Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(B) આપેલ ઘન સમીકરણ: $x^3-6x^2+6x-5=0$.
બીજમાં $h$ નો વધારો કરવા માટે,$x$ ને $(x+h)$ વડે બદલો.
નવું સમીકરણ: $(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-6(x^2+2xh+h^2)+6(x+h)-5=0$.
$x^2$ વાળા પદોને સાથે લેતા: $x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$.
નવા સમીકરણમાં $x^2$ વાળું પદ ન હોવાથી,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ: $3h-6=0$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $3h=6 \Rightarrow h=2$.

(D) પ્રથમ,આપેલ સમીકરણ $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$ ના અવયવ પાડો.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ અને $x=3$ બીજ છે.
$(x-2)^2(x-3)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)^2(x-3)^2=0$ મળે છે.
આમ,બીજ $2, 2, 3, 3$ છે.
ધારો કે બીજ $r_1=2, r_2=2, r_3=3, r_4=3$ છે.
આપણે બે ભિન્ન બીજમાં $1$ ઉમેરીએ છીએ. ભિન્ન બીજ $2$ અને $3$ છે.
તેમાં $1$ ઉમેરતા નવા બીજ $3$ અને $4$ મળે છે.
બાકીના બે બીજ $2$ અને $3$ અચળ રહે છે.
તેથી નવા બીજ $2, 3, 3, 4$ છે.
મૂળ બીજ ${2, 2, 3, 3}$ છે અને નવા બીજ ${2, 3, 3, 4}$ છે.
સામાન્ય બીજ $2, 3, 3$ છે.
પ્રશ્ન સામાન્ય બીજની સંખ્યા પૂછે છે.
ગણની સરખામણી કરતા,સામાન્ય કિંમતો $2$ અને $3$ છે.
આમ,$2$ ભિન્ન સામાન્ય બીજ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 + bx + c$.
તમામ $k \in R$ માટે $f(1+k) = f(1-k)$ હોવાથી,પરવલયની સંમિતિની ધરી $x = 1$ છે.
$f(x) = ax^2 + bx + c$ માટે સંમિતિની ધરીનું સૂત્ર $x = -b/(2a)$ છે.
અહીં $a = 1$ છે,તેથી $-b/2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $b = -2$.
આમ,$f(x) = x^2 - 2x + c$.
હવે,કિંમતોની ગણતરી કરીએ:
$f(0) = 0^2 - 2(0) + c = c$.
$f(1) = 1^2 - 2(1) + c = 1 - 2 + c = c - 1$.
$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + c = 1 + 2 + c = c + 3$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $c - 1 < c < c + 3$.
તેથી,$f(1) < f(0) < f(-1)$.

(D) ધારો કે $f(x) = 6x^3-25x^2+2x+8$. રેશનલ રૂટ પ્રમેય મુજબ,શક્ય પૂર્ણાંક બીજ $8$ ના અવયવો અને $6$ ના અવયવોના ભાગાકાર છે. $x=4$ મૂકતા,$f(4) = 6(64)-25(16)+2(4)+8 = 384-400+8+8 = 0$. તેથી,$x=4$ એક બીજ છે. $6x^3-25x^2+2x+8$ ને $(x-4)$ વડે ભાગતા,આપણને $6x^2-x-2=0$ મળે છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(2x+1)(3x-2)=0$. બીજ $x = -1/2$ અને $x = 2/3$ છે. $\alpha > 0$ અને $\beta < 0$ હોવાથી,$\alpha = 2/3$ અને $\beta = -1/2$ મળે. તેથી,$\frac{4}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{-1/2} = 6 - 2 = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4-x^2+x-1=0$ છે.
ધારો કે $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$. સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ પણ એક બીજ હશે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}i + 1-\sqrt{3}i}{2} = 1$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$.
આ બીજોને અનુરૂપ દ્વિઘાત અવયવ $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = x^2 - x + 1 = 0$ છે.
$x^4-x^2+x-1$ ને $x^2-x+1$ વડે ભાગતા,આપણને $x^4-x^2+x-1 = (x^2-x+1)(x^2+x-1) = 0$ મળે છે.
વાસ્તવિક બીજ $x^2+x-1=0$ પરથી મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના સહગુણકો $a$ અને $b$ વાસ્તવિક હોવાથી,તેના સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $1-i$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $1+i$ પણ સમીકરણનું બીજ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ $b$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$b = (1-i)(1+i)$.
નિત્યસમ $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = 1^2 - i^2$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ છે $\sinh(\log x) = -2$.
ધારો કે $\log x = y$,તેથી $x = e^y$.
વ્યાખ્યા $\sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = -2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$e^y - e^{-y} = -4$.
$e^y$ વડે ગુણતા: $(e^y)^2 - 1 = -4e^y$.
$(e^y)^2 + 4e^y - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $e^y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.
કારણ કે $x = e^y$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $e^y = \sqrt{5} - 2$.
આમ,$x = \sqrt{5} - 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 6x + 12 + 3 \sin(a + b\alpha) = 0$ છે.
આને $(x + 3)^2 + 3 + 3 \sin(a + b\alpha) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$(x + 3)^2 + 3(1 + \sin(a + b\alpha)) = 0$.
અહીં $(x + 3)^2 \ge 0$ અને $1 + \sin(a + b\alpha) \ge 0$ હોવાથી,બંને પદોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો બંને પદો શૂન્ય હોય.
તેથી,$(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$ અને $1 + \sin(a + b\alpha) = 0$.
આથી $\sin(a + b\alpha) = -1$.
$\theta = a + b\alpha$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત માટે $\sin \theta = -1$,જે $\theta = \frac{3\pi}{2}$ આપે છે.
આમ,$\cos(a + b\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

(A) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = (A - L)x^2 + (B - M)x - N$.
આપેલ છે:
$h(2) = 4(A - L) + 2(B - M) - N = 1$ ... $(i)$
$h(3) = 9(A - L) + 3(B - M) - N = 4$ ... $(ii)$
$h(4) = 16(A - L) + 4(B - M) - N = 9$ ... $(iii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$5(A - L) + (B - M) = 3$ ... $(iv)$
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$7(A - L) + (B - M) = 5$ ... $(v)$
$(v)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$2(A - L) = 2 \Rightarrow A - L = 1$.
$A - L = 1$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$5(1) + (B - M) = 3 \Rightarrow B - M = -2$.
$A - L = 1$ અને $B - M = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4(1) + 2(-2) - N = 1$ $\Rightarrow 4 - 4 - N = 1$ $\Rightarrow N = -1$.
આમ,$h(x) = (1)x^2 + (-2)x - (-1) = x^2 - 2x + 1$.
$h(x) = 0$ લેતા:
$x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow x = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4-8x^3+11x^2+32x-60=0$ છે.
અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બીજ શોધતા,આપણને $x = -2, 2, 3, 5$ મળે છે.
બહુપદીના અવયવો પાડતા,$(x+2)(x-2)(x-3)(x-5)=0$ મળે છે.
અહીં $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ હોવાથી,$\alpha = -2, \beta = 2, \gamma = 3, \delta = 5$ થાય.
હવે,$4\alpha+3\beta+2\gamma+\delta$ ની કિંમત શોધતા:
$4(-2) + 3(2) + 2(3) + 5 = -8 + 6 + 6 + 5 = 9$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+ax-b=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta = -a$ અને $\alpha\beta = -b$.
વક્ર $(\frac{x}{\alpha})^n + (\frac{y}{\beta})^n = 2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{\alpha}(\frac{x}{\alpha})^{n-1} + \frac{n}{\beta}(\frac{y}{\beta})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{\beta}{\alpha}$ થાય.
રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta = c$ નો ઢાળ $-\cot \theta$ છે.
ઢાળ સરખાવતા: $-\cot \theta = -\frac{\beta}{\alpha} \implies \cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$.
રેખા બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = c$.
$\cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ અને $\sin \theta = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ મળે.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha(\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) + \beta(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) = c \implies \frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$.
આપણે $(\frac{a}{b})^2 + \frac{2}{b} = (\frac{-(\alpha+\beta)}{-\alpha\beta})^2 + \frac{2}{-\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha\beta)^2} - \frac{2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$ પરથી,$\alpha^2+\beta^2 = \frac{4\alpha^2\beta^2}{c^2}$ મળે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{4\alpha^2\beta^2/c^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{4}{c^2}$.

