Arithmetic progression Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $p$ મું પદ $q$ છે:
$a + (p - 1)d = q$ --- $(i)$
આપેલ છે કે $q$ મું પદ $p$ છે:
$a + (q - 1)d = p$ --- $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતાં:
$(a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = q - p$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
$(p + q)$ મું પદ નીચે મુજબ મળે:
$T_{p+q} = a + (p + q - 1)d$
$T_{p+q} = (p + q - 1) + (p + q - 1)(-1)$
$T_{p+q} = p + q - 1 - p - q + 1 = 0$

(C) અહીં $S_n = cn^2$ છે.
$S_{n-1} = c(n-1)^2$.
$n$-મું પદ $t_n = S_n - S_{n-1} = cn^2 - c(n-1)^2 = c(2n-1)$.
આ $n$ પદોના વર્ગનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} t_k^2 = \sum_{k=1}^{n} c^2(2k-1)^2$ થાય.
$= c^2 \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$.
$= c^2 [4 \sum k^2 - 4 \sum k + \sum 1]$.
$= c^2 [4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n]$.
$= c^2 [\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n]$.
$= \frac{c^2 n}{3} [2(2n^2 + 3n + 1) - 6(n+1) + 3]$.
$= \frac{c^2 n}{3} [4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3]$.
$= \frac{n(4n^2 - 1)c^2}{3}$.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 7, 11, \dots, 407$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 3 = 4$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે.
$n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
$407 = 3 + (n - 1)4$
$404 = (n - 1)4$
$n - 1 = 101 \implies n = 102$.
છેલ્લેથી $k$ મું પદ એ શરૂઆતથી $(n - k + 1)$ મું પદ છે.
અહીં,$k = 20$ અને $n = 102$,તેથી આપણે $(102 - 20 + 1) = 83$ મું પદ શોધવાનું છે.
$a_{83} = a + (83 - 1)d = 3 + 82 \times 4 = 3 + 328 = 331$.

(D) ધારો કે ચાર સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં $A_1, A_2, A_3, A_4$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 + A_4 = 8$ $(i)$ અને $A_2 \times A_3 = 15$ $(ii)$.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે રહેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે,તેથી $A_1 + A_4 = A_2 + A_3 = 8$ $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$A_2 + A_3 = 8$ અને $A_2 \times A_3 = 15$.
$A_3 = 8 - A_2$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $A_2(8 - A_2) = 15 \Rightarrow A_2^2 - 8A_2 + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(A_2 - 3)(A_2 - 5) = 0$,તેથી $A_2 = 3$ અથવા $A_2 = 5$.
જો $A_2 = 3$,તો $A_3 = 5$. જો $A_2 = 5$,તો $A_3 = 3$.
સામાન્ય તફાવત $d = A_3 - A_2 = 5 - 3 = 2$ અથવા $3 - 5 = -2$.
કિસ્સો $1$: $A_2 = 3, A_3 = 5$. તો $d = 2$. $A_1 = A_2 - d = 3 - 2 = 1$ અને $A_4 = A_3 + d = 5 + 2 = 7$.
શ્રેણી $1, 3, 5, 7$ છે.
કિસ્સો $2$: $A_2 = 5, A_3 = 3$. તો $d = -2$. $A_1 = A_2 - d = 5 - (-2) = 7$ અને $A_4 = A_3 + d = 3 + (-2) = 1$.
શ્રેણી $7, 5, 3, 1$ છે.
બંને કિસ્સામાં,સૌથી નાની સંખ્યા $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, ..., a_{24}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર શ્રેણીમાં શરૂઆતથી અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો સમાન હોય છે અને તે પ્રથમ પદ તથા અંતિમ પદના સરવાળા બરાબર હોય છે,એટલે કે $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
તેથી,$a_1 + a_{24} = a_5 + a_{20} = a_{10} + a_{15}$.
આપેલ છે કે $a_1 + a_5 + a_{10} + a_{15} + a_{20} + a_{24} = 225$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$3(a_1 + a_{24}) = 225$.
તેથી,$a_1 + a_{24} = 75$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ છે.
$n = 24$ માટે,$S_{24} = \frac{24}{2}(a_1 + a_{24}) = 12 \times 75 = 900$.

(A) આપેલ શ્રેઢી સમાંતર શ્રેઢી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19\frac{1}{3} - 20 = -\frac{2}{3}$ છે.
સામાન્ય તફાવત ઋણ હોવાથી,અમુક પદો પછી પદ ઋણ બનશે.
જ્યારે આપણે ફક્ત ધન પદોનો સરવાળો કરીએ ત્યારે સરવાળો મહત્તમ મળે.
ધારો કે $n$-મું પદ $t_n = a + (n-1)d$ છે.
આપણે $t_n \geq 0$ ની શરત લઈએ,તેથી $20 + (n-1)(-\frac{2}{3}) \geq 0$.
$20 \geq \frac{2}{3}(n-1) \implies 30 \geq n-1 \implies n \leq 31$.
આમ,પ્રથમ $31$ પદો અ-ઋણ છે.
મહત્તમ સરવાળો $S_{31} = \frac{31}{2} [2a + (31-1)d]$ થશે.
$S_{31} = \frac{31}{2} [2(20) + 30(-\frac{2}{3})] = \frac{31}{2} [40 - 20] = \frac{31}{2} \times 20 = 310$.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
$p$ મું પદ $a = A + (p - 1)D$ $(i)$
$q$ મું પદ $b = A + (q - 1)D$ $(ii)$
$r$ મું પદ $c = A + (r - 1)D$ $(iii)$
હવે,પદાવલિ $E = a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$ ધ્યાનમાં લો.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = [A + (p - 1)D](q - r) + [A + (q - 1)D](r - p) + [A + (r - 1)D](p - q)$
$E = A(q - r + r - p + p - q) + D[(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)]$
$E = A(0) + D[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$E = 0 + D[0] = 0$.

(C) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $2, 5, 8, \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 3$ છે. પ્રથમ $2n$ પદોનો સરવાળો:
$S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n(4 + 6n - 3) = n(6n + 1) \dots (1)$
બીજી સમાંતર શ્રેણી $57, 59, 61, \dots$ માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = 57$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 2$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો:
$S'_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n + 112] = n(n + 56) \dots (2)$
આપેલ છે કે $S_{2n} = S'_n$,તેથી:
$n(6n + 1) = n(n + 56)$
$n \neq 0$ હોવાથી,$n$ વડે ભાગતા:
$6n + 1 = n + 56$
$5n = 55$
$n = 11$

(D) ધારો કે $S_1$ એ પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
$S_1 = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 2$,$d = 2$ અને $n$ પદો છે.
$S_1 = \frac{n}{2} [2(2) + (n-1)2] = \frac{n}{2} [4 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n + 2] = n(n+1)$.
ધારો કે $S_2$ એ પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
$S_2 = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1$,$d = 2$ અને $n$ પદો છે.
$S_2 = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)2] = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [2n] = n^2$.
આપેલ છે કે $S_1 = k \times S_2$,તેથી:
$n(n+1) = k \times n^2$
$k = \frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{n+1}{n}$.

(B) ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_n$ છે.
આ $n$ પદો $a$ અને $b$ સાથે મળીને $n+2$ પદોની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આ $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે,તેથી $A_1 + A_n = a + b$.
તેથી,$n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S = \frac{n}{2}(a + b)$ થાય.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
તેથી,પદો નીચે મુજબ છે:
$1/a = A + (p - 1)D \dots (1)$
$1/b = A + (q - 1)D \dots (2)$
$1/c = A + (r - 1)D \dots (3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં: $1/a - 1/b = (p - q)D \implies (b - a)/ab = (p - q)D \implies (a - b)/ab = -(p - q)D$
તે જ રીતે,$(b - c)/bc = -(q - r)D$ અને $(c - a)/ca = -(r - p)D$.
$ab, bc$ અને $ca$ વડે ગુણતા:
$ab(p - q) = (a - b)/D$
$bc(q - r) = (b - c)/D$
$ca(r - p) = (c - a)/D$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$ab(p - q) + bc(q - r) + ca(r - p) = \frac{1}{D} (a - b + b - c + c - a) = \frac{1}{D} (0) = 0$.

(D) આપેલ છે કે $A = \frac{a + b}{2}$.
$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S = n \left( \frac{a + b}{2} \right)$ છે.
તેથી,$\frac{S}{A} = \frac{n \left( \frac{a + b}{2} \right)}{\frac{a + b}{2}} = n$.
આમ,$S/A$ માત્ર $n$ પર આધાર રાખે છે.

(A) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ અને $S'_n$ છે અને તેમના $11$ માં પદ અનુક્રમે $T_{11}$ અને $T'_{11}$ છે.
$\frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
$\frac{a + \frac{n - 1}{2}d}{a' + \frac{n - 1}{2}d'} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
$11$ માં પદનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે $\frac{a + 10d}{a' + 10d'}$ મેળવવું પડે.
$\frac{n - 1}{2} = 10$ લેતા,$n - 1 = 20$,તેથી $n = 21$.
$n = 21$ મૂકતા:
$\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = nA + n^2B$ છે.
$n = 1$ માટે,$S_1 = A(1) + B(1)^2 = A + B$. તેથી,પ્રથમ પદ $a = S_1 = A + B$.
$n = 2$ માટે,$S_2 = A(2) + B(2)^2 = 2A + 4B$.
બીજું પદ $a_2 = S_2 - S_1 = (2A + 4B) - (A + B) = A + 3B$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a = (A + 3B) - (A + B) = 2B$.

(B) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $= a$,અંતિમ પદ $= b$,સામાન્ય તફાવત $d = 1$.
$n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$b = a + (n - 1)(1)$ મળે.
$b - a = n - 1$,તેથી $n = b - a + 1$.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
$n = b - a + 1$ અને $l = b$ મૂકતા:
$S_n = \frac{(b - a + 1)(a + b)}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 4n$ છે.
$n$-મું પદ $a_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$a_n = (3n^2 + 4n) - (3(n-1)^2 + 4(n-1))$.
$a_n = (3n^2 + 4n) - (3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4)$.
$a_n = 3n^2 + 4n - (3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4)$.
$a_n = 3n^2 + 4n - (3n^2 - 2n - 1)$.
$a_n = 6n + 1$.
અહીં $n$-મું પદ $a_n = 6n + 1$ એ $n$ માં સુરેખ પદાવલિ છે,તેથી સામાન્ય તફાવત $d = a_n - a_{n-1} = (6n + 1) - (6(n-1) + 1) = 6$ મળે છે,જે અચળ છે.
તેથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે.

(B) સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ રહે છે.
$a_1 + a_{2n} = a_2 + a_{2n-1} = ... = a_n + a_{n+1} = k$
શ્રેણીનું દરેક પદ $\frac{k}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}}$ સ્વરૂપમાં છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{k(\sqrt{a_i} - \sqrt{a_{i+1}})}{a_i - a_{i+1}} = \frac{k(\sqrt{a_i} - \sqrt{a_{i+1}})}{-d}$,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} \frac{k(\sqrt{a_i} - \sqrt{a_{i+1}})}{-d} = \frac{k}{-d} (\sqrt{a_1} - \sqrt{a_{n+1}})$ થાય છે.
$a_{n+1} = a_1 + nd$ હોવાથી,$a_1 - a_{n+1} = -nd$ મળે.
$k = a_1 + a_{2n}$ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ $\frac{n(a_1 + a_{2n})}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$ માં પરિણમે છે.

(A) સમાંતર શ્રેણી માટે,$n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 4$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 9 - 4 = 5$ છે.
$15$ મું પદ શોધવા માટે $(n = 15)$:
$T_{15} = 4 + (15 - 1) \times 5$
$T_{15} = 4 + 14 \times 5$
$T_{15} = 4 + 70 = 74$.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના ચાર ખૂણાઓ $x, x+10^{\circ}, x+20^{\circ},$ અને $x+30^{\circ}$ છે.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$x + (x+10^{\circ}) + (x+20^{\circ}) + (x+30^{\circ}) = 360^{\circ}$
$4x + 60^{\circ} = 360^{\circ}$
$4x = 300^{\circ}$
$x = 75^{\circ}$
આમ,ખૂણાઓ $75^{\circ}, 85^{\circ}, 95^{\circ},$ અને $105^{\circ}$ છે.

(A) $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$ મળે.
હવે,$(a + 2b - c)(2b + c - a)(a + 2b + c)$ માં $2b = a + c$ મૂકતા:
$= (a + (a + c) - c)((a + c) + c - a)(a + (a + c) + c)$
$= (2a)(2c)(2a + 2c)$
$= (2a)(2c)(2(a + c))$
$a + c = 2b$ હોવાથી:
$= (2a)(2c)(2(2b))$
$= (2a)(2c)(4b) = 16abc$

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે,દ્વિતીય પદ $b$ છે અને અંતિમ પદ $c$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = b - a$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $c = a + (n - 1)(b - a)$.
$n$ માટે ઉકેલતા:
$c - a = (n - 1)(b - a)$
$n - 1 = \frac{c - a}{b - a}$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1$
$n = \frac{c - a + b - a}{b - a}$
$n = \frac{b + c - 2a}{b - a}$.

(A) સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
અંશ માટે: $a = 3, d = 2$. સરવાળો $= \frac{n}{2}[6 + (n - 1)2] = n(n + 2)$.
છેદ માટે: $10$ પદો,$a = 5, d = 3$. સરવાળો $= \frac{10}{2}[10 + 27] = 185$.
આપેલ છે કે $\frac{n(n + 2)}{185} = 7$.
$n^2 + 2n = 1295$.
$n^2 + 2n - 1295 = 0$.
$(n + 37)(n - 35) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 35$.

(A) અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય તફાવત $d = 4$ અને પદોની સંખ્યા $n = 40$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(2) + (40 - 1)4]$
$S_{40} = 20[4 + 39(4)]$
$S_{40} = 20[4 + 156]$
$S_{40} = 20[160]$
$S_{40} = 3200$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_{10} = 4 \times S_5$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{10}{2}[2a + 9d] = 4 \times \frac{5}{2}[2a + 4d]$
$5(2a + 9d) = 10(2a + 4d)$
$10a + 45d = 20a + 40d$
$45d - 40d = 20a - 10a$
$5d = 10a$
$\frac{a}{d} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
તેથી,ગુણોત્તર $a:d = 1:2$ છે.

(B) અહીં $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$a + c = 2b$ થાય.
આપેલ છે કે $abc = 4$,તેથી $ac = 4/b$.
ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $c$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ:
$\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}$
કિંમતો મૂકતા:
$b \geq \sqrt{\frac{4}{b}}$
$b^2 \geq \frac{4}{b}$
$b^3 \geq 4$
$b^3 \geq 2^2$
$b \geq 2^{2/3}$
આમ,$b$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $2^{2/3}$ છે.

(A) સમાંતર મધ્યક $\geq$ સમગુણોતર મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot 2a_n)^{1/n}$
આપેલ છે કે ગુણાકાર $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = c$ છે,તેથી:
$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n)^{1/n}$
$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2c)^{1/n}$
આમ,$a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $n(2c)^{1/n}$ થાય.

(A) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p$ માં અને $q$ માં પદ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $\frac{T_p + T_q}{2} = \frac{(a + (p-1)d) + (a + (q-1)d)}{2} = a + \frac{(p+q-2)d}{2}$ છે.
$r$ માં અને $s$ માં પદ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $\frac{T_r + T_s}{2} = \frac{(a + (r-1)d) + (a + (s-1)d)}{2} = a + \frac{(r+s-2)d}{2}$ છે.
આ બંને મધ્યક સમાન હોવાથી:
$a + \frac{(p+q-2)d}{2} = a + \frac{(r+s-2)d}{2}$.
તેથી,$p + q - 2 = r + s - 2$,જેનો અર્થ છે કે $p + q = r + s$.

(C) આપેલ $n$ મું પદ $T_n = \frac{2n + 1}{3}$ છે.
$n = 1$ માટે,$a = T_1 = \frac{2(1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$n = 2$ માટે,$T_2 = \frac{2(2) + 1}{3} = \frac{5}{3}$.
સામાન્ય તફાવત $d = T_2 - T_1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 19$ માટે,$S_{19} = \frac{19}{2} [2(1) + (19 - 1)(\frac{2}{3})]$.
$S_{19} = \frac{19}{2} [2 + 18 \times \frac{2}{3}] = \frac{19}{2} [2 + 12] = \frac{19}{2} \times 14 = 19 \times 7 = 133$.

(A) સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યક વચ્ચેના સંબંધ મુજબ $(AM \geq GM)$:
$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq \left( \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} \right)^{1/3}$
અહીં $\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} = 1$ હોવાથી:
$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq 1^{1/3}$
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3$

(B) કુલ નોટોની સંખ્યા $4500$ છે.
પ્રથમ $10$ મિનિટ માટે,તે પ્રતિ મિનિટ $150$ નોટો ગણે છે,તેથી કુલ નોટો $= 150 \times 10 = 1500$.
બાકી રહેલી નોટો $= 4500 - 1500 = 3000$.
ધારો કે પ્રથમ $10$ મિનિટ પછી વધારાની $n$ મિનિટ લાગે છે.
$11$ મી મિનિટથી ગણાયેલી નોટોની શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 148$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$3000 = \frac{n}{2} [2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = n(149 - n)$.
$n^2 - 149n + 3000 = 0$.
$(n - 24)(n - 125) = 0$.
અહીં $n = 24$ લેતા,કુલ સમય $= 10 + 24 = 34$ મિનિટ.

(C) આપેલ છે કે $ab^2c^3 = 64$. આપણે $S = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય શોધવું છે.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \geq 6 \sqrt[6]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b^2} \cdot \frac{1}{c^3}}$.
$S \geq 6 \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.
આમ,લઘુત્તમ મૂલ્ય $3$ છે.

(B) અહીં $1, \log_9(3^{1-x} + 2), \log_3(4 \cdot 3^x - 1)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \log_9(3^{1-x} + 2) = 1 + \log_3(4 \cdot 3^x - 1)$.
$\log_9 b = \frac{1}{2} \log_3 b$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cdot \frac{1}{2} \log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3 3 + \log_3(4 \cdot 3^x - 1)$.
$\log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(3(4 \cdot 3^x - 1))$.
$3^{1-x} + 2 = 12 \cdot 3^x - 3$.
ધારો કે $y = 3^x$. તો $\frac{3}{y} + 2 = 12y - 3$.
$12y^2 - 5y - 3 = 0$.
$(4y - 3)(3y + 1) = 0$.
$y = 3^x > 0$ હોવાથી,$y = \frac{3}{4}$.
$3^x = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા,$x = \log_3(\frac{3}{4}) = 1 - \log_3 4$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $m$-મું પદ $a + (m - 1)d = 1/n$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $n$-મું પદ $a + (n - 1)d = 1/m$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતાં $(m - n)d = 1/n - 1/m = (m - n)/mn$,તેથી $d = 1/(mn)$.
$d$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + (m - 1)(1/mn) = 1/n$ $\Rightarrow a + 1/n - 1/(mn) = 1/n$ $\Rightarrow a = 1/(mn)$.
પ્રથમ $mn$ પદોનો સરવાળો $S_{mn} = \frac{mn}{2} [2a + (mn - 1)d]$ છે.
$a = 1/(mn)$ અને $d = 1/(mn)$ મૂકતા:
$S_{mn} = \frac{mn}{2} [2(1/mn) + (mn - 1)(1/mn)] = \frac{mn}{2} [\frac{2 + mn - 1}{mn}] = \frac{mn}{2} [\frac{mn + 1}{mn}] = \frac{1}{2}(mn + 1)$.

(D) આપેલ છે કે $\log_{3} 2, \log_{3} (2^{x} - 5), \log_{3} (2^{x} - \frac{7}{2})$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે $a = 2^{x}$. પદો $\log_{3} 2, \log_{3} (a - 5), \log_{3} (a - 3.5)$ છે.
તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2 \log_{3} (a - 5) = \log_{3} 2 + \log_{3} (a - 3.5)$.
$\log m + \log n = \log (mn)$ અને $n \log m = \log (m^{n})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{3} (a - 5)^{2} = \log_{3} [2(a - 3.5)]$.
$(a - 5)^{2} = 2a - 7$.
$a^{2} - 10a + 25 = 2a - 7$.
$a^{2} - 12a + 32 = 0$.
$(a - 8)(a - 4) = 0$.
તેથી,$a = 8$ અથવા $a = 4$.
જો $2^{x} = 8$,તો $x = 3$.
જો $2^{x} = 4$,તો $x = 2$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી જવાબ $D$ છે.

(D) ધારો કે $1$ અને $31$ ની વચ્ચે $m$ સમાંતર મધ્યકો $x_1, x_2, \dots, x_m$ છે.
તેથી $1, x_1, x_2, \dots, x_m, 31$ એ $(m + 2)$ પદોની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને અંતિમ પદ $T_{m+2} = 31$ છે.
સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$31 = 1 + (m + 2 - 1)d$.
$30 = (m + 1)d \implies d = \frac{30}{m + 1}$.
$k$ મો સમાંતર મધ્યક $x_k = a + kd$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{x_7}{x_{m-1}} = \frac{5}{9}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1 + 7d}{1 + (m - 1)d} = \frac{5}{9}$.
$9(1 + 7d) = 5(1 + (m - 1)d)$.
$9 + 63d = 5 + 5(m - 1)d$.
$4 = (5m - 5 - 63)d = (5m - 68)d$.
$4 = (5m - 68) \times \frac{30}{m + 1}$.
$4(m + 1) = 30(5m - 68)$.
$4m + 4 = 150m - 2040$.
$146m = 2044$.
$m = \frac{2044}{146} = 14$.

(B) ધારો કે ચાર સમાંતર મધ્યક $A_1, A_2, A_3$ અને $A_4$ છે.
તેથી $3, A_1, A_2, A_3, A_4, 23$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને $6^{th}$ પદ $t_6 = 23$ છે.
સૂત્ર $t_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$23 = 3 + (6-1)d$
$23 = 3 + 5d$
$5d = 20$
$d = 4$
હવે,મધ્યકોની ગણતરી કરતા:
$A_1 = a + d = 3 + 4 = 7$
$A_2 = a + 2d = 3 + 8 = 11$
$A_3 = a + 3d = 3 + 12 = 15$
$A_4 = a + 4d = 3 + 16 = 19$
આમ,ચાર સમાંતર મધ્યક $7, 11, 15, 19$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5 - 2 = 3$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $60100 = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)3]$.
$120200 = n[4 + 3n - 3]$.
$120200 = n(3n + 1)$.
$3n^2 + n - 120200 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-120200)}}{2(3)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1442401}}{6} = \frac{-1 \pm 1201}{6}$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = \frac{1200}{6} = 200$ મળે છે.

(D) પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \ldots, 2n$ છે.
આ $n$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_n = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = 2(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S_n = 2 \times \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$.
સમાંતર મધ્યક $\frac{S_n}{n} = \frac{n(n + 1)}{n} = n + 1$ દ્વારા મળે છે.

(B) .$P$. ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $\frac{S_n}{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
મધ્યક $= \frac{\frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]}{n} = \frac{2a + (n - 1)d}{2}$.
મધ્યક $= a + \frac{(n - 1)d}{2}$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$,તેથી $\frac{\frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$ મળે.
$\frac{a_6}{a_{21}}$ શોધવા માટે,$a_n = a_1 + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d}$.
$\frac{p-1}{2} = 5 \Rightarrow p = 11$ અને $\frac{q-1}{2} = 20 \Rightarrow q = 41$ લેતા.
તેથી,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{11}{41}$.

(A) પ્રથમ $10$ મિનિટમાં ગણાયેલી નોટો $= 150 \times 10 = 1500$.
બાકી રહેલી નોટો $= 4500 - 1500 = 3000$.
ધારો કે પ્રથમ $10$ મિનિટ પછીના $n$ મિનિટ છે.
$11^{th}$ મિનિટથી ગણાયેલી નોટોની શ્રેણી એ $A.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 148$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$3000 = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = 149n - n^2$.
$n^2 - 149n + 3000 = 0$.
$(n - 24)(n - 125) = 0$.
અહીં $n = 125$ શક્ય નથી કારણ કે નોટોની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી,$n = 24$.
કુલ સમય $= 10 + 24 = 34$ મિનિટ.

(C) પ્રથમ થોડા મહિનાઓ માટેની બચત:
મહિનો $1: 200$,મહિનો $2: 200$,મહિનો $3: 200$.
મહિના $4$ થી,બચત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 240$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 40$ છે.
ધારો કે કુલ મહિનાની સંખ્યા $n$ છે. કુલ બચત નીચે મુજબ છે:
$600 + \sum_{k=1}^{n-3} [240 + (k-1)40] = 11040$
$600 + \frac{n-3}{2} [2(240) + (n-3-1)40] = 11040$
$600 + (n-3) [240 + (n-4)20] = 11040$
$(n-3) [20n + 160] = 10440$
$(n-3)(n+8) = 522$
$n^2 + 5n - 546 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $n^2 + 5n - 546 = 0$ ઉકેલતા:
$n = \frac{-5 \pm 47}{2}$
ધન કિંમત લેતા,$n = 21$.
આમ,$21$ મહિના પછી કુલ બચત $11040$ થશે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $9(25a^2 + b^2) + 25(c^2 - 3ac) = 15b(3a + c)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 75ac = 45ab + 15bc$
ગોઠવણી કરતા: $225a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 45ab - 15bc - 75ac = 0$
$2$ વડે ગુણતા: $450a^2 + 18b^2 + 50c^2 - 90ab - 30bc - 150ac = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(15a - 3b)^2 + (3b - 5c)^2 + (5c - 15a)^2 = 0$
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$15a - 3b = 0$ $\Rightarrow 3b = 15a$ $\Rightarrow b = 5a$
$3b - 5c = 0 \Rightarrow 3b = 5c$
$5c - 15a = 0$ $\Rightarrow 5c = 15a$ $\Rightarrow c = 3a$
હવે શ્રેણી $b, c, a$ તપાસો:
$b = 5a, c = 3a, a = a$
સામાન્ય તફાવત $d_1 = c - b = 3a - 5a = -2a$
સામાન્ય તફાવત $d_2 = a - c = a - 3a = -2a$
$d_1 = d_2$ હોવાથી,પદો $b, c, a$ એ $A.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $\sum_{k = 0}^{12} {a_{4k + 1}} = 416$. આ $13$ પદોનો $A.P.$ માં સરવાળો છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1$ અને સામાન્ય તફાવત $4d$ છે.
$\frac{13}{2} [2a_1 + (13-1)4d] = 416$ $\Rightarrow \frac{13}{2} [2a_1 + 48d] = 416$ $\Rightarrow a_1 + 24d = 32 \dots (1)$
આપેલ છે કે ${a_9} + {a_{43}} = 66$ $\Rightarrow (a_1 + 8d) + (a_1 + 42d) = 66$ $\Rightarrow 2a_1 + 50d = 66$ $\Rightarrow a_1 + 25d = 33 \dots (2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$d = 1$ મળે છે. $(1)$ માં $d=1$ મૂકતા,$a_1 + 24 = 32 \Rightarrow a_1 = 8$.
હવે,$\sum_{r = 1}^{17} a_r^2 = \sum_{r = 1}^{17} [8 + (r-1)1]^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r+7)^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r^2 + 14r + 49) = 140m$.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $n=17$ માટે,$\frac{17 \times 18 \times 35}{6} + 14 \times \frac{17 \times 18}{2} + 49 \times 17 = 1785 + 2142 + 833 = 4760$.
$140m = 4760 \Rightarrow m = \frac{4760}{140} = 34$.

(A) આપેલ છે $\frac{S_n}{S_m} = \frac{n^4}{m^4}$.
$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ હોવાથી,$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]}{\frac{m}{2}[2a_1 + (m-1)d]} = \frac{n^4}{m^4}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{2a_1 + (n-1)d}{2a_1 + (m-1)d} = \frac{n^3}{m^3}$.
આ સમીકરણ પરથી $a_{m+1} = a_1 + md$ અને $a_{n+1} = a_1 + nd$ નો ઉપયોગ કરતા,સાચો વિકલ્પ $A$ મળે છે.

(C) ધારો કે મૂળ દિવસોની સંખ્યા $n$ છે. કુલ કામ $150n$ માનવ-દિવસ છે.
દરેક દિવસે કામદારોની સંખ્યા સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 150$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -4$ છે.
કામ $n + 8$ દિવસમાં પૂર્ણ થાય છે.
$n + 8$ દિવસોમાં કામદારોનો સરવાળો $S_k = \frac{k}{2} [2a + (k - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = n + 8$.
$S_{n+8} = \frac{n+8}{2} [2(150) + (n + 8 - 1)(-4)] = 150n$
$(n+8)(68 - n) = 75n$
$n^2 + 15n - 544 = 0$
$(n + 32)(n - 17) = 0$
$n = 17$ હોવાથી,કુલ દિવસો $17 + 8 = 25$ થાય.

(D) અને $2b$ વચ્ચેનો $m^{th}$ સમાંતર મધ્યક $A_m = a + \frac{m(2b - a)}{n + 1}$ છે.
$2a$ અને $b$ વચ્ચેનો $m^{th}$ સમાંતર મધ્યક $A'_m = 2a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$ છે.
આપેલ છે કે $A_m = A'_m$,તેથી:
$a + \frac{m(2b - a)}{n + 1} = 2a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$
બંને બાજુથી $a$ બાદ કરતા:
$\frac{m(2b - a)}{n + 1} = a + \frac{m(b - 2a)}{n + 1}$
$(n + 1)$ વડે ગુણતા:
$m(2b - a) = a(n + 1) + m(b - 2a)$
$2bm - am = an + a + bm - 2am$
$bm = a(n - m + 1)$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{m}{n - m + 1}$ થાય.