સાદું રૂપ $A_2^2 - 8A_2 + 15 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $A_2 = 3$ અથવા $A_2 = 5$ મળે છે.
જો $A_2 = 3$ હોય,તો $A_3 = 5$ થાય. $A_2 = \frac{A_1 + A_3}{2}$ હોવાથી,$A_1 = 2A_2 - A_3 = 2(3) - 5 = 1$.
તેથી $A_4 = 8 - A_1 = 7$.
શ્રેણી $1, 3, 5, 7$ છે.
શ્રેણીની સૌથી નાની સંખ્યા $1$ છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$11$ મું પદ: $a_{11} = a + 10d$.
$21$ મું પદ: $a_{21} = a + 20d$.
પ્રશ્ન મુજબ,$2 \times a_{11} = 7 \times a_{21}$.
$2(a + 10d) = 7(a + 20d)$
$2a + 20d = 7a + 140d$
$5a + 120d = 0$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $a + 24d = 0$ મળે છે.
$25$ મું પદ $a_{25} = a + 24d$ છે.
તેથી,$25$ મું પદ $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{b - c}, \frac{1}{c - a}, \frac{1}{a - b}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2 \times \frac{1}{c - a} = \frac{1}{b - c} + \frac{1}{a - b}$.
ધારો કે $x = b - c, y = c - a, z = a - b$. અહીં $x + y + z = 0$.
આપેલ શરત મુજબ $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{x + z}{xz} = \frac{-y}{xz}$.
આથી $y^2 = -2xz$.
આપણે તપાસવું છે કે $x^2, y^2, z^2$ એ $A.P.$ માં છે કે નહીં.
આ માટે $2y^2 = x^2 + z^2$ હોવું જોઈએ.
$x + z = -y$ હોવાથી,$(x + z)^2 = (-y)^2$,એટલે કે $x^2 + z^2 + 2xz = y^2$.
$x^2 + z^2 = y^2 - 2xz$.
$y^2 = -2xz$ હોવાથી,$x^2 + z^2 = y^2 - (-y^2) = 2y^2$.
આમ,$x^2, y^2, z^2$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદમાં $(ab + bc + ca)$ ઉમેરતા:
$a^2 + ab + bc + ca, b^2 + ab + bc + ca, c^2 + ab + bc + ca$ એ $A.P.$ માં છે.
પદોનું અવયવીકરણ કરતા:
$a(a + b) + c(a + b), b(b + a) + c(b + a), c(c + b) + a(c + b)$ એ $A.P.$ માં છે.
આનું સાદું રૂપ:
$(a + b)(a + c), (b + a)(b + c), (c + a)(c + b)$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદને $(a + b)(b + c)(c + a)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ એ $A.P.$ માં છે.
આમ,$(b + c)^{-1}, (c + a)^{-1}, (a + b)^{-1}$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{abc}, \frac{b}{abc}, \frac{c}{abc}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $a, A_1, A_2, b$ એ $A.P.$ માં છે.
$a$ અને $b$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલા $A.M.$ નો સરવાળો $A_1 + A_2 = n \times \frac{a+b}{2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=2$.
તેથી,$A_1 + A_2 = 2 \times \frac{a+b}{2} = a + b$ .....$(i)$
આપેલ છે કે $a, G_1, G_2, b$ એ $G.P.$ માં છે.
$a$ અને $b$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલા $G.M.$ નો ગુણાકાર $G_1 G_2 = (ab)^{n/2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=2$.
તેથી,$G_1 G_2 = (ab)^{2/2} = ab$ .....$(ii)$
તેથી,$\frac{A_1 + A_2}{G_1 G_2} = \frac{a + b}{ab}$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
હવે,પદો $3^a, 3^b, 3^c$ ને ધ્યાનમાં લો.
$2b = a + c$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$3^{2b} = 3^{a + c}$
$(3^b)^2 = 3^a \times 3^c$
આ ત્રણ સંખ્યાઓ $G.P.$ માં હોવાની શરત છે,જ્યાં વચ્ચેના પદનો વર્ગ એ પ્રથમ અને ત્રીજા પદના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
તેથી,$3^a, 3^b, 3^c$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
પદો $x = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$,$y = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}$,અને $z = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ લો.
તેઓ $A.P.$ માં છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $2y = x + z$ તપાસીએ.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$,$y = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{c - a}$,$z = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{c - b}$.
$a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$b - a = d$ અને $c - b = d$ લો,તેથી $c - a = 2d$ થાય.
$x = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{d}$,$y = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{2d}$,$z = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{d}$.
$x + z = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{c} - \sqrt{b}}{d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$.
$2y = 2 \times \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{2d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$.
$x + z = 2y$ હોવાથી,આ પદો $A.P.$ માં છે.

(A) $AM-GM$ અસમતા મુજબ,$n$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,સમાંતર મધ્યક એ ગુણોત્તર મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે.
$n$ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો: ${a_1}, {a_2}, ..., {a_{n-1}}, 2{a_n}$.
તેમનો સમાંતર મધ્યક $\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}}{n}$ છે.
તેમનો ગુણોત્તર મધ્યક $({a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_{n-1}} \cdot 2{a_n})^{1/n} = (2 \cdot {a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n})^{1/n} = (2c)^{1/n}$ છે.
$AM \ge GM$ લાગુ પાડતા:
$\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}}{n} \ge (2c)^{1/n}$.
તેથી,${a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $n(2c)^{1/n}$ છે.

(A) આપેલ છે કે ${a^2}, {b^2}, {c^2}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે ${b^2} - {a^2} = {c^2} - {b^2}$.
જો આપણે દરેક પદમાં $1$ ઉમેરીએ,તો આપણને $\frac{a+b+c}{b+c}, \frac{a+b+c}{c+a}, \frac{a+b+c}{a+b}$ મળે છે.
આ પદો $A.P.$ માં હોવાથી,મૂળ પદો $\frac{a}{b+c}, \frac{b}{c+a}, \frac{c}{a+b}$ પણ $A.P.$ માં હશે.

(B) $n^{th}$ હરોળમાં પદોની સંખ્યા $n$ છે.
$(n-1)^{th}$ હરોળનું છેલ્લું પદ પ્રથમ $(n-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $\frac{(n-1)n}{2}$ છે.
તેથી,$n^{th}$ હરોળનું પ્રથમ પદ $\frac{(n-1)n}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ છે.
$n^{th}$ હરોળના પદો સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જેમાં $n$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2}[2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$.
$S_n = \frac{n}{2}[n^2 - n + 2 + n - 1] = \frac{n}{2}(n^2 + 1)$.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $x^o, (x+10)^o, (x+20)^o,$ અને $(x+30)^o$ છે.
ચતુષ્કોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^o$ થાય છે.
તેથી,$x + (x+10) + (x+20) + (x+30) = 360$.
$4x + 60 = 360$.
$4x = 300$.
$x = 75^o$.
આમ,ખૂણાઓ $75^o, 85^o, 95^o,$ અને $105^o$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ એ પ્રથમ $m$ પદોના સરવાળા $S_m$ જેટલો છે:
$\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{m}{2}[2a + (m - 1)d]$
$n[2a + (n - 1)d] = m[2a + (m - 1)d]$
$2an + n(n - 1)d = 2am + m(m - 1)d$
$2a(n - m) + d(n^2 - n - m^2 + m) = 0$
$2a(n - m) + d[(n^2 - m^2) - (n - m)] = 0$
$2a(n - m) + d[(n - m)(n + m) - (n - m)] = 0$
$m \ne n$ હોવાથી,આપણે $(n - m)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$2a + d(n + m - 1) = 0$
હવે,પ્રથમ $(m + n)$ પદોનો સરવાળો:
$S_{m+n} = \frac{m + n}{2}[2a + (m + n - 1)d]$
$2a + (m + n - 1)d = 0$ મૂકતા:
$S_{m+n} = \frac{m + n}{2} \times 0 = 0$

(B) આપેલ છે કે ત્રણેય $A.P.$ માટે પ્રથમ પદ $a = 1$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_1 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)1] = \frac{n}{2}[n + 1]$
$S_2 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)2] = \frac{n}{2}[2n] = n^2$
$S_3 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)3] = \frac{n}{2}[3n - 1]$
$S_1$ અને $S_3$ નો સરવાળો કરતા:
$S_1 + S_3 = \frac{n}{2}[(n + 1) + (3n - 1)] = \frac{n}{2}[4n] = 2n^2$
કારણ કે $S_2 = n^2$,તેથી $S_1 + S_3 = 2S_2$ મળે છે.

(C) ઘરની કુલ કિંમત $15000$ રૂપિયા છે. જયરામે શરૂઆતમાં $5000$ રૂપિયા ચૂકવ્યા,તેથી બાકીની રકમ $15000 - 5000 = 10000$ છે.
તે આ રકમ $1000$ રૂપિયાના $10$ વાર્ષિક હપ્તામાં ચૂકવે છે,જેમાં બાકી રહેલી રકમ પર $10\%$ વ્યાજ લાગે છે.
પ્રથમ વર્ષમાં,તે $1000 + 10000 \text{ ના } 10\% = 1000 + 1000 = 2000$ ચૂકવે છે.
બીજા વર્ષમાં,તે $1000 + 9000 \text{ ના } 10\% = 1000 + 900 = 1900$ ચૂકવે છે.
ત્રીજા વર્ષમાં,તે $1000 + 8000 \text{ ના } 10\% = 1000 + 800 = 1800$ ચૂકવે છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં $a = 2000$,$d = -100$,અને $n = 10$.
$10$ હપ્તાનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2} [2(2000) + (10 - 1)(-100)] = 5 [4000 - 900] = 5 \times 3100 = 15500$ થાય.
જયરામ દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલી કુલ રકમ $5000 + 15500 = 20500$ રૂપિયા છે.

(A) $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$-માં $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a_k = k$ અને સામાન્ય તફાવત $d_k = 2k - 1$ છે.
તેથી,$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n - 1)(2k - 1)] = \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$.
હવે,$\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2kn - n + 1] = \frac{n}{2} [2n \sum_{k=1}^{m} k - \sum_{k=1}^{m} (n - 1)]$.
$= \frac{n}{2} [2n \frac{m(m+1)}{2} - m(n-1)] = \frac{n}{2} [nm(m+1) - m(n-1)]$.
$= \frac{nm}{2} [n(m+1) - (n-1)] = \frac{nm}{2} [nm + n - n + 1] = \frac{1}{2}mn(mn + 1)$.

(D) આપેલ છે કે ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{24}}$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે પ્રથમ અને છેલ્લા પદના સરવાળા જેટલો હોય છે,એટલે કે ${a_1} + {a_{24}} = {a_5} + {a_{20}} = {a_{10}} + {a_{15}}$.
આપેલ છે: ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $3({a_1} + {a_{24}}) = 225$.
તેથી,${a_1} + {a_{24}} = \frac{225}{3} = 75$.
પ્રથમ $24$ પદોનો સરવાળો $S_{24} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n}) = \frac{24}{2}({a_1} + {a_{24}})$ દ્વારા મળે છે.
$S_{24} = 12 \times 75 = 900$.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0$ ના બીજ $a-d, a, a+d$ છે.
ઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $(a-d) + a + (a+d) = 12$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
બીજનો ગુણાકાર: $(a-d)(a)(a+d) = 28$
$a(a^2 - d^2) = 28$.
$a = 4$ મૂકતા:
$4(16 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 9$
$d = \pm 3$.
આમ,સામાન્ય તફાવત $\pm 3$ છે.

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.
$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને $1! = 1$. $1 \ge 1$ હોવાથી,વિધાન $n = 1$ માટે સત્ય છે.
$n = 2$ માટે: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ અને $2! = 2$. $2.25 \ge 2$ હોવાથી,વિધાન $n = 2$ માટે સત્ય છે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.
તેથી $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,જે $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ આપે છે.
બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ મળે છે,જે તમામ $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

(C) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a - d, a, a + d$ છે,જ્યાં $d > 0$.
કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો થાય:
$(a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2$
$a^2 + d^2 - 2ad + a^2 = a^2 + d^2 + 2ad$
$a^2 = 4ad$
$a$ એ બાજુની લંબાઈ હોવાથી $(a \neq 0)$,આપણને $a = 4d$ મળે છે.
$a = 4d$ ને બાજુઓમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$4d - d, 4d, 4d + d = 3d, 4d, 5d$.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $3d : 4d : 5d$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3 : 4 : 5$ થાય છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $p$-મું પદ $q$ છે,તેથી: $a + (p - 1)d = q$ $(1)$
આપેલ છે કે $q$-મું પદ $p$ છે,તેથી: $a + (q - 1)d = p$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(p - q)d = q - p$
$d = \frac{q - p}{p - q} = -1$
$d = -1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
$n$-મું પદ $T_n$ નીચે મુજબ મળે:
$T_n = a + (n - 1)d$
$T_n = (p + q - 1) + (n - 1)(-1)$
$T_n = p + q - 1 - n + 1$
$T_n = p + q - n$