(B) તમામ $n \in N$ માટે $n^3+\alpha n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $n=1$ માટે: $1^3+\alpha(1) = 1+\alpha$. આ $3$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે $\alpha$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $2$ છે.
તમામ $n \in N$ માટે $n^3-\beta n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $n=2$ માટે: $2^3-\beta(2) = 8-2\beta$. આ $6$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે $\beta$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $1$ છે.
તેથી,$\alpha+\beta = 2+1 = 3$.

(C) આપેલ સમીકરણ $||2x-3|-4|=2$ છે.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
કિસ્સો $1$: $|2x-3|-4 = 2 \implies |2x-3| = 6$.
આના બે ભાગ પડે છે:
$2x-3 = 6 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5$.
$2x-3 = -6 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
કિસ્સો $2$: $|2x-3|-4 = -2 \implies |2x-3| = 2$.
આના બે ભાગ પડે છે:
$2x-3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.
$2x-3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.
બીજો $4.5, -1.5, 2.5, 0.5$ છે.
બીજનો સરવાળો $4.5 - 1.5 + 2.5 + 0.5 = 6$ થાય છે.

(A) ધારો કે જ્યારે $P(x)$ ને $(x-3)(x-5)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $ax+b$ છે.
$P(x) = (x-3)(x-5)Q(x) + (ax+b)$
આપેલ છે કે $P(3) = 10$ અને $P(5) = 6$.
સમીકરણમાં $x=3$ મૂકતા: $3a+b = 10$ $(i)$
સમીકરણમાં $x=5$ મૂકતા: $5a+b = 6$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(5a+b) - (3a+b) = 6 - 10$
$2a = -4 \Rightarrow a = -2$
સમીકરણ $(i)$ માં $a = -2$ મૂકતા:
$3(-2) + b = 10$
$-6 + b = 10 \Rightarrow b = 16$
આમ,શેષ $-2x+16$ છે.

(C) કારણ કે $a, b$ અને $c$ એ $GP$ માં છે,તેથી $b^{2} = ac$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $2 \log_{e} b = \log_{e} a + \log_{e} c$ મળે છે.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(\log_{e} a) x^{2} - (2 \log_{e} b) x + \log_{e} c = 0$ છે.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા,આપણને $(\log_{e} a) - (2 \log_{e} b) + \log_{e} c = 0$ મળે છે,જે $\log_{e} a + \log_{e} c = 2 \log_{e} b$ માં પરિણમે છે,જે સત્ય છે.
આમ,$x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજું બીજ $\alpha$ છે. બીજનો ગુણાકાર $\frac{\log_{e} c}{\log_{e} a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$1 \times \alpha = \frac{\log_{e} c}{\log_{e} a} = \log_{a} c$.
આમ,બીજ $1$ અને $\log_{a} c$ છે.

(A) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સંમેય બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $a, b, c$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$D$ એ પૂર્ણ વર્ગ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$a, b, c$ એકી સંખ્યાઓ હોવાથી,$b^2$ એકી છે અને $4ac$ બેકી છે. તેથી,$D = b^2 - 4ac$ એકી પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $D = (2k + 1)^2$. તો $b^2 - 4ac = (2k + 1)^2$.
આથી $4ac = b^2 - (2k + 1)^2 = (b - 2k - 1)(b + 2k + 1)$.
$b = 2n + 1$ લેતા,$4ac = (2n - 2k)(2n + 2k + 2) = 4(n - k)(n + k + 1)$.
તેથી $ac = (n - k)(n + k + 1)$.
અહીં $(n - k)$ અને $(n + k + 1)$ નો તફાવત $2k + 1$ (એકી) છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $ac$ બેકી થાય.
પરંતુ $a$ અને $c$ એકી હોવાથી તેમનો ગુણાકાર એકી હોવો જોઈએ,જે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,$D$ પૂર્ણ વર્ગ ન હોઈ શકે અને સમીકરણને કોઈ સંમેય બીજ નથી.
આમ,સંમેય બીજની સંખ્યા $0$ છે.

(B) સમીકરણ $P(x) \cdot Q(x) = 0$ નો અર્થ છે કે કાં તો $P(x) = 0$ અથવા $Q(x) = 0$.
$P(x) = ax^2 + bx + c$ માટે વિવેચક $D_1 = b^2 - 4ac$ છે.
$Q(x) = -ax^2 + dx + c$ માટે વિવેચક $D_2 = d^2 - 4(-a)(c) = d^2 + 4ac$ છે.
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા,$D_1 + D_2 = b^2 + d^2$ મળે છે.
$b^2 + d^2 \geq 0$ હોવાથી,$D_1$ અથવા $D_2$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અઋણ હોવું જોઈએ.
આમ,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2ax^2 + (2a + b)x + b = 0$ છે.
વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2a$,$B = (2a + b)$,અને $C = b$.
$D = (2a + b)^2 - 4(2a)(b) = 4a^2 + 4ab + b^2 - 8ab = 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$.
$a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(2a - b)^2$ એ પૂર્ણ વર્ગ છે.
જો સંમેય સહગુણકોવાળા દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો તેના બીજ સંમેય હોય છે.
આમ,બીજ સંમેય છે.

(A) આપેલ છે $P(x) = ax^{2} + bx + c$ અને $Q(x) = -ax^{2} + dx + c$.
$P(x) = 0$ માટે,વિવેચક $D_{1} = b^{2} - 4ac$ છે.
$Q(x) = 0$ માટે,વિવેચક $D_{2} = d^{2} - 4(-a)(c) = d^{2} + 4ac$ છે.
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા,આપણને $D_{1} + D_{2} = b^{2} + d^{2} \geq 0$ મળે છે.
વિવેચકોનો સરવાળો અ-ઋણ હોવાથી,ઓછામાં ઓછો એક વિવેચક અ-ઋણ હોવો જોઈએ ($D_{1} \geq 0$ અથવા $D_{2} \geq 0$).
જો $D_{1} \geq 0$,તો $P(x)$ ને વાસ્તવિક બીજ છે. જો $D_{2} \geq 0$,તો $Q(x)$ ને વાસ્તવિક બીજ છે.
તેથી,સમીકરણ $P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(A) બે દ્વિઘાત સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:
$x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$ અને $x^{2} + b_{2}x + c_{2} = 0$.
ધારો કે $D_{1}$ અને $D_{2}$ એ અનુક્રમે આ સમીકરણોના વિવેચક છે.
$D_{1} = b_{1}^{2} - 4c_{1}$
$D_{2} = b_{2}^{2} - 4c_{2}$
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 4(c_{1} + c_{2})$
આપેલ છે કે $b_{1}b_{2} = 2(c_{1} + c_{2})$,તેથી $4(c_{1} + c_{2}) = 2b_{1}b_{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$D_{1} + D_{2} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} - 2b_{1}b_{2}$
$D_{1} + D_{2} = (b_{1} - b_{2})^{2}$
તમામ વાસ્તવિક $b_{1}, b_{2}$ માટે $(b_{1} - b_{2})^{2} \geq 0$ હોવાથી,$D_{1} + D_{2} \geq 0$ થાય.
જો બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સરવાળો અ-ઋણ હોય,તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા અ-ઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,$D_{1}$ અથવા $D_{2}$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $\geq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2px^{2} + (2p + q)x + q = 0$ છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
સહગુણકો $a = 2p$,$b = (2p + q)$,અને $c = q$ મૂકતા:
$D = (2p + q)^{2} - 4(2p)(q)$
$D = 4p^{2} + q^{2} + 4pq - 8pq$
$D = 4p^{2} + q^{2} - 4pq$
$D = (2p - q)^{2}$
અહીં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$D$ એ એક પૂર્ણાંકનો પૂર્ણ વર્ગ છે.
સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો બીજ સંમેય હોય છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + 1 = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac \geq 0$.
$c = 1$ મૂકતા,આપણને $b^{2} - 4a \geq 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $b^{2} \geq 4a$.
$a, b \in \{1, 2, 3\}$ આપેલ હોવાથી,આપણે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
જો $a = 1$,$b^{2} \geq 4 \implies b \in \{2, 3\}$. જોડીઓ: $(1, 2), (1, 3)$.
જો $a = 2$,$b^{2} \geq 8 \implies b = 3$. જોડી: $(2, 3)$.
જો $a = 3$,$b^{2} \geq 12 \implies b$ ની કોઈ કિંમત આ શરત સંતોષતી નથી.
શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ એ $(1, 2), (1, 3), (2, 3)$ છે.
આમ,શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓની સંખ્યા $3$ છે.

(C) અસંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજ હંમેશા જોડીમાં અસંમેય હોતા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$ ધ્યાનમાં લો.
તેના બીજ $x = 1$ અને $x = \sqrt{2}$ છે.
અહીં,એક બીજ સંમેય છે અને એક અસંમેય છે.
આમ,એવું વિધાન કે આવા સમીકરણમાં શૂન્ય અથવા બે અસંમેય બીજ હોય તે ખોટું છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ હંમેશા ખોટો છે.

(A) આપેલ છે કે,$\alpha, \beta$ એ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ છે અને $\alpha+h, \beta+h$ એ $px^{2}+qx+r=0$ ના બીજ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે,વિવેચક $D_{1} = b^{2}-4ac$ છે અને બીજનો તફાવત $(\alpha-\beta)^{2} = \frac{D_{1}}{a^{2}}$ છે.
બીજા સમીકરણ માટે,વિવેચક $D_{2} = q^{2}-4pr$ છે અને બીજનો તફાવત $((\alpha+h)-(\beta+h))^{2} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$ છે.
કારણ કે $(\alpha+h)-(\beta+h) = \alpha-\beta$,તેથી $(\alpha-\beta)^{2} = ((\alpha+h)-(\beta+h))^{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{D_{1}}{a^{2}} = \frac{D_{2}}{p^{2}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{D_{1}}{D_{2}} = \frac{a^{2}}{p^{2}}$.
આમ,વિવેચકોનો ગુણોત્તર $a^{2}: p^{2}$ છે.

(A) કારણ કે $a, b$ અને $c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2} - 2b x + c = 0$ છે.
$2b = a + c$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a x^{2} - (a + c) x + c = 0$
$a x^{2} - a x - c x + c = 0$
$a x(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(a x - c) = 0$
આમ,બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{c}{a}$ મળે છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$,અને $c = -22$ છે.
$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-22) = 12 + 88 = 100$.
$D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને અસમાન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 10}{2} = \sqrt{3} \pm 5$.
$\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,બીજ $\sqrt{3} + 5$ અને $\sqrt{3} - 5$ અસંમેય છે.
તેથી,બીજ વાસ્તવિક,અસંમેય અને અસમાન છે.

(B) ધારો કે $|x-2| = y$. કારણ કે $|x-2| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $y^2 + y - 2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y+2)(y-1) = 0$.
આથી $y = -2$ અથવા $y = 1$ મળે.
$y \ge 0$ હોવાથી,આપણે $y = -2$ ને અવગણીશું. તેથી,$y = 1$.
હવે,$|x-2| = 1$ ઉકેલતા:
$x-2 = 1$ અથવા $x-2 = -1$.
$x = 3$ અથવા $x = 1$.
વાસ્તવિક બીજ $3$ અને $1$ છે.
બીજનો સરવાળો $3 + 1 = 4$ થાય.

(A) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $3ax^2+3bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$3a\alpha^2+3b\alpha+c=0$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ જેના બીજ $3\alpha$ અને $3\beta$ હોય. ધારો કે $x = 3\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{x}{3}$.
મૂળ સમીકરણમાં $\alpha = \frac{x}{3}$ મૂકતા:
$3a(\frac{x}{3})^2 + 3b(\frac{x}{3}) + c = 0$
$3a(\frac{x^2}{9}) + bx + c = 0$
$\frac{ax^2}{3} + bx + c = 0$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$ax^2 + 3bx + 3c = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (a+c)x + ac) + (x^2 - (a+b)x + ab) = 0$
$3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab+bc+ca) = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab+bc+ca)$
$D = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca - 3ab-3bc-3ca)$
$D = 4(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
કારણ કે $a, b, c$ વાસ્તવિક છે,તેથી $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2 \geq 0$.
તેથી,$D \geq 0$.
વિવેચક હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^{2} + bx + c$ માટે તમામ $x$ માટે $a$ જેવું જ ચિહ્ન ધરાવવા માટે,પરવલય $x$-અક્ષને છેદવો જોઈએ નહીં.
આનો અર્થ એ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવા માટે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ એ $0$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
તેથી,શરત $b^{2} - 4ac < 0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+15|x|+14=0$ છે.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $|x|^2+15|x|+14=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2+15t+14=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $(t+1)(t+14)=0$ મળે છે.
આનાથી $t = -1$ અથવા $t = -14$ મળે છે.
જોકે,આપણે $t = |x|$ વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે,જે અ-ઋણ $(t \ge 0)$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $-1$ અને $-14$ બંને $0$ કરતા નાના છે,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ,સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + Bx + C = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય,તો બીજનો ગુણાકાર શૂન્ય કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
બીજનો ગુણાકાર = $\frac{C}{A} < 0$.
અહીં,$A = 2$ અને $C = a^{2} - 4a$.
તેથી,$\frac{a^{2} - 4a}{2} < 0$.
$a^{2} - 4a < 0$.
$a(a - 4) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $0 < a < 4$ હોય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x-1}$ છે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x \ge 1$ હોવું જરૂરી છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x+1) + (x-1) - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2x - 2\sqrt{x^2-1} = 4x-1$ અથવા $-2\sqrt{x^2-1} = 2x-1$ થાય છે.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(x^2-1) = 4x^2 - 4x + 1$ મળે છે.
આથી $4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$,જે $4x = 5$ એટલે કે $x = \frac{5}{4}$ આપે છે.
મૂળ સમીકરણમાં $x = \frac{5}{4}$ મુકતા,ડાબી બાજુ $\sqrt{\frac{9}{4}} - \sqrt{\frac{1}{4}} = 1$ મળે છે,જ્યારે જમણી બાજુ $\sqrt{4} = 2$ મળે છે.
$1 \neq 2$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a \neq 0$.
$0$ એ ઉકેલ હોવાથી,$x = 0$ મૂકતા $a(0)^2 + b(0) + c = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
સહગુણકો $a, b, c$ એ $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ ગણમાંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
સમીકરણ દ્વિઘાત રહે તે માટે,$a$ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$. આ રીતે $a$ માટે $9$ શક્યતાઓ છે.
સહગુણક $b$ એ $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ માંથી કોઈપણ હોઈ શકે છે,તેથી $b$ માટે $10$ શક્યતાઓ છે.
સહગુણક $c$ એ $0$ તરીકે નિશ્ચિત છે,તેથી $c$ માટે માત્ર $1$ શક્યતા છે.
તેથી,આવા કુલ દ્વિઘાત સમીકરણોની સંખ્યા $N = 9 \times 10 \times 1 = 90$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2b)^2 - 4ac < 0 \implies 4b^2 < 4ac \implies b^2 < ac$.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$b < \sqrt{ac}$ મળે.
$1$. જો $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં હોય,તો $2b = a + c$. $b < \sqrt{ac}$ હોવાથી,$a + c < 2\sqrt{ac}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 < 0$,જે અશક્ય છે. તેથી,$a, b, c$ એ $A$.$P$. માં ન હોઈ શકે.
$2$. જો $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં હોય,તો $b^2 = ac$. પરંતુ આપણી પાસે $b^2 < ac$ છે,તેથી $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં ન હોઈ શકે.
$3$. જો $a, b, c$ એ $H$.$P$. માં હોય,તો $b = \frac{2ac}{a+c}$. $a, c > 0$ હોવાથી,$A$.$M$. $\geq$ $G$.$M$. મુજબ,$\frac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}$ મળે,તેથી $b = \frac{2ac}{a+c} \leq \sqrt{ac}$. જો $a \neq c$ હોય તો $b < \sqrt{ac}$ ની શરત સંતોષાય છે. તેથી,$a, b, c$ એ $H$.$P$. માં હોઈ શકે છે.

(B) પગલું $1$. $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખો:
$2\sin^2 x - a\sin x + 2a - 8 = 0$
પગલું $2$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\sin x$ માટે ઉકેલો:
$\sin x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16(a - 4)}}{4} = \frac{a \pm (a - 8)}{4}$
આથી,$\sin x = \frac{a - 4}{2}$ અથવા $\sin x = 2$ (જે શક્ય નથી).
પગલું $3$. $-1 \leq \sin x \leq 1$ હોવાથી:
$-1 \leq \frac{a - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq a - 4 \leq 2$
$2 \leq a \leq 6$.
તેથી,$a \in [2, 6]$.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ અને શરત $a + 2b + 4c = 0$ છે.
શરત $a + 2b + 4c = 0$ ને $4$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{4} + \frac{2b}{4} + \frac{4c}{4} = 0$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 0$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + c = 0$
આને દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(\frac{1}{2}) = 0$ થાય છે.
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.

(C) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r)$.
$f(1) = g(1)$ હોવાથી,$h(1) = 0$ થાય.
$f(2) = g(2)$ હોવાથી,$h(2) = 0$ થાય.
$h(x)$ એ $1$ અને $2$ બીજ ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી,આપણે તેને $h(x) = k(x-1)(x-2)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આપણને $f(3) - g(3) = 2$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $h(3) = 2$.
$h(x) = k(x-1)(x-2)$ માં $x=3$ મૂકતા,આપણને $h(3) = k(3-1)(3-2) = k(2)(1) = 2k$ મળે છે.
$h(3) = 2$ હોવાથી,$2k = 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
આમ,$h(x) = 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$.
આપણે $f(4) - g(4)$ શોધવાનું છે,જે $h(4)$ છે.
$h(4) = (4-1)(4-2) = (3)(2) = 6$.

(D) ધારો કે $P(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$. $P(x)$ એ $x^{2} + 2$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ.
$x^{3} + ax^{2} + bx + c$ ને $x^{2} + 2$ વડે ભાગતા ભાગફળ $(x + a)$ અને શેષ $(b - 2)x + (c - 2a)$ મળે છે.
બહુપદી વિભાજ્ય હોવા માટે,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી $(b - 2)x + (c - 2a) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $b - 2 = 0$ અને $c - 2a = 0$.
આમ,$b = 2$ અને $c = 2a$.
આપેલ છે કે $a, b, c \in \mathbb{N}$ અને $a, b, c \le 20$,તેથી $b = 2$ (જે નિશ્ચિત છે).
$c = 2a$ માટે,$c \le 20$ હોવાથી,$2a \le 20$,જેનો અર્થ છે કે $a \le 10$.
$a \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$a$ ની કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ હોઈ શકે.
તેથી,આવી કુલ $10$ બહુપદીઓ છે.

(A) સમીકરણ $x|x+3|+|x-1|-2=0$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $x=-3$ અને $x=1$ બિંદુઓના આધારે ત્રણ અંતરાલોમાં વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$I$. કિસ્સો $x \ge 1$:
$x(x+3) + (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x-3=0$.
ઉકેલતા,$x = -2 \pm \sqrt{7}$.
$x \ge 1$ હોવાથી,બંને ઉકેલો અસ્વીકાર્ય છે.
$II$. કિસ્સો $-3 \le x < 1$:
$x(x+3) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+2x-1=0$.
ઉકેલતા,$x = -1 \pm \sqrt{2}$.
બંને ઉકેલો $-3 \le x < 1$ ની વચ્ચે હોવાથી,તે માન્ય છે.
$III$. કિસ્સો $x < -3$:
$x(-(x+3)) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x+1=0$.
ઉકેલતા,$x = -2 \pm \sqrt{3}$.
$x < -3$ હોવાથી,માત્ર $x = -2-\sqrt{3}$ માન્ય છે.
આમ,કુલ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(D) $x^4 - ax^2 + 9 = 0$ . . . . $(1)$
ધારો કે $x^2 = t$.
તો $t^2 - at + 9 = 0$ . . . . $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ના બીજ ધન અને ભિન્ન હોવા જોઈએ.
$(i)$ વિવેચક $D > 0$ $\Rightarrow a^2 - 36 > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -6) \cup (6, \infty)$.
$(ii)$ બીજનો સરવાળો $\frac{-b}{a} > 0 \Rightarrow a > 0$.
$(iii)$ બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} > 0 \Rightarrow 9 > 0$,જે તમામ $a \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે.
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો છેદ લેતા,આપણને $a > 6$ મળે છે.
તેથી,$a$ ની સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત $7$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$.
આનું સાદું રૂપ $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ થાય છે.
$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ મળે છે.
$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$.
$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$.
કારણ કે ઉકેલો $\alpha, \beta$ બે ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંકો છે,તેથી $|\alpha - \beta| = 2$.
આમ,$\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$.
$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$.
$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$.
$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^{2}-20x+3\lambda=0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ નો સરવાળો $\alpha+\beta = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ અને ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{3\lambda}{12} = \frac{\lambda}{4}$ છે.
આપણને $\frac{1}{2} \le |\beta-\alpha| \le \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} \le (\beta-\alpha)^{2} \le \frac{9}{4}$ મળે.
નિત્યસમ $(\beta-\alpha)^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 4\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4} \le (\frac{5}{3})^{2} - 4(\frac{\lambda}{4}) \le \frac{9}{4}$.
$\frac{1}{4} \le \frac{25}{9} - \lambda \le \frac{9}{4}$.
$\frac{19}{36} \le \lambda \le \frac{91}{36}$ મળે.
$\lambda$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\lambda = 1, 2$ શક્ય છે.
તેથી,સરવાળો $1+2 = 3$ થાય.

(D) ધારો કે કડિયા $A$ ને કામ પૂર્ણ કરતા લાગતો સમય $x$ દિવસ છે. તેથી,કડિયા $B$ ને લાગતો સમય $x+24$ દિવસ થશે.
$A$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{x}$.
$B$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{x+24}$.
$A+B$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{22.5} = \frac{2}{45}$.
તેથી,$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{2}{45}$.
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{2}{45} \implies 45(x+12) = x^2+24x$.
$x^2 - 21x - 540 = 0$.
$(x-36)(x+15) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 36$ દિવસ.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sqrt{3}-2)|\sqrt{x}-3| + (\sqrt{x}-3)^2 - 2\sqrt{3} = 0$ છે.
ધારો કે $t = |\sqrt{x}-3|$. તો સમીકરણ $t^2 + (\sqrt{3}-2)t - 2\sqrt{3} = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t+ \sqrt{3})(t-2) = 0$.
કારણ કે $t = |\sqrt{x}-3| \ge 0$,તેથી $t = 2$ મળે.
આમ,$|\sqrt{x}-3| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{x}-3 = 2$ અથવા $\sqrt{x}-3 = -2$.
આથી $\sqrt{x} = 5$ અથવા $\sqrt{x} = 1$ મળે.
તેથી,$x = 25$ અથવા $x = 1$.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\alpha = 1$ અને $\beta = 25$ મળે.
અંતે,$\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{\frac{25}{1}} + \sqrt{1 \times 25} = 5 + 5 = 10$.

(B) $x$ માટેના વિવિધ અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને આપણે સમીકરણ $x|x+4|+3|x+2|+10=0$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $I$: $x < -4$. સમીકરણ $x(-(x+4)) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $-x^2 - 4x - 3x - 6 + 10 = 0$ અથવા $x^2 + 7x - 4 = 0$ થાય છે. ઉકેલો $x = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{2}$ છે. $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{2} < -4$ હોવાથી તે માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $-4 \leq x < -2$. સમીકરણ $x(x+4) + 3(-(x+2)) + 10 = 0$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + x + 4 = 0$ થાય છે. વિવેચક $D < 0$ હોવાથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $III$: $x \geq -2$. સમીકરણ $x(x+4) + 3(x+2) + 10 = 0$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + 7x + 16 = 0$ થાય છે. વિવેચક $D < 0$ હોવાથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,કુલ $1$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે $|x-1|=t$.
તેથી સમીકરણ $t^{2}-5t+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(t-2)(t-3)=0$ મળે,તેથી $t=2$ અથવા $t=3$.
કિસ્સો $1$: $|x-1|=2 \implies x-1=2$ અથવા $x-1=-2$,જે $x=3$ અથવા $x=-1$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $|x-1|=3 \implies x-1=3$ અથવા $x-1=-3$,જે $x=4$ અથવા $x=-2$ આપે છે.
બીજો $3, -1, 4, -2$ છે.
બીજોનો સરવાળો $3 + (-1) + 4 + (-2) = 4$ થાય છે